人教版八年级数学上册 分式方程及其运用 知识点讲解及同步练习
分式方程及其运用
1.使学生理解分式方程的意义,掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法. 2.在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的基础上,使学生进一步掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法,使学生熟练掌握解分式方程的技巧. 3.通过学习分式方程的解法,使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程,把未知问题转化成已知问题,从而渗透数学的转化思想.
4.能够利用分式方程解决实际问题,能从实际问题中抽象出数量关系,体会方程与实际问题的联系.
分式方程的定义
分母里含有未知数的方程叫分式方程。
要点诠释:
1.分式方程的三个重要特征:①是方程;②含有分母;③分母里含有未知量。 2.分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数),分母中含有未知数的方程是分式方程,不含有未知数的方程是整式方程,如:关于x 的方程
12x x -=和 37221x x =
-+都是分式方程,而关于x 的方程12x x a -=和1
x d b c
+=都是整式方程。
分式方程的解法
1. 解分式方程的其本思想
把分式方程化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方程两边同乘最简公分母,将分式方程转化为整式方程,然后利用整式方程的解法求解。
2.解分式方程的一般方法和步骤
(1)去分母,即在方程的两边都乘以最简公分母,把原方程化为整式方程。 (2)解这个整式方程。
(3)验根:把整式方程的根代入最简公分母,使最简公分母不等于零的根是原方程的根,使最简公分母等于零的根是原方程的增根。
注:分式方程必须验根;增根一定适合分式方程转化后的整式方程,但增根不适合原方程,可使原方程的分母为零。 3. 增根的产生的原因:
知识结构
对于分式方程,当分式中,分母的值为零时,无意义,所以分式方程,不允许未知数取那些使分母的值为零的值,即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后,这种限制取消了,换言之,方程中未知数的值范围扩大了,如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值,那么就会出现增根。
分式方程的应用
分式方程的应用主要就是列方程解应用题,它与学习一元一次方程时列方程解应用题的基本思路和方法是一样的,不同的是,表示关系的代数式是分式而已。 一般地,列分式方程(组)解应用题的一般步骤: 1.审清题意; 2.设未知数;
3.根据题意找等量关系,列出分式方程; 4.解分式方程,并验根;
5.检验分式方程的根是否符合题意,并根据检验结果写出答案.
常见的实际问题中等量关系
1.工程问题
工作量=工作效率×工作时间,
=
=
工作量工作量工作效率,工作时间工作时间工作效率
;
完成某项任务的各工作量的和=总工作量=1. 2.营销问题
商品利润=商品售价一商品成本价; =
100% 商品利润
商品利润率商品成本价
;
商品销售额=商品销售价×商品销售量; 商品的销售利润=(销售价一成本价)×销售量. 3.行程问题
路程=速度×时间,==路程路程速度,时间;时间速度
在航行问题中,其中数量关系是:
顺水速度=静水速度+水流速度,逆水速度=静水速度-水流速度; 航空问题类似于航行问题.
规律方法指导
1. 一般地,解分式方程时,去分母后所得整式方程有可能使原方程中分母为0,因此应如下检验:
将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解,否则,这个解不是原分式方程的解.
2.列方程(组)解应用题,在弄清题意后,接着就是设未知数,设未知数对后面列方程起着关键作用,
对于一道应用题,首先考虑设直接未知数,如果设直接未知数不奏效,就应考虑设间接未知数,就是把一个不是题目中最后要求的未知量设为未知数,求出该数后,再求出要求的数.
例1.请选择一组,a b 的值,写出一个关于x 的形如
2
a
b x =-的分式方程,使它的解是x =0
这样的分式方程可以是
______________.
(★★)
此题是关于分式方程的开放题,答案并不唯一,只要符合题意就可以。
关于x 的两个方程220x x --=
与
1
22
x x a
=
-+有一个解相同,则a 的值为( )(★★)
A .?2
B .?3
C .?4
D .?5
例2.解方程:
1222x x x
+=--(★★)
解方程:
2
522=+++x x x x (★★) 我来试一试!
我来试一试!
题型一:分式方程的解
题型二:分式方程的解法
例3.解方程:
()()
3
1112x x x x -=
--+
解方程:
23
013
x x -=-+.(★★) 解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程,这一基本思想体
现了数学思想中的转化思想;但有时在转化过程中会产生增根,所以分式方程必须验根。
例4.若关于x 的方程
111
m x
x x --
--=0有增根,则m 的值是( )(★★) A .3 B .2 C .1 D .-1
解分式方程的关键是去分母,因为在转化过程中同乘了一个含未知数的
整式,可能出现使该整式值为0的解,因此,要验根,即把求得的根代入最简公分母,看结果是否为零,若为零,必须舍去。
若方程
3
22
x m x x -=
--无解,则m =_____________。(★★)[来源:学|科|网Z|X|X|K]
主要考查分式方程增根的相关知识,无解则这个解必为原方程的增根。
我来试一试!
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题型三:增根的应用
例5.某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合后,其平均价比原甲种原料每0.5kg 少3元,比乙种原料每0.5kg 多1元,问混合后的单价每0.5kg 是多少元?(★★)
营销类应用性问题,涉及进货价、售货价、利润率、单价、混合价、赢
利、亏损等概念,要结合实际问题对它们表述的意义有所了解.同时,要掌握好基本公式,巧妙建立关系式.随着市场经济体制的建立,这类问题具有较强的时代气息,因而成为中考常考的热点问题.
为了提高产品的附加值,某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场.现有甲、乙两个工厂都具备加工能力,公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况,获得如下信息:
信息一:甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天; 信息二:乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍. 根据以上信息,求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品?
例6.甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程,乙队先单独做2天后,再由两
队合作10天就能完成全部工程.已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的4
5
,求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天?(★★)
我来试一试!
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题型四:分式方程的应用
某公司投资某个工程项目,现在甲、乙两个工程队有能力承包这个项目.公司调查发现:乙队单独完成工程的时间是甲队的2倍;甲、乙两队合作完成工程需要20天;甲队每天的工作费用为1000元、乙队每天的工作费用为550元.根据以上信息,从节约资金的角度考虑,公司应选择哪个工程队、应付工程队费用多少元?(★★)
列分式方程与列整式方程一样,注意找出应用题中数量间的相等关系,
设好未知数,列出方程.不同之处是:所列方程是分式方程,最后进行检验,既要检验其是否为所列方程的解,还要检验是否符合题意,即满足实际意义.
1.解方程:511
233x x x
--=
--(★★)
2.轮船先顺水航行46千米再逆水航行34千米所用的时间,恰好与它在静水中航行80千米所用的时间相等,水的流速是每小时3千米,则轮船在静水中的速度是 千米/时.(★★)
3.小红从家里骑自行车到学校,每小时骑15 km ,可早到10分钟,每小时骑12 km 就会迟到5分钟,问他家到学校的路程是多少千米?设他家到学校的路程是x km ,则据题意列出的方程是 ( )(★★)
105.
;15601260x x A +=- 105
.15601260x x B -=+
; 105.15601260x x C -=-; .1051512x x D +=-. 4.某书店老板去图书批发市场购买某种图书.第一次用1200元购书若干本,并按该书定价7元出售,很快售完.由于该书畅销,第二次购书时,每本书的批发价已比第一次提高了20%,他用1500元所购该书数量比第一次多10本.当按定价售出200本时,出现滞销,便以定价的4折售完剩余的书.试问该老板这两次售书总体上是赔钱了,还是赚钱了(不考虑其它因素)?若赔钱,赔多少?若赚钱,赚多少?(★★)
5.(2012安顺)张家界市为了治理城市污水,需要铺设一段全长为300米的污水排放管道,铺设120米后,为了尽可能减少施工对城市交通所造成的影响,后来每天的工作量比原计划增加20%,结果共用了27天完成了这一任务,求原计划每天铺设管道多少米?
★★★分式方程增根求待定字母值的方法: 6.若关于x 的分式方程3
132--
=-x m
x 有增根,求m 的值.
7.若分式方程12
2-=-+x a
x 的解是正数,求a 的取值范围.
7. 已知关于x 的分式方程a x a =++1
1
2无解,试求a 的值.
通过复习使学生更加深刻的理解了分式方程的意义,熟练掌握解分式方程的技巧和分式方程验根的方法;使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程,把未知问题转化成已知问题,从而渗透数学的转化思想;能够利用分式方程解决实际问题,能从实际问题中抽象出数量关系,体会方程与实际问题的联系.
参考答案:
例1. 【答案】解析:x =0是方程的解,将x =0代入2a b x =-得,02
a b =-,2a
b =-,
所以只要取一对a ,b 的值符合2a b =-, 例如 取a =1,12b =-,得方程11
22
x =--。
练习:【答案】D
例2. 【答案】解:x-1=2(x-2) ∴ x=3
经检验x=3是原方程的解
∴原方程的解是x=3
练习:【答案】解:去分母,得 )2(5)2(2222+=++x x x x .
整理,得 0822=-+x x .解得 41-=x ,22=x . 经检验:41-=x ,22=x 都是原方程的根. ∴原方程的根是41-=x ,22=x .
例3. 【答案】解:去分母得:()()()2123x x x x +--+=………………………2分 化简得:23x +=
移项合并得:1x =…………………………………………………5分 经检验1x =不是原方程的解
所以原方程无解………………………………………………………6分 练习:【答案】解:0)1(3)3(2=--+x x 解得,9=x 经检验9=x 是原方程的解 例4. 【答案】B
练习:【答案】解:原方程可化为
322
x m
x x -=---
方程两边都乘以x -2,得x -3=-m . 解这个方程,得x =3-m .
因为原方程无解,所以这个解应是原方程的增根.即x =2, 所以2=3-m ,解得m =1. 故当m =1时,原方程无解.
例5. 【答案】解析:设混合后的单价为每0.5kg x 元,则甲种原料的单价为每0.5kg(x +3)元, 乙种原料的单价为每0.5kg(x -1)元,混合后的总价值为(2000+4800)元,混合
后的重量为
20004800x
+斤,甲种原料的重量为20003x +斤,乙种原料的重量为4800
1x -斤,
依题意,得:20003x ++48001x -=20004800
x
+,解得x =17
经检验,x =17是原方程的根,所以x =17.答:混合后的单价为每0.5kg 17元. 练习:答案:解:设甲工厂每天加工x 件产品,则乙工厂每天加工1.5x 件产品,依题意得
,
解得:x =40 经检验:x =40是原方程的根,所以1.5x =60
答:甲工厂每天加工40件产品,乙工厂每天加工60件产品.
例6. 【答案】解:设甲施工队单独完成此项工程需x 天,则乙施工队单独完成此项工程需45x 天,根据题意,得 10x +12
4
5
x =1 解这个方程,得x =25 经检验,x =25是所列方程的根。当x =25时,4
5
x =20。
答:甲、乙两个施工队单独完成此项工程分别需25天和20天。 练习:【答案】解:设甲队单独完成需x 天,则乙队单独完成需要2x 天.根据题意得:
111
220
x x +=
,解得30x =.经检验30x =是原方程的解,且30x =,260x =都符合题意.∴应付甲队30100030000?=(元).应付乙队30255033000??=(元). ∴公司应选择甲工程队,应付工程总费用30000元.
巩固训练:
1. 【答案】解:两边同乘以3x -得:512(3)1x x ---=- 51266x x --+=- 36x =- 2x =- 检验:当2x =-时,30x -≠ ∴原方程的解2x =-
2. 【答案】 20
3. 【答案】A
4. 【答案】解:设第一次购书的进价为元,则第二次购书的进价为(1)x +元.根据题意得:
12001500
10 1.2x x
+=
,解得:5x =,经检验5x =是原方程的解。 105.112001200=-x x