2016级高等数学(上)期中考试试卷(11学分) - 答案
华东理工大学2016–2017学年第一学期
《高等数学（上）11学分》课程期中考试试卷 2016.11
开课学院：理学院， 专业：大面积, 考试形式：闭卷，所需时间 120 分钟
考生姓名： 学号： 班级 任课教师
一．填空题（本大题共14小题，每小题4分，共56分）：
1、极限 1
33(1)lim x x x
→∞+=
解： 1. 极限性质 1
3331()+x x
2、极限 10
1lim 13x
x x →??
=
?+??
解：3
e - 重要极限131313133113x x x x x
x x --++-?
?
+
?+?
?
3、极限23
0sin(6sin )
lim (arctan )x x x x →= .
解：6. 等价无穷小
4、三叶玫瑰线sin3a ρ=θ (0a >) 上对应于4
π
θ=的点处的切线方程（直角坐标方程）为 .
解： 124a y x =+. 参数方程下切线'
1
2
'31'31x y y x θθ-+===--
5、极限 2421111lim(1)(1)(1)(1)3
333
→∞
++
++= n n 解：
32 .恒等变形，分子分母乘1
(1)3
- 6、设22()cos[ln(13)]x f x e x =-+，则(0)f '= . 解：2sin1-. 复合求导
7、设ln x y x = (0)x >，则|x e y ='= .
解：2. 对数求导法
8、设函数2(31)()()x g x f x g e e +=?，其中()g x 可导，且(1)1,(1)g g e '==, 则(0)f '=_____________ . 解：2
5e .复合求导 9、设22016
23
2(1)
()(1)arctan 12x f x x
x x
+=-++，则(1)f '=____________ . 解：504π .乘积求导后一导数不用求
10、0x =是函数21sin ,03()12sin ,033?+>??=??+
x x
f x x x x
的第 类间断点中的 间断点。
解：一 可去(各2分). 间断类型12
(00)10(00)33
+=+=-=+f f 11、极限
1)ln(12)n
n →∞
+= .
解：ln 2ln 5.夹逼准则或提因子
111
ln 5ln(02)ln 5ln(12)ln 5ln(22)n n n n n n n
+≤+≤+ 12、设由方程 1-=y
y xe 确定函数()y y x =，则22
==x d y
dx
.
解：2
2e 二阶导数
8学分 设由方程 1-=y
y xe 确定函数()y y x =，则
x dy dx
== .
解：e 导数 13、
设y =
dy = .
解：12
dy dx =+
微分
9学分
设y =y '= .
解：12'y =+
8学分
极限 2222123lim 3132333→∞??
++++= ?++++++++??
n n n n n n n n n n n . 解：12 夹逼准则2223331
≤≤
++++++i i i
n n n n n i n n 14、设 20[()(0)]sin 3lim
4→-=x f x f x
x
，则(0)f '= . 解：43
导数定义 二．选择题（本大题共3小题，每小题4分，共12分）：
1、函数2
sin ()lim(1)→=+
x t
t t
f x x
在(,)-∞+∞内 （ ） （A ）连续 （B ）有可去间断点 （C ）有跳跃间断点 （D ）有无穷间断点 解：（B ）(),0=≠x f x e x
2、设函数()y f x =在0x 点处可导，00()()y f x x f x ?=+?-，且0'()0f x ≠，则当0x ?→时， dy y -?关于y ?是 （ ）
（A ）()dy y o y -?=? （B ）~dy y y -?? （C ）()dy y O y -?=? （D ）dy y -?关于y ?无法比较
解：（A ） 00000()
()lim lim lim 0()'()()'()x x x o x dy y o x x o x y f x x o x f x x
?→?→?→?-???===???+?+
? 8/9学分 当0x →时，下列无穷小量中最高阶的无穷小是（ ）.
（A ）tan sin ;x x - （B
1 ; （C
）1 D. .x
x
e e --
解：（A ）三阶
3、设1cos ,0
()0,0α
β?>?=??≤?
x x f x x
x (0,0)>>αβ.若'()f x 在0=x 处连续， 则 （ ）
（A ） 01<-≤αβ （B ） 02<-≤αβ （C ）2->αβ （D ）1->αβ 解：（D ）'(0)0f =，其它1
11'()(1)cos sin f x x x x x
α
α-β-ββ=α-+β 三、（本题8分）．
求函数2()2=x f x x 在0=x 处的n 阶导数()(0)n f . 解： 关键步骤 莱布尼兹公式
()()(1)(2)
()(1)()'''2
---=++
++ n n n n n n n uv u v nu v u v uv +… ---------------2分 2()212(1)(2)2(ln 2)2(ln 2)22(ln 2)202
---=+++x n x n x n x
n n n x x x
代值2()
20(1)(2)|002(ln 2)22
-=-=++
x n x n x n n x ---------2分 答案 2(1)(ln 2)--n n n . ----------2分
（8学分）设函数()f x 可导，且()0f x '≠，函数()x y =?是函数()y f x =的反函数，且(2)3f =，2
1()[(25)]3
g x f x =?-，求(0)g ' 解：212
()[
(25)](25)(25)(5)33g x f x f x f x '''=?-?-?-?- ------2分 2101(0)(2)(2)((2))33g f f f '''=-?10
3(2)(3)3
f ''=-???? ----------2分
由于?是f 的原函数?(2)(3)1f ''?= ----------2分
(0)10g '∴=- ----------2分
四、（本题8分）
设极限
13
,16
x →=- 求实数,a b 的值。
解：答案12
,2a b == 分式极限存在，分母极限为0，则分子极限为0 得到2=b 。----------4分
分子中有理化
2=
----------2分
去零因子后分子极限仍为0，
0a =得到1
2
=a ----------2分 五、（本题8分）．
设函数()u x 和()v x 可导，利用导数定义证明[()()]''()()()'()=+u x v x u x v x u x v x . 解：导数定义0()()()()
[()()]'lim x u x x v x x u x v x u x v x x
?→+?+?-=?----------2分
(添项补项)
0()()()()[()()()()]
lim
?→+?+?-+?++?-=?x u x x v x x u x x v x u x x v x u x v x x
----------2分
0()()()()
lim ()
lim ()?→?→+?-+?-=+?+??x x v x x v x u x x u x u x x v x x x
()u x 和()v x 可导必连续， ----------2分
原极限00()()()()()lim
()lim ?→?→+?-+?-=+??x x v x x v x u x x u x u x v x x x
即[()()]''()()()'()=+u x v x u x v x u x v x ----------2分 六、（本题8分）
设函数()f x 和()g x 在[,]a b 上存在二阶导数，()()()()0====f a f b g a g b ， 并且''()0≠g x ，试证：
（I ）在开区间(,)a b 内()0≠g x ；
（II ）在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得
()''()
()''()
ξξ=ξξf f g g 解：(I)反证法，假设存在一点x 1处g(x 1)=0，则分别在(a,x 1)，(x 1,b)上应用罗尔定理得g(x)一阶导数为0的两个零点23'()'()0==g x g x ， ----------2分
再应用罗尔定理得g(x)二阶导数为0的点4'()0=g x ，与题设矛盾。 ----------2分
(II)设辅助函数为()()'()'()()=-F x f x g x f x g x ----------2分 对F(x)应用罗尔定理即可。 ----------2分
8/9学分
（I ）设()f x 在[0,2]连续，且(0)(2)f f =，证明存在[0,1]ξ∈，使(1)()f f ξ+=ξ；
（II ）设()f x 在[0,3]连续，且(0)(3)f f =，证明存在[0,2]ξ∈，使(1)()f f ξ+=ξ。
解：(I) 设辅助函数为()(1)()=+-F x f x f x , ----------2分 则(0)(1)(0)=-F f f ，(1)(2)(1)(0)=-=-F f f F ，
(1)(0)0≤F F ，等号成立则[0,1]ξ∈已找到，
等号不成立，应用零点定理得结论； ----------2分
(II)设辅助函数为()(1)()=+-F x f x f x ，则F(0)+F(1)+F(2)=0, ----------2分 讨论三个数有一为零已得结论，有一不为零，不妨设为正数，则另两个至少有一个为负数，一正一负间应用零点定理得结论。 ----------2分
大一下学期高等数学期中考试试卷及答案
大一第二学期高等数学期中考试试卷 一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中。 1、已知球面的一条直径的两个端点为()532，，-和()314-，，，则该球面的方程为______________________ 2、函数ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为 3、曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程为 4、 22 22222 (,)(0,0) (1cos())sin lim ()e x y x y x y xy x y +→-+=+ 5、设二元函数y x xy z 3 2 +=，则 =???y x z 2_______________ 二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效。 1、旋转曲面1222=--z y x 是（ ） （A ）．xOz 坐标面上的双曲线绕Ox 轴旋转而成； （B ）．xOy 坐标面上的双曲线绕Oz 轴旋转而成； （C ）．xOy 坐标面上的椭圆绕Oz 轴旋转而成； （D ）．xOz 坐标面上的椭圆绕Ox 轴旋转而成． 2、微分方程23cos 2x x x y y +=+''的一个特解应具有形式（ ） 其中3212211,,,,,,d d d b a b a 都是待定常数. (A).2 12211sin )(cos )(x d x b x a x x b x a x ++++; (B).322 12211sin )(cos )(d x d x d x b x a x x b x a x ++++++; (C).322 12211)sin cos )((d x d x d x b x a b x a x +++++; (D).322 111)sin )(cos (d x d x d x x b x a x +++++ 3、已知直线π 2212 2: -= += -z y x L 与平面4 2:=-+z y x ππ,则 （ ）
大一高等数学期末考试试卷及答案详解
大一高等数学期末考试试卷 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3分）定积分22 π π-?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241 (sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 20 1 lim sin x x x →= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15) lim .sin 3x x x x →+ 2. （6分）设2 ,1 y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +?
4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞ ? ?+ ??? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 22y x x π π??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴 旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--? ? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2 ;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式205lim 3x x x x →?= 5分 5 3 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分
高数下期中考试
高等数学（下册）期中考试汇编 (2013-5-5) 一、解答下列各题（70107=?'分） 1. 设xyz y x xy u e +- =，求(1,2,0)d z 2. 设曲线为32()(,,)r r t t t t ==，求它在对应于1=t 的点处的切线方程和法平面方程. 3. 设有球面14222=++z y x ，求它在)1,2,3(处的切平面方程和法线方程. 4. 设由方程09322 2 2 =--+++z xy z y x 可确定),(y x z z =，求y x z ???2在)1,2,1(-P 处 的值. 5. 设积分区域Ω由抛物面22y x z +=及平面0>=h z 所围成。求2d z v Ω ??? 6. 计算二重积分??+-=D y x I σd )1(22，其中D 是由222a y x =+和ax y x =+22及0=x 所围在第一象限的区域. 7. 计算二重积分? ???+=y y x y y x y x y x y I d e d d e d 1 2 12 1214 1. 8. 在圆锥面22y x h Rz +=与)0,0(>>=h R h z 所围的锥体内作一个底面平行于xoy 面的最大长方体，求此长方体的体积. 9. 在一个侧面为旋转抛物面224y x z +=的容器内装有)(cm 83π的水，现注入)(cm 1283π的水，问水面比原来升高多少 10. 求向量值函数f 的导数，其中[].)sin(,e ,cos T x xz y y x =f 二、设??? ? ??=+y x f z y x ,e ，其中具有二阶连续偏导数，求.2y x f ??? 三、讨论函数?? ? ??=+≠+++=0,00,1sin )(),(22222 22 2y x y x y x y x y x f 在)0,0(点是否连续，是否可微. 四、设Ω是由曲面222y x a z --=及)0(22>-+=a a y x z 围成的空间立体，求 Ω对oz 轴的转动惯量.z I 五、设)(t f 在),0[+∞上连续，且满足方程????? ? ?????? ??+++=Ω v y x f z t f d 211)(222，其中Ω是由不等式2224,0t y x h z ≤+≤≤所确定，求).(t f (2012-4-21) 一．填空题（每小题5分，共20分）
同济大学大一 高等数学期末试题 (精确答案)
学年第二学期期末考试试卷 课程名称：《高等数学》 试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟 适用层次： 适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不 得分则在小题 大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。 课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷） 一、单选题 （共15分，每小题3分） 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( ) A ．(,)f x y 在P 连续 B ．(,)f x y 在P 可微 C ． 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D ． 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）． ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面2 2 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则 (),,(=??? Ω dxdydz z y x f ）． 21 2 cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θθθθ? ? ? 21 2 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θθθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θπθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ?? ? 4． 4．若1 (1)n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）． A ． 条件收敛 B ． 绝对收敛 C ． 发散 D ． 敛散性不能确定 5．曲线2 2 2x y z z x y -+=?? =+?在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1） 二、填空题（共15分，每小题3分） 系(院)：——————专业：——————年级及班级：—————姓名：——————学号：————— ------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线--------------------------------
同济大学版高等数学期末考试试卷
同济大学版高等数学期 末考试试卷 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211 f dx x x ??' ????的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ??+ ??? （D ）1f C x ?? -+ ???
本科高等数学下册期中考试试卷
青理工高等数学下册期中测验 一、填空题(每小题3分,共15分) 1.设,23,2b a n b a m +=-=且,4),(,2||,1||^π ===b a b a 则._______||=? 2.设.________) ( ,2) ( ,3| | ,4| | ====b a b a 则 3.设由方程12+=+z ye xyz xz 确定函数),(y x z z =,则=-)1,2,0(|dz 4.曲线???=+-=++xoy z y x z y x 在1 12222222坐标面上的投影曲线是 5．1=xy xoy 面内的曲线y 绕轴旋转一周生成的旋转曲面方程是 二、.选择题(每小题4分,共24分) 6.已知直线π 22122:-=+= -z y x L 与平面4 2:=-+z y x ππ,则 ( ). (A).L 在π内; (B).L 与π不相交; (C).L 与π正交; (D).L 与π斜交. 7．函数),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数 ),(00y x f x '和),(00y x f y '存在,是),(y x f 在该点连续的( ). (A).充分条件而非必要条件; (B).必要条件而非充分条件; (C).充分必要条件; (D).既非充分条件又非充分条件. 8．函数)ln(2z xy xe u yz +=在点(1,2,1)M =处沿方向}2,1,2{ -=l =M |( ). (A).213 e +; (B).213e -; (C).213e -+; (D).213e --. 9．曲面8=xyz 上平行于平面042=++z y x 的切平面方程是( ). (A).1642=++z y x ; (B).1242=++z y x ; (C).842=++z y x ; (D).442=++z y x . 10．设),2,2(y x y x f z -+=且2 C f ∈，则=???y x z 2( ). (A).122211322f f f --; (B). 12221132f f f ++; (C). 12221152f f f ++; (D). 12221122f f f --. 三、计算 12、求函数(),arctan x f x y y =在点()0,1M 的梯度 11、设函数(),z z x y =由方程,0y z F x x ??= ??? 确定,其中F 为可微函数,且20F '≠,证明z y z y x z x =??+?? 13. 求二元函数()()22,2ln f x y x y y y =++的极值 14. 已知曲线22220:35 x y z C x y z ?+-=?++=?,求C 上距离xOy 最远的点和最近的点
(精选)大一高数期末考试试题
一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分） 1． 2 1 lim() x x x e x →-= .2． ()()1 2005 1 1x x x x e e dx --+-= ? .3．设函数()y y x =由方程 2 1 x y t e dt x +-=? 确定，则 x dy dx == .4. 设()x f 可导，且1 ()()x tf t dt f x =?，1)0(=f ， 则()=x f .5．微分方程044=+'+''y y y 的通解 为 . 二．选择题（共4小题，每小题4分，共计16分） 1．设常数0>k ，则函数 k e x x x f +- =ln )(在),0(∞+内零点的个数为（ ）. (A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分 方程43cos2y y x ''+=的特解形式为（ ）. （A ）cos2y A x *=; （B ）cos 2y Ax x * =; （C ）cos2sin 2y Ax x Bx x * =+; （D ） x A y 2sin *=.3．下列结论不一定成立的是（ ）. （A ）若[][]b a d c ,,?,则必有()()??≤b a d c dx x f dx x f ;（B ）若0)(≥x f 在[]b a ,上可积, 则()0b a f x dx ≥?;（C ）若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有 ()()?? +=T T a a dx x f dx x f 0 ;（D ）若可积函数()x f 为奇函数,则()0 x t f t dt ?也为奇函数.4. 设 ()x x e e x f 11 321++= , 则0=x 是)(x f 的（ ）. (A) 连续点; (B) 可去间断点; (C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三．计算题（共5小题，每小题6分，共计30分） 1． 计算定积分 2 30 x e dx - 2．2．计算不定积分dx x x x ? 5cos sin . 求摆线???-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 在 2π= t 处的切线的方程.
大一下学期高等数学期中考试试卷及答案
大一下学期高等数学期中考试试卷及答案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
大一第二学期高等数学期中考试试卷 一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中。 1、已知球面的一条直径的两个端点为()532，，-和()314-，，，则该球面的方程为______________________ 2、函数ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为 3、曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程为 4、2222222(,)(0,0)(1cos())sin lim ()e x y x y x y xy x y +→-+=+ 5、设二元函数y x xy z 3 2+=，则=???y x z 2_______________ 二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效。 1、旋转曲面1222=--z y x 是（ ） （A ）．xOz 坐标面上的双曲线绕Ox 轴旋转而成； （B ）．xOy 坐标面上的双曲线绕Oz 轴旋转而成； （C ）．xOy 坐标面上的椭圆绕Oz 轴旋转而成； （D ）．xOz 坐标面上的椭圆绕Ox 轴旋转而成． 2、微分方程23cos 2x x x y y +=+''的一个特解应具有形式（ ） 其中3212211,,,,,,d d d b a b a 都是待定常数. (A).212211sin )(cos )(x d x b x a x x b x a x ++++; (B).32212211sin )(cos )(d x d x d x b x a x x b x a x ++++++; (C).32212211)sin cos )((d x d x d x b x a b x a x +++++; (D).322111)sin )(cos (d x d x d x x b x a x +++++ 3、已知直线π 22122:-=+= -z y x L 与平面4 2:=-+z y x ππ,则 （ ） (A).L 在π内; (B).L 与π不相交; (C).L 与π正交; (D).L 与π斜交. 4、下列说法正确的是（ ） (A) 两向量a 与b 平行的充要条件是存在唯一的实数λ，使得b a λ=； (B) 二元函数()y x f z ,=的两个二阶偏导数22x z ??,22y z ??在区域D 内连续，则在该区域内两个二阶混合偏导必相等； (C) 二元函数()y x f z ,=的两个偏导数在点()00,y x 处连续是函数在该点可微的充分条 件；
大一高等数学期末考试试卷及答案详解
大一高等数学期末考试试卷 （一） 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 π π -?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 2 4 1(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 2 1lim sin x x x →= . 4. （3分） 3 2 23y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设1 y x = +求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +?
4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ? ≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt + =?? 所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞? ?+ ?? ? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x π π?? =- ≤≤ ?? ? 与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋 转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().2 2 b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''= ++ --? ? （二） 一、 填空题（每小题3分，共18分） 1．设函数()2 312 2 +--= x x x x f ，则1=x 是()x f 的第 类间断点. 2．函数()2 1ln x y +=，则= 'y . 3． =? ? ? ??+∞→x x x x 21lim . 4．曲线x y 1 = 在点?? ? ??2,21处的切线方程为 .
高等数学(上)期中考试试卷
(A ) 可去间断点 (B ) 跳跃间断点 (C ) 无穷间断点 (D ) 振荡间断点 装 订 线 内 不 要 答 题 自 觉 遵 守 考 试 规 则，诚 信 考 试，绝 不 作 弊
（3）设函数)(x f 二阶可导，且0)(>'x f ，0)(>''x f ，则当0>?x 时，有（ ） (A )0>>?dy y (B )0<?>y dy (D )0'x f ， 0)(<''x f ，则在),0(+∞内 （ ） (A ) )(x f 单调增加且其图象是凸的； (B ) )(x f 单调增加且其图象是凹的； (C ) )(x f 单调减少且其图象是凸的； (D ) )(x f 单调减少且其图象是凹的。 （6）设)(x f 在),0(δU 内具有连续的二阶导数，0)0(='f ，)0( 1)(lim 0<=-''→a a e x f x x 则 （ ） (A ) 0=x 是函数)(x f 的极小值点； (B ) 0=x 是函数)(x f 的极大值点； (C ) ))0(,0(f 是曲线)(x f y =的拐点； (D ) ))0(,0(f 不是曲线)(x f y =的拐点。 （7）曲线1 )3)(2(2)(2-+-=x x x x f （ ） (A ) 没有渐近线； (B ) 仅有水平渐近线； (C ) 仅有铅直渐近线； (D ) 既有水平渐近线又有铅直渐近线。 三、计算下列极限 (每题5分，共20分) （1）)| |sin 12(lim 4 10x x e e x x x +++→ （2）)1ln()cos 1(1 cos 11lim 230x x x x x x -++-+→ （3）)tan 11(lim 20x x x x -→
高等数学期末考试题与答案(大一考试)
（2010至2011学年第一学期） 课程名称： 高等数学(上)(A 卷) 考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 1、 满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否 则视为废卷。 3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。 4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷 分别一同交回，否则不给分。 试 题 一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分） 1. =--→1 ) 1sin(lim 21x x x ( ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D) 2 1 2.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e x x )(? --为( ) (A) c e F x +)(； (B) c e F x +--)(； (C) c e F x +-)(； (D ) c x e F x +-) ( 3.下列广义积分中 ( )是收敛的. (A) ? +∞ ∞ -xdx sin ； (B)dx x ? -1 11； (C) dx x x ?+∞∞-+2 1； (D)?∞-0dx e x 。 4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( ) (A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定
可导； (C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则? x a dt t f )(在[]b a ,上一定可导。 5. 设函数=)(x f n n x x 211lim ++∞→ ，则下列结论正确的为( ) (A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x 二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分） 1. 极限=-+→x x x 1 1lim 20 _____. 2. 曲线???=+=3 2 1t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程x xe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22 )2(2 1+- ，则该方程的通解为 . 4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22 ) (lim 2=-→x x f x ，则_____)2(='f 5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。 6．曲线23 3 2 x y =上相应于x 从3到8的一段弧长为 . 三、设0→x 时，)(22 c bx ax e x ++-是比2 x 高阶的无穷小，求常数c b a ,,的值（6分）
安庆师范学院高数下期中考试
安庆师范学院 2012 - 2013学年第 二 学期 《高等数学》课程期中考试卷 120 分钟 一、选择题（每小题3分，共计15分） 1.过点()10,3-，且与平面012573=-+-z y x 平行的平面方程是（ ） A ．04573=-+-z y x B ．01573=-+-z y x C ．0423=-+-z y x D ．0123=-+-z y x 2．关于二元函数),(y x f 的下面4条性质： ①),(y x f 在),(00y x 处连续；②),(y x f 在),(00y x 处两偏导数连续； ③),(y x f 在),(00y x 处可微；④),(y x f 在),(00y x 处两偏导数存在. 则下面关系正确的是（） A ．②?③?① B ．③?②?① C ．③?④?① D ．③?①?④ 3. 平面环形区域D 的边界曲线L 中，为正向边界的是（ ） A B C D 4、设D 是xoy 面上以)1,1(),1,1(),1,1(---为顶点的三角形区域，1D 是D 中在第一象限的部分，则积分??+D d y x y x σ)sin cos (33＝（ ） A.σd y x D ??1sin cos 23； B.??132D yd x σ； C.??+1 )sin cos (433D d y x y x σ； D.0 5、设∑为曲面)0(222>=+R R y x 上的10≤≤z 部分，则??∑ ++dS y x e y x )sin(2222＝（ ）。 A .0； B.2sin Re R R π； C.R π4； D.2sin Re 2R R π 二、填空题：（每小题2分，共计20分） 学院专业班级姓名学
大学高数试卷及标准答案
. 农林大学 2016 - 2017 学年第 一 学期期中考试 课程名称： 高等数学Ｉ 课程类别： 必修 考试式： 闭卷 注意事项：1、本试卷满分100分。 2、考试时间 120分钟。 一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的选项填在题后的括号。每小题3分，共21分） 1．下列各式正确的是： ( ) A. sin lim 1x x x →+∞= B. 0sin lim 0x x x →= C. 1lim 1x x e x →+∞??+=- ??? D. 1lim 1x x e x →+∞ ?? += ??? 2. 当0x +→ 等价的无穷小量是： ( ) A. 1 B. ln C. 1- D. 1- 3. 设()f x 在x a =的某邻域有定义，则它在该点处可导的一个充分条件是：( ) A.1lim ()()h h f a f a h →+∞?? +-???? 存在 B. 0(2)()lim h f a h f a h h →+-+存在 C. 0 ()()lim 2h f a h f a h h →+--存在 D. 0()() lim h f a f a h h →--存在 4. 函数33y x x =-在区间[0,1]上的最小值是： ( ) 学院： 专业班级： 姓名： 学号： 装 订 线 内 不 要 答 题
A. 0 B. 没有 C. 2 D. 29 - 5. 函数21y x =-在区间[1,1]-上应用罗尔定理时，所得到的中值ξ= ( ) A. 0 B. 1 C. 1- D. 2 6．设函数2 ()(1)0 ax e x f x b x x ?≤=?->?处处可导，那么： ( ) A ．1a b == B ．2,1a b =-=- C ．0,1a b == D ．1,0a b == 7. 设x a =为函数()y f x =的极值点，则下列论述正确的是 ( ) A ．'()0f a = B ．()0f a = C ．''()0f a = D ．以上都不对 二、填空题（每小题3分，共21分） 1. 极限232)sin (1 cos lim x x x x x +-+∞→= . 2 ．极限2 lim n n →∞ ?? + + +=. 3.设函数f (x )=2310 22 2 x x x x a x ?+-≠? -??=? 在点x =2处连续，则a = . 4. 函数()sin x f x x =的间断点为 . 5. 函数22ln y x x =-的单调减区间为 . 6. 设函数ln tan y =，则dy = . 7．椭圆曲线cos sin x a t y b t =??=? 在4t π =相应的点处的切线程为 . 三、求下列极限（每小题6分, 共18分） 1. 求极限 1 1sin 1lim 2 --+→x x e x x
大一下学期高等数学期中考试试卷及答案定稿版
大一下学期高等数学期中考试试卷及答案精编 W O R D版 IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】
大一第二学期高等数学期中考试试卷 一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中。 1、已知球面的一条直径的两个端点为()532，，-和()314-，，，则该球面的方程为______________________ 2、函数ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为 3、曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程为 4、2222222(,)(0,0)(1cos())sin lim ()e x y x y x y xy x y +→-+=+ 5、设二元函数y x xy z 3 2+=，则=???y x z 2_______________ 二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效。 1、旋转曲面1222=--z y x 是（ ） （A ）．xOz 坐标面上的双曲线绕Ox 轴旋转而成； （B ）．xOy 坐标面上的双曲线绕Oz 轴旋转而成； （C ）．xOy 坐标面上的椭圆绕Oz 轴旋转而成； （D ）．xOz 坐标面上的椭圆绕Ox 轴旋转而成．
2、微分方程23cos 2x x x y y +=+''的一个特解应具有形式（ ） 其中3212211,,,,,,d d d b a b a 都是待定常数. (A).212211sin )(cos )(x d x b x a x x b x a x ++++; (B).32212211sin )(cos )(d x d x d x b x a x x b x a x ++++++; (C).32212211)sin cos )((d x d x d x b x a b x a x +++++; (D).322111)sin )(cos (d x d x d x x b x a x +++++ 3、已知直线π 22122 :-=+=-z y x L 与平面4 2:=-+z y x ππ,则 （ ） (A).L 在π内; (B).L 与π不相交; (C).L 与π正交; (D).L 与π斜交. 4、下列说法正确的是（ ） (A) 两向量a 与b 平行的充要条件是存在唯一的实数λ，使得b a λ=； (B) 二元函数()y x f z ,=的两个二阶偏导数22x z ??,22y z ??在区域D 内连续，则在该区域内两个二阶混合偏导必相等； (C) 二元函数()y x f z ,=的两个偏导数在点()00,y x 处连续是函数在该点可微的充分条 件；
2017级第二学期《高等数学》期中考试试卷(A类)
2017级第二学期《高等数学》期中考试试卷 (A 类) 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 已知函数sin(23)z x y =+，则734(0,0) z x y ?=?? （ ） （A ）32-； （B ）43； （C ）3423-?； （D ）3423?。 2. 设函数(,)f x y 在点(0,0)的某邻域内有定义，且(0,0)3x f =，(0,0)1y f =，则 （ ） （A ）(0,0)d 3d 4d z x y =+ ； （B ）曲面(,)z f x y =在点(0,0,(0,0))f 的法向量为(3,1,1)； （C ）曲线(,)0z f x y y =??=? 在点(0,0,(0,0))f 的切向量为(3,0,1)； （D ）曲线(,)0z f x y y =??=? 在点(0,0,(0,0))f 的切向量为(1,0,3)。 3. 曲线3cos x t =，4sin y t =，z t =在0t =处的法平面方程是 （ ） （A ）40y z -=； （B ）40y z +=； （C ）3041x y z -==； （D ）3041 x y z -==-。 4. 设常数0a >，平面闭区域{(,)|,}D x y x y a a x a =≤≤-≤≤， 1{(,)|,0}D x y x y a x a =≤≤≤≤，则(cos sin )d D xy x y σ+=?? （ ） （A ）12cos sin d D x y σ??； （B ）1 2d D xy σ??； （C ）12(cos sin )d D xy x y σ+??； （D ）1 4(cos sin )d D xy x y σ+??。 5. 已知函数(,)f x y 在点(0,0)O 的某个邻域(,)U O δ内有定义。对于下列两个命题 （I ）若(,)f x y 在点O 连续，且2200 (,)(0,0)lim 01sin cos x y f x y f A x x y y →→-=>+--，则(,)f x y 在点O 取到极大值； （II ）若在(,)U O δ中(,)xy f x y 和(,)yx f x y 均存在，且极限00lim xy x y f A →→=和00lim yx x y f B →→=也均存在，则A B =； 下列选项正确的是 （ ） （A ）仅（I ）正确； （B ）仅（II ）正确； （C ）（I ）和（II ）都正确； （D ）（I ）和（II ）都错误。 二、填空题（每小题3分，共15分） 6. 设函数()z f u =可微，且'(1)2f =，则22(32)z f x y =-在点(1,1)处的全微分 (1,1)d |z =_______________。 7. 已知l 是单位向量，且函数222 (,,)161218 x y z f x y z =+++在点(1,2,3)P 处的方向导数沿l 方向取到最大值，则l =________________。
高等数学期中考试试卷答案(黄皮书1)
高等数学期中考试试卷 一、选择题（每题2分，共20分） 1、函数x e x f cos )(=不是（ B ） A. 偶函数 B. 单调函数 C. 有界函数 D. 周期函数 2、设{}n a 是一个单调数列，则（ D ） A.{}n a 极限存在 B. {}n a 有界 C. {}n a 无界 D. }11 {2 +n a 收敛 3、当x 满足下列哪个条件时，x ln 是无穷小（ C ） A. 0→x B.+→0x C. 1→x D. +∞→x 4、当0→x 时, 122-x e 是关于x 的 ( A ) A. 高阶无穷小量 B.等价无穷小量 C. 同阶但不等价无穷小量 D. 低阶无穷小量 5、下列函数在0=x 处均不连续，其中点0=x 是)(x f 的可去间断点的是( A ) A. x x x f 1 sin sin )(?= B.x x f 1 1)(+= C. x e x f 1)(= D. ????? ≥<=0 ,0,)(1 x e x e x f x x 6、若?????=≠=1,211 )()(x x x g x f ，，请选择函数)(x g ， 使得)(x f 在1=x 处连续 （ D ） A.x x g =)( B. x x g 1 )(= C.x x g arcsin )(= D. 41 )(+=x x g 7、设?????>≤=1 ,1,32)(23 x x x x x f ，则)(x f 在1=x 处（ C ） A. 左右导数都存在 B. 左导数不存在，但右导数存在 C. 左导数存在，但右导数不存在 D. 左右导数都不存在
8、下列曲线中有拐点）（0,0的是 ( B ) A.2x y = B.3x y = C. 4x y = D. 32x y = 9、设()x f 的原函数是x 1，则()='x f （ B ） A. 21x - B. 32x C. x ln D. x 1 10、函数x x e e x f -+=)(在区间（-1，1）内 ( D ) A.单调增加 B.单调减少 C. 不增不减 D. 有增有减 二、填空题（每题2分，共14分） 1、x x x 1cos lim 0→= 。(0) 2、若)(lim 1x f x →存在，且)(lim 43)(12x f x x x f x →++=，则)(lim 1 x f x →= 。（-4/3） 3、设dx e x x F x ?=2)(，则)(x F ' = 。2x xe +dx e x ?2 4、设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使 =-)()(a f b f e e 。 )()()(ξξf e a b f '- 5、函数x x y cos 2+=在区间]2, 0[π上的最大值为 。63π+ 6、设x xe x f =)(，则)()(x f n 在=x 处取得极小值。 )1(+-n 7、?=+dx x 15___________。 1 5ln 5 x C ++ 三、 求极限（每题6分，共12分） 1、11lim 0-+→x x x 解：()()() ()211lim 111111lim 1 1lim 000=++=++-+++=-+→→→x x x x x x x x x x 2、1lim ()x x x x e →+∞ + 解：11ln()lim lim lim 11lim ()x x x x x x e e x e x x x x e e x x e e e e e e →+∞→+∞→+∞++++→+∞+===== 四、求导数或微分（每题6分，共24分） 1、设3cos log 3333++++=x x x y x ，求y '。
期末高等数学(上)试题及答案
第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分) 求极限 lim x x x x x x →-+-+-2332121629124 2、(本小题5分) .d )1(22x x x ?+求 3、(本小题5分) 求极限lim arctan arcsin x x x →∞?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) ．求dt t dx d x ?+2 021 6、(本小题5分) ??.d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) ．求?ππ 2 1 21cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),22 9、(本小题5分) ． 求dx x x ?+3 01 10、(本小题5分) 求函数 的单调区间y x x =+-422 11、(本小题5分) ．求? π +2 02sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) ．，求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分) .d cos sin 12cos x x x x ? +求 二、解答下列各题 (本大题共2小题，总计14分)