09年广东数学教学优秀论文——河源高中

变教为导

龙川县实验中学 杨丽红

摘 要：社会的发展和进步迫切要求教育应培养和发展学生的主体性品质，这就要求教师的角色和教学方式必须转变：从以知识为目标转移到以活生生的学生本人为目标。通过恰当的“导”，激发学生的学习激情，促进学生主体认知结构的完善形成。本文几个具体案例是变教为导在教学中的实施。实践证明：变教为导让学生受益匪浅。

关键词：变教为导 引导 主体性品质 尊重探究

一、变教为导的现实意义

进入20世纪90年代以后，在建立社会主义市场经济的过程中，教育就把人的主体意识的觉醒、主体能力的培养提到了一个前所未有的高度。社会的发展和进步迫切要求教学活动应培养和发展学生的主体性品质。教学活动对人的发展从而对社会的发展所起作用的大小，基本上取决于它在多大程度上培养出主体性的人来。所以，培养和发展学生的主体性品质成为了我国当前教学理论研究的一个热点问题，也是我国当前课堂教学改革与实验的主题。

二、变教为导是教育本身的内在规定性，亦是对学生的尊重。

受教育者是有自由意志和人格尊严的、具体的、现实的个体，“引导”区别于“宰制”、“驱使”、“奴役”、“灌输”和“愚弄”。尊重学生的自由意志和独立人格不仅是真正教育的条件，而且是教育本身的内在规定性。变教为导是对学生的尊重。尊重学生，意味着尊重学生的探究、获得新的体验、获得认可与欣赏、责任承担的需要。正如学生所言：只是告诉我，我会忘记；只是演示给我看，我会记住；如果让我参与其中，我会明白。

三、教师的角色和教学方式的要求

教师的角色和教学方式必须转变：树立“以活动促发展”的现代教学观念，尊重、鼓励学生的各种自由、自主的活动，不仅要为学生的各种活动创造、提供适宜的机会、条件、场所和更多的选择可能性，而且要组织和亲自参与、指导学生的学习活动，成为学生学习活动的组织者、指导者和参与者。在课堂上变“教”为“导”，正确引导学生去学、去探索、去实践、去接受各种挑战，激发他们的内心动力，让兴趣和自信心引发学生内在潜力。现在提倡的“导”比以前的“教”

还要辛苦：教什么、怎么教、什么时间教得把握好，要合理化、科学化安排，因为“导”比单纯的“教”更注重学生的主动性和消化接受能力。同时，老师应很清楚知道每位学生的知识水平，知道在课堂上什么时候可以一带而过，什么时候要重点强调，做到有的放矢，确实有效提高课堂效率，落实学生在课堂教学中的主体地位，变“要我学”为“我要学”，让每一位学生均有收获，真正培养和发展学生的主体性品质。

四、变教为导在教学中的实施及案例

（一）、改变教法，引导学生去读书。

教材编排就好像教案，主线：实际理论、背景?引出问题?通过学生思考、探究、实验、猜测、推理、交流、表达、类比、反思等理性思维的基本过程?获得数学知识、思想方法?解决问题?小结、归纳形成知识体系和能力?推上高一层次或拓广到更大的范围。

为此，教师的工作就不是原来意义上的教书，应改变为导书，即指导学生去读书，在指导学生学习的同时要教给学生学习的方法，帮助学生解难析疑，指导学生形成知识体系与思想方法，亦即将教法向导法转变。

例1：关于方程的根与函数的零点。

(1)首先开门见山地提出问题：

一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像有什么关系?

(2)要解决上述问题还得先确定探索的方法，由特殊到一般，即通过具体的函数与方程来讨论。

(3)分组实施。

(4)交流汇报结果。

(5)老师精点。

(6)引导猜想。

方程()0f x =有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点，从而定义函数的零点。

(7)引导学生总结出：函数()y f x =有零点的特征。

(8)应用。

学生完成相应练习。

(9)小结：

①探究问题的方法；

②得到的结果；

③能解决什么问题；

④解决问题的步骤。

（二）、引导学生去探究

探究能力是各种能力中的较高层次的能力，它要求学生会对问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括，并能准确、清晰、有条理地进行表述。因而探究能力的培养不是一朝一夕可以完成的，所以应该把探究能力的培养贯穿于数学教学的全过程。如何培养呢，我认为应该在课堂教学中充分暴露思维过程，充分调动学生的探究欲望。下面以一道例题的教学为例，说说我在教学中的做法。 例2：用总长 14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面一边比另一边长0.5m，那么高为多少的时候，容器的容积最大？并求它的最大容积。（这是一道有相当难度的应用题）

1、问题初探

大多数学生对问题作如下解答：

设底面较短的一边长为 x 米，容器的容积为V，则有

(0.5)(3.22)V x x x =+? (0,1.6)x ∈

而后利用均值不等式求其最值，却发现均值不等式的使用条件并不满足。

2、问题再探

师生共同分析，均值不等式在本题无法直接使用的原因 0.5x x ≠+。那么能否避开这个问题呢？ 甲学生（经过一番思考）：

(21)(85)3(21)(85)(0.5)(3.22)515

x x x x x x V x x x +?+?=+?== 从而当 32185x x x =+=?,即1x =时V 取得最大值。

此时，全班学生大为振奋，认为是一种很了不得的做法。

师：首先应该表扬这位同学，但是请你回答这个问题：

从 (21)(85)3(21)(85)515

x x x x x x +?+?=，你是怎样分析得知分子分母应同乘以3，请你向同学们传授传授。

甲同学（愣了一下，想不出解释这个问题的方法）：我承认自己只是灵机一动，纯属巧合。

师：他虽然只是灵机一动，但这种做法值得赞许，有没有同学能对这种做法给出合理的解释？

乙学生：这不是巧合，其实我们只需从 2185x x +=?求得1x =，而此时

21853x x +=?=，要让V 取得最大值，当然只需对x 乘以3。

以上的发现让学生们兴奋不已，但就在这时，丙同学提出疑问。

丙同学：若是如此，我们在求(0.5)(3.22)V x x x =+?的最值中直接仿照以上做法岂不更加简单？

3、问题三探

师：丙同学的想法很有自己的见解，但到底可不可行呢？请大家动手试一下。 探讨的结果如下：

由0.5 3.22x x +=? 得 x＝0.9

0.5 3.22 1.4x x +=?=。

149(0.5)(3.22)914

V x x x ??∴=+?×???? 由此求得的结果与甲同学不一致。这样，更增加了本题的神秘色彩。

4、教师点拨

这时候，考虑到往下的探索已非学生可以独立完成。我给予以下点拨：

①在(0.5)(3.22)V x x x =+?基础上不能直接利用均值不等式进行求解的原因是什么？（答：无法寻求这样的x，使得0.5x x =+）

②甲同学能够利用均值不等式求解最值的原因又是什么？（答：他巧妙地利用了式子的变形）

③他的变形主要是对 x，0.5x +，3.22x ?配上了系数，那么我们是否可以用通法求得这些系数呢？

经过一番思考，同学们总结出待定系数法是解决这一问题的通法。

我认为上述的做法，有助于引导学生对问题进行由表及内、由浅入深的探讨，对提高学生的数学探究能力有着十分重要的作用。

（三）、引导学生站在系统的高度把握知识。

教师要引导学生站在系统的高度把握知识，让知识总是以“系统中的知识”的面目出现。教师要着眼于知识之间的联系和规律，使学生从系统的高度进行思考，做到八方联系，浑然一体，达到浮想联翩、思潮如涌的思维状态。

例3： 正比例函数y kx =，二次函数2y ax =，幂函数a y x =，指函数x y a =，

对数函数log x y a =，比较它们的解析式中的常数k 、a 、a 对于函数曲线的影响。

分析，这5个函数是分散在初三和高一的不同时期学习,除了它们都是函数这个共同点以外，它们完全是不同类的，在教材里，它们分别写在不同的章节内。 但深入探讨后发现，它们的解析式中的常数k 、a 、a 对函数曲线的影响，十分

相似，如出一辙。

那就是，常数在它允许的范围内跑遍时，函数曲线扫遍某个区域；当常数在它允许取值的范围内游走时，都是0、1、-1，这些点起到了“分水岭”的关键性作用。

对于正比例函数(0)y kx k =≠，k 决定着函数图像直线的位置。在这里．k 的符号(实质是“0”这个点)，决定着直线所在象限的位置，k>0时，直线通过I 、

Ⅲ象限，k<0时，直线通过Ⅱ、Ⅳ象限；

k 则决定着直线的向上方向与y 轴正向

的夹角大小．而当k 值遍取(-∞，+∞)

上的全体实数时，直线绕原点旋转扫遍

除y 轴而外的整个坐标平面（这里要允

许k=0，否则，也不包括x 轴）如图1

所示：

对于二次函数2y ax =，与一次函数相同，a 的符号（实质也是“0”这个点)，决定着曲线所在的象限位置，a >0时，抛物线通过I 、Ⅱ象限（即开口向上)，a <0时，抛物线通过Ⅲ、Ⅳ象限(即开口向下)；a 也决定着曲线与y 轴的相对位置状

况，a 越大，抛物线越贴近y 轴(抛物线愈瘦)，a 越小，抛物线越疏远y 轴(抛

物线愈胖)，当a 值跑遍在(-∞，+∞)上的全体实数

时，曲线2y ax =也是扫过除y 轴而外的整个坐标平

面(这里也要允许0a =，否则，也不包括x 轴)如图

2所示：

对幂函数a y x =，仍是常数决定着曲线的位置

和形状。当然，由于常数的位置发生了变化，从自

变量x 的系数位置，转移到了自变量x 的指数位置，那么常数a 的符号，已不再决定曲线所在的象限的位置，而是决定曲线是通过(0，0)点及(1，1)点(a>0时)，还是只通过(1，1)点，不通过(0，0)点(a<0时)；a 决定着曲线在各点的曲率情况，但与前面两种函数共同的，是a 跑遍在(-∞，+∞)上的实数时，曲线扫过除直线x=1(不包括点(0，1)而外的整个第一象限(这里也要允许a =0，否则不包括直线y=1)，如图3所示：

对于指数函数x y a =（a >0并且a ≠1)，

由于a 的范围是（0，+∞)，使我们以“l ”为

分界点，当a >1时，曲线从左向右呈上升状

态，当0

也起着影响曲线与y 轴正向的相对位置及曲率的作用，与前面共同的是，

a 跑遍(0，+∞)上的全体实数时，曲线扫过除y 轴正半

轴(不包括点(0，1)而外的整个第1、Ⅱ象限坐标平面（这里要允许a =1，否则，不包括直线y=1)，如图4所示：

对于对数函数log x y a =(a >0，并且a ≠1)

的情况的讨论，与对于上述指数函数的讨论十

分相似。

对上述5个函数的深入探讨所发现的，它们的解析式中的常数在其所允许的范围内跑遍

时，影响着它的曲线扫遍某整个区域这个事实，这个惊人的相似（并且包括都是0、1、-l 这些点起着关键性的作用）启示我们，事物之间的联系和规律，是我们深入探寻事物本质的一个途径，它也是一种系统。

事实上，这个比较和归纳，远没有完结，就是说，某个量的数值跑遍某个范围，可以影响一条曲线扫遍某个区域，也可以影响一个点跑遍某条曲线，如此等等。

（四）、引导学生分析、归纳，发现一般规律。

归纳是通过认识个别现象达到认识普遍规律的重要思维形式。不仅在数学归纳法的教学中要特别重视归纳法，在平时的每个问题中都要让学生去归纳，发现一般规律，一般的归纳是离散的，如果应用函数思想，连续运动的思想进一步去分析，可得到更深刻的结论。

例4：在学习课本例题：写出集合{a，b}的所有子集，后让学生归纳以下问题。

(1) 3元集的子集有几个?n 元集的子集有多少个?

(2) n 元素的子集中含k 个元素的子集有多少个?

(3)集合增加一个元素、其子集增加多少个？减少一个元素呢？

由以上问题的探讨可发现排列组合问题与二项式定理以及概率问题。在二项式定理中，将()n a b +及展开式看成一种形式，让n 连续取实数，如12

n =时，这个关系式如何呢？这就得到了牛顿二项式定理。

（五）、引导学生写小论文

学生论文的写作过程是学生自我学习、自我提高的过程。认知水平较高的学生，在学习中往往会对自己感兴趣的问题进行探究，并形成自己的认识，但一般不够深入，鼓励他们及时归纳总结并形成文字，这个过程就是他们对问题进行深入再探讨的过程，他们必须经过认真观察、阅读相关材料、比较分析、演绎归纳等步骤才能进一步论证自己的论点。而把这些材料形成文字又能使他们表达能力得到很好的锻炼。所以学生论文写作对于提高学生的探究能力有着十分重要的作用。

要让学生学习写作论文，就应该强调对材料的积累。它可以来源于课堂，也可以是课外学习的心得感想。在学完了等差数列与等比数列的性质之后，我班有一位同学提出了这样的命题：

1、设{}n a 是等差数列，,,m n p N ∈，若 1212n n m m m p p p +++=+++L L ，

则 1212n n m m m p p p a a a a a a +++=+++L L 。

2、设{}n a 是等比数列，,,m n p N ∈，若1212n n m m m p p p +++=+++L L ，

则 1212n n m m m p p p a a a a a a +++=+++L L 。

这位同学把这两个命题交给我，让我给他论证命题的真假。我让他自己先举出具体例子进行验证，而后考虑如何从理论上对这两个命题进行证明，如果必要可以查阅相关的课外参考书。最后这位同学完成了对命题的严格证明，同时给出了它们在解题中的应用。这篇文章在校级教研刊物发表以后，对全体学生都产生了极大的影响。

五、变教为导实践阶段性成果

变教为导在数学教学中的实施，激发了学生的学习热情，学生变被动学习数学为喜爱、主动学习数学，使学生整体以及每个成员，都在原有基础上获得知识、能力、个性品质的全面发展，促进学生主体的认知结构完善形成，从而逐步实现优秀生拔尖，中等生优化，后进生转化，使整体都有所进步，大面积提高教学质量。

参考文献：

［1］孙维刚 《孙维刚谈全班55%怎样考上北大考上清华》 北京妇女儿童出版社

2000.5

［2］吴惟粤 《高中新课程数学优秀教学设计与案例》 广东高等教育出版社 2005.3 ［3］钟启泉 崔允郭 张华 《为了中华民族的复兴，为了每位学生的发展》 华东师范大

学出版社 2003.7

［4］肖成全 《有效教学》 辽宁师范大学出版社 2006.6 ［5］陆志平 辜伟节 《新课程：我们怎样上课》 东北师范大学出版社 2006.7 ［6］肖川等著 《造就自主发展的人》 四川教育出版社 2006.11

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浅谈圆锥曲线综合题中减少运算量的思想与方法

龙川县第一中学 张建毕

在讲解训练解析几何综合题时，我们会发现，一般情况下解析几何题比代数题运算篇幅更长，运算量更大，并且解决一个问题的途径或方法较多，因此在解决问题时要形成简便运算，合理设计算法的原则．本文结合近几年的高考试题和自己的解题教学体会浅谈如何简化或减少圆锥曲线综合题中的运算量．

一、巧用整体思想，设而不求简化运算

例1、已知椭圆22

143

x y +=试确定m 的值，使得在此椭圆上存在不同两点关于直线43y x m =+对称．

解：设A ()11,x y ，B ()22,x y ，AB 中点M ()00,x y ，2121

14AB y y k x x ?=

=??． 将Ａ、Ｂ两点坐标代入椭圆方程得 ()(){221122223412

134122x y x y +=+=．

由（１）－（２）得()()22222121340x x y y ?+?=

即()12123y y x x +=+

0000334y x x x m ∴==+,.

00,3x m y m ∴=?=?．

Q M ()00,x y 在椭圆内部

则2291431313

m m m +

二、巧用圆锥曲线定义、向量和平面几何性质解题

（1）巧用圆锥曲线定义法

例2、（1999年全国高考题）设椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>的右焦点为1F ，右准线为1l ；若过1F 且垂直于x 轴的弦的长等于1F 点到1l 的距离，则椭圆的离心率

是_____________．

分析：若想先求出a 、c 的值，再求离心率是相当

麻烦的，而依据椭圆的第二定义，运用数形结合思想

便可迅速获解．

解：作1PK l ⊥，K 是垂足，1PF x ⊥轴，且与椭

圆交于Q 点，11F R l ⊥，R 是垂足，1111122.2PQ PQ PF e PK FR PQ ==== 评注：与焦点有关的圆锥曲线问题一般先考虑直接利用其定义和数形结合法解题，可起到简化运算作用．

（2）巧用圆锥曲线定义与平面几何性质结合法

例3、（2001年广东、河南21）已知椭圆2

212

x y +=的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点，点C 在右准线上，且BC x 轴．求证：直线AC 经过线段EF 中点．

分析：本题若用常规方法即是证A 、C 与EF 中点

N 三点共线问题，因此可求出AN K 与CN K ，则较繁．若能巧用圆锥曲线定义与平面几何性质，则会有事半功

倍之感．

如图：设直线AC 与x 轴交点为N ，过点A 作,AD l ⊥点D 是垂足，因为点F 是椭圆的右焦点，直线l 是右准线，BC 平行x 轴，即BC l ⊥，根据椭圆几何性质，得AF BF e AD BC

== (e 是椭圆离心率) AD EF BC Q

EN CN BF AD CA AB

∴==，FN AF BC AB = 即AD BF AD BC AF BC EN e FN AB AB AB ???=

=== N ∴为EF 中点，即AC 经过线段EF 的中点．

评注：巧用圆锥曲线定义与平面几何性质结合法是解决圆锥曲线焦点、准线问题的常用方法．

（3）巧用圆锥曲线定义与向量性质法

例4、已知直角坐标系中，点()()125,0,5,0F F ?，M 是第一象限内一动点．

(1) 若128MF MF ?=uuuu r uuuu r ．求M 的轨迹方程．

(2) 若A ，B ，C 是M 的轨迹上任意不同三点，求证：ABC 为钝角三角形．

分析：由1F 和2F 是关于原点对称，且128MF MF ?=uuuu r uuuu r 可联想圆锥曲线定义简

化运算求M 的轨迹方程． 解：因为128MF MF ?=，所以设M (),x y ，则由双曲线定义可知，上式表示动点(),M x y 到两定点()()125,0,5,0F F ?的距离之差为常数8()1210F F =，所以M 的轨迹为双曲线在第一象限的部分，则易得28,210a c ==，4,3a b ∴==

M ∴轨迹方程为()22

14,0169

x y x y ?=>> ()2因为A ，B ，C 三点各不相同，不妨设 ()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，

且1234x x x <<<，1230y y y <<<．则()1212,BA x x y y =??uuu r ，()3232,BC x x y y =??uuu r ．

()()()()12321232BA BC x x x x y y y y ?=??+??uuu r uuu r

()()12320x x x x ??

ABC ∴∠为钝角，∴△ABC 为钝角三角形．

评注：巧用圆锥曲线定义与向量性质法能很好地解决圆锥曲线与向量三角综合的题型．

三、巧用参数法减少运算量

在数学中（特别是解析几何中）参数的引用十分广泛．从广义上来理解，引进参数，一是便于问题的符号化；二是以参数为媒介便于揭示问题中变量之间的内在联系，发现问题中存在的客观规律．它在解析几何中体现的特别突出，尤其是在轨迹问题中充分展示运动变化思想的特色．常见参数的选取是以角度、斜率、截距、线段等为参数，或直接用圆锥曲线的参数方程进行简化运算．

（1） 巧用角度为参数简化运算

例5、

在同一平面上是否存在周长均为6＋的两个三角形△P AB 和△QAB ，同时满足以下条件：

(

)1AB

=； ()2OP OQ =，90POQ ∠=°(其中O 为线段AB 的中点)；

()3△POQ 的面积为910

； 如果存在，求出此△P AB 与△QAB 的面积，否则请说明理由．

分析：由︱AB︱=42，△P AB 与△QAB 的周长都是6+42，∴︱ＰＡ︱+︱ＰＢ︱=︱ＱＡ︱+︱ＱＢ︱=6可知P 、Q 都在以AB 为焦点，长轴长为6的椭圆上，同时还满足90DOQ ∠=°．且△POQ 的面积为910

，为便于利用条件，可设P ，Q 两点坐标分别为：

()()cos sin sin cos ραραραρα，，，，引入角度参数简化运算。

解：取AB 所在直线为x 轴，AB 中点O 为原点，

建立直角坐标系，如图：

按题设条件知点P 、Q 在以A ，B 为焦点，以6为长轴的椭圆上，椭圆方程为：2

219x y +=()1

如果90POQ ∠=°，

则P ，Q 坐标分别为：()cos ,sin P ρθρθ，()sin ,cos Q ρθρθ．

P Q 、Q 在椭圆上，

()22222222c o s s in 19s in c o s 19 2ρθρθρθρθ??∴???＋＝＋＝ 又910

PO Q S ?=Q ()22219cos sin 210ρθθ∴＋＝（3）

ρ∴ 由（1）与（2）得()()222222c o s

s in s in c o s 09ρ

θθρθθ－＋－＝ cos 204

π

θθ∴∴＝＝． ∴同时满足用三个已知条件的点P 、Q 存在，其坐标分别为

：P

，Q ． 此时PAB Q AB S S =

=12×=

评注：这里选用P 、Q 的坐标是为了应用已知90POQ ∠=°，从而简化了解题过程，若用椭圆参数方程或选用OP 的斜率k 为参数便能获解，但运算量稍有增加．

（2） 巧用y 轴截距作为参数简化运算

例6、已知抛物线2y x =上一点到直线5y x =?的距离最小值． 分析：此题方法较多，其中根据条件引入直线在y 轴截距作为参数的方法较为简单．

解：设直线y x b =+，且设当y x b =+与2y x =相切时的切点为P ，则y x b =+与5y x =?两平行线间的距离即为P 到5y x =?的距离最小值ｄ．又'2 1.y x ==12x ∴=．将12x ∴=代入抛物线方程解得14

y =．再将Ｐ（41,21）代入y x b =+解得14b =?

，则d =． 评注：此题引入直线截距形式，并结合导数知识，让人感觉解法清新，运算

简单明了，算法设计合理．

（3） 巧用圆锥曲线参数方程和整体思想，设而不求减少运算量

例7、抛物线()220y px p =>上两动点Q 、R ，O

为抛物线的顶点，若0OQ OR ?=uuu r uuu r ．试求以OQ 、OR 为

直径之两圆的交点P 的轨迹．

分析：本题涉及两动点Q 、R ，故在引入参数时，

尽量减少参数个数，因此根据题意可设Q 、R 两点坐

标分别为()2112,2pt pt ，()2222,2pt pt ．以OQ ，OR 为

直径的圆方程分别为

()()()()

()(){211222220

1220

2x x pt y y pt x x pt y y pt ?+?=?+?=

从()()12可知12,t t 是关于t 的方程：()222220pxt pyt x y +?+=的两根． 由韦达定理可得()22

12 32x y t t px

+=? OQ OR ⊥Q ．122212

22122pt pt pt pt ∴?=?，即()12 1 4t t =? 由()()34可得2220x y px +?=即是所求点P 的轨迹方程．

评注：此题选用一般方法建系设点列式的方法比较麻烦，但若能用参数利用系数法消参便是一个好的解法．

当然，对于圆锥曲线综合题的运算问题，我们还要根据题目的实际情况，结合所学内容进行求解，在这里就不再一一叙述．通过这些思想方法训练，有效地培养了学生的数学思维品质．

2008年10月8日

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有关几何概型的几个有教学价值的问题

河源市源城区教育局教研室付雪芹

几何概型是课程标准新增的内容。对于几何概型教学中的一些有教学功能和教学价值的问题，许多师生容易忽略，有的甚至在认识和理解上还存在着一定的困难，本文试图对几个这样的问题加以整理，供大家参考。

1、从一个有争议的问题到贝特朗悖论

问题1：如图1，在等腰直角三角形ABC中，过点A作一射线，交BC于点D，求使AB>BD的概率。 [1]

上述问题存在两种有代表性的解法。

解法一：以点B为圆心BA为半径作弧，交

BC于点M，不妨设BA＝a，则BC＝a2，如图2，

当D、B两点位于点M同一侧时，有AB>BD成立，

因为点D在线段BC上的是等可能出现的，故所求

的概率为：

2

BM

BC

==

解法二：以点B为圆心BA为半径作弧，交

BC于点M，连接AM，则0

67.5

BAM

∠=，如图2，

当射线AD位于BAM

∠内部时，有AB>BD成立，

因为射线AD在BAC

∠内部是等可能出现的，故所

求的概率为：

67.53

904

BAM

BAC

∠

==

∠

上述两种解法争议的焦点在于“把什么看作一次试验”，若把“在线段BC 上任取一点D”看作一次试验，则解法一正确；若把“在BAC

∠内任作一射线AD”看作一次试验，则解法二正确。还有人认为“在线段BC上任取一点D”和“在BAC

∠内任作一射线AD”可以建立一一对应，故上述两种试验应该是等价的，然而两种解法的结果不同，从而对几何概率的逻辑严密性产生怀疑。事实

图1

图2

B

C

B

C

上，类似的争议历史上也曾有过。1899年法国学者贝特朗提出过一个关于几何概率的悖论：“在圆内任作一弦，求其长超过圆内接正三边形边长的概率 [2]”。他自己给出了三种答案完全不同的解法。

问题1及贝特朗悖论之所以有不同解答，是因为当一个随机试验有无穷多个可能结果时，有时很难客观地规定“等可能”这一概念。这反映了几何概率的逻辑基础是不够严密的。但在高中阶段教师不可能跟学生介绍概率的公理化系统，当碰到喜欢“刨根问底”的学生时，还真的不好应付。因此，笔者认为类似问题大可不必在课堂上讲，但不可否认这又是激发学生兴趣，培养学生质疑能力和探究能力的好素材，具有不容忽视的教学价值，因此可以鼓励有能力的学生自主探究。

2、从古典概型到几何概型

从古典概型到几何概型实际上是从有限到无限的延伸，伴随而来的是一系列有趣的问题。

问题2：不可能事件概率为0，反过来，概率为0的事件一定是不可能事件吗？类似地，必然事件的概率为1，概率为1的事件一定是必然事件吗？

在古典概型的试验里，概率为0的事件是不可能事件，这一点是毫无疑问的。但在几何概型的试验里情况就不一样了。例如，在边长为1的正方形(含边界)

中任取一点，所取的点在正方形的对角线上的概率P=两对角线的面积之和

正方形的面积

1

=

=，但很显然“所取的点在对角线上”并非不可能。所以 概率为0的事件不一定是不可能事件。类似地，我们有：概率为1的事件不一定是必然事件。

问题3：在[]

0,1内任取一实数，求所取到的数为有理数的概率。

这个问题很容易列出式子，()[] [] 0,1 0,1

P=内有理数的个数

所取的数为有理数

内实数的个数

，但出现了“无穷比无穷”的情况。这个比值到底等于多少?当教师告诉学生这个比值等于0时，许多学生惊呆了。在无限的世界里有很多奇妙的现象，而这些现象又是激发学生兴趣和求知欲的良药。

问题4：连接圆周上任意三点，得到锐角三角形的概率是多少？

我们先考虑以下问题：圆周上有均匀分布的2(2)n n >个点，任意连接其中的三个点，求得到锐角三角形的概率。

如图3，给2n 个点依次编号为12n A A 至，由对

称性，可预先固定三角形的一个顶点1A 。在直径

11n A A +的一侧任取一点k A 作为三角形的第二个顶点，则三角形的第三个顶点在弧11n k A A ++(不含端

点)之间时，可得到锐角三角形。故所有锐角三角

形的个数为()123+++…+n-2=()()212n n ??,所有以1A 为顶点的三角形的个数为

()()()()22121222112n n n C n n ???==??。所求概率为：()()

()()212221142n n n P n n n ???==???。 现在，我们让n →∞，则问题4所求的概率为14

。 文[3]和文[4]对问题4分别给出了漂亮的解答，但上述解法所体现的从有限到无限的极限思想，却是数学的一块瑰宝。

3、从几何概型到随机模拟方法

概率是描述随机事件发生可能性大小的度量，它已经渗透到人们的日常生活中，成为一个常用词汇。用什么样方法来计算随机事件的概率呢？随机模拟的方法常常会被怱略。

问题5：假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30-7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7：00-8：00之间，问你父亲离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？

这是教材中的一道例题，教材分别利用几何概型公式和随机模拟两种方法给予解答。但在实际教学中，教师往往重前者而轻后者。借助计算器或计算机产生随机数来代替大量重复的试验结果，用样本的频率来估计概率是几何概型这一节也是概率这一章的主要思想方法。为此，教材在几何概型的教学中特别引入了“均

1A 2 A n+1

图3

匀随机数的产生”这一教学内容，教材的设计意图无疑是好的，希望学生借助这节内容的学习来加深对随机模拟思想的理解。但在实践的层面，许多教师会因为操作的困难而放弃，而是反复强调能得到“精确”答案的解决方法。诚然，用随机模拟方法得到得只是近似结果，但形式化的技巧跟深遂优美的数学思想、方法和精神相比就显得微不足道了。

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关于古典概型的几点教学体会

河源市源城区啸仙中学 张利辉

古典概型是最基本的概率模型，是发展学生数学应用意识，激发学生学习兴趣的良好素材。本文从三个方面阐述了笔者在古典概型教学中的实践与认识。

一、教学中应把握好重点，避免在“如何计数”问题上纠缠不清 现行普通高中课程标准实验教科书大多把“古典概型”的教学编排在必修Ⅲ进行，先于“排列组合”出现。许多一线教师对这样的编排颇为不解，纷纷表示这样的编排“无法教”。由于古典概型的习题大量地使用到排列组合的处理方法，使有关概率的计算与排列组合的计算似乎成了一回事。事实上，这样的理解是片面的。让我们重温一下课标的要求吧。《普通高中课程标准》关于古典概型的教学要求是这样阐述的：“古典概型的教学应让学生通过实例理解古典概型的特征：实验结果的有限性和每一个实验结果出现的等可能性。应让学生初步把一些实际问题化为古典概型，教学中不要把重点放在‘如何计数’上。”

计数本身只是方法与策略问题，在具体的模型中，有很多特殊的计数方法，这些不应成为教学的重点。因此，在教学过程中要把握好这个“度”，不要让“如何计数”问题喧宾夺主。

例1：某人有4把钥匙，其中有一把是办公桌的抽屉钥匙，但他忘了是哪一把，于是他将四把钥匙逐把不重复地试开。求恰好第二次试开时打开抽屉的概率。

解法一：将4把钥匙依次编号为a,b,c,d ，不妨设a 是办公桌的抽屉钥匙。这

实际上是a,b,c,d 四个元素的排列问题。所有的排法有2444=A 种，其中a 排第2

位的排法有633=A 种，考虑到a 排四个位置的等可能性，故恰好在第二次试开时打开抽屉的概率为4

14433=A A 。

也有不同的意见。解法二：既然是逐把钥匙不重复试开，如果第二次试开已经打开了抽屉，那么第三、四次试开就没必要了。故所求的概率为8

14413=A A 。 我们可以用树状图分析一下上述两种解法。

若考虑全部4次试开，如图1，所有的基本事件数为24，其中事件“第二次

试开时打开抽屉”所包含的基本事件数为6，故所求的概率为41 c ——d c ——d b a d ——c d ——c b ——d a ——d a c b c d ——b d ——a b ——c a ——c d d c ——b c ——a b ——d b ——c a a d ——b d ——c a ——d a ——c c b d b d ——a c ——a b ——a a ——b d c a ——b b ——a

图1

若只考虑前两次试开。如图2，则所有的基本事件数为12，其中事件“第二

次试开时打开抽屉”所包含的基本事件数为3，所求的概率仍为4

1。 b a a a

a c

b

c c b

d b

d d d c

图2

由此可见，用树状图（或列表）的方法处理古典概型问题不但不容易出错，而且思路清晰直观。这才是概率问题中所要体现的思想方法。

二、教学中应淡化形式，重视实质

古典概型“有限，等可能”的基本特征及其计算公式()n

m A P =看起来容易理解，但在具体的问题中却容易产生混淆。上述解法二的错误就是一个例子。

事实上，在公式()n

m A P =中，n 指的是一次试验中所有的基本事件数，m 则是事件A 所包含的基本事件数。若在一次试验中，“所有的基本事件”构成一个集合I ，“事件A 所包含的基本事件”构成集合M ，则必有I M ?。故()()()

I card M card n m A P ==，（其中()card M 表示集合M 的元素个数）。 根据上述的分析，我们就不难发现解法二的错误所在了。在解法二中，{}L ,,,adbc acbd abcd I =，而{}L ,,,da ca ba M =，显然I M ?，所以是错误的。

但若强调“第二次试开”的情景，将“一次试验”确定为前两次试开，则所

有的基本事件构成的集合{}L ,,,,,,bd bc ba ad ac ab I =，()1224

==A I card ，而事件A 所包含的基本事件构成的集合{}L ,,,da ca ba M =，有I M ?，

()()()4

12413===A A I card M card A P 。 解法二的错误表明我们的学生在学习中对公式的表象给予了太多关注，而把公式的实质忽视了，即“重视了形式， 淡化了实质”。我们在教学过程中，不应只强调公式本身，更要揭示公式背后隐藏的深刻内容。我们反对机械地教与学，提倡对公式进行有效的重建。

三、教学中应让学生体会建立适当的概率模型是解决古典概型问题的关键

一般来说，在建立概率模型时，把什么看作是一个基本事件是人为规定的。例如，在对例1的分析中，根据问题的需要我们可以考虑全部四次试开，把a,b,c,d

四个元素的任意一种排列视为一个结果，则有44

A 个试验结果，也可以只考虑前两次试开，把从a,b,c,d 四个元素中任取两个元素的排列视为一个结果，则有24A 个

试验结果。我们甚至还可以单独考虑第二次试开，则只有14A 个试验结果。只要

每次试验有且只有一个结果出现，并且每个试验结果的出现是等可能的，就是古