福建省春季高考高职单招数学模拟试题(三)及答案

福建省春季高考高职单招数学模拟试题（三）

班级： 姓名： 座号：

一. 填空题（本大题满分36分）

1. 函数2log (2)y x =+的定义域是

2. 方程28x =的解是

3. 抛物线2

8y x =的准线方程是 4. 函数2sin y x =的最小正周期是 5. 已知向量(1 )a k = ，，(9 6)b k =- ，

。若//a b ，则实数 k = 6. 函数4sin 3cos y x x =+的最大值是

7. 复数23i +（i 是虚数单位）的模是 8. 在ABC ?中，角 A B C 、、所对边长分别为 a b c 、、，若5 8 60a b B === ，

，，则b= 9.

在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与1B C 所成角的大小为

10. 从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为 。 11. 若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n 项和n =S 12. 36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为2

2

36=23?，所以36的所有正约数之和为

22222222(133)(22323)(22323)(122)133)91++++?+?++?+?=++++=（

参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为

二．选择题（本大题满分36分） 13.展开式为ad-bc 的行列式是（ ）

（A ）

a b

d c (B)

a

c

b d

(C)

a d b

c

(D)

b a d

c

14.设-1

()f x

为函数()f x = ）

(A) 1

(2)2f

-= (B) 1(2)4f -=

(C) 1

(4)2f

-= (D) 1(4)4f -=

15.直线2310x y -+=的一个方向向量是（ ） (A) (2 3)-， (B) (2 3)， (C) (3 2)-， (D) (3 2)，

16函数12

()f x x -=的大致图像是（ ）

17.如果0a b <<，那么下列不等式成立的是（ ） (A)

11a b < (B) 2ab b < (C) 2ab a -<- (D) 11a b

-<- 18.若复数12 z z 、

满足21z z =，则12 z z 、在复数平面上对应的点12 Z Z 、（ ） (A) 关于x 轴对称 (B)关于y 轴对称 (C) 关于原点对称 (D)关于直线y x =对称

19. 10

(1)x +的二项展开式中的一项是（ ）

（A ）45x （B ）2

90x （C ） 3

120x （D ）4

252x 20.既是偶函数又在区间(0 )π，上单调递减的函数是（ ）

（A ）sin y x = （B ）cos y x = （C ）sin 2y x = （D ）cos 2y x = 21．若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比为（ ） （A ）1:2 （B ）1:4 （C ）1:8 （D ）1:16 22.设全集U R =，下列集合运算结果为R 的是（ ）

D 1 C 1 B 1

A 1

D C

A B

（A ）N C Z U （B ）N C Z U （C ）}{φU C （D ）{0}U C

23.已知 a b c R ∈、、，

“2

40b ac -<”是“函数2

()f x ax bx c =++的图像恒在x 轴上方”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件

24.已知 A B 、为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N .若2MN AN NB λ=?

，其中λ为常数，则动点M 的轨迹不可能是（ ）

（A ）圆 （B ） 椭圆 （C ） 抛物线 （D ）双曲线

三、解答题（本大题满分78分）本大题共有7题，解答下列各题必须写出必要的步骤。 25.（本题满分7分）如图，在正三棱锥111ABC A B C -中，16AA =，异面直线1BC 与1AA 所成角的大

小为6

π，求该三棱柱的体积。 [解]

26（本题满分7分）

如图，某校有一块形如直角三角形ABC 的空地，其中B ∠为直角，AB 长40米，BC 长50米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B 为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积。 [解]

27．（本题满分8分）

已知数列{}n a 的前n 项和为2

n S n n =-+，数列{}n b 满足2n a n b =，求12lim n n b b b →∞

+++ （）。

[解]

B 1

A 1 C 1 A

C

B

A B C

28.（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分9分。

已知椭圆C 的两个焦点分别为1(1 0)F -，、2(1 0)F ，，短轴的两个端点分别为12 B B 、

（1）若112F B B ?为等边三角形，求椭圆C 的方程;

（2）若椭圆C 的短轴长为2，过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于 P Q 、两点，且11F P F Q ⊥

，求直线l 的方

程。

[解]（1）

（2）

29.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分。

已知抛物线2 4C y x =：

的焦点为F 。 （1）点 A P 、满足2AP FA =-

。当点A 在抛物线C 上运动时，求动点P 的轨迹方程；

（2）在x 轴上是否存在点Q ，使得点Q 关于直线2y x =的对称点在抛物线C 上？如果存在，求所有满足条件的点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由。

[解]（1）

（2）

30.（本题满分13分）本题共有2个小题，第一小题满分4分，第二小题满分9分。 在平面直角坐标系xOy 中，点A 在y 轴正半轴上，点n P 在x 轴上，其横坐标为n x ，且{}n x 是首项为1、

公比为2的等比数列，记1n n n P AP θ+∠=，n N *

∈。

（1）若31

arctan

3

θ=，求点A 的坐标； （2）若点A

的坐标为(0，求n θ的最大值及相应n 的值。

[解]（1）

（2）

31．（本题满分18分）已知真命题：“函数()y f x =的图像关于点( )P a b 、成中心对称图形”的充要条件为“函数()y f x a b =+- 是奇函数”。

（1）将函数32

()3g x x x =-的图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图像对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数()g x 图像对称中心的坐标；

（2）求函数22()log 4x

h x x

=- 图像对称中心的坐标；

（3）已知命题：“函数 ()y f x =的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数a 和b ，使得函数()y f x a b =+- 是偶函数”。判断该命题的真假。如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，

请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）。

[解]（1）

（2）

（3）

福建省春季高考高职单招数学模拟试题（三）参考答案

一．（第1至12题）每一题正确的给3分，否则一律得0分。

1．(2,)-+∞ 2 . 3 3. 2x =- 4. 2π 5. 3

4

- 6. 5 7.

8. 7 9. 3

π

10. 45 11. 25766n n - 12. 4836

三．（第25至31题） 25.[解]因为1CC 1AA .

所以1BC C ∠为异面直线1BC 与1AA .所成的角，即1BC C ∠=6

π。 在Rt 1BC C ?中，11tan 6BC CC BC C =?∠==, 从而2ABC S BC ?=

=因此该三棱柱的体积为16ABC V S AA ?=?==.

26.[解]如图，设矩形为EBFP , FP 长为x 米，其中040x <<， 健身房占地面积为y 平方米。因为CFP ?∽CBA ?，

以

FP CF BA CB =，504050x BF -=

,求得5504

BF x =-， 从而255(50)5044y BF FP x x x x =?=-=-+25(20)5005004

x =--+≤， 当且仅当20x =时，等号成立。 答：该健身房的最大占地面积为500平方米。

27.[解]当2n ≥时，2

2

1(1)(1)22n n n a s s n n n n n -=-=-++---=-+。 且110a s ==，所以n a =22n -+。

因为22

112

()4n n n b -+-==，所以数列{}n b 是首项为1、公比为1

4

的无穷等比数列。 故12lim n n b b b →∞+++ （）14

13

14

==-。

28[解]（1）设椭圆C 的方程为22

221(0)x y a b a b

+=>>。

根据题意知22

21

a b a b =??-=?， 解得243a =，2

13b = 故椭圆C 的方程为22

14133

x y +=。

（2）容易求得椭圆C 的方程为2

212

x y +=。 当直线l 的斜率不存在时，其方程为1x =，不符合题意；

A

B C

F P E

当直线的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-。

由22

(1)12

y k x x y =-???+=?? 得2222(21)42(1)0k x k x k +-+-=。 设1122( ) ( )P x y Q x y ，

，，，则 22121211112222

42(1) (1 ) (1 )2121k k x x x x F P x y FQ x y k k -+===+=+++

，，，，， 因为11F P F Q ⊥ ，所以110F P FQ ?=

,即 21212121212(1)(1)()1(1)(1)x x y y x x x x k x x +++=++++--

2

2

2

1212(1)(1)()1k x x k x x k =+--+++

22

71

1k -==+， 解得2

17

k =，即k =

。

故直线l 的方程为10x +-=或10x -=。

29.（1）设动点P 的坐标为( )x y ，，点A 的坐标为( )A A x y ，

,则( )A A AP x x y y =--

，, 因为F 的坐标为(1 0)，，所以(1 )A A FA x y =-

，

， 由2AP FA =-

得( )2(1 )A A A A x x y y x y --=--，

，。 即2(1)2A A A A x x x y y y -=--??-=-? 解得2A A

x x

y y =-??=-?

代入24y x =，得到动点P 的轨迹方程为2

84y x =-。 （2）设点Q 的坐标为( 0)t ，.点Q 关于直线2y x =的对称点为( )Q x y '，

， 则12

2y

x t y x t ?=-??-??=+?? 解得3545x t y t

?=-????=??

若Q '在C 上，将Q '的坐标代入2

4y x =，得2

4150t t +=，即0t =或15

4

t =-。 所以存在满足题意的点Q ，其坐标为(0 0)，和15( 0)4

-，。 30．[解]（1）设(0 )A t ，，根据题意，1

2

n n x -=。由31arctan

3θ=，知31tan 3

θ=， 而3

443343

223443()4tan tan()321x x t x x t t t OAP OAP x x t x x t t t

θ--=∠-∠===+?++?

， 所以241323t t =+，解得4t =或8t =。

故点A 的坐标为(0 4)，

或(0 8)，。

（2）由题意，点n P 的坐标为1

(2 0)n -，，1

tan n n OAP -∠=

1

11212tan tan()1n n n n n n n OAP OAP θ--+-=∠-∠===。

n +≥

tan n θ≤=，

n

=，即4n =时等号成立。 易知0 tan 2n y x πθ<<

=，在(0 )2

π

，上为增函数， 因此，当4n =时，n θ

最大，其最大值为arctan 4。

31.（1）平移后图像对应的函数解析式为32

(1)3(1)2y x x =+-++，

整理得3

3y x x =-，

由于函数33y x x =-是奇函数，

由题设真命题知，函数()g x 图像对称中心的坐标是(1 2)-，。

（2）设2

2()log 4x

h x x

=-的对称中心为( )P a b ，，由题设知函数()h x a b +-是奇函数。 设()(),f x h x a b =+-则22()()log 4()x a f x b x a +=--+，即222()log 4x a

f x b a x

+=---。

由不等式2204x a

a x

+>--的解集关于原点对称，得2a =。

此时22(2)

()log (2 2)2x f x b x x

+=-∈--，，。

任取(2,2)x ∈-，由()()0f x f x -+=，得1b =，

所以函数22()log 4x

h x x

=-图像对称中心的坐标是(2 1)，。

（3）此命题是假命题。

举反例说明：函数()f x x =的图像关于直线y x =-成轴对称图像，但是对任意实数a 和b ，函数()y f x a b =+-，即y x a b =+-总不是偶函数。 修改后的真命题：

“函数()y f x =的图像关于直线x a =成轴对称图像”的充要条件是“函数()y f x a =+是偶函数”。