《心理统计学》重要知识点

《心理统计学》重要知识点

第二章 统计图表

简单次数分布表的编制：Excel 数据透视表

列联表（交叉表）：两个类别变量或等级变量的交叉次数分布，Excel 数据透视表

直方图（histogram ）：直观描述连续变量分组次数分布情况，可用Excel 图表向导的柱形图来绘制 散点图（Scatter plot ）：主要用于直观描述两个连续性变量的关系状况和变化趋向。 条形图（Bar chart ）：用于直观描述称名数据、类别数据、等级数据的次数分布情况。 简单条形图：用于描述一个样组的类别（或等级）数据变量次数分布。 复式条形图：用于描述和比较两个或多个样组的类别(或等级)数据的次数分布。

圆形图（circle graph ）、饼图（pie graph ）：用于直观描述类别数据或等级数据的分布情况。 线形图（line graph ）：用于直观描述不同时期的发展成就的变化趋势；

第三章 集中量数

● 集中趋势和离中趋势是数据分布的两个基本特征。

● 集中趋势：就是数据分布中大量数据向某个数据点集中的趋势。 ● 集中量数：描述数据分布集中趋势的统计量数。 ● 离中趋势：是指数据分布中数据分散的程度。

● 差异量数：描述数据分布离中趋势（离散程度）的统计量数 ● 常用的集中量数有：算术平均数、众数（M O ）、中位数（M d ） 1．算术平均数（简称平均数，M 、X 、Y ）：n

x X i ∑= Excel 统计函数AVERAGE

算术平均数的重要特性：

（1）一组数据的离均差（离差）总和为0，即0)(=-∑x x i

（2）如果变量X 的平均数为X ，将变量X 按照公式bx a y +=转换为Y 变量后，

那么，变量Y 2．中位数（median ，M d ）：在一组有序排列的数据中，处于中间位置的数值。中位数上下的数据

出现次数各占50%。

3．众数（mode ，M O ）：一组数据中出现次数最多的数据。 4．算术平均数、中数、众数之间的关系。

5．加权平均数：i

i

i n n n w w w x w w w w x w x w x M ∑∑=++++++=

212211

6．调和平均数（harmonic mean ，M H ）：一组数值倒数的平均数的倒数。

∑=

+???++=

i

n

H x

n

n x x x M )1

11(

1

21 Excel 统计函数HARMEAN （1）用于描述同一个体(或一组个体)不同时间段的平均学习速度、平均工作效率。 （2）用于描述不同能力水平个体的平均学习速度、平均工作效率。 7．几何平均数（geometric mean ，Mg ）是指n 个观察值连乘积的n 次方根.

（1）一组数据中少部分偏大(或偏小)，数据分布呈偏态时，几何平均数比算术平均数更能反映

数据的集中趋势。

n n g x x x M ??= 21 Excel 统计函数GEOMEAN

（2）用于计算平均学习进步速度、平均发展速度（平均发展倍数），即环比的几何平均数。

11

1

134

2312---=???=n n n n n g x x x x x x x x x x M （n x x x 、、

、 21为各个时间段的成果数据） 平均增长率：1-g M

第四章 差异量数

● 差异量数：描述一组数据离散程度（离中趋势）的统计量数。差异量数较大，说明数据分布得比较分散，数据之间的差异较大；差异量数较小，说明数据分布的比较集中，数据间的差异较小。 ● 差异量数还能反映平均数对一组数据的代表性。差异量数越小，平均数的代表性越好；差异量数越大，平均数的代表性越差。

● 常用的差异量数是标准差、方差、差异系数

标准差s ：n X X s i 2

)(∑-=

Excel 统计函数STDEVP （给定样本总体的标准偏差）

标准差s n-1：1)(2

1--=∑-n X X s i n Excel 统计函数STDEV （给定样本的标准偏差）

方差2

s ：n

X X s i 22

)(∑-=

Excel 统计函数VARP （给定样本总体的方差）

方差2

1

-n s

：1

)(22

1

--=∑-n X X s i n Excel 统计函数VAR （给定样本的方差）

差异系数（又称变异系数、离散系数、相对标准差）：X

S

CV =

（1）用于比较不同观测工具测量结果（数据单位不同）的离散程度，例如，身高离散程度大，还

是体重离散程度大？

（2）用于比较用同一观测工具测得的、均数差异较大的不同样本数据的离散程度。例如：7岁组

儿童和13组岁儿童的体重离散程度，哪个较大？

● 标准差的重要特性：如果变量X 的标准差为X S ，将变量X 按照公式bx a y +=转换为Y 变量后，

那么，变量Y 的标准差X Y bS S =

● 相对位置量数：反映个体（数据）在团体中相对位置的统计量数。

主要有标准分数及其线性转换分数（Z 分数、T 分数）、百分等级(PR)、正态化标准分数等。 1．标准分数的计算与应用：S X X Z i -=

或：σ

μ

-=i X Z ， 5010+=Z T ，500100+=Z CEEB

Z 分数的特点：Z 分数的平均数为0，即0=Z μ，标准差为1，即1Z =σ T 分数的平均数50T =μ，标准差为10T =σ

CEEB 分数的平均数=___________？，标准差=__________？

（1）可用于比较个体各方面水平高低（横向比较，个体内差异评价）。

（2）对被试多方面的测量结果进行综合，如对高考各科成绩的综合，各分测验分数的综合。 （3）可用于对个体或样组某方面水平进行前后比较（纵向比较），判断其水平是提高了，退

步了，还是没有变化。

2．原始分数X 的百分等级的含义与计算

根据简单次数分布表计算：1005.0?+=

N

F f PR b

X 根据分组次数分布表计算：100?+?-=N

F f i L X PR b b

X

第五章 相关关系

● 相关关系的描述方法

（1）相关散点图：适用于直观描述两个连续性数值变量（等距数据、比率数据）之间的关系。

可用Excel 图表向导中的“XY 散点图”绘制。

（2）双向次数分布表（交叉表、列联表）：适用于描述两个等级变量(或称名变量、类别变量)

之间的关系。可用Excel 数据透视表编制列联表）。 （3）相关系数（相关关系的特征值）。

● 相关系数：描述两个变量相关关系的统计量数，在-1.00~1.00之间取值，绝对值越大，越接近1，说明两个变量之间的关系程度越密切；绝对值越小，越接近0，说明两个变量的关系程度越低。 ● 常用的相关系数： 1．积差相关：y

x i i s ns y y x x r ∑--=

))(( Excel 统计函数CORREL

适用条件：（1）X 、Y 两个变量都是连续性变量（等距数据或比率数据）；

（2）X 、Y 两个变量总体上为正态分布或接近正态分布。

2．斯皮尔曼等级相关：是一对（两列）名次变量的积差相关。对数据变量的分布形态没有要求。

（1）等级积差相关法（名次积差相关法）。

Y

X R R Y Y X X R S NS R R R R r )

)((--∑=

Excel 统计函数CORREL

公式中的R X 和R Y 是分别代表两变量中每个数据在变量中的名次。

（2）等级差数法（名次差数法）。

如果每个等级(即名次)变量中没有相同的等级名次，可用下面公式计算：

等级差数法简化公式：)

1(612

2

-∑-=N N D r R 如果等级(即名次)变量中有相同的等级名次，需用下面校正公式计算： 等级差数法校正公式：)

)((222222y x D y x r RC ∑∑?∑-∑+∑=

，2x ∑、2y ∑计算方法参见教材125页

3．肯德尔W 系数（肯德尔和谐系数）：描述多个名次变量一致性程度的统计量数。

适用于描述和分析不同评价者（如主考、阅卷者）对同一组个体（考生或答卷）评价结果（名次）的一致性程度，在心理测量与教育评价中称为评分信度。例如，5位阅卷老师对10篇论文评分排名的一致性。如果评价者给出的不是个体的水平名次，而是分数(或等第、符号），可先将其转换成名次，然后再计算W 系数。

)(121)(3222

N N K N R R W i i --=

∑∑ 校正公式：∑∑∑---=T N N K N R R W i i )(12

1)(3222

∑∑-=12)

1(2n n T 公式中：n 为每个名次变量中相同名次的数目。 4．点二列相关（point-biserial correlation ）：

用于描述一列续性变量和一列真正二分变量(或非正态二分变量)之间的相关。

真正二变量：指按某种性质或标准将个体划分为两种结果的变量，如对、错，男、女等。

pq s X X r t

q

p pb ?-=

Excel 统计函数CORREL

5．二列相关(biserial correlation)：用于描述由一个正态连续变量人为划分成的二分变量与另外一个

正态连续变量之间的相关。或者说，用于描述一正态二分变量与一正态连续变量之间的相关。 人为二分变量？是指由连续变量转换而来的二分变量，例如，将测验或考试分数区分为及格和不

及格，80分以上和80分以下；按中考(或高考)成绩，将考生区分为录取、未录取。

正态二分变量？如果二分变量是根据正态连续变量转换而来，那么，可称之为正态二分变量。

y

pq

s X X r t

q

p b ?

-=

y 为将正态分布面积画分为p 、q 两部分的纵线的高度。 y 的计算方法：利用Excel 统计函数计算

标准正态分布区间点函数NORMSINV(p 值) →区间点Z 值 正态分布函数NORMDIST(区间点Z 值,0,1,0) →Z 值的概率密度y 6．Φ相关（Φ系数）：)

)()()((|

|d b c a d c b a bc ad r ++++-=

Φ

用于描述两个真正二分变量的相关程度，也用于描述一个人为二分变量和真正二分变量的相关。 注意：Φ相关计算公式是由皮尔逊积差相关计算公式转换来的。因此，如果两列二分变量转换

为0、1（或1、2）的数值变量时，可以用Excel 统计函数CORREL 计算Φ系数。

第六章 概率分布

1．正态分布的特征（见教材）

2．Excel 软件中正态分布函数和正态分布区间点函数的应用

◆标准正态分布函数NORMSDIST 的应用：

（1）P(Z ＜1.96)=？ =NORMSDIST(1.96)=0.9750 （2）P(Z ＞1.96)=？ =1-NORMSDIST(1.96)=0.0250

（3）P(-1.5＜X ＜2.5)=？ =NORMSDIST(2.5)-NORMSDIST(-1.5)=0.9270 ◆正态分布函数NORMDIST 的应用

例如：已知某次测验的分数呈正态分布，平均分为75分，标准差为10分，试计算： （1）低于80分的考生占多大比例，P(X ＜80分)=？ （2）80分以上的考生占多大比例，P(X ≥80分)=？

（3）80分以上，低于90分的考生占多大比例，P(80≤X ＜90)=？ P(X ＜80分)：“=NORMDIST (79.5,75,10,1)”=0.6736 P(X ≥80分)：“=1-NORMDIST (79.5,75,10,1)”=0.3264

P(80≤X ＜90)：“=NORMDIST (89.5,75,10,1)-NORMDIST (79.5,75,10,1)”=0.2528 ◆标准正态分布区间点函数NORMSINV 的应用

根据给定的向上累积概率P(Z

根据正态变量X 的平均数、标准差和向上累积概率P(X

例：已知某次大规模招聘考试分数呈正态分布，平均分为55分，标准差为12分。现准备录取

10%的考生进行面试，录取分数线大致是多少？

P(X ＞?)=0.10，即P(X ＜?)=1-0.10=0.9，=NORMINV(0.9,55,12)=70.38，

最低分数线应为70分。

3．测验分数、测评等级的正态化：

根据被试样本原始分或等级的简单次数分布表，计算各个不同分数或等级的正态标准分数 （1）计算每个不同分数X （或等级）以下累计次数F b ；

（2）计算每个不同分数X （或等级）中点以下累积比率CP ：N

F f CP b

X +=

5.0 （3）利用Excel 统计函数NORMSINV ，计算CP 对应的正态Z 分数。 （4）根据需要，将正态Z 分数转为其他标准分数形式：

T 分数、CEEB 分数、托福考试分数、离差智商IQ 等，

5010+=Z T ，500100+=Z CEEB ，50070+=Z TOEFL ，10015+=Z IQ

4．偏态系数（SK ）和峰态系数（Kurt ）的计算与应用

偏态系数：Excel 统计函数SKEW ； 峰态系数：Excel 统计函数KURT 。 偏态系数SK ＝0，对称分布；SK ＞0，正偏态分布；SK ＜0，负偏态分布。

峰态系数Kurt ＝0，正态分布的峰态；Kurt ＞0，次数分布的峰度比正态分布峰度低阔；

Kurt ＜0，次数分布峰度比正态分布峰度高狭。

偏态系数和峰态系数都等于0或接近0时，变量的分布为正态分布。

5．二项分布的定义

二项分布是二项试验验结果的概率分布。进行n 次二项试验，各次试验彼此独立，每次试验时某事件出现的概率都是p ，该事件不出现的概率为q （=1-p ），则该事件出现x 次的概率分布为：

x

n x x n q p C p n x b x X P -===),,,()(。

二项分布的Excel 统计函数：BINOMDIST 6．二项分布函数BINOMDIST 的应用

对20道四选一的单项选择题，如果完全凭猜测答题，那么 （1）猜对5道题的概率是多少？ （2）猜对5题以下概率是多少？ （3）猜对6题以上的概率是多少？ n =20，每题猜对的概率为p =0.25

（1）猜对5道题的概率P (X =5) =BINOMDIST （5，20，0.25，0）=0.20233 （2）猜对5题以下的概率P (X ≤5) =BINOMDIST （5，20，0.25，1）=0.61717

（3）猜对6题以上的概率P (X ≥6)=1-P (X ≤5) =1-BINOMDIST （5，20，0.25，1）=0.38283 7．二项分布的形态：随n 、p 的变化具有不同的分布形态

（1）当p =q 时，二项分布是对称分布。 （2）当p =q ，np ≥5时，接近正态分布。

（3）当p ≠q ，np ＜5或nq ＜5时，二项分布为偏态分布。 （4）当p ≠q ，np ≥5且nq ≥5时，二项分布接近正态分布。 8．二项分布的平均数和标准差

进行n 次二项试验，每次试验时某事件出现的概率都是p ，则该事件出现次数的理论平均数(μ)、 方差(2σ)和标准差σ分别为：npq npq np ===σσμ，，2。

如果np ≥5且nq ≥5，成功事件出现结果的概率分布接近np =μ、npq =σ的正态分布。 进行投掷100枚硬币试验，如果进行无数次试验，正面向上的硬币数目会在0～100个之间变化。那么，正面向上次数的理论平均数：μ=np =100×0.5=50，标准差为55.05.0100=??==npq σ。

20道四选一的单项选择题，如果完全凭猜测答题，那么， 猜对题数的平均数为μ=np =20×1/4=5

猜对题数的理论标准差为94.14/34/120=??==npq σ。

第七章 总体参数估计

1．常用的点估计：

总体均数μ的点估计：用样本平均数X ，Excel 统计函数为AVERAGE 总体方差σ2的点估计：用样本标准差21-n S ，或12-?n n

S 。 总体标准差σ的点估计：用样本标准差1-n S ，或1

-?

n n

S 。

2．总体平均数的区间估计

1．若样本均数的抽样分布为正态分布，

总体均数的0.95置信区间为：1

96.1205.0-?±=±n S X SE Z X 总体均数的0.99置信区间为：158.2201.0-?±=±n S X SE Z X

2．若样本均数的抽样分布为df =n -1的t 分布，那么，

总体均数的0.95置信区间为：12/05.02/05.0-?±=±n S t X SE t X 总体均数的0.99置信区间为：1

2/01.02/01.0-?

±=±n S t X SE t X

自由度df =n -1，205.0t =？，205.0t =？，可用Excel 统计函数TINV 计算。 也可查教材453页t 值表

3． 总体方差与标准差的区间估计

总体方差2σ的0.95置信区间为：

2975

.02

2

2025

.02

χσχnS nS <

<，或

2975

.021

2

2025

.021

)1()1(χσχ---<

<-n n S n S n ，

总体方差2σ的0.99置信区间为：

2995

.02

2

2005

.02

χσχnS nS <

<，或

2995

.021

2

2005

.021

)1()1(χσχ---<

<-n n S n S n

自由度df =n -1的2χ分布右侧概率区间点的计算，也可用Excel 统计函数CHIINV 。 也可查教材475页2χ分布数值表

总体标准差σ的置信区间：取总体方差2σ置信区间上、下限的正平方根。 4．总体积差相关系数的区间估计：

（1）将样本相关系数r 转换为费舍Zr 值，转换方法：Excel 统计函数FISHER （2）计算Zr 的标准误SE Zr ：3

1-=

n SE Zr

（3）计算总体Z ρ值的1-α置信区间：Zr r SE Z Z 2α±

0.95置信区间为：396.1205.0-±=±n Z SE Z Z r Zr r 0.99置信区间为：3

58.201.0-±

=±n Z SE Z Z r Zr r

（4）计算总体相关系数ρ值的置信区间：将总体Z ρ值区间上、下限进行费舍逆转换，

转换方法：Excel 统计函数FISHERINV

5．总体比率（比例）的区间估计

5?5?≥≥q n p

n ，时，样本比率p ?的抽样分布渐近正态分布。 总体比率的0.95置信区间为：n q p

p SE p

p ??96.1?96.1??±=± 总体比率的0.99置信区间为：n

q p p SE p

p ??58.2?58.2??±=±

第八章 假设检验

在Z 检验中：双侧检验临界值：2/05.0Z =1.96 2/01.0Z =2.58

单侧检验临界值：05.0Z =1.645 01.0Z =2.326 单侧显著性概率P ：=1-NORMSDIST （ABS （Z 值）） 双侧显著性概率P ：=(1-NORMSDIST(ABS(Z 值)))*2

在t 检验中：单侧显著性概率P ：=TDIST （ABS （t 值），df ，1）

双侧显著性概率P ：=TDIST （ABS （t 值），df ，2）

1．单个样本Z 检验

主要用途：分析单个样本均数x 与已知的总体均值μ0的有无显著差异， 适用条件：（1）总体呈正态分布，总体方差2σ已知；

（2）总体是正态分布，总体方差2σ虽然未知，但样本容量30≥n ； （3）即使总体非正态分布，总体方差2σ也未知，样本容量30≥n 。

1

'00

--=

-=

n S

X Z n

X Z μσμ或：

2．单个样本t 检验

主要用途：用于分析单个样本均数x 与已知的总体均数μ0的差异，

适用条件：（1）总体呈正态分布，总体方差2σ未知，样本容量30

（2）总体非正态分布，总体方差2σ未知，样本容量30≥n 的情况下.

1

0--=

n S

X t μ 1-=n df

3．单个样本比率Z 检验

主要用途：根据一个样本的比率p ?，分析样本所代表的总体比率p 与已知比率0p 有无显著差异。

适用条件：5500≥≥nq np ，

n

p p p p Z )1(?000--=

4．两独立样本比率差异Z 检验

主要用途：根据两个独立样本的比率21??p p

-，推断两总体比率p 1、p 2有无显著差异 适用条件：两个样本相互独立，22112211????q n q n p n p

n ，，，都≥5 )

()??)(??(??21212211221121n n n n q n q n p n p

n p p

Z +++-=

5．两独立样本方差齐性检验

主要用途：根据相互独立的两个样本的方差，推断两个总体的方差是否相等或是否有显著差异。

)

1()

1(222

212112

1

2

121--=

=

--n S n n S n S S F n

n

小的大的 分子方差的自由度df=n 1-1，分母方差的自由度df=n 2-1

双侧显著性概率P 值：=FDIST （F 值，分子自由度，分母自由度）*2

6．相关样本t 检验

主要用途：

（1）根据一组被试前、后两次测评结果，推断两次测验结果的总体均数有无显著差异。 （2）根据实验组和配对对照组测评结果，推断实验组和对照组的总体均数有无显著差异。 适用条件：两个样本的数据有一一对应关系，且有可比性；两总体数据呈正态分布。

1

22122

2

121--+

-=

n S rS S S X X t 1-=n df

7．独立样本Z 检验

主要用途：根据两个独立样本的均数差异21X X -，推断两总体均数21μμ、有无显著差异。

适用条件：（1）两总体为正态分布，总体方差21σ、2

2σ已知，不管样本大小

（2）两总体非正态分布，总体方差21σ、2

2σ已知，303021≥≥n n ，时 （3）两总体非正态分布，总体方差21σ、22σ未知，303021≥≥n n ，时

总体21σ、2

2σ已知时：2

22

1

2

1

2

1n n X X Z σ

σ

+

-=

； 总体21σ、2

2σ未知时：2

221

2121n s n s X X Z +-=

8．独立样本等方差假设t 检验

主要用途：根据两个独立样本的均数差异21X X -，推断两总体均数21μμ、有无显著差异？

适用条件：（1）两总体为正态分布，总体21σ、22σ未知，且21σ=2

2σ，不管样本大小

（2）两总体非正态分布，总体21σ、22σ未知，且21σ=2

2σ，303021≥≥n n ，时

两总体方差21σ、2

2σ是否相等，需要先做方差齐性检验。

注意：大多数情况下，两总体方差基本相等。

)

1

1(22

1212

2

22

112

1n n n n s n s n X X t +?-++-=

221-+=n n df

9．独立样本异方差假设t 检验

主要用途：根据两个独立样本的均数差异21X X -，推断两总体均数21μμ、有无显著差异？

适用条件：（1）两总体为正态分布，总体21σ、22σ未知，且21σ≠2

2σ，不管样本大小

（2）两总体非正态分布，总体21σ、22σ未知，且21σ≠2

2σ，303021≥≥n n ，时

2

221212

1n s n s X X t +-=

当n n n ==21时，1-=n df ；当21n n ≠时，()1)(1)(22

121121212

22

212

1

-+-+=n n s n n s n s n s

df 10．积差相关显著性t 检验

主要用途：根据一对变量的样本数据及其积差相关系数r ，推断两变量有无显著关系。 适用条件：两变量为连续性数值变量，且总上正态分布。

2

12r n r t --?

= 2-=n df

第十四章 抽样原理及方法（参见教材）