AI第五章作业讲解

习题五

求下列谓词公式的子句集。

(1)?x?y(P(x,y) ∧Q(x,y))

解：去掉存在量词变为：P(a,b)∧Q(a,b)

变成子句集{ P(a,b),Q(a,b)}

(2)?x ?y(P(x,y) →Q(x,y))

解：去掉蕴涵符号变为：?x ?y(? P(x,y) ∨ Q(x,y))

去掉全称量词变为：? P(x,y) ∨ Q(x,y)

变成子句集{ ? P(x,y) ∨ Q(x,y)}

(3)?x?y((P(x,y) ∨Q(x,y)) →R(x,y))

解：去掉蕴涵符号变为：?x ?y(? (P(x,y) ∨ Q(x,y)) ∨ R(x,y)) 否定符号作用于单个谓词变为：

?x ?y((? P(x,y) ∧? Q(x,y)) ∨ R(x,y)) 去掉存在量词变为：?x ((? P(x,f(x)) ∧? Q(x,f(x))) ∨ R(x,f(x))) 去掉全称量词变为：(? P(x,f(x)) ∧? Q(x,f(x))) ∨ R(x,f(x)

化合取范式为：

(? P(x,f(x)) ∨ R(x,f(x))∧(? Q(x,f(x)) ∨ R(x,f(x))

变元：(? P(x,f(x)) ∨ R(x,f(x)))∧(? Q(y,f(y)) ∨ R(y,f(y)))

变成子句集{ ? P(x,f(x)) ∨ R(x,f(x)), ? Q(y,f(y)) ∨ R(y,f(y))} (4)?x (P(x) →?y (P(y) ∧R(x,y)))

解：去掉蕴涵符号变为：?x (? (P(x) ∨?y (P(y) ∧R(x,y))) 去掉存在量词变为：?x (? (P(x) ∨ (P(f(x)) ∧R(x,f(x)))

去掉全称量词变为：(? (P(x) ∨ (P(f(x)) ∧R(x,f(x)))

化合取范式为：(? (P(x) ∨ P(f(x))) ∧(? (P(x) ∨R(x,f(x)))

变元：(? (P(x) ∨ P(f(x))) ∧(? (P(y) ∨R(y,f(y)))

变为子句集：{? (P(x) ∨ P(f(x)),? (P(y) ∨R(y,f(y))}

(5)?x(P(x) ∧?x(P(y) →R(x,y)))

解：去掉蕴涵符号变为：?x(P(x) ∧?x(?P(y) ∨R(x,y)))

去掉存在量词变为：P(a) ∧?x(?P(y) ∨R(a,y))

去掉全称量词变为：P(a) ∧ (?P(y) ∨R(a,y))

变成子句集：{ P(a) ，?P(y) ∨R(a,y) }

(6)?x?y?z ?u?v ?w(p(x,y,z,u,v,w) ∧(Q(x,y,z,u,v,w) ∨?R(x,z,w))) 解：去掉存在量词变为：

?z ?v (p(a,b,z,f(z),v,g(z,v)) ∧(Q(a,b,z,f(z),v, g(z,v) ∨?R(a,z, g(z,v))) 去掉全称量词变为：

p(a,b,z,f(z),v,g(z,v)) ∧(Q(a,b,z,f(z),v, g(z,v) ∨?R(a,z, g(z,v))

变元：

p(a,b,x,f(x),y,g(x,y)) ∧(Q(a,b,z,f(z),v, g(z,v) ∨?R(a,z, g(z,v))

化成子句集：

{p(a,b,x,f(x),y,g(x,y)) , Q(a,b,z,f(z),v, g(z,v) ∨?R(a,z, g(z,v)) } 3. 试判断下列子句集中哪些是不可满足的。

(1)S={P(y) ∨?Q(y), ?P(f(x)) ∨Q(y)}

解：

（1）P(y) ∨?Q(y)

（2）?P(f(x)) ∨Q(z) (适当改名使子句之间不含相同变元利用归结原理：

（3）P(y) ∨?P(f(x)) (1)(2) {y/z}

（4）T {f(x)/y}

归结不出空子句，所以原子句集是可以满足的。

(2)S={? P(x) ∨Q(x), ? Q(y) ∨R(y),P(a),R(a) }

解：（1）? P(x) ∨Q(x)

（2）? Q(y) ∨R(y)

（3）P(a)

（4）R(a)

利用归结原理判断

（5）Q(a) (1)(3) {a/x}

（6）R(a) (2)(5) {a/x}

归结不出空子句，所以是可满足的子句集。

(3)S={? P(x) ∨?Q(y) ∨?L(x,y),P(a), ? R(z) ∨L(a,z) ,R(b),Q(b)} 解：（1）? P(x) ∨?Q(y) ∨?L(x,y)

（2）P(a)

（3）? R(z) ∨L(a,z)

（4）R(b)

（5）Q(b)

利用归结原理来进行判断

（6）?Q(y) ∨?L(a,y) (1)(2){a/x}

（7）L(a,b) (3)(4) {b/z}

（8）?L(a,b) （6）（5）{b/y}

（9）Nil （8）（7）

得到NIL所以原子句集不可满足。

(4)S={P(x) ∨Q(x) ∨R(x),? P(y) ∨R(y), ? Q(a), ?R(b) } 解：（1）P(x) ∨Q(x) ∨R(x)

（2）? P(y) ∨R(y)

（3）? Q(a)）

（4）?R(b)

利用归结原理来判断

（5）

（6）

（7）

(5)S={P(x) ∨Q(x),? Q(y) ∨R(y), ? P(z) ∨Q(z), ?R(u) } 解：（1）P(x) ∨Q(x)

（2）? Q(y) ∨R(y)

（3）? P(z) ∨Q(z)

（4）?R(u)

利用归结原理来判断

（5）?Q(u) （2）（4）{u/y}

（6）?P(u) （3）（5）{u/z}

（7）Q(u) （1）（6）{u/x}

（8）NIL （5）（7）

所以原子句集S不可满足

4．对下列各题请分别证明，G是否可肯定是F1，F2，…的逻辑结论（1）F: ?x(P(x) ∧ Q(x))

G: ?x(P(x) ∧ Q(x))

解：F的子句集为：①P(x)

②Q(y)

? G的子句集为: ③? P(z) ∨ ? Q(z)

然后应用消解原理得：

④? Q(z) [ ①,③,{z/x}]

⑤NIL [②,④,{z/y}]

所以G是F的逻辑结论．

此题应注意：化子句集时应改名，使子句①，②，③无同名变元。

(3)F1: ?x(P(x)→?y(Q(y)→ ? L(x,y)))

F2: ?x(P(x)∧?y(R(y)→ L(x,y)))

G: ?x(R(x)→? Q(x))

证明：首先求得F1的子句集：①? P(x)∨? Q(y)∨? L(x,y)

F2的子句集: ②P(a)

③?R(z)∨L(a,z)

? G的子句集为: ④R(b)

⑤Q(b)

然后应用消解原理得:

⑥ ? Q(y) ∧ ? L(a,y) [①,②,{a/x}]

⑦ L(a,b) [③,④,{b/z}]

⑧ ? Q(b) [⑥,⑦,{b/y}]

⑨NIL [⑤,⑧]

所以G 是F1,F2的逻辑结论．

此题的方法是：F1 ∧ F2 ∧ ? G 能推出空子句，就可以说明G 是F1,F2的逻辑结论。

（4） F 1 (?x)(P(x)→(Q(x)∧R(x))

F 2 (?x) (P(x) ∧S(x)

G (?x)(S(x) ∧R(x))

证明：利用归结反演法，先证明F 1 ∨ F 2 ∨?G 是不可满足的。 求子句集：

(1) ?P(x) ∨

Q(x) (2) ?P(

z) ∨R(z)

(3)P(a)

(4)S(a)

(5) ?S(y) ∨ ? R(y ) (?G)

利用归结原理进行归结

(6)R(a) [(2),(3), σ1={a/z}]

(7) ? R(a) [(4),(5), σ2 ={a/y}]

(8)Nil [(6),(7)] S

F1 F2

所以S是不可满足得，从而G是F1和F2的逻辑结果。

5.设已知：(1)凡是清洁的东西就有人喜欢：

(2)人们都不喜欢苍蝇：

用归结原理证明：苍蝇是不清洁的．

证明：首先，定义如下谓词：

C(x)：x是清洁的

P(x)：x是人

L(x,y)：x喜欢y

F(x):x是苍蝇

然后将上述各语句翻译为谓词公式：

已知条件：(1) ? x(C(x) →? y(P(y) ∧ L(y,x)))

(2) ? x ? y(P(x) ∧ F(y) → ? L(x,y)))

需证结论：(3) ? x(F(x) → ? C(x))

求题设与结论否定的子句集，得:

①? C(x) ∨ P(f(x))

②? C(y) ∨ L(f(y),y)

③? P(u) ∨ ? F(v) ∨ ? L(u,v)

④F(a)

⑤C(a)

然后应用消解原理得:

⑥P(f(a)) [①,⑤,{a/x}]

⑦L(f(a),a) [②,⑤,{a/y}]

⑧? F(v) ∨ ? L(f(a),v) [③,⑥,{f(a)/u}]

⑨? L(f(a),a) [④,⑧,{a/v}]

⑩NIL [⑦,⑨,]

所以苍蝇是不清洁的．

此题需注意谓词的定义：x喜欢y 定义成L(x,y)，另外要定义谓词：人。

6 证明：用命题公式表述题意为：

(1)A∨B∨C (2)A∧?B→ C (3)B→ C

结论：C是子句集的逻辑{A∨B∨C , A∧?B→ C , B→ C}的逻辑结果。证：①A∨B∨C

②? A∨ B∨ C

③?B∨C

④? C

⑤ B ∨ C 由①,②

⑥ C 由③,⑤

⑦Null 由④,⑥

即：对子句集S={A∨B∨C ,? A∨ B∨C ,?B∨C, ?C}施以归结，最后推出空子句，所以子句集不可满足，所以C是子句集{A∨B∨C ,?A∨B∨C ,?B∨C}的逻辑结果，所以公司一定要录取C.

７．张某被盗，公安局派出五个侦探去调查．研究案情时，侦察员Ａ说＂赵与钱中至少有一人做案＂；侦察员Ｂ说＂钱与孙中至少有一人做案＂；侦察员Ｃ说＂孙与李中至少有一人做案＂；侦察员Ｄ说＂赵

与孙中至少有一个与此案无关＂；侦察员Ｅ说＂钱与李中至少有一人与此案无关＂．如果这五个侦察员的话都有是可信，请用归结原理求出谁是盗窃犯．(知识点，利用归结原理求取问题答案)

解：设谓词P(x)表示x是盗窃犯．

则题意可表述为如下的谓词公式：

F1:P(zhao) ∨ P(qian)

F2: P(qian) ∨ P(sun)

F3: P(sun) ∨ P(li)

F4: ? P(zhao) ∨ ? P(sun)

F5: ? P(qian) ∨ ? P(li)

求证的公式为：?xP(x)

子句集如下：

①P(zhao) ∨ P(qian)

②P(qian) ∨ P(sun)

③P(sun) ∨ P(li)

④? P(zhao) ∨ ? P(sun)

⑤? P(qian) ∨ ? P(li)

⑥? P(x)∨ GA(x)

⑦P(qian) ∨ ? P(sun) [①,④]

⑧P(sun) ∨ ? P(li) [②,⑤]

⑨P(sun) [③,⑧]

⑩GA(sun) [⑥,⑨,{sun/x}]

(11)P(qian) [⑦,⑨]

(12)GA(qian) [⑥,(11),{qian/x}

所以，sun和qian都是盗窃犯．即：孙和钱都是盗窃犯．

（利用归结原理来证明或求取问题答案只能使用归结反演的方法）此题需定义一个辅助谓词GA(x)来求出谁是盗窃犯。

设A、B、C中有人从来不说真话，也有人从来不说谎话，某人向这三人分别同时提出一个问题：谁是说谎者？A答：“B和C都是说谎者”；B答：“A和C都是说谎者”；C答：“A和B中至少有一个人说谎”。用归结原理求谁是老实人，谁是说谎者？

解：用T（x）表示x说真话。

如果A说的是真话则有：T(A) →(?T(B) ∧?T(C))

如果A说的是假话则有：? T(A) → (T(B) ∨ T(C))

对B和C所说的话做相同的处理，可得：

T(B) →(?T(A) ∧?T (C)

?T(B) → (T(A) ∨ T(C))

T(C) →(?T(A) ∨?T(B))

? T(C) → (T(A) ∧ T(B))

将上面的公式化为子句集，得到S：

(1)? T(A) ∨?T(B)

(2)? T(A) ∨?T(C )

(3)T(A) ∨ T(B ) ∨ T(C )

(4)? T(B) ∨?T(C )

(5)? T(A) ∨?T(B ) ∨?T(C )

(6)T(C) ∨ T(A)

(7)T(C) ∨ T(B)

首先求谁是老实人。把? T(x) ∨ANS(x)并入S中，得到子句集S 1，即S 1比S中多了一个子句：

(8) ? T(x) ∨ANS(x)

应用归结原理对S 1进行归结：

(9) ? T(A) ∨ T(C) [(1),(7)]

(10)T(C) [(6),(9)]

(11)ANS(C) [(8),(10)]

这样就得到了答案，即C是老实人，即C从来不说假话。

下面来证明B和A不是老实人，设A不是老实人，则有? T(A) ,将其否定并入S中，得到子句集S2，即S2比S多了一个子句：

(8) ’? (? T(A) )即T(A)

利用归结原理对进行归结：

(9) ’T(A) ∨T(C) [(1),(7)]

(10)’T(C) [(6),(9)’]

(11)’NIL [(8)’,(10)’]