2016年潍坊工程职业学院单招数学模拟试题(附答案解析)

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2016年潍坊工程职业学院单招数学模拟试题（附答案解

析）

一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数，则

（）

A．B．z的实部为1 C．z的虚部为﹣1 D．z的共轭复数为1+i

2．

且则的方程为（）

（A） B）（C）（D）

3、设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程为（）

4．双曲线的渐近线方程为

A． B． C． D．

5. 函数在上为减函数，在上为增函数，则（）（A）（B）（C）（D）

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6.双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=3|PF2|, 则双曲线离心率的取值范围为（） A.(1,2) B. C.(3,+) D.

7．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．

8. 若双曲线y2=4（m>0）的焦距为8，则它的离心率为

A． B． C． D．2

9.已知对任意实数，有，且

时，，则时（）

A．

B．

C．

D．

10．抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交

于第一象限的点，若在点M处的切线平行于

的一条渐近线，则=

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A. B. C. D.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．设，若f (x)在x=1处的切线与直线垂直，则实数a的值为．

12．复数（其中为虚数单位）的虚部为

13．函数的单调减区间为

14．椭圆的焦距为2，则的值等于

15．已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为，点为坐标原点，则此双曲线的离心率为 .

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程

或演算步骤．

16.已知是复数，若为实数（为虚数单位），且为纯虚数．（1）求复数；（2）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围（3）复数满足，求|的最值

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17．（本小题满分12分）

已知椭圆2x2

＋y 2＝1，

（Ⅰ）求该椭圆的焦点坐标、长轴长、短轴长、离心率；

（Ⅱ）求过点P (21，21

)且被P 平分的弦所在直线的方程．

18．（本小题满分12分）

设函数

在及时取得极值．

（1）求a 、b 的值；

（2）若对于任意的，都有成立，求c 的取值范围．

19．（本小题满分12分）用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

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20．（本小题满分13分）

已知椭圆G：，过点(0，2)作圆x2＋y2＝1的切线l交椭圆G于A，B两点．

(Ⅰ)求椭圆G的焦点坐标和离心率；

(Ⅱ)O为坐标原点，求△OAB的面积．

21．（本小题满分14分）

已知函数

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）若关于的方程有三个不同的实根，求实数的取值范围

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参考答案

一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．

C C

D B C B D A B D

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11.－112.13. 14．3或5 15．2

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演

17．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ），∴

∴焦点坐标 (2)

分

长轴长 (3)

分

短轴长…………………………………………………………………………………4分

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离心率 (6)

分

（Ⅱ）法一：由题意可知，该直线的斜率存在，……………………………………7分 不妨设所求直线方程为y －21＝k (x －21

)， 即y ＝kx ＋21－21

k . 由k ，1

得(2＋4k 2)x 2＋4k (1－k )x ＋(1－k )2－4＝0，……………………………………………9分 设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，

则x 1＋x 2＝－2＋4k24k （1－k ）

＝1，…………………………………………………………10分 解之得k ＝－21

.……………………………………………………………………………11分 ∴直线方程为2x ＋4y －3＝0. …………………………………………………………12分

（Ⅱ）法二：设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，

由题意知，所求直线的斜率存在，设为k ，……………………………………………7分 则x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1. ………………………………………………………………8分 由12122222＝1，2得y 12－y 22＝－21(x 12－x 22

)，……………………………………………9分 ∴x1－x2y1－y2＝－21·y1＋y2x1＋x2＝－21，即k ＝－21，……………………………………………11分 ∴直线方程为y －21＝－21(x －21)，

即2x ＋4y －3＝0. ………………………………………………………………………12分

18. （本小题满分12分） 解：（1）

…………………………………………1分

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因为函数在及取得极值，则有，．

即………………………………………………………3分

解得，…………………………………………………………4分

（2）由（Ⅰ）可知，……………………5分

．………………………………6分

当时，；

当时，；

当时，．

所以，当时，取得极大值，

又，．

则当时，的最大值为．………………10分

因为对于任意的，有恒成立，

所以，

解得或，

因此的取值范围为．…………………………………………………12分

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19．（本小题满分12分）

解：设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为

.

故长方体的体积为

………………………4分从而

令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.

当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜时，V′（x）＜0，

故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。……………10分

从而最大体积V＝V（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.

答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3。

………………………………………………………………………12分

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20．（本小题满分13分）

解：(Ⅰ)由已知得a ＝2，b ＝1， 所以c ＝＝.

所以椭圆G 的焦点坐标为(－，0)，(，0)，………………………………………2分 离心率为e ＝a c ＝23

.…………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）设l 的方程为y ＝kx ＋2，即kx －y ＋2＝0，

由l 与圆x 2

＋y 2

＝1相切得1＋k22

＝1，……………………………………………………5分

解得k ＝±.…………………………………………………………………………………6分 将y ＝±x ＋2代入x 2＋4y 2－4＝0

得13x 2±16x ＋12＝0. ……………………………………………………………………7分 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

则x 1＋x 2＝133，x 1x 2＝1312

，………………………………………………………………9分 |AB |＝2＝2

＝2 1312＝1324

.……………………………………………………………11分

又O 到AB 的距离d ＝1. …………………………………………………………………12分 ∴S △OAB ＝21×|AB |×1＝1312

.………………………………………………………13分

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21．（本小题满分14分）

解（1）………………………………………2分

∴曲线在处的切线方程为，即； (4)

分

（2）记

令或1. ………………………………………………………………6分

则的变化情况如下表

极小

极大

当有极大值有极小值. ………………………10分由的简图知，当且仅当

即时，

函数有三个不同零点，过点可作三条不同切线.

所以若过点可作曲线的三条不同切线，的范围是.…………14分