MD VRP

Inhaltsverzeichnis

0 Einführung 3

1 Problemdarstellung 4

2 Die Klassischen Problemen der Tourenplanung 5

2.1 Traveling Salesman Problem(TSP) 5

2.2 Vehicle Routing Problem (VRP) 7

3 Varianten des Tourenplanungsproblem 8

4 Verfahrung von Tourenplanungsproblemen 13

4.1 Beschreibung von exakten Verfahren 14

4.1.1 Branch-and-Bound-Verfahren 14

4.2 Beschreibung von heuristischen Verfahren 15

4.2.1 Sweep-Algorithmus 16

4.2.2 Saving-Verfahren 18

4.2.3 Heuristische Verfahren für MDVRP 21

4.2.4 Neure Ans?tze für MDVRP22

5 Zusammenfassung 23

6 Literaurverzeichnis 24

0. Einführung

Zuerst erl?utere ich Begriffe1, die erkl?ren, was Tour und Route bedeuten. Also die Tour ist die Menge aller Kunden, die auf einer einzigen am Depot beginnenden und endenden Fahrt bedient werden. Die Route ist die Reihenfolge, in der die Kunden einer Tour zu bedienen sind.

Was ist das Tourenplanungsproblem? Welche Anwendungen finden sich in der Praxis? Das Tourenplanungsproblem beschreibt, wie die geschlossene Route kostengünstig geplant wird. Tourenplanungsprobleme bilden eine wichtige Klasse von …NP-schweren“（Non-deterministic Polynomial）Problemen2, die in der Praxis auch ihre wichtige Anwendung finden. NP-harten Probleme sind nicht gel?ste Probleme. Bei der Klasse der NP-harten Probleme wird gesch?tzt, dass für kein Problem dieser Klasse ein exaktes L?sungsverfahren existiert. Somit geh?rt die Tourenplanung zum Bereich der Operation Research.

Das starke Interesse3an diesem Problem liegt am gro?en wirtschaftlichen Potenzial der Tourenplanung. OR ist ein interdisziplin?rer Wissenschaftszweig und dient der Entscheidungsvorbereitung.

In dieser Arbeit werden zun?chst die verschiedenen Varianten von Tourenplanungsproblemen dargestellt und systematisiert. Anschlie?end werden Modelle und Methoden der Tourenplanung dargestellt und mit exakten und heuristischen Verfahren beschrieben.

1 Vgl.［WD1990.S132］

2 Vgl.［WD 1989.S32］

3 Vgl.［KM2006.S1］

1. Problemdarstellung

Unter Tourenplanung versteht man das Problem4, eine m?glichst gute Zuordnung von Fahrzeugen zu Auftr?gen und für jedes Fahrzeug eine optimale Reihenfolge der zu bedienenden Auftragsstandorte zu finden. Die L?sung eines Tourenplanungsproblems besteht darin, welche Auftr?ge sollen zu einer Tour zusammengefasst werden, um eine m?glichst kostengünstige Route zu finden, welche die einzelnen Punkte einer Tour effizient verbindet. Ziel einer Tourenplanung ist z.B. die Minimierung der Anzahl der eingesetzten Fahrzeuge, der zurückgelegten Strecke, der Einsatzzeit. In der Realit?t wird diese Aufgabenstellung durch viele Restriktionen erweitert. Beispielsweise betrachtet man mehrere Lager, einen heterogenen Fuhrpark oder Vorrangbeziehungen zwischen Auftr?gen. Eine andere m?gliche Zusatzaufgabe ist die Betrachtung von Zeitfenstern, in deren Grenzen ein Fahrzeug beim Kunden eintreffen muss. Von dynamischer Tourenplanung spricht man, wenn sich die Auftragslage noch w?hrend der Planung ver?ndert, z.B. durch neu hinzukommende oder stornierte Auftr?ge. Danzig und Ramser5waren 1956 die ersten, die sich diesem Problem stellten. Sie haben die Verteilung von Treibstoff betrachtet und eine erste mathematische Formulierung, sowie einen algorithmischen L?sungsansatz entwickelt. Seitdem wurden mehren Modelle und Algorithmen für die optimale L?sung von Tourenplanungsproblemen vorgeführt. Vor allem die schnelle Entwicklung von Computer hat dazu beigetragen, dass für die L?sung logistischer Tourenplanungen verschiedene Software eingesetzt wird. Werden diese Modelle und Methoden der Tourenplanungsprobleme durch Anwendung von L?sungstechniken des Operations Research gel?st, so sind Kosteneinsparungen im Bereich von 5% bis 20% der gesamten Transportkosten m?glich. Dadurch kommt der logistischen Tourenplanung als Bestandteil der Verteilungslogistik eine entscheidende Bedeutung zu, mit der man die gesamte logistische Wertsch?pfungskette gestalten kann. Das Interesse an L?sungsverfahren für die logistische Tourenplanung ist aber nicht nur motiviert durch praktische Relevanz, sondern auch durch die Anforderungen, welche die Tourenplanung aus mathematischer Sicht stellt. Obwohl eine Route des Tourenplanungsproblems optimal mit dem exakten Verfahren gel?st werden kann, ist aber die Wirkung nicht immer effizient. Aus diesem Grund werden zur L?sung gr??erer Probleme meistens Heuristiken eingesetzt.

U. Bankhofer, M. Wilhelm, G. Williner

4 Vgl.［UMG2006.s3］

5 Vgl.［SS2004.s1-s2］

2. Die Klassischen Probleme der Tourenplanung

2.1 Traveling Salesman Problem(TSP)

Bevor das Standardproblem der Tourenplanung beschrieben wird, muss ich das Traveling Salesman Problem (TSP)6 kurz erl?utern. TSP ist ein wichtiges Problem der Routenbildung und bedeutet Rundreiseproblem in der deutschen Sprache. Für eine Rundreise (Fahrzeug) kann eine optimale Besuchsreihenfolge über eine gegebene Menge an Orten bestimmt werden, wobei jeder Ort genau einmal besucht wird. Der Rundreisende muss wieder an seinen Ausgangsort zurückkehren und dabei eine m?glichst kurze Strecke zurücklegen. Ich werde TSP in der Form der Graphen und der mathematische Formulierung beschreiben. Ein Graph G=(V,E) hat zwei Teile, ein Teil ist die Knotenmenge V=｛1,2,………n｝, der zweite Teil ist die Kantenmenge E=｛1,2,……….n｝,noch Verbindung von Knoten i∈V zum Knoten j∈V. Die folgende Abbildung(1) zeigt, dass ein Fahrzeug am Knoten 0 beginnt und endet auch beim Knoten 0, jeder Knoten wird nur einmal besucht.

Abbildung (1) :TSP

Diese Abbildung(1) zeigt eine m?gliche Problemsl?sung von TSP im Graph, es gibt auch folgende mathematische Formulierung für die L?sung von TSP.

Ausgangsangaben7: D=(d ij) n,n

(Matrix der Entfernung oder Kosten für Verbindung von je zwei Knoten)

6. Vgl:［WD1990。S56-s57］

7. Vgl:［WD1990。S58］

Zielfunktion :

Restriktionen :

Zus?tzliche

Bedingung

S ∈｛2……n-1｝

Auf dieser grundlegenden Formulierung des TSP existieren mehre Erweiterungen, um die L?sung komplexerer Probleme erm?glichen zu k?nnen, dies hei?t Multiple Traveling Salesman Problem (m-TSP)8

. Beim m-TSP werden nicht nur eine, sondern mehre

kostenminimale TSP-Touren gefunden,

Abbildung(2): m-TSP

,1ij i j s x S ∈≤-∑

Die Abbildung(2) zeigt uns, dass das zentrale Lager, Knoten｛01,02…………0m｝,

hierfür m mal vervielf?ltigt wird, beim m-TSP sind Kapazit?ten nicht beschrankt,

deshalb bekommen die Verbindungskanten zwischen den einzelnen Lagern (0i,0j) den Wert unendlich

(i≠j, 1≤i, j≥m).

2.2 : Vehicle Routing Problem (VRP)

VRP9 ist das Standardproblem der Tourenplanung und l?sst sich auch auf einem Graphen G = (V, E) mit der Knotenmenge V = {0,1,…,n} und der Kantenmenge E = {(i, j) | i, j ∈ N, i < j} definieren, also wie TSP. Knoten 0 bedeutet das Depot, in dem sich eine Menge von m gleichen Fahrzeugen mit beschr?nkter Kapazit?t befindet. Die anderen Knoten bezeichnen die zu bedienenden Kunden. Jedem Kunden ist eine nicht negative Bedarfs- oder Angebotsmenge und eine Bedienzeit zugeordnet. Mit E wird eine symmetrische Kostenmatrix zwischen den Kunden untereinander, sowie den Kunden und dem Depot, in Verbindung gebracht.

Das VRP besteht darin10, eine Menge von optimalen Auslieferungs- oder Sammelrouten zu bilden, so dass die gesamten anfallenden Fahrtkosten minimiert werden, wobei folgendes gilt: ·jede Route beginnt und endet im Depot,

·jeder Kunde wird genau einmal von genau einem Fahrzeug angefahren,

·die Gesamtmenge einer Route übersteigt nicht die Fahrzeugkapazit?t,

·die Gesamtdauer (Fahrtzeiten und Bedienzeiten) einer Route übersteigt nicht die maximale Gesamteinsatzzeit eines Fahrzeuges.

Abbildung(3): VRP

9. Vgl:［KM2006.s12］

10。Vgl:［UMG2006.s4］

Die Anzahl der einzusetzenden Fahrzeuge ist dabei entweder gegeben oder wird als praktische Variable behandelt. Weiter wird angenommen, dass alle Kunden entweder eine Menge anbieten (Sammelproblem) oder verlangen (Auslieferungsproblem), aber nicht beides. Das VRP beinhaltet zwei grundlegende miteinander abh?ngige Teilprobleme11: ·Zuordnung der Kunden zu Fahrzeugen (Zuordnungsproblem),

·Bestimmung der Reihenfolge in der die Kunden eines Fahrzeuges bedient werden (Reihenfolgeproblem).

3.Varianten des Tourenplanungsproblem

Zeitfenster

Eine bedeutende Erweiterung des Tourenplanungsproblems ist die Integration zeitlicher Beziehungen. Im Tourenplanungsproblem mit Zeitfenstern (Vehicle Routing Problem with Time Windows, VRPTW12) kann ein Kunde w?hrend eines gegebenen Zeitintervalls, z.B. w?hrend der ?ffnungszeiten oder den Stunden vor der ?ffnung des Ladens, bedient werden. Beispiele bei der Belieferung von L?den, der Postzustellung, der industriellen Abfallbeseitigung, der Planung von Busrouten und es gibt auch eine paaren Situationen, in denen ein Kunde den Zugang oder die Zahlung, bei Erhalt eines Produkts, prüft oder noch eine Leistung vorbereiten muss. Die Zeitfenster k?nnen hierbei …streng“ oder …unstreng“ sein13. Im Fall strenger Zeitfenster muss ein Fahrzeug, das zu früh ankommt, bis zum Beginn des Kunden-Zeitfensters warten. Eine Ankunft ist nach dem sp?tm?glichsten Beginnzeitpunkt von Kunden unzul?ssig. Im Gegensatz dazu k?nnen im Fall unstrenger Zeitfenster die Kunden-Zeitfensterkosten verletzt werden. (siehe Abbildung(4))

Abbildung(4)

11. Vgl:［UMG2006.S 5］

12. Vgl:［WD1997.S212］

13. Vgl:［KM2006.S15-S16］

Die praktische Situation verlangt oftmals neben einer t?glichen Planung auch eine mehrt?gige Planung, wie z.B. w?chentliche Planung. Beispiele sind die Auslieferung von ?l, Benzin, Lebensmittel, industriellen Gasen, Rohstoff und die Müllbeseitigung. Das entsprechende Tourenplanungsproblem wird als periodisches Tourenplanungsproblem 14(Periodic Vehicle Routing Problem, PVRP) bezeichnet. Hierbei gilt es, Fahrtrouten für eine gegebene mehrt?gige Planung unter Einbeziehung gegebener Restriktionen zu bestimmen.

Multi-Depot

Beim Mehrdepot-Tourenplanungsproblem (Multi-Depot Vehicle Routing Problem, MDVRP15) k?nnen die Kunden von mehreren Depots bedient werden. Das VRP wird dabei erweitert, also die Zuordnung der Kunden zu den Depots. Es handelt sich um ein mehrstufiges Tourenplanungsproblem, die Zuordnung der Kunden zum Depot, die Zuordnung der Kunden zum Fahrzeug und die Reihenfolgeplanung für die Kunden eines Fahrzeuges zu beachten. Wenn nur eine eindeutige Zuordnung der Kunden zum Depot für alle Kunden vorliegt, kann getrennt für jedes Depot ein VRP gel?st werden. Auch bei diesem Problemtyp gibt es mehrere Varianten zu bedenken16. Wenn die Kapazit?t die reale Situation berücksichtigen soll, dann für die einzelnen Depots sind Kapazit?tsrestriktionen zu beachten. Die Anzahl an Fahrzeugen je Depot unterliegt meist Beschr?nkungen. Wenn es eine Obergrenze an verfügbaren Fahrzeugen gibt, also Fahrzeugbeschr?nkungen existieren, so kann das Finden einer zul?ssigen L?sung sich schwierig gestalten. Wenn keine Beschr?nkung vorliegt, so existiert eine unwichtige zul?ssige L?sung, in welcher jeder Kunde von einem anderen Fahrzeug beliefert wird. Kann eine Route auch an einem anderen Depot als dem Ausgangsdepot enden, so spricht man von einem offenen MDVRP (OMDVRP).17Ein behandeltes Standard-MDVRP kann skizziert werden (siehe Abbildung(5)), hierbei sind d(d > 1) Depots vorhanden und jedem Depot fix m homogene Fahrzeuge zugeordnet. Jede Fahrzeugroute muss im gleichen Depot starten und enden und darf keine anderen Depots beinhalten.

14.Vgl:［SS2004.S14］

15.Vgl:［WD1997.S255］

16.Vgl:［SS2004.S33-S34］

17.Vgl:［SS2004.S14-S15］

Abbildung(5): MDVRP

Ein Mehrfacheinsatz eines Fahrzeuges ist unzul?ssig18. Die Depots haben keine Kapazit?tsbeschr?nkung und jeder Kunde kann allen Depots zugeordnet werden. Es gilt einen Tourenplan zu entwickeln, so dass jeder Kunde genau einem Depot und genau einem Fahrzeug zugeordnet ist, die Fahrzeugkapazit?t und Gesamteinsatzdauer eines Fahrzeuges nicht überschritten wird und die Gesamtentfernung über alle Routen minimiert wird. Fuhrparkproblem

In den meisten theoretischen Modellen wird eine homogene Fahrzeugflotte angenommen, dies ist in der Praxis aber selten gegeben. Weil es verschiedene Unterschiede gibt, z.B. in den Ausstattungen, Ladekapazit?ten sowie den Fahr- und Bedienzeiten der verschiedenen Fahrzeuge. Am h?ufigsten wird eine Unterscheidung nach der Kapazit?t der Fahrzeuge gemacht. Dies wird beim Tourenplanungsproblem mit heterogenen Fahrzeugen (Vehicle Routing Problem with Heterogeneous Vehicles, VRPHE19) und Fleet Size and Mix Vehicle Routing Problem (FSMVRP) berücksichtigt. Beim VRPHE ist die Anzahl an verfügbaren Fahrzeugen je Typ begrenzt und es steht die beste Nutzung eines vorhandenen Fuhrparks im Vordergrund. Im Vergleich zu VRPHE ist die Zielsetzung von FSMVRP20, einen Fuhrpark aus einer Menge gegebener Fahrzeugtypen optimal zu organisieren. Wegen der Problemstellung werden die verschiedenen Kostenstrukturen betrachtet. Das VRPHE besitzt heterogene variable Kosten und keine Fixkosten je Fahrzeugtyp, Das FSMVRP hat heterogenen Fixkosten und ist ohne Differenzierung der variablen Kosten.

18.Vgl:［SS2004.S33-S34］

19.Vgl:［WD1997.S256］

Kundenspezifische Fahrzeugwahl

Das SDVRP21(Site Dependent Vehicle Routing Problem) betrachtet einen heterogenen Fuhrpark mit ortsabh?ngigen Tourenplanungsproblem. Jedoch bei dieser Problemstellung k?nnen die Kunden nur von einer Teilmenge der gegebenen Fahrzeugtypen angefahren werden. Probleme dieser Art treten beispielsweise auf beim Einsatz von Fahrzeugen mit speziellen Be-und Entladenvorrichtungen, wie z.B. Pumpen für Flüssigkeiten.

MDVRP und SDVRP lassen sich ineinander überführen und geben einen einheitlichen L?sungsansatz zu diesen Problemen.

Mehrfacheinsatz von Fahrzeugen

Wenn das Fahrzeuge in der Tourenplanung mehrfach eingesetzt (Multi Trip Vehicle Routing Problem, MTVRP22) wird, kann ein Fahrzeug mehrere Touren ausgehend vom Depot fahren, wobei eine Gesamteinsatzdauer des Fahrzeuges nicht überschritten werden darf. Ein Mehrfacheinsatz von Fahrzeugen erlaubt eine verbesserte zeitliche Fahrzeugauslastung und ist eine Einsparung von Transportmitteln. Au?er reinen Fahrt- und Bedienzeiten gibt es noch Standzeiten im Depot zur Vor- und Nachbereitung der Fahrzeuge für jede weitere Tour. Im Unterschied zum Vehicle Scheduling Problem betrachtet das MTVRP eine simultane Planung und Zusammenstellung der Touren, bei Vehicle Scheduling Problemen 23sind die Touren fix gegeben und es stehen die Reihenfolgeplanung und Zuordnung der Touren zu den Fahrzeugen im Vordergrund. Das MTVRP findet h?ufig Anwendung bei depotnahen Anfahrzeilen, z.B. bei der Auslieferung von Baustoffen an nahe gelegenen Baustellen oder dem Einsammeln von Rohmilch von nahe am Verarbeitungswerk gelegenen Milcherzeugern.

Pickup and Delivery Probleme

Pickup and Delivery Problemen (PDP)24stellt einen Spezialfall des VRP dar. Eine Transportnachfrage wird beim Pickup and Delivery Problem für Beladung (Pickup) und Entladung (Delivery) eines Gutes formuliert. Jede Ladung muss dabei von einem Fahrzeug direkt vom Ursprungsort zum Zielort transportiert werden. Beim Tourenplanungsproblem mit Backhauls25 wird die Kundenmenge in zwei Teilmengen unterteilt. Die erste Menge (linehaul customers) muss mit einem Produkt beliefert werden, die zweite Menge (backhaul customers) stellt ein Produkt zur Abholung bereit.

21.Vgl:［SS2004.S16］

22.Vgl:［SS2004.S16-S17］

23.Vgl:［WD1997.S257］

24.Vgl:［KM2006.S18-S19］

Aus praktischen Gesichtspunkten wird zumeist gefordert, dass alle Auslieferungen auf einer Route zeitlich stets vor Beginn der ersten Abholung abgeschlossen sein müssen.

Lagerhaltung

Unter der Gesch?ftspraxis von industriellen Unternehmen gibt es eine Situation26, dass ein Lieferant das Lager seines Kunden beherrscht, den Lagerbestand überwacht und den Zeitpunkt und die Menge der Lagerauffüllung bestimmt. Insbesondere gilt es zu beachten, dass hier nicht die Kunden, sondern die mit der Lagerhaltung beauftragte und ausliefernde Firma die Entscheidungen über Zeit und Menge der Belieferung trifft, womit der Mindestlagerbestand eines Kunden stets sichergestellt wird.

Verbindliche Lagersorten- und Tourenplanungsproblem

Das verbindliche Lagersorten- und Tourenplanungsproblem27ist eine Zusammenziehung zweier schwer l?sbarer Probleme, n?mlich dem Problem der Auswahl von Lagersorten aus einer Menge von m?glichen Orten und dem Mehrlager-Tourenplanungsproblem, falls die Lagersorte bekannt sind. Beide Probleme sind voneinander beeinflusst, da die Wahl der Lagersorte die Tourenplanung ma?geblich beeinflusst und umgekehrt. Probleme dieser Art treten z.B. bei der Bestimmung neuer Auslieferungszentren im Konsumgüterbereich oder bei der Planung der Paketzustellung auf.

Zusammenfassung von Varianten

Die Tourenplanungsprobleme haben viele verschiedene Varianten28. Um diese zu systematisieren, werden verschiedene Klassifikationsschemata vorgeschlagen z.B. die Gr??e der Fahrzeugflotte, die Fahrzeugtypen, die Lagerorte der Fahrzeuge, die Art und der Ort der Nachfrage, das zugrunde liegende Netzwerk oder Zielsetzung der Planung. Deshalb wird auch die Verfeinerung der Systematik und die Forschung auf diesem Gebiet weiter fortgesetzt.

26.Vgl:［SS2004.S18］

27.Vgl:［SS2004.S19］

4. Verfahrung von Tourenplanungsproblemen

Für die L?sung von Tourenplanungsproblemen unterteilt man die Verfahren in zwei Kategorien29. Die erste Gruppe beschreibt die exakten Verfahren, die eine optimale L?sung für eine vergleichsweise kleine Problemgr??e und ein einfacheres Problem berechnen k?nnen, aber dafür sehr viel Zeit für die Berechnung verbrauchen und nur schwer an neue Nebenbedingungen angepasst werden k?nnen. Der zweiten Gruppe geh?ren die zahlreichen heuristischen Verfahren an, aber diese Verfahren k?nnen in der Regel nicht optimale L?sungen bringen. Heuristische Verfahren k?nnen in der Regel komplexe Probleme berechnen, dabei ist die Problemgr??e sehr gro?aber die L?sungszeit sehr kurz. Diese Verfahren k?nnen einfach an neue Nebenbedingungen angepasst werden.

4.1 Beschreibung von exakten Verfahren

Exakte Verfahren k?nnen eine optimale L?sung für eine vergleichsweise kleine Problemgr??e und einfacheres Problem berechnen, dies bedeutet, dass die exakten Verfahren auf bestimmte Bereiche beschr?nkt sind, also nur für kleine und einfache Probleme l?sen k?nnen. Aber exakte Verfahren sind auf jeden Fall ein wichtiges Instrument für die L?sung der Tourenplanungsprobleme. Um eine exakte L?sung zu erhalten, gibt es zwei M?glichkeiten30, die Vollst?ndige Enumeration und implizite Enumeration. Vollst?ndige Enumeration bedeutet, dass alle m?glichen Reihenfolgen der Probleml?sung untersucht und bewertet werden und die implizite Enumeration dagegen, dass nur eine eingeschr?nkte Anzahl der L?sungsreihenfolgen zu Untersuchung vorgelegt werden. Die Tabelle(1) zeigt uns verschiedenen exakten Verfahren. Weil nur wenig Literatur existiert, werde ich nur das Branch-and-Bound-Verfahren kurz beschreiben.

Tabell(1): überblich über die exakten L?sungsverfahren

29.Vgl:［WD1990.S136-S138］

4.1.1 Branch-and-Bound-Verfahren

Das Grundprinzip von BnB ist der sukzessive Aufbau eines Suchbaumes, in dem die zu untersuchenden Knoten (Teilmenge) unabh?ngig voreinander sind. Für diese Probleml?sung entstehen zwei Aufgaben31, zum einen werden die Knoten entfernt, welche auf Grund von hohen Kosten nicht als L?sung des Problems in Frage kommen, zum anderen werden die kostengünstigsten Knoten gefunden. Um dies zu entscheiden wird mit Hilfe einer Schrankenfunktion eine untere Schranke für jede Knoten bestimmt, welche die günstigste Vervollst?ndigung der partiellen L?sung des Problems angibt. Falls demnach ein Teilbaum noch nicht komplett existiert, kann so festgestellt werden, wie gut die L?sung des Teiles des Suchbaumes maximal werden kann. Alle aktiven Knoten32, bei welchen die untere Kostenschranke oberhalb des aktuellen oberen Schrankenwertes liegt, k?nnen aus dem Suchbaum entfernt und der Zweig abgeschnitten wird, weil sich keine bessere L?sung finden l?sst. Sind die Kosten eines aktiven Knotens unterhalb des Schrankenwertes, entsteht eine neue obere Schranke. Der Wert der oberen Schranke reduziert sich solange, bis der kostengünstigste Wert erreicht ist. wenn keine Knoten mehr aktiv sind, nur noch aus denjenigen Knoten, welche den optimalen L?sungsweg und deren Reihenfolge beschreiben. Nun werde ich in einem Beispiel 33dieses Verfahren beschreiben.

Eine Tour besteht aus 5 Knoten, ein Fahrzeug beginnt und endet am selben Knoten und jeder Knoten wird nur einmal besucht. Die Kostenmatrix stellt sich wie folgt dar:

Die Kosten von der oberen Diagonale werden in Reihen von klein bis gro? geordnet, also d13, d15, d24, d25, d45 d34 d35 und so weiter. Dann werden die Zahlen der fünf Kostenminimierungen ausgew?hlt, d13, d15, d24, d25, d45. Durch die Addition ist die Summe 14. Aber der Knoten 5 entsteht 3 Mal, deshalb d15 wird von d35 ersetzt, die Summe ist 21, also d13 + d35 + d24 + d25 + d45 = 21.

31.Vgl:［KM2006.S25-S26］

32.Vgl:［KM2006.S26-S27］

Abbildung(6) : Branch-and-Bound-Verfahren

Die Abbildung(6) zeigt uns weitere Schritte. Die Summe von Matrix (2)(3) ist gr??er als 17 und wird entfernt, also die Matrix(5) ist kostenoptimiert, die Optimierungsreihenfolge ist 1→3→4→2→5→1.

4.2 Beschreibung von heuristischen Verfahren

Heuristische Verfahren unterscheiden sich von den exakten Verfahren im wesentlichen dadurch, dass sie nicht garantieren k?nnen, eine optimale L?sung des Problems zu finden. Heuristiken beinhalten bestimmte Verfahren zur L?sungsauffindung bzw. -verbesserung, und werden als sinnvoll angesehen34. Wie die Klassifikation der exakten Verfahren stellt auch die Klassifikation der heuristischen Verfahren eine uneindeutig l?sbare Aufgabe dar, Die Klassifikation der Heuristiken wird in der nachfolgenden Tabelle(2) dargestellt.

Die heuristischen Verfahren lassen sich zun?chst in drei Gruppen einteilen35: Sukzessivverfahren und Simultanverfahren und noch neure Ans?tze. Die Simultanverfahren umfassen Er?ffnungsverfahren und Verbesserungsverfahren, welche zu den klassischen Verfahren geh?ren. Die Er?ffnungsverfahren werden in einstufige und zweistufige Verfahren untergliedert, der Sweep-Algorithmus geh?rt zu den zweistufigen Verfahren und wird im Folgenden konkret erl?utert.

34.Vgl:［WD1997.S21］

Metaheuristiken z?hlen im Wesentlichen zu den neuren Ans?tzen. Diese Ans?tze wurden vor allem in den letzten Jahren intensive betrachtet, w?hrend die klassischen Verfahren im Wesentlichen gut entwickelt sind und die auch meistens heute in der Praxis verwendeten und wohl auch die Bekanntesten sind.

Tabelle(2): Heuristische Verfahren

4.2.1 Sweep-Algorithmus

Das Route First –Verfahren ist ein wichtiges Verfahren, dass zu den Sukzessivverfahren geh?rt. Nach dem folgenden Prinzip werden die Problem gel?st36, zuerst wird eine Kundenreihenfolge festgelegt: z.B. durch eine Rundfahrt über alle Kunden. Die Tour in der Reihenfolge der Kunden wird aufgebaut, Wenn die Restriktionen verletzt werden, so beginnt eine neue Tour, anschlie?end kann eine kürzere Route für jede Tour bestimmt werden, und die einzelnen Tourl?ngen werden addiert. Zuletzt wird der kürzeste Tourenplan ausgew?hlt. Der Sweep-Algorithmus ist ein klassisches Verfahren der Route First –Verfahrens für die Probleml?sung der Tourenplanung.

Im Folgenden wird der Sweep-Algorithmus in der Form eines Graphen und einer Matrix und noch durch ein bisschen Rechnung beschrieben. Durch ein Beispiel kann der Sweep-Algorithmus wahrscheinlich besser erkl?rt werden.

Der Sweep-Algorithmus hat folgendes Arbeitsprinzip37:

Das Lager liegt im Koordinatenursprung, wobei die Kapazit?t und die Zeit beschr?nkt sind. Zuerst wird ein Startkunde gew?hlt, anschlie?end sind die Kunden als Gruppe nach wachsenden Polarkoordinatendifferenzen unter Beachtung der Beschr?nkung geordnet,

36.Vgl:［WD1990.S138］

zuletzt wird das Verfahren mit einem anderen Startkunden wiederholt (Abbildung(7)).

Abbildung(7): Sweep-Algorithmus

Z.B: Es gibt 10 Kunden, jeder Kunde hat mit 1 ME Bedarf, Zeitrestriktion ist 160.Dann Tabelle(3) zeigt Entfernungsmatrix. Die 10 Kunden werden ungleichm??ig auf die Koordinaten verteilt, das Arbeitsprinzip ist D als Zentrallager, 1 ist Startkunde. Nach der wachsenden Polarkoordinatendifferenz werden die Kunden als Gruppe(Tour) geordnet, wie bei Abbildung(8). Die Abbildung(8) zeigt: es gibt 4 Touren, die Zeitbeschr?nkung wird streng eingehalten, insgesamt betr?gt die Gesamtstrecke 526.

Tabelle(3):Entfernungsmatrix

Abbildung(8)

Aber zeigt die Abbildung(8) die optimale L?sung? Eine erneute Berechnung zeigt die Abbildung(9), wobei diesmal der Startkunde die 2 ist, die Zeitbeschr?nkung wird wieder eingehalten und damit ein neuer Tourplan 419, damit ist die Abbildung(9) am besten38.

Abbildung(9)

4.2.2 Savings-verfahren

Das Savings-Verfahren geh?rt zu den Verbesserungsverfahren, dass von Clarke/Wright vorgeschlagen wurde. Also jeder Kunde wird mit einem fiktiven Fahrzeug in einer Pendeltour beliefert39.

38.Vgl:［WD1990.S141-S142］

Bei jedem Verfahrensschritt werden zwei Pendeltouren zu einer Tour verkn?pft, bis eine Tourenerweiterung an den Kapazit?tsgrenzen des Fahrzeugs scheitert. Der Begriff …Savings“ S ij40wird wie folgt definiert, siehe Abbildung(10).

Abbildung(10)

S ij ＝d0i ＋d0j－d ij d0i ,

d0j ＝r?umlicher(zeitlicher) Abstand von Lager zum Kunden.

d ij ＝r?umlicher(zeitlicher) Abstand zwischen Kund

e i und Kunde j.

S ij- Werte hei?t Ersparnisse, da sie die r?umlichen und zeitlichen Verkürzungen darstellen, falls eine unmittelbare Verknüpfung zwischen Kunde i und Kunde j in einer gemeinsam Tour Zustande kommt. Im Prinzip werden zun?chst alle n(n－1)/2 Savings des Problems berechnet (n＝Kundenzahl) und in absteigender Reihfolge zugeordnet. Die Tour beginnt mit dem gr??ten Saving. Eine Verknüpfung von zwei Kunden zu einem Saving und damit eine Verknüpfung der Touren, denen diese Kunden angeh?ren, wird durchgeführt, dabei gibt es zwei Bedingungen: Die beiden zugeordneten Kunden sind Randkunden einer Tour und die entstehende Tour verletzt keine Kapazit?tsbeschr?nkungen. Bei der Verletzung einer der beiden Bedingungen kann ein Saving nicht realisiert werden41.

Im Weitern wird das Savings –Verfahren mit einem Beispiel kurz erl?utert.

Dieses Beispiel ist wie oben, wobei die Entfernungsmatrix wieder angewendet wird, z.B: für Kunde 1und Kunde2 wird Saving mit einer Gleichung ermittelt,

S1,2 ＝d0,1 ＋d0,2－d 1,2＝41＋22－32＝31

40.Vgl:［WD1990.S144］

Mit der Gleichung werden die Savings aller Kunden berechnet, siehe Tabelle (4).

Tabelle(4): Entfernungsmatrix

In Tabelle(4) sind die Saving-Werte zwischen den Kunden ganz unterschiedlich. Dabei werden die Touren nach der absteigenden Reihfolge gebildet, wie in Abbildung (11). Aus Abbildung(11) kann man ersehen, dass der Saving-Wert zwischen Kunde 6 und Kunde 7 am gr??ten ist, damit entsteht eine Verknüpfung zwischen Kunde 6 und Kunde 7, weitere Kundenverbindungen sind 1-10, 4-6, 9-10. Aber wegen Zeitbeschr?nkung f?llt die Verknüpfung zwischen Kunde 3 und Kunde 4 weg. Die weiteren Verknüpfungen, 4-7, 1-9 und 5-6, werden übergegangen, weil der Zyklus zu kurz ist, und die Randpunkte nicht umfasst. Die Kombinationen 4-5 und 2-3 k?nnen auch zusammengefügt werden. Kunde 8 ist ein besonderer Fall und seine Pendeltour bleibt42.

Abbildung(11):

Bei den insgesamt 4 Touren betr?448 und ist somit schlechter als die Gesamtstrecke im Sweep-Verfahren mit 419

4.2.3 Heuristische Verfahren für MDVRP

Die heuristischen L?sungsans?tze zum MDVRP lassen sich in einstufige und zweistufige Verfahren sowie Verbesserungsverfahren einteilen. Die einstufigen bzw. simultanen Verfahren basieren auf dem Savings-Gedanken von Clarke und Wright. Es wird davon ausgegangen, dass zun?chst jeder Kunde einzeln vom n?chstgelegenen Lager aus beliefert wird. Anschlie?end werden jeweils zwei Routen, soweit dies zul?ssig ist, miteinander verbunden und die neue Route einem Lager zugeordnet, solange dabei eine Verbesserung (Savings) des Tourenplans erzielt wird. Die Reihenfolge der Routen-Verschmelzung orientiert sich an der H?he des Savings, wobei auch die Entfernung zu den Lagern berücksichtigt werden kann. Bei den zweistufigen Verfahren wird in einer ersten Stufe eine Zuordnung der Kunden zu dem jeweiligen Lager vorgenommen und in einer zweiten Stufe die entsprechenden Ein-Lager-Probleme gel?st43. Ausgehend von einem existierenden Tourenplan k?nnen durch Austausch von Kunden zwischen den einzelnen Touren des Selben oder eines anderen Lagers Verbesserungen entwickelt werden.

Erstes neueres heuristisches Verfahren ordnet zun?chst die Kunden dem n?chstgelegenen Lager zu und l?sen danach für jedes Lager ein VRP mittels des modifizierten Savings-Algorithmus. Diese L?sung wird anschlie?end weiter verbessert, wobei jeweils ein Kunde in eine andere Route des gleichen oder eines anderen Lager verschoben wird. Das Verbesserungsverfahren l?sst im Verlauf der Suche auch Verschlechterungen bis zu einer gewissen Toleranzschwelle zu, wodurch das überwinden lokaler Optima m?glich ist44. Das Verfahren beinhaltet weiterhin intensivierende und routenverbessernde Schritte.

Zweites neueres heuristisches Verfahren stellt eine dreistufige Heuristik zur L?sung des Standard-MDVRP und des MDVRP bei heterogenem Fuhrpark dar. Jede Stufe übernimmt dabei die beste L?sung der Vorstufe als Ausgangsl?sung45

.

43.Vgl:［SS2004.S38-S39］

44.Vgl:［SS2004.S39］