数论入门教程v0.0

ACM 数论入门

前言

数论就像一杯毒酒，美，却令人蛋碎。

——俺，2011

一般来说，数论书上的证明都又屎又长，其实数论的很多东西我认为有着更直接的理解方式，特别是引入群论这个强大的工具之后，很多需要繁琐证明的结论都成了“显然”，这也是我写这篇文章的动因。当然那些教程自有其存在的原因——不是所有人都搞ACM(能深刻理解递归)，也不是所有人都懂群论。所以我还是介绍一下其他的经典教材：

《数论概论》：简单实用。给非数学专业学生上课用的，可以说是扫盲级别的教材……但是，就是这本书吃透了前半部分，ACM 的数论题绰绰有余了。

《初等数论及其应用》：上一本的扩充版，作者Rosen 讲问题非常清晰，节后的习题不仅非常丰富全面，还会对该章节的主题进行扩展，让读者自己去研究探索。另外很注重对数论的应用。

《哈代数论》：您看懂了？求交往……

UESTC_TeamZ

1 最大公约数

开始讨论这个话题之前我们还是来定义一些以后会用到的符号，比如说“|”。这个根竖线呢，不是分隔符，而是表示整除。a|b 意味着b=a*k (k 是一个整数)。比如说有3|6，4|12。注意任意整数a ，有a|0。

有了这个简洁的符号，就开始讨论公约数这个话题。两整数a,b 公约数的定义是k|a 并且k|b ，则k 就是a,b 的一个公约数。

1.1 算术基本定理与最大公约数

如何求最大的公约数呢？一个思路是利用算术基本定理。算术基本定理听上去很神（装逼适用），其实就是说一个数能被唯一分解成若干质因子的乘积。这不是显然的么？嗯，在群众喜闻乐见的整数集上确实成立，但是在另外一些奇怪的集合上就未必了。不过，ACM 题一般也不会涉及到那些（当然你学好了数论可以去出这种题坑人XD ）。

一个数a 能成为另一个数b 的因子则意味着a 的质因子集合是b 质因子集合的子集，当a 的质因子集合与b 的质因子集合相等的时候，即a=b 的时候，得到最大的因子。那么a,b 的公因子就是{a 的质因子}∩{b 的质因子}的子集，其中最大的，当然就是该集合本身了。

如何求{a 的质因子}∩{b 的质因子}（也就是最大公约数）呢？显然有：

)

e convenienc for ...(5*3*2*00...... ,...),min()2,2min(2)1,1min(122112211∞+∞+∞+===?==bn an n b a b a bn

n b b an n a a p p p g b a p p p b p p p a

(注意：Pi 表示自然数集上的第i 个质数，而不是a 或b 的第i 个质因数(参考0的质因数分解定义))

在ACM 界，有一个万用的证明结论的简单方法，它的名字叫“显然”。在这个地方我也用“显然”就这么混过去算了。

于是我们得到了一个求最大公约数的方法，分解质因数，然后求交集。不过分解大数的质因数非常困难，在RSA分解挑战上可以看到，截止2007年，一些两百位的整数都还没有被人分解。

1.2 欧几里得算法

当然，还有一个更好的方法求最大公约数，那就是有名的欧几里得算法。设gcd(a,b)表示a,b的最大公约数。假设a>b1，我们有：

b

a

b

a-

=

gcd(b

)

,

gcd(

)

,

这个当然是要证明的(也很简单):

d表示a,b的公约数<->d|a并且d|b<->a=k1*d并且b=k2*d<->a-b=(k1-k2)*d

这意味a和b的公约数同a和a-b的公约数完全相同！

这有啥用？搞ACM的都懂递归吧？这意味着我们可以把求gcd(a,b)转化为求gcd(a-b,b)，并且我们每次都是拿其中大数减去小数，整个问题的规模会不断缩小！递归当然要研究递归的边界是啥。

首先吧，如果较小数是0,那就开始循环了(gcd(a-0,0)=gcd(a,0))。gcd(0,a)是个啥呢？根据我们的对0分解质因数的定义，那当然就是a。

如果没有0呢？可以看到我们的减法过程保证了不会出现负数，并且每搞一下两数的和的不断减小。和不断减小，且没有负数，这就保证了一定会搞出0。

这里还有几个问题：

1 尼玛那啥我艹的0的什么定义啊？太流氓了有木有？gcd(0,a)居然是a！特么我觉得该是0啊！！！！

这确实是一个问题。先证明gcd(a,b)=gcd(a+b,a)。令a-b=c，代入我们之前的公式可以得到gcd(c+b,b)=gcd(c,b)。证明完毕。

gcd(0,a)=gcd(0+a,a)=gcd(a,a)=a。这下你没话说了吧。

2 那好吧，如果搞成gcd(0,0)了肿么办？

除非一开始a=b=0，否则不会出现这种情况。gcd(a,b)->gcd(a-b,b)这样搞一把:

两个正数的情况：最多把一个正数搞成0。

一个正数一个0的情况：已经搞不动了。

证明完毕。

3 那我想知道gcd(0,0)的值是啥……

我说了怕你不懂。好吧，如果你一定要知道的话，答案就是：gcd(0,0)=1/0。

当然在程序实现中一个更常用的形式是gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。设a=q*b+a%b,则a%b=a-q*b。其实就是一次性在a上减了q次b，减到a比b小，然后交换大小顺序罢了。

就是:gcd(a,b)=gcd(a-b,b)=gcd(a-2*b,b)…=gcd(a-q*b,b)=gcd(a%b,b)=gcd(b,a%b)。

好了，这就是最大公约数了，请务必认真理解，因为这是后面许多问题的基础。我就讲这么多，这东西越讲越伤心2……

1 a

2每次想到几千年前欧几里得就发明了这么神的算法，我这种只会喷汁的90后就不禁悲从中来不可断绝……

2 线性方程

这次我们要来讨论线性方程：a1x1+a2x2+…+a n x n=c。ai,c均为常数哦，变元是xi哦亲。并且，ai,xi,c统统都是整数哦(非常重要的条件)！看上去很困难的样子呢？对于不懂数论的人来说确实……让我们先从最简单的开始吧。

2.1 一个变元的情况: ax=c

这个够简单了吧……如果a|c，那么x=c/a。否则无解(注意整数的限制条件)。

2.2 两个变元的情况：ax+by=c

首先证明(a-b)x+by等价于ax+by。如果ax0+by0能够等于某个数p，那么(a-b)x+by也有一组对应的x1=x0,y1=y0+x0使之等于p。反过来也容易证明如果(a-b)x+by能够等于某个数p，那么ax+by也有一组对应的解等于p。

令l(a,b)=ax+by，我们有l(a,b)=l(a-b,b)=…=l(0,gcd(a,b))=gcd(a,b)x。也就是ax+by=gcd(a,b)*x。现在就转化为了一个变元的情况了哦亲。

2.3 多个变元的情况：a1x1+a2x2+…+a n x n=c

这还不会？逐项合并就好了……

a1x1+a2x2+…+a n x n=gcd(a1,a2)x+a3x3+…a n x n=gcd(a1,a2,a3)x+a4x4+…a n x n=gcd(a1,a2…a n)*x 还是一个变元的情况哦亲。

2.4 求一组两个变元方程的解

我们刚才利用等价性，把多变元的方程转化成了单变元的方程，但如果要让你给出原多变元方程的一组解肿么办？就是让你给出一组x,y，满足ax+by=c。

我们先来考虑两个变元的情况。最简单的思路就是随着gcd的递归直接构造这样的一组解，即假设已知l(b,a%b)的一组解x,y,求递归的上一层l(a,b)的一组解。

bx+(a%b)y=c=bx+(a-qb)y=bx+ay-qby=ay+b(x-qy)。这样就求出上一层的解。

也就是说bx0+(a%b)y0=c则推出ax1+by1=c其中x1=y0,y1=x0-qy0。其中b*q+(a%b)=a。

然后我们又知道递归的开始gcd(a,b)*x=c的解为c/gcd(a,b)。所以，这个问题就解决了。

2.5 求一组多个变元方程的解

一开始我们知道gcd(a1,a2…a n)*x=c的解，然后就可以求出gcd(a1,a2…a n-1)*x+a n x n=c 的一组解。移项得到gcd(a1,a2…a n-1)*x=c-a n x n，然后又知道了gcd(a1,a2…a n-1)*x=c-a n x n的解……这样重复下去，就可以得到整个方程的一组初始解了。