2013年高考理科数学全国新课标卷1试题与答案word解析版

2013年全国数学理工农医类(新课标全国卷I)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A ＝{x |x 2

－2x ＞0}，B ＝{x |

x

，则( )．

A ．A ∩

B ＝ B ．A ∪B ＝R

C ．B ?A

D ．A ?B 2．若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )．

A ．－4

B ．45-

C ．4

D ．4

5

3．为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )．

A ．简单随机抽样

B ．按性别分层抽样

C ．按学段分层抽样

D ．系统抽样

4．已知双曲线C ：2222=1x y a b

-(a ＞0，b ＞0)

的离心率为2，则C 的渐近线方程为

( )．

A ．y ＝14x ±

B ．y ＝13x ±

C ．y ＝1

2x

± D ．y ＝±x

5．执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )．

A ．[－3,4]

B ．[－5,2]

C ．[－4,3]

D ．[－2,5]

6．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容

器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．

A ．500π3cm3

B ．866π

3cm3

C ．1372π3cm3

D ．2048π

3cm3

7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )．

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．

A ．16＋8π

B ．8＋8π

C ．16＋16π

D ．8＋16π

9．设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1

展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )．

A ．5

B ．6

C ．7

D ．

8

10．已知椭圆E ：22

22=1x y a b

+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中

点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )．

A ．22=14536x y +

B ．22=13627x y +

C ．22=12718x y +

D ．22

=1189x y +

11．已知函数f (x )＝220ln(1)0.

x x x x x ?-+≤?+>?，，

，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )．

A ．(－∞，0]

B ．(－∞，1]

C ．[－2,1]

D ．[－2,0]

12．设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，

a n ＋1＝a n ，

b n ＋1＝

2n n c a +，c n ＋1＝2

n n

b a +，则( )． A ．{Sn}为递减数列 B ．{Sn}为递增数列

C ．{S2n －1}为递增数列，{S2n}为递减数列

D ．{S2n －1}为递减数列，{S2n}为递增数列

二、填空题：

13．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b .若b 2c ＝0，则t ＝__________.

14．若数列{an}的前n 项和

2133n n S a =+

，则{an}的通项公式是an ＝_______.

15．设当x ＝θ时，函数f(x)＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝__________.

16．若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax ＋b)的图像关于直线x ＝－2对称，则f(x)的最大值为__________．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17． (本小题满分12分)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB

，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC

＝90°. (1)若PB ＝

1

2

，求PA ； (2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA .

18． (本小题满分12分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°. (1)证明：AB ⊥A 1C ；

(2)若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值．

19． (本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n .如果n ＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n ＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；

其他情况下，

这批产品都不能通过检验．

假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为

1

2

，且各件产品是否为优质品相互独立．

(1)求这批产品通过检验的概率；

(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X (单位：元)，求X 的分布列及数学期望．

20． (本小题满分12分)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2

＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程；

(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.

21． (本小题满分12分)设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x

(cx ＋d )．若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0,2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2. (1)求a ，b ，c ，d 的值；

(2)若x ≥－2时，f (x )≤kg (x )，求k 的取值范围．

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22． (本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲

如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D .

(1)证明：DB ＝DC ；

(2)设圆的半径为1，BC ，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径．

23． (本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线C 1的参数方程为45cos ,

55sin x t y t =+??

=+?

(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐

标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.

(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；

(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．

24． (本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲：已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集； (2)设a ＞－1，且当x ∈1,22a ??

-

???

?时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．

2013年全国数学理工(新课标全国卷I)答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：B

解析：∵x (x －2)＞0，∴x ＜0或x ＞2.

∴集合A 与B 可用图象表示为：

由图象可以看出A ∪B ＝R ，故选B. 2． 答案：D

解析：∵(3－4i)z ＝|4＋3i|，

∴55(34i)34

i 34i (34i)(34i)55

z +=

==+--+. 故z 的虚部为4

5

，选D.

3．答案：C

解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样． 4．答案：C

解析：∵c e a ==，∴2222

22

54c a b e a a +===. ∴a 2＝4b 2

，1=2

b a ±.

∴渐近线方程为1

2

b y x x a =±±.

5．答案：A

解析：若t ∈[－1,1)，则执行s ＝3t ，故s ∈[－3,3)．

若t ∈[1,3]，则执行s ＝4t －t 2

，其对称轴为t ＝2.

故当t ＝2时，s 取得最大值4.当t ＝1或3时，s 取得最小值3，则s ∈[3,4]． 综上可知，输出的s ∈[－3,4]．故选A. 6．答案：A

解析：设球半径为R ，由题可知R ，R －2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA 为直角三角形，如图．

BC ＝2，BA ＝4，OB ＝R －2，OA ＝R ，

由R 2＝(R －2)2＋42

，得R ＝5， 所以球的体积为

34500π5π33

=(cm 3)，故选A. 7．答案：C

解析：∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，

∴a m ＝S m －S m －1＝0－(－2)＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3－0＝3. ∴d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1.

∵S m ＝ma 1＋

12m m (-)31＝0，∴11

2

m a -=-. 又∵a m ＋1＝a 1＋m 31＝3，∴1

32

m m --+=.

∴m ＝5.故选C. 8．答案：A

解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r ＝2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为πr 2

343

1

2

＋43232＝8π＋16.故选A.

9．答案：B

解析：由题意可知，a ＝2C m

m ，b ＝21C m

m +， 又∵13a ＝7b ，∴2!21!

13=7!!!1!

m m m m m m ()(+)??

(+)， 即

1321

71

m m +=

+.解得m ＝6.故选B. 10． 答案：D

解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵A ，B 在椭圆上，

∴22

1122

22

2222

1,1,x y a b x y a b ?+=????+=??①② ①－②，得

1212121222=0x x x x y y y y a b (+)(-)(+)(-)

+，

即2

121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-)

， ∵AB 的中点为(1，－1)，∴y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2＝2，

而1212y y x x --＝k AB ＝011=312

-(-)-，∴221=2b a . 又∵a 2

－b 2

＝9，∴a 2

＝18，b 2

＝9.

∴椭圆E 的方程为

22

=1189

x y +.故选D. 11．答案：D

解析：由y ＝|f (x )|的图象知：

①当x ＞0时，y ＝ax 只有a ≤0时，才能满足|f (x )|≥ax ，可排除B ，C.

②当x ≤0时，y ＝|f (x )|＝|－x 2＋2x |＝x 2

－2x .

故由|f (x )|≥ax 得x 2

－2x ≥ax . 当x ＝0时，不等式为0≥0成立． 当x ＜0时，不等式等价于x －2≤a . ∵x －2＜－2，∴a ≥－2. 综上可知：a ∈[－2,0]． 12．答案：B

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．答案：2

解析：∵c ＝t a ＋(1－t )b ，

∴b 2c ＝t a 2b ＋(1－t )|b |2

.

又∵|a |＝|b |＝1，且a 与b 夹角为60°，b ⊥c ， ∴0＝t |a ||b |cos 60°＋(1－t )， 0＝

1

2

t ＋1－t . ∴t ＝2.

14．答案：(－2)n －1

解析：∵21

33

n n S a =

+，① ∴当n ≥2时，1121

33n n S a --=+.②

①－②，得122

33

n n n a a a -=-，

即1

n n a

a -＝－2. ∵a 1＝S 1＝121

33

a +，

∴a 1＝1.

∴{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列，a n ＝(－2)n －1

. 15．

答案：5

-

解析：f (x )＝sin x －2cos x

x x ?

??，

令cos α

，sin α

＝

则f (x )

α＋x )，

当x ＝2k π＋π

2－α(k ∈Z )时，sin(α＋x )有最大值1，f (x )

即θ＝2k π＋π

2

－α(k ∈Z )，

所以cos θ＝πcos 2π+2k α??- ???＝πcos 2α??

- ???

＝sin α

＝5=-.

16．答案：16

解析：∵函数f (x )的图像关于直线x ＝－2对称， ∴f (x )满足f (0)＝f (－4)，f (－1)＝f (－3)，

即15164,0893,b a b a b =-(-+)??=-(-+)?

解得8,

15.

a b =??

=?

∴f (x )＝－x 4

－8x 3

－14x 2

＋8x ＋15.

由f ′(x )＝－4x 3－24x 2

－28x ＋8＝0， 得x 1＝－2

x 2＝－2，x 3＝－2

易知，f (x )在(－∞，－2

上为增函数，在(－2

2)上为减函数，在(－2，－2

上为增函数，在(－2

∴f (－2

＝[1－(－2

2

][(－2

2

＋8(－2

＋15]

＝(－8

－

－＝80－64＝16.

f (－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋83(－2)＋15] ＝－3(4－16＋15) ＝－9.

f (－2

＝[1－(－2

2][(－2

2＋8(－2

＋15]

＝(－8

＋

＋＝80－64＝16.

故f (x )的最大值为16.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．

解：(1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°. 在△PBA 中，由余弦定理得PA 2

＝11732cos 30424

+-?=. 故PA

＝

2

. (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α. 在△PBA

sin sin(30)

α

α=?-，

α＝4sin α. 所以tan α

，即tan ∠PBA

. 18．

(1)证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B . 因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB . 由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°， 故△AA 1B 为等边三角形， 所以OA 1⊥AB .

因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C . 又A 1C ?平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C . (2)解：由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB . 又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ， 所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，

故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．

以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，|OA

|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .

由题设知A (1,0,0)，A 1(0

0)，C (0,0

，B (－1,0,0)． 则BC

＝(1,0

，1BB ＝1AA ＝(－1

，0)，1

AC ＝(0

，

． 设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量，

则10,0,BC BB ??=???=?? n n

即0,0.

x x ?=??-+=??可取n ＝

1，－1)． 故cos 〈n ，1

AC 〉＝11A C

A C

? n n

＝5-. 所以A 1C 与平面BB 1C 1C

所成角的正弦值为

5

19．

解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2，这批产品通过检验为事件A ，依题意有A ＝(A 1B 1)∪(A 2B 2)，且A 1B 1与A 2B 2互斥，所以 P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)

＝P (A 1)P (B 1|A 1)＋P (A 2)P (B 2|A 2

)

＝

41113161616264

?+?=. (2)X 可能的取值为400,500,800，并且

P (X ＝400)＝41111161616-

-=，P (X ＝500)＝116，P (X ＝800)＝14

. 所以X 的分布列为

EX ＝1111

400+500+80016164

?

??＝506.25. 20．

解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3. 设圆P 的圆心为P (x

，y )，半径为R .

(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，

所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.

由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2(左顶点除外)，

其方程为22

=143

x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线

C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，

所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.

所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2

＝4. 若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝若l 的倾斜角不为

90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，

则1

||||QP R

QM r =，

可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y

＝k (x ＋4)

． 由l 与圆M ，

解得k ＝4

±

. 当k

＝4时，将

4y x =+22=143

x y +， 并整理得7

x 2

＋8x －8＝0， 解得x 1,2

. 所以|AB |2118|7

x x -=. 当4k =-

时，由图形的对称性可知|AB |＝187

. 综上，|AB |＝|AB |＝18

7

.

21．

解：(1)由已知得f (0)＝2，g (0)＝2，f ′(0)＝4，g ′(0)＝4.

而f ′(x )＝2x ＋a ，g ′(x )＝e x

(cx ＋d ＋c )， 故b ＝2，d ＝2，a ＝4，d ＋c ＝4. 从而a ＝4，b ＝2，c ＝2，d ＝2.

(2)由(1)知，f (x )＝x 2＋4x ＋2，g (x )＝2e x

(x ＋1)．

设函数F (x )＝kg (x )－f (x )＝2k e x (x ＋1)－x 2

－4x －2，

则F ′(x )＝2k e x (x ＋2)－2x －4＝2(x ＋2)(k e x

－1)． 由题设可得F (0)≥0，即k ≥1.

令F ′(x )＝0得x 1＝－ln k ，x 2＝－2.

①若1≤k ＜e 2

，则－2＜x 1≤0.从而当x ∈(－2，x 1)时，F ′(x )＜0；当x ∈(x 1，＋∞)时，F ′(x )＞0.即F (x )在(－2，x 1)单调递减，在(x 1，＋∞)单调递增．故F (x )在[－2，＋∞)的最小值为F (x 1)． 而F (x 1)＝2x 1＋2－2

1x －4x 1－2＝－x 1(x 1＋2)≥0.

故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立．

②若k ＝e 2，则F ′(x )＝2e 2(x ＋2)(e x －e －2

)．

从而当x ＞－2时，F ′(x )＞0，即F (x )在(－2，＋∞)单调递增． 而F (－2)＝0，故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立．

③若k ＞e 2，则F (－2)＝－2k e －2＋2＝－2e －2(k －e 2

)＜0. 从而当x ≥－2时，f (x )≤kg (x )不可能恒成立．

综上，k 的取值范围是[1，e 2

]．

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．

(1)证明：连结DE ，交BC 于点G . 由弦切角定理得，∠ABE ＝∠BCE .

而∠ABE ＝∠CBE ，故∠CBE ＝∠BCE ，BE ＝CE .

又因为DB ⊥BE ，

所以DE 为直径，∠DCE ＝90°， 由勾股定理可得DB ＝DC .

(2)解：由(1)知，∠CDE ＝∠BDE ，DB ＝DC ，

故DG 是BC 的中垂线，所以BG ＝

2

. 设DE 的中点为O ，连结BO ，则∠BOG ＝60°. 从而∠ABE ＝∠BCE ＝∠CBE ＝30°，

所以CF ⊥BF ，故Rt△BCF 外接圆的半径等于2

. 23． 解：(1)将45cos ,55sin x t y t

=+??

=+?消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2

＝25，

即C 1：x 2

＋y 2

－8x －10y ＋16＝0.

将cos ,sin x y ρθρθ

=??=?代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得 ρ2

－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C 1的极坐标方程为 ρ2

－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.

(2)C 2的普通方程为x 2＋y 2

－2y ＝0.

由2222

810160,20x y x y x y y ?+--+=?+-=? 解得1,1x y =??=?

或0,2.x y =??=?

所以C 1与C 2交点的极坐标分别为π4???，π2,2?? ???.

24．

解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，

则y ＝15,,212,1,236, 1.x x x x x x ?

-

?

--≤≤??

->???

其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0. 所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．

(2)当x ∈1,22a ??

-

???

?时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.

所以x ≥a －2对x ∈1,22a ??

-????

都成立． 故2a -≥a －2，即43

a ≤.

从而a 的取值范围是41,3?

?- ??

?.