湖北省天门、仙桃、潜江中学2012届高三上学期期末考试数学(理)试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。

★ 祝考试顺利 ★

注意事项：

1．考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效。

3．填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内。答在试题卷上无效。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的. 1．复数

=-+i

i 11

A ．i

B ．–i

C ．1

D ．-1 2．设x ，y ∈R ，则―x ≥2且y ≥2‖是―22x y +≥4‖的

A ．充分必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分不必要条件

D ．既不充分也不必要条件

3．如图给出的是计算2011

15

13

11+

???++

+

的值的一个

程序框图，其 中判断框内应填入的条件是（ ） A ．2011≤i B ．2011>i C ．1005≤i D ．1005>i

4．与向量a=(1,2),b=(2,1)夹角相等的单位向量的坐标为

A ．(1,1)

B ．)22,22(-

C ．)2

2,

22(

D ．)2

2,

2

2(

或)2

2,2

2(-

-

5．某四面体三视图为如图所示的三个直角三角形，则该四

面

体四个面的面积中最大的是 A ．8

B

．

C ．10

D

．

6．在下列区间中，函数34)(-+=x e x f x

的零点所在的区间为

A ．)0,41(-

B ．)4

1

,0(

C ．(

)2

1,

4

1 D ．)4

3

,2

1(

7．在区间[－1，1]上任取两数s 和t ，则关于x 的方程2

x sx t ++=的两根都是正数的概率为 A ．

148

B ．

124

C ．

1

12

D ．

4

1

8．ABC ?中a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 所对的边，,

2,3=

=b a 且,0)cos(21=++C B

则BC 边上的高等于

A ．13-

B ．13+

C ．

2

13- D ．2

13+

9．设x ，y

满足约束条件360,20,

0,0,

x y x y x y ì--??

??-+í?????≤≥≥≥若目标函数z

a x

b y

=+（a ＞0，

b ＞0）的最大值为12，则23a

b

+

的最小值为

A ．8

3

B ．

256

C ．

113

D ． 4

10．某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数量

p （单位：毫克/升）不断减少，已知p 与时间t （单位：小时）满

足关系：30

02

)(t p t p -=，其中0p 为t=0时的污染物数量，又测得当t=30时，污染物数量的

变化率是2ln 10-，则p(60)= A ．150毫克/升 B ．300毫克/升 C ．150ln2 毫克/升

D ．300ln2毫克/升

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡中相应的位置 11．6

1()x x

-

的展开式中的常数项是： 。(请用数字作答)

12．双曲线06442

2

=+-y x 上一点Ｐ到它的一个焦点的距离等于１，那么点Ｐ到另一个焦点的距离为------------ 13．函数x x y 21015-+

-=的最大

值等于------------

14．如图，在一个6?6的正方形方格的对角线上的3个小方

格中分别含有一个五角星，则含有2个五角星的矩形共有

-

-------------个。

15．（选做题：本题有以下两个小题，考生可以任意选做其中一个小题，如果全做则按第1小题评

分） （1）（几何证明选讲选做题）如图，已知P A 是圆O 的切线，切点为A ，直线P O 交圆O 于,B C

两点， 2A C =,120P A B ∠=

，则切线PA 的长度等于 ．

（2）（坐标系与参数方程选讲选做题）已知直线??

?

???

?+=--=t y t

x l 2222

2

1:（ｔ为参数）与曲线Ｃ：

??

?==θ

θ

sin 2cos y x （θ为参数）交于Ａ、Ｂ两点，则点Ｍ（－1,2）与Ａ、Ｂ两点的距离之积---------=?MB MA

三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16．（本题满分12分）设函数)(,sin

22

cos sin 62

2)(2

R x x x x x f ∈-+=

（I ）对)(x f 的图像作如下变换：先将)(x f 的图像向右平移

12

π

个单位，再将横坐标伸长到原

来的2倍，纵坐标不变，得到函数)(x g 的图像，求)(x g 的解析式； （II ）已知ππ

<<<<212

0x x ，且2)(,52

6)(21==

x g x g ，

求)tan(21x x +的值。

17．（本题满分12分）如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥

底面ABCD ，AB ⊥AD ，点E 在线段AD 上，CE ∥AB 。 （Ⅰ）求证：CE ⊥平面P AD ；

（Ⅱ）若P A ＝AB ＝1，AD ＝3，且CD 与平面PAD

所成的角为45°，求二面角B —PE —A 的正切值。

18．（本题满分12分）某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个―平行班‖,每班50人.陈老师采用A 、B 两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验.为

了解教学效果,期末考试后,陈老师对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析，画出频率分布直方图（如下图）.记成绩不低于90分者为―成绩优秀‖.

（I ）从乙班随机抽取2名学生的成绩，记―成绩优秀‖的个数为 ξ，求ξ的分布列和数学期望；

（II ）根据频率分布直方图填写下面22?列联表，并判断是否

有95%的把握认为―成绩优秀‖与教学方式有关。

19．（本题满分12分）设函数2

3

1

2)(bx

ax e

x x f x ++=-，已知,2-=x 和1=x 为)(x f 的极值点。

（I ）求a 和b 的值； （II ）设2

3

32)(x x

x g -=

，试证)()(x g x f ≥恒成立。

20．（本题满分13分）已知在直角坐标平面XOY 中，有一个不在Y 轴上的动点P （x,y ），到定点

F （0，

4

1）的距离比它到X 轴的距离多

4

1，记P 点的轨迹为曲线C

（I ）求曲线C 的方程；

（II ）已知点M 在Y 轴上，且过点F 的直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，若 MAB ?为正三角

形，求M 点的坐标与直线l 的方程。

21．（本题满分14分）已知数列{}n a 中，2

1,121=

=a a 且数列{})lg(1+?n n a a 的前n 项和

)(,)32

(lg )3lg 21(

2

*

∈-=N n n n

T n 又设)(212*

-∈-=N n a a b n n n 。

（Ⅰ）求证：数列{}1+?n n a a 是等比数列； （II ）求数列{}n b 的通项n b 及前n 项和;n S （III ）求证：2)411()411)(411(2

1

<+

+

+n

S

S S

2011——2012学年度高三期末考试 理科数学参考答案与评分标准

一．选择题：1.A ，2.C ，3.A ，4.D ，5.C ，6.C ，7.A ，8.D,9.B, 10.A 二．填空题：11.-20, 12.17, 13.63，14.43, 15.（1）32；（2）3

8

三．解答题：

16（I ）)(),6

2sin(22)(R x x x f ∈+

=π

（3分）

x x g s i n 22)(= （6分）

（II ）由（II ）可知，

7

1)tan(1

tan ,4

3tan 2

2cos ,54cos 2

0,2

2sin ,5

3sin 2121212121-

=+∴-==

∴-==∴<<<<==

x x x x x x x x x x π

π

（12分）

∴DE=CE=AB=1，AE=2， （6分）连PE ，BE

法一：以A 为原点O ，AD 为OX 轴，AB 为OY 轴，AP 为OZ 轴建立空间直角坐标系

A （0，0,0），

B （0,1,0）E （2,0,0）

由（I ）知AB 为平面PAE 的法向量且)0,1,0(=AB 设平面PBE 的法向量为),,(z y x n = 由)1,1,0(),0,1,2(,,-=-=⊥⊥PB BE PB n BE n

得???=-=-020

y x z y 解之，得)0(2≠???

??

??

===k k

z k y k x 取)2,2,1(=n （8分）

设所求二面角的平面角为θ

，则2

5tan ,3

2cos =

∴=

=

θθ（12分）

法二：作PE AH ⊥于H ，连BH ，由（I ）知⊥∴⊥PE PE BA ,平面AHB

AHB BE PE ∠∴⊥∴,为所求二面角的平面角 （10分）

在PAE rt ?中，PA AE PE AH ?=?由，得2

5tan ,5

2=

=

∠∴=AH

AB AHB AH （12分）

18. 本题两问各6分

19.解：（I ）)23()2(23)2()(1

2

21

/

b ax x x xe

bx ax

x x e

x f x x +++=+++=--

又2-=x 和1=x 为)(x f 的极值点0)1()2(/

/

==-∴f f

即???=++=+-0233026b a b a 解之，得??

???

-=-=1

31b a （4分）

当

),1[+∞∈x 时，0)(/

≥x h ，此时)(x h 在区间),1[+∞∈x 内是增函数0)1()(=≥∴h x h （10分） 综上，对任意实数x 都有0)(≥x h ，又02

≥x

所以，对任意实数x 都有0)(≥x F ，即)()(x g x f ≥恒成立。（12分）

20.（I ）解由题设 4

1+

=y PF ，即)0(,)4

1()

4

1(2

2

2

≠+

=-

+x y y x

整理得，)(2

12

y y x +=

（2分）

当)0(,,02

≠=≥x y x

y 当y <0时，x=0,与题设不符舍去

故所求曲线C 的方程为)0(2

≠=x x y （4分）

2.当k=0时，D 与F 重合

由2

341,121=

-

==-=m MF x x AB 得2

34

1±

=

m

所以，此时M 点的坐标为)2

34

1,

0(+

或)2

34

1,

0(-

（8分）

3.当0≠k 时，由AB MD AB MD 2

3,=

⊥得

???

????+=--=)

1(3)41(4232222

k m m k 消去2

k

整理，得

016

722

=+

-m m

解之，得4

71=m 或412=

m ，由02

32≥-

m 得4

3≥

m ，所以4

7=

m ，此时2±=k （12分）

故所求M 点的坐标为)2

34

1,

0(+

或)2

34

1,

0(-

此时直线l 的方程为4

1=y 或)4

7

,0(此时直线

l 的方程为4

12+

±

=x y （13分）

21.（I ）解,21lg

lg 121=== T a a

当2≥n 时，1

113

2

1lg

3lg )1(2

1lg lg --+?=-+==-=n n n n n n T T a a

∴N

n a a n n n ∈?=

-+(,3

211

1)*

∴数列{}1+?n n a a 是等比数列；（4分）

(II)由（I ）得，

321

21==

++++n

n n n n n a a a a a a 由此得1

21

123

2

1,3

---?=

=n n n n a a

)(,3

2

11

212*

--∈?=

-=∴N n a a b n n n n （6分）)13

(4

1-=

n

n S （8分） （III ）证明：原不等式等价于

2

1)

411()411)(411(1

2

1

>+

+

+

n

S S S （9分）

将4

13

4

13

,4

132

21-=

-=

-=

n

n S S S 代入上式并整理，即证不等式

2

1)3

11()3

11)(3

11(2

>-

-

-

n

成立 （11分）

又2

13

12

12

1)3

11(2

11)3

13

13

1(

1)3

11()3

11)(3

11(2

2

>

?

+

=

-

-

=++->-

-

-

n

n

n

n

（14分）

故原不等式成立