第八届启智杯集训(二)

代数---实验与猜想

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第八届“启智杯”数学思维能力竞赛集训（二）

【备注】

一、考察的思维品质

考察数学思维的广阔性、深刻性、灵活性、独创性与批判性。 二、考察的思维能力 1．发散性思维能力：直觉思维——数学直觉和数学灵感；形象思维——数学表象和数学想象。 2．收敛性思维能力：逻辑思维——形式逻辑、数理逻辑、辩证逻辑。

2条对角线，五边形有5条对角线。请问：六边形有多少条对

【参考答案】以五边形为例，从一个顶点可以引出两条对角线，因为自己不和自己连，和自己相邻的两个顶角也不连，所以是两条，一共有五个角，所以一共是5×2=10条，又因为从A 到C ，从C 到A ，是同一条，而我们算了两次，所以整个图形都是重复了一半，所以要除以2，任意多边形都是这样，所以多边形对角线的条数公式是

2

)

3(-n n ，当n=6时，2)3(-n n =92)36(6=-（条）；当n=16时，2)3(-n n =1042

)

316(16=-（条）。

2．我们知道在十进制加法中，逢十进一，如9+8=17，也可写成)10()10()10(1789=+；在四进制加法中，逢四进一，如)4()4()4(1123=+,那么在n 进制中有等式)()()(1424355n n n =+，则

=n . 【参考答案】6

3. 自然数的平方按从小到大排成1，4，9，16，25，36，49，…，问：第612个位置上的数字是几？

10到31的平方是三位数，占去66个位置； 32到99的平方是四位数，占去272个位置；

将1到99的平方排成一行，共占去353个位置，从612减去353，还有259个位置。从100到300的平方都是五位数，因此，第612个位置一定是其中某个数的平方中的一个数字。 因为259=51×5+4，即从100到150，共51个数，它们的平方都是五位数，要占去255个位置，而151×151=22801，它的第四个数字是0，所以612个位置的数字是0.

4. 某同学做跳棋游戏，如图所示，为ABC △,8,9,10AB AC BC ===.如果跳棋开始在BC 边上的0P 点，04BP =,第一步跳棋跳到AC 边上1P 点，且10CP CP =；第二步从1P 跳到AB 边上2P 点，且21AP AP =；第三步跳棋从2P 跳回到BC 边上3P 点，且32BP BP =；

……；跳棋按上述规则跳下去，第2013次落点为2013P ，请计算0P 与2013P 之间的距离。

【参考答案】BP 0=4，CP 1=6，AP 2=3，BP 3=5，CP 4=5，AP 5=4，BP 6=4，则2013÷6=335……3，所以，BP 2013=5则P 0与P 2013之间的距离=5－4=1.

5.有一列数1,1,2,3,5,8,13，……（从第三个数开始，每个数恰好是它前面相邻两个数之和），这列数的第2013个数被3除的余数是多少？

【参考答案】被3除的余数规律为：1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、……周期为8，则2013÷8=251……5，则余数为2.

6. 一个人从中央（标0）的位置出发，向东、北各走1千米，再向西、南各走2千米，再向东、北各走3千米，再向西、南各走4千米，……，如此继续下去。他每走1千米，就把所走的路程累计数标出，当他走到距中央正东100千米处时，共走了多少千米？

【参考答案】观察右下角拐弯处的数：第一个：1=12=（2

×1-1）2；第二个：9=32=（2×2-1）2；第三个：25=52=（2×3－1）2；……，第n 个拐弯处的数：（2n-1）2，所

以第100个拐弯处的数是（2×100-1）2，再向北走99千米，即为中央正东100千米处，一共走了（2×100-1）2＋99=39700（千米）。

C

P

P

这个数列中第一个零出现在第 项。

【参考答案】数列再写下去：1，1991，1990，1，1989，1988，1，……，1，3，2，1，1，0，每三个数为一组，每组从第一个数都是1，从1991到0共有（1991+1）÷2=996（组），第一次出现0是第996组的最后一个数，即第996×3=2998（项）。

8.把1到1997这1997个数，按顺时针方向依次排列在一个圆周上，从1开始按顺时针方向，保留1，擦去2，保留3，擦去4……（每隔一数，擦去一数），转圈擦下去，最后剩下的是哪个数？

【参考答案】

如果只有1，2，留下1；

如果只有1，2，3，4，留下1；

如果只有1，2，3，4，5，6，7，8，留下1； 如果只有1，2，3，4，5，…，15，16，留下1； ……

如果个数是2n 个时，留下的数一定是第一个数1。

由于210=1024＜1997＜211=2048，1997－1024=973，就是说要剩下1024个数就要先擦去973个数，按题意，每两个数擦去一个数，应当擦到第973个数时，最后剩下的数是1024个，这时最后擦去的数应是973×2=1946，后面1024个数的第一个数是1947，即最后剩下的数就是1947.

9. 如果，，，12)206(27)39(4)4(===f f f 那么 ++++)4()3()2()1(f f f f _________)100)99(=++（f f 。

【参考答案】仔细观察式子得到，原式＝（1＋2＋3＋…＋8＋9）＋（1＋1＋2＋3＋…8＋9）＋（2＋2＋4＋6＋…＋16＋18）＋（3＋3＋6＋9＋…＋24＋27）＋…＋（9＋9＋18＋27＋36＋…＋72＋81）＝45×1＋46×1＋46×2＋46×3＋…＋46×8＋46×9＝45×1＋46×45＝46×46＝2116.

10. A 、B 、C 、D 四个盒子中分别放有6，5，4，3个球，第一个小朋友找到放球最少的盒子，从其它的盒子中各取1个球放入这个盒子中，然后第二个小朋友又找到一个放球最少的盒子，从其他的盒子中各取1个球放入这个盒子中，……如此进行下去，当第2011个小朋友放完后，A 、B 、C 、D 四个盒子中的球数依次是多少个？ 【参考答案】3，6，5，4

11.一串数 33

32323131222221211111，，，，，，，，，，第2013个分数是多少？

【参考答案】（44＋1）×44÷2＝990，990×2＝1980，2013－1980＝33，33÷2＝16……1，所以第2013个分数是

45

17

.

12.计算机从自然数1开始由小到大按如下规则进行染色：凡能表示为两个不同合数之和的自然数都染成红色，不符合上述要求的自然数染成黄色（比如29可表示为两个不同合数20和9之和，29要染红色；1不能表示为两个不同合数之和，1染黄色）。问：被染成红色的数由小到大数下去，第2014个数是多少？请说明理由。

【参考答案】显然1要染黄色，2＝1+1也要染黄色，

3＝1+2，

4＝1+3＝2+2，

5＝1+4＝2+3，

6＝1+5=2+4＝3+3，

7＝1+6＝2+5＝3+4，

8＝1+7＝2+6＝3+5＝4+4，

9＝1+8＝2+7＝3+6＝4+5，

11＝1+10＝2+9＝3+8＝4+7＝5+6。

可见，1，2，3，4，5，6，7，8，9，11均应染黄色。

下面说明其它自然数n都要染红色。

（1）当n为大于等于10的偶数时，n＝2k＝4＋2（k-2）。

由于n≥10，所以k≥5，k-2≥3，2（k-2）与4均为合数，且不相等。也就是说，大于等于10的偶数均能表示为两个不同的合数之和，应染红色。

（2）当n为大于等于13的奇数时，n＝2k＋1＝9＋2（k-4）。

由于n≥13，所以k≥6，k-4≥2，2（k-4）与9均为合数，且不相等。也就是，大于等于13的奇数均能表示为两个不同的合数之和，应染红色。

综上所述，除了1，2，3，4，5，6，7，8，9，11这10个数染黄色外，其余自然数均染红色，第k个染为红色的数是第（k+10）个自然数（k≥2）。

所以第2014个染为红色的数是2014＋10＝2024。

13.如图所示，各图是由若干盆花组成的如三角形的图案，按规律推断：第2014个图案的花盆是多少？

14.任意写一个3的倍数（0除外），把它的各个数字分别立方并相加得到一个新数，再把新得到的数的各个数字分别立方并相加又得到一个新数，一直重复下去……，这些新数中第2014个数是多少？

【参考答案】如此操作下去，最后得到一个不变的数153，那么第2014个数也是153。

15.一个非零自然数，如果从左到右顺读和从右到左逆读，都是一样的，则这个数称为“回文数”，如4，55，171，4994，12321等都是回文数，而332不是回文数。那么从小到大的第2014个回文数是多少？

【参考答案】位数：有9个(1～9) ；两位数：有9个(11，22，33，…，99)；三位数：9×10=90个（1□1，2□2，…，9□9）：四位数：9×10=90个（1□□1，2□□2，…，9□□9）；五位数： 9×10×10＝900个（1□□□1，2□□□2，…，9□□□9）；六位数：9×10×10＝900个（1□□□□1，2□□□□2，…，9□□□□9）.共有：9×2＋90×2＋900×2＝1998个。第1999个，是第一个七位回文：1000001；第2000～2008个分别为1001001，1002001，…，1009001；第2009个为1010101，第2010个为1011101，第2011个为1012101，…，第2014个回文数为1015101.

16.在同一平面内，1个圆将平面分成2个部分，2个圆将平面最多分成4个部分……那么20个圆最多将平面分成几个部分?

【参考答案】

1个圆将平面分成：2

2个圆将平面分成：2＋2＝4

3个圆将平面分成：2＋2＋4＝8

4个圆将平面分成：2＋2＋4＋6＝14（如图）

......

20个圆将平面分成：2＋2＋4＋6＋8＋……＋36＋38＝382.即20个圆最多将平面分成382个部分。一般地，n个圆最多将平面分成： 2＋n(n－1)个部分