广州省华附、省实、广雅三校一模后联合适应性考试(理数)(含答案)word版

2017届华附、省实、广雅三校 广州一模后联合适应性考试

理科数学

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{1,2,3,4},{1,2},{2,4},()U U A B C A B ===?=则 （ ）

A ．}2{

B ．}3{

DC ．}4,2,1{

D.}4,1{

2．已知函数()12f x x =-，若3(log 0.8)a f =，1

3

1[()]2

b f =，12(2)

c f -=，则（ ）

A ．a b c <<

B ．b c a <<

C ．c a b <<

D ．a c b <<

3.下列命题不正确．．．

的是 A ．如果一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的任意直线，则两平面垂直； B ．如果一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面，则两平面平行； C ．如果两条不同的直线在一平面内的射影互相垂直，则这两条直线垂直；

D ．如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行

x

1)

<的图象的大致形状是 （ ）

5. 设A 1、A 2为椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左右顶点，若在椭圆上存在异于A 1、A 2的

点P ，使得02=?PA ，其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ） A 、)21,0( B 、 )22,0( C 、)1,21( D 、)1,2

2(

6在直三棱柱111A B C ABC -中，

2

BAC π

∠=

，11AB AC AA =

==. 已知Ｇ与Ｅ分别为

1

1A B 和1CC 的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点）. 若

GD EF ⊥，则线段DF 的长度的取值范围为

A. 1???

B.1, 25??

???? C. 1,?? D.

7. 袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为

A. 0.0324

B.0.0434

C.0.0528

D.0.0562

8.任意a 、R b ∈，定义运算?????>-≤?=*.0 , ,0

, ab b a ab b a b a ，则x

e x x

f *=)(的

A.最小值为e -

B.最小值为e 1-

C.最大值为e

1

- D.最大值为e

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分。本大题分为必做题和

选做题两部分．

（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答。

9. 若框图（图1）所给程序运行的结果2010

2009>s ，那么 判断框中可以填入的关于k 的判断条件是_ ____．

10. 已知定义域为

R 的函数()f x 满足2

()(2)242f x f x x x ++=-+，②(1)(1)f x f x +--

4(2)x =-，若1

(1),,()2

f t f t --成等差数列，则t 的值为 ．

11.若对一切θ∈R ，复数(cos )(2sin )i z a a θθ=++-的模不超过2，则实数a 的取值范围为 .

12.设O 点在ABC ?内部，且有230OA OB OC ++=u u r u u u r u u u r r

，则ABC ?的面积与AOC ?的面积

的比为 .

13.记集合}6,5,4,3,2,1,0{=T ，?

??

??

?=∈+++=4,3,2,1,77774433221i T a a a a a M i ，将M 中的元素按从大到小顺序排列，则第2005个数是 .

（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计前一题的得分 14．（几何证明选讲选做题）如图，半径为2的⊙O 中，90AOB ∠=?，D 为OB 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E ，则线段DE 的长为_______.

15．（坐标系与参数方程选做题）曲线C 的极坐标方程2cos ρθ=，直角坐标系中的点M 的坐标为（0，2），P 为曲线C 上任意一点，则MP 的最小值是 .

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和

演算步骤.

16.（本小题12分）

已知()2

3

12sin 2cos 3cos sin 322+

???

??-+-=πωωωωx x x x x f （其中0>ω）的最小正周期为π.

(1) 求()x f 的单调递增区间;

(2) 在ABC ?中,c b a ,,分别是角C B A ,,的对边,已知(),1,2,1===A f b a 求角C .

17.（本小题满分12分）

在甲、乙等7个选手参加的一次演讲比赛中，采用抽签的方式随机确定每个选手的演出顺序（序号为1,2,……7），求：

（1）甲、乙两个选手的演出序号至少有一个为奇数的概率； （2）甲、乙两选手之间的演讲选手个数ξ的分布列与期望.

18.（本小题14分）

如图2,在四面体ABOC 中,,120,,0=∠⊥⊥AOB OB OC OA OC 且.1===OC OB OA

(1)设P 为AC 的中点,证明:在AB 上存在一点Q ,使OA PQ ⊥,并计算AQ

AB

的值; (2)求二面角B AC O --的平面角的余弦值.

19.（本小题14分）

在平面直角坐标系xoy 中，给定三点4(0,),(1,0),(1,0)3

A B C -，

点P 到直线BC 的距离是该点到直线AB ，AC 距离的等比中项。 （Ⅰ）求点P 的轨迹方程；

（Ⅱ）若直线L 经过ABC ?的内心（设为D ），且与P 点的轨迹恰好有3个公共点，求L 的斜率k 的取值范围。

20.（本小题14分）

已知,αβ是方程2

4410()x tx t R --=∈的两个不等实根，函数22()1

x t

f x x -=

+的定义域为[],αβ。

（Ⅰ）求()max ()min ()g t f x f x =-； （Ⅱ）证明：对于(0,

)(1,2,3)2

i u i π

∈=，若123sin sin sin 1,u u u ++=

123111(tan )(tan )(tan )g u g u g u ++<则

。

21.（本小题14分）

（I ）已知数列{}n a 满足111,2n n a a a n +==+ ()1,2,3n =L

，{}n b 满足11b =，

21n n n b b b n +=+ ()1,2,3n =L

，求证：1112n k =≤<。

． A

P

B

C

O

图2

（II) 已知数列{}n a 满足：a 1=1且)2(21322

1≥=

---n a a n n n 。设m ∈N +，m ≥n ≥2，证明

（a n +n 21）m

1

（m-n+1）≤m

m 12-

2017届华附、省实、广雅三校 广州一模后联合适应性考试

数学试题（理科）参考答案和评分标准

一、选择题：（每题5分，共40分）

二、填空题（每题5分，共30分）

9．2010

5?-??? 12．3 13．396

2401

141

三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

16.解:(1)())3sin 1cos 21cos 222122f x x x x πωωω??=

-++--+ ???

162cos 2cos 232sin 23+??? ?

?

---=πωωωx x x 132sin 2+??? ?

?

-=πωx …………2分

1,22,0,===

∴>=ωπω

π

ωπT T ()132sin 2+??? ?

?

-=∴πx x f …………4分

故递增区间为Z k k k ∈??

?

??

?+

-

125,12

πππ

π …………6分 (2)()1132sin 2=+??

?

?

?

-

=πA A f

032sin =??? ?

?

-∴πA

523

3

3

A π

π

π

-

<-

<

Q ππ

π

=-

=-

∴32A 或032A

即6A π=或3

2A π=

又,,B A b a <∴<故3

2A π

=

舍去，∴6A π=. …………9分

由

B b A a sin sin =得,2

2

sin =B 4π=∴B 或43π=B , 若4

π

=

B ,则12

7π=

C . 若4

3π

=B ,则12π=C . …………12分

注意：没有说明 "523

3

3

A πππ

-<-

<

Q "扣两分

17.解：(1)设A 表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则A 表示 “甲、乙的演出序号均为偶数”.由等可能性事件的概率计算公式得

()()

7

6

112723=-=-=C C A P A P .…………4分

(2)ξ的可能取值为5,4,3,2,1,0,…………5分

(),726027===C P ξ (),2155127===C P ξ (),214

422

7

===C P ξ (),2133327==

=C P ξ (),2122427===C P ξ ().21

1

152

7===C P ξ…………8分 从而ξ的分布列为

所以,3

521152124213321422151720=?+?+?+?+?+?

=ξE . …………12分

18.

解法一:（1）在平面OAB 内作ON OA ⊥交AB 于N ，连接NC .…………1分 又OA OC ⊥， OA ONC ∴⊥平面

N C O N C ? 平面， O A

N C ∴⊥。

取Q 为AN 的中点，则NC PQ // PQ OA ∴⊥ …………4分 在等腰AOB ?中，120AOB ∠=

， 30OAB OBA ∴∠=∠=

在AON Rt ?中， 30OAN ∠=

， 1

2ON AN AQ ∴=

=

…………4分 在ONB ?中， 1209030NOB NBO ∠=-==∠

， .NB ON AQ ∴== …………5分 3AB

AQ ∴

=

…………8分 （2）连接 PNPO ，

由OC OA ⊥，OC OB ⊥知：OC OAB ⊥平面. 又OAB ON 平面?， OC ON ∴⊥ 又由ON OA ⊥，ON AOC ⊥平面. 又 AO C AC 平面?,AC ON ⊥∴ 又 P 是AC 的中点,OC OA =

∴O O N O P O P AC =?⊥,,

PO N AC 平面⊥∴,PO N PN 平面?,

PN AC ⊥∴

OPN ∴∠为二面角O AC B --的平面角 …………10分

在等腰COA Rt ?中，1OC OA ==

，OP ∴=

在AON Rt ?中，

tan 303

ON OA ==

， ∴在PON Rt ?中

, 6

PN ==

. …………12分

cos PO OPN PN ∴∠===

…………14分 解法二：在平面AOB 中,过点O ,作OA ON ⊥交AB 于N ,取O 为坐标原点，分别以

OA ，ON ,OC 所在的直线为x 轴，y 轴,z 轴，建立空

间直角坐标系O xyz - （如图所示） …………1分

则

1(1,0,0),(0,0,1),(,

22

A C

B - P 为A

C 中点，11

(,0,)

2

2P ∴ …………2分

设 ((0,1)),AQ AB λλ=∈

3(,22

AB =- .

131(,).222

PQ OQ OP λ∴=-=--

,PQ OA ⊥ 0OA PQ =?∴ 即13

022

λ-=，13λ=. …………6分

所以存在点1(,

26

Q 使得 PQ OA ⊥ 且3AB AQ =. …………8分 （2）记平面ABC 的法向量为123(,,)n n n n =,则由n CA ⊥ ，n AB ⊥ ，且(1,0,1)CA =-

，

33(1,0,0)(,(1,,0),

2222

OQ OA AQ λλλ∴=+=+-=- N

得132303022

n n n n -=???-+

=??， 故可取

n =（） …………10分

又平面OAC 的法向量为 (0,1,0)e =. …………11分

cos ,n e ∴≥

=

…………13分 二面角O AC B --的平面角是锐角，记为θ

，则cos θ=

…………14分

19.解：（Ⅰ）直线AB 、AC 、BC 的方程依次为44

(1),(1),033

y x y x y =

+=--=。点(,)P x y 到AB 、AC 、BC 的距离依次为12311

|434|,|434|,||55

d x y d x y d y =-+=+-=。依设，

2

222123,|16(34)|25d d d x y y =--=得，即

22222216(34)250,16(34)250x y y x y y --+=---=或，化简得点P 的轨迹方程为

圆S ：22222320171280x y y y y ++-=-+-=2与双曲线T:8x

…………5分 （Ⅱ）由前知，点P 的轨迹包含两部分 圆S ：2

2

22320x y y ++-= ① 与双曲线T ：2

171280y y -+-=2

8x

②

ABC ?的内心D 也是适合题设条件的点，由123d d d ==，解得1

(0,)2

D ，且知它在圆S 上。

直线L 经过D ，且与点P 的轨迹有3个公共点，所以，L 的斜率存在，设L 的方程为

12

y kx =+

③

（i ）当k=0时，L 与圆S 相切，有唯一的公共点D ；此时，直线1

2

y =

平行于x 轴，表明L 与双曲线有不同于D 的两个公共点，所以L 恰好与点P 的轨迹有3个公共点。

…………8分 （ii ）当0k ≠时，L 与圆S 有两个不同的交点。这时，L 与点P 的轨迹恰有3个公共点只能有两种情况：

情况1：直线L 经过点B 或点C ，此时L 的斜率1

2

k =±

，直线L 的方程为(21)x y =±-。

代入方程②得(34)0y y -=，解得54(,)33E 54或F(-,)33

。表明直线BD 与曲线T 有2个交点B 、E ；直线CD 与曲线T 有2个交点C 、F 。 故当1

2

k =±时，L 恰好与点P 的轨迹有3个公共点。 …………11分

情况2：直线L 不经过点B 和C （即1

2

k ≠±），因为L 与S 有两个不同的交点，所以L

与双曲线T 有且只有一个公共点。即方程组2281712801

2

x y y y kx ?-+-=?

?=+??有且只有一组实数解，消去y 并化简得2

2

25

(817)504

k x kx ---

= 该方程有唯一实数解的充要条件是2

8170k -= ④

或2

2

25

(5)4(817)

04

k k -+-= ⑤

解方程④得k =

k = 综合得直线L 的斜率k

的取值范围1{0,,}2172

±±±。 ………14分

20.解:（Ⅰ）设22

121122,4410,4410,x x x tx x tx αβ≤<≤--≤--≤则

22

121212121

4()4()20,2()02

x x t x x x x t x x ∴+-+-≤∴-+-

< 则[]211212212122222121()()2222()()11(1)(1)

x x t x x x x x t x t f x f x x x x x -+-+---=

-=++++ 又12121212211

()22()20()()02

t x x x x t x x x x f x f x +-+>+-+>∴-> 故()f x 在区间[],αβ上是增函数。

………3分

1

,,4

t αβαβ+==-

[]

2222()()22()max ()min ()()()1

t g t f x f x f f βααβαββααβαβ-+-+∴=-=-=

+++

22

2255)225162516

t t t t ?+?+??==++ ………6分

（Ⅱ）证：

22

2

8216

(3)24cos cos cos cos (tan )16169cos 9cos i

i i i

i i

i

u u u u g u u u ++==+

+(1,2,3)i i

i ≥

== ………9分

3

33

2

2111

1(169cos )3939)sin )(tan )i i i i i i u u g u ===∴≤+=?+?-∑∑....15分 3

33

2

21

1

1

sin 1,(0,),1,2,3

3sin (sin )12i i i i i i i u u i u u π

====∈=∴≥=∑∑∑ 且，而均值不等式

与柯西不等式中，等号不能同时成立，

12311119)(tan )(tan )(tan )3g u g u g u ∴

++<-?= ………14分

21.证明：

（I ）记 ∑

=++--+=n

k k k k k n k b ka b a I 1

111

，则 121

2

n I I I =

<<

=++-=n

k k k n k b a I 1

1)

)(1(1

∑

∑==++?-≤

n

k k

n

k k k b a 1111

11

。 ……………… 4分 因为n a a a n n 2,111+==+，所以)1(11+=-+k k a k 。 ………………… 5分 从而有 111

1)1(11

11

11<+-=+=-∑

∑

==+n k k a n

k n

k k 。 ①

又因为k k b b k b b b k k k k k )(21

+=+=+，所以k

b b k b b k b k k k k k +-

=+=+1

1)(11， 即1111+-=+k k k b b k b 。从而有 11

1111111=≤-=++=∑b b b k

b n n

k k 。 ② … 6分

由（1）和（2）即得 1

12

1

<≤n I 。 左边不等式的等号成立当且仅当 n=1时成立。 ……… 7分

（II ）不妨设)2)(2

(23211≤+=+--n x a x a n n n n 即11223--+=n n n c a a 与1

121

23--+=n n n a a 比较系数得c=1.即n n n a )23(21=+)2

1

(232111--+=+n n n n a a

又2

3211=+a ,故{n n a 21+}是首项为23公比为23

的等比数列，

故n n n a 2

1

)23(-= ……… 10分

这一问是数列、二项式定理及不等式证明的综合问题.综合性较强.

即证(m

m n m m n

1)1()232-≤+-，当m=n 时显然成立。易验证当且仅当m=n=2时，等

号成立。

设)1()2

3

(+-=n m b m n

n 下面先研究其单调性。当m >n

时，

1111

1113

4

)11(32)11()23()(

),11()23()1()23(+-+--+>∴>=?+>-+=∴-+=-+-=n n m m n n m m n n b b m m n m b b n m n m n m b b ……… 12分

即数列{n b }是递减数列.因为n ≥2，故只须证,122m m b -≤即证m m m 1

)23(2

+≤。事实上，4

92125111)1(

22

1>-=?+?+>+m m C m C m m m m m 故上不等式成立。综上，原不等式成立。

……… 14分