二轮复习之关于求空间距离的问题(基础篇)

教学过程

一、高考解读

空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，求其他几种距离一般化归为这三种距离

随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着“多一点思考,少一点计算”的发展，从历年的考题变化看, 以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证，角与距离的探求是常考常新的热门话题。单独求夹角和距离的题目多为选择题、填空题，分值大约5分左右；

二、复习预习

二面角：

方法①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法

注1 二面角的计算也可利用射影面积公式S ′=S cos θ来计算

注2 借助空间向量计算各类角会起到事半功倍的效果

4．三种空间角的向量法计算公式：

⑴异面直线,a b 所成的角θ：cos cos ,a b θ=<>

；

⑵直线a 与平面α(法向量n )所成的角θ：sin cos ,a n θ=<>

；

⑶锐二面角θ：cos cos ,m n θ=<>

，其中,m n 为两个面的法向量。

三、知识讲解

考点1

空间中的距离主要指以下七种

(1)两点之间的距离

(2)点到直线的距离

(3)点到平面的距离

(4)两条平行线间的距离

(5)两条异面直线间的距离

(6)平面的平行直线与平面之间的距离

(7)两个平行平面之间的距离

七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离七种距离之间有密切联系，有些可以相互转

化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离

在七种距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点

求点到平面的距离(1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长(2)转移法，转化成求另一点到该平面的距离(3)体积法(3)向量法

求异面直线的距离(1)定义法，即求公垂线段的长(2)转化成求直线与平面的距离(3)函数极值法，依据是两条异面直线的距离是分别在两条异面直线上两点间距离中最小的

考点2

用向量法求距离的公式： ⑴异面直线,a b 之间的距离：

||

AB n d n ?= ，其中,,,n a n b A a B b ⊥⊥∈∈

。

⑵直线a 与平面α之间的距离：

||

AB n d n ?= ，其中,A a B α∈∈。n

是平面α的法向量。

⑶两平行平面,αβ之间的距离：

||

AB n d n ?= ，其中,A B αβ∈∈。n

是平面α的法向量。

⑷点A 到平面α的距离：

||

AB n d n ?= ，其中B α∈，n

是平面α的法向量。

另法：点000(,,),A x y z 平面0Ax By Cz D +++=

则

d =

⑸点A 到直线a 的距离：

d =B a ∈，a

是直线a 的方向向量。

⑹两平行直线,a b 之间的距离：

d =,A a B b ∈∈，a

是a 的方向向量。

四、例题精析

例题1如左图，空间四点A、B、C、D中，每两点所连线段的长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则P与Q的最短距离为_________

【规范解答】以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为空间四边形，且为正四面体，取P 、Q 分别为AB 、CD 的中点，因为AQ =BQ =

2

2

a ,∴PQ ⊥AB , 同理可得PQ ⊥CD ，故线段PQ 的长为P 、Q 两点间的最短距离，在Rt △APQ 中，PQ =2

2

)2()23(

2222=

-=-a a AP AQ a

a 【总结与思考】两点之间的距离问题的考察

例题2把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，点O是原正方形的中心，求

(1)EF的长；

(2)折起后∠EOF的大小

【规范解答】如图，以O 点为原点建立空间直角坐标系O —xyz , 设正方形ABCD 边长为a ,则A (0，－

22a ,0),B (22a ,0,0),C (0,2

2a ,0), D (0,0,

22a ),E (0,－42a ,a ),F (42a ,4

2

a

,0) 222223(1)||0))(0),444442

(2)(0,,),,,0)

4444

0()044448

||,||,cos ,22||EF a a a EF a

OE a a OF a a a

OE OF a a a a OE OF OE OF OE OF OE =-+++-=∴==-=?=?+-+?=-

?==<>=

1

2||

OF =- ∴∠EOF =120°

【总结与思考】考查利用空间向量的坐标运算来解决立体几何问题建系方式有多种，其中以O 点为原点，以OB

、

OC 、OD

的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向最为简单

例题3 正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，求异面直线A1C1与AB1间的距离

【规范解答】解法一如图，在正方体AC 1中，

∵A 1C 1∥AC ,∴A 1C 1∥平面AB 1C ，

∴A 1C 1与平面AB 1C 间的距离等于异面直线A 1C 1与AB 1间的距离

连结B 1D 1、BD ，设B 1D 1∩A 1C 1=O 1,BD ∩AC =O ∵AC ⊥BD ，AC ⊥DD 1，∴AC ⊥平面BB 1D 1D ∴平面AB 1C ⊥平面BB 1D 1D ，

连结B 1O ，则平面AB 1C ∩平面BB 1D 1D =B 1O 作O 1G ⊥B 1O 于G ，则O 1G ⊥平面AB 1C

∴O 1G 为直线A 1C 1与平面AB 1C 间的距离，即为异面直线A 1C 1与AB 1间的距离

在Rt △OO 1B 1中，∵O 1B 1=22，OO 1=1，∴OB 1=21121B O OO +=2

6 ∴O 1G =

3

3

1111=

?OB B O O O ，即异面直线A 1C 1与AB 1

1

A A

解法二（向量法）如图建立坐标系，则

111(1,0,0),(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1)A A B C ∴111

(0,1,1),(1,1,0)AB AC - ＝＝ 设MN 是直线A 1C 1与AB 1的公垂线，

且1111

(0,,),(,,0)AN AB AM AC λλλμμμ- ＝＝＝＝ 则11(,,0)(0,0,1)(0,,)MN MA A A AN

μμλλ=++-+-+ ＝- (,,1),μλμλ=--

从而有11

100

MN AC MN AB ??????

＝＝2203

213λλμλμμ?

=

?-=????

?-=??=??

∴111(,,)||333MN MN =?=

【总结与思考】求异面直线的距离，可求两异面直线的公垂线，或转化为求线面距离，或面面距离，亦可由最值法求得求异面直线的距离，有时较难作出它们的公垂线，故通常采用化归思想，转化为求线面距、面面距、或由最值法求得

例题4 如图，在四棱锥S ABCD -中，AD BC 且AD CD ⊥；平面CSD ⊥平面ABCD ，,22CS DS CS AD ⊥==；E 为BS 的中点，CE AS ==．求：

（Ⅰ）点A 到平面BCS 的距离；

（Ⅱ）二面角E CD A --的大小． .

【规范解答】（Ⅰ）因为AD//BC,且,BC BCS ?平面所以//,AD BCS 平面从而A 点到平面BCS 的距离等于D 点到平面BCS 的距离。

因为平面,CSD ABCD AD CD ⊥⊥平面，故AD CSD ⊥平面,从而AD SD ⊥，由AD//BC ，得

BC DS ⊥,又由CS DS ⊥知DS BCS ⊥平面，从而DS 为点A 到平面BCS 的距离，因此在Rt ADS ?中

DS (Ⅱ)如图，过E 电作,EG CD ⊥交CD 于点G ，又过G 点作GH CD ⊥,交AB 于H ，故E G H ∠为二面角E CD A --的平面角，记为θ，过E 点作EF//BC,交CS 于点F,连结GF,因平面,,ABCD CSD GH CD GH GF ⊥⊥⊥平面易知,故2

EGF π

θ=

-∠.

由于E 为BS 边中点，故1

12

CF CS ==,在Rt CFE ?中，

1EF =,因EF CSD ⊥平面，又EG CD ⊥ 故由三垂线定理的逆定理得FG CD ⊥,从而又可得,CGF CSD ??:

因此

GF CF

DS CD

=而在Rt CSD ?中，

CD CF GF DS CD ====?=故 .

在Rt FEG ?

中，tan EF EGF FG =

=3EGF π∠=，故所求二面角的大小为6

π

θ= 【总结与思考】本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力

例题5 如图，在五面体ABCDEF 中，AB ∥DC ，2

BAD π

∠=

，2CD AD ==，四边形ABFE 为平行四边形，FA ⊥平面

ABCD ，3,FC ED ==

（Ⅰ）直线AB 到平面EFCD 的距离； （Ⅱ）二面角F AD E --的平面角的正切值．

【规范解答】解法一:

（Ⅰ）,AB DC DC ? 平面EFCD , ∴AB 到面EFCD 的距离等于点A 到面EFCD 的距离，过点A 作AG FD ⊥于G ，因2

BAD π

∠=

AB ∥DC ，故CD AD ⊥；又 FA ⊥平面ABCD ，由三垂线定理可知，CD FD ⊥，故CD FAD ⊥面，知

CD AG ⊥，所以AG 为所求直线AB 到面EFCD 的距离

在Rt ABC △中，

FD

由FA ⊥平面ABCD ，得FA ⊥AD ，从而在Rt △FAD 中，

1FA ==

∴

5FA AD AG FD ?=

==

。即直线AB 到平面EFCD 的距离为5 （Ⅱ）由己知，FA ⊥平面ABCD ，得FA ⊥AD ，又由2

BAD π

∠=

，知AD AB ⊥，故AD ⊥平面ABFE

∴DA AE ⊥，所以，FAE ∠为二面角F AD E --的平面角，记为θ.

在Rt AED △中,

AE =,由ABCD 得,FE BA ,从而2

AFE π

∠=