微分方程的例题分析及解法

微分方程的例题分析及解法

本单元的基本内容是常微分方程的概念，一阶常微分方程的解法，二阶常微分方程的解法，微分方程的应用。

一、常微分方程的概念

本单元介绍了微分方程、常微分方程、微分方程的阶、解、通解、特解、初始条件等基本概念，要正确理解这些概念；要学会判别微分方程的类型，理解线性微分方程解的结构定理。

二、一阶常微分方程的解法

本单元介绍了三种类型的一阶微分方程的求解方法：变量可分离型，齐次型，线性方程。

对于一阶微分方程，首先要看是否可以经过恒等变形将它的变量分离；

对于一阶线性微分方程，先用分离变量法求解其相应的齐次方程，再用常数变易法求解非齐次方程；当然也可直接代下列通解公式：

()()??

????+??=?-C dx e x q e y dx x p dx x p )( 齐次型微分方程

)(x

y f y =' 令x

y u =，则方程化为关于未知数u 与自变量x 的变量可分离的微分方程。

三、二阶微分方程的解法

1．特殊类型的二阶常微分方程

本章介绍了三种特殊类型的二阶方程的求解方法：

（1）)(x f y =''，直接积分；

（2）),(y x f y '=''，令p y ='，

（3）),(y y f y '=''，令p y ='，则p dy

dp y ='' 这三种方法都是为了“降价”，即降成一阶方程。

2．二阶线性常系数微分方程

二阶线性常系数微分方程求解的关键是：

（1）特征方程

对于相应的齐次方程，利用特征方程

02=++q p λλ

求通解：

（2）对于非齐次方程，根据下列形式自由项的特点

)()(x P e x f m x μ=

和 []x x p x x P e x f n l ax ββsin )(~

cos )()(+= 设置特解*y 的形式，然后使用待定系数法。

四、微分方程的应用

求解应用问题时，首先需要列微分方程，这可根据有关科学知识，分析所研究的变量应该遵循的规律，找出各量之间的等量关系，列出微分方程，然后根据微分方程的类型的用相应的方法求解，还应注意，有的应用问题还含有初始条件。

一、疑难解析

（一）一阶微分方程

1．关于可分离变量的微分方程

可分离变量的微分方程是一阶微分方程中的一种最简单的方程，形如

0)()()()(2211=+dy y g x f dx y g x f （1） 的微分方程称为变量可分离的微分方程，或称可分离变量的微分方程，若0)()(12≠y g x f ，则方程（1）可化为变量已分离的方程

dx x f x f dy y g y g )

()()()(2112-= 两端积分，即得（1）的通解：

C x F y G +=)()(

（2）

（2）式是方程（1）的通解（含有一个任意常数），但不是全部解，用分离变量法可求出其通解为)sin(c x y +=，但显然1±=y 也是该方程的解，却未包含在通解中，从这个例子也可以理解通解并不是微分方程的全部解，本课程不要求求全部解。

有些看上去不能分离变量的微分方程，通过变量代换可以化为可分离变量的方程来求解。如齐次型微分方程。 )(

x y f y ='或)(x

y f dx dy = （3） 可用代换ux y =化为

x dx u u f du =-)( 两端同时积分即可求解。

（2）关于一阶线性微分方程。

一阶线性微分方程是指形如

)()(x q y x p y =+' （4） 的方程，其中)(x p 、)(x q 是已知函数，其特点是y ，y '都以一次幂的形式出现在方程中，求它的通解时，即可以用公式

))(()()(C dx e x q e y dx x p dx x p +??

=?- （5） 来求，也可以用常数变易法来求，即通过分离变量法先求出齐次线性方程

0)(=+'y x p y

的通解?=-dx x p Ce y )(，再令C 来未知函数)(x C ，将

?

=-dx x p e x C y )()(代入方程（4），求出)(x C ，最后得到所求通解?

=-dx x p e x C y )()(。 有的方程把x 看作未知函数，y 看作自变量时成为一阶线性微分方程，如方程

0)ln (ln =-+dy y x xdx y

可变形为关于)(y x x =的一阶线性非齐次方程

y

y y x dy dx 1ln =+ 如同一些方程用适当的变量代换可化成可分离变量方程求解一样，有些方程用变量代换可以化成一阶线性非齐次方程，如伯努利方程。

n y x q y x p y )()(=+'，)1,0(≠n

用代换n y z -=1则化为)()1()()1(x q n z x p n z -=-+'

（二）关于常数变易法

所谓常数变易法就是将相应的线性齐次微分方程通解中的常数C 变为待定函数)(x C ，然后代入线性非齐次微分方程中，求出)(x C ，从而得到线性非齐次微分方程通解的方法。

常数变易法的关键是如何确定)(x C ，由于0)(=+'y x p y 的通解为?

=-dx x p Ce y )(（1），将常数C 用)(x C 代换，设?=-dx x p e x C y )()（为方程)()(x q y x p y =+'的通解，

将其代入方程中，就得到关于待定函数)(x C 的导数)(x C '应满足的方程，即

)()()(x q e x C dx x p =?'-

（*）

（*）式是求)(x C 过程中重要的一步，应记住这个表达式，事实

上，它的左端是将通解?=-dx x p e x C y )()(中的)(x C 换成)(x C '，右端是原方

程中右端顶（非齐次项）将（*）式变形，再求积分就得到)(x C 。

D dx e x q x C dx x p +?=?-)()()(

例 求x

nx x y

y 21-=-'的通解。 解 这是一阶线性方程，x x p 1

)(-=，x x x q ln 2)(-

=。相应的齐次方程0=-'x

y y 的通解为Cx y =。 设非齐次方程的通解为x x C y )(=，代入原方程，得

x

x x x C ln 2)(-=' ??=-=)1(ln 2ln 2)(2x

xd x x x C C x

x x dx x x x ++=-=?2ln 22ln 22 所求通解为面Cx x x x C x

x x y ++=++=2ln 2)2ln 2(

（三）可降阶的特殊

本章所研究的二阶微分方程主要有两类：一是可降价的二阶微分方程，它的形式及相应的解法见表8-1：

表8-1可降阶的二阶微分方程及求解方法

（四）二阶线性常系数微分方程

)(x f qy y p y =+'='' (其中q p ,为常数)

当0)(=x f 时称为齐次的，此时通解依特征方程02=++q p λλ的特征根21,λλ而定（见教材表8-6-1），当0)(≠x f 时，称为非齐次的。它的通解可写成

*+=y y y

其中y 是该方程对应的齐次方程

0=+'+''qy y p y

的通解，而*y 是该方程的一个特解。

一般说来，求特解*y 并不是件容易的事情，但当右端项)(x f 为某些特殊形式函数时，特解*y 具有相应的特殊形式，如表8-2所示。这时可用特定系数法来求出*y 。

表8-2

从表8-2可以看出，特解*y的设法与非齐次项)(x

f的形式基本是相同的，只不过依a不是特征根、是单根、是重根时，依次再分别乘以一个k x因子（2,1,0

=

k）。

解题时首先应设定特解*y的形式，注意其中的未知多项式)(x

?或

)

(x Q

m 或)

(x

A

l

，)

(x

B

l

的次数的确定方法；设定未知多项式的系数后，

将*y代入原方程，用待定系数法确定未知系数。

（五）关于特征根法

特征根法不仅可用于二阶线性常系数齐次微分方程通解，也可用于求高阶线性常系数齐次微分方程通解，即

（1）若λ是单实根，则通解中含加x e

Cλ

1

（2）若λ是m 重实根，则通解中含加项（x m m e x C x C C λ)121-+++

（3）若βλi a ±=是共轭复根，则有通解中含加项)sin cos (21x C x c e ax ββ+

根据上述这些加项，就可写出方程的通解形式。

例如求方程06222)4(=+'-''+'''-y y y y y 的通解。

其求特征方程是

01222234=+-+-λλλλ

分解因式为 _0)1()1(22=+-λλ

特征根为 i ±===4,321,1λλλ

因为1=λ是二重根，所以通解中含加项x e x C C )(21+；因为i ±=4,3λ是一对共轭复根，所以通解中含加项,sin _cos 43x C x C +从而得到原方程的通解为

x C x C xe C e C y x x sin cos 4321+++=

二、例题分析

例1 为下列各题选择正确答案：

（1）下列微分方程中，是二阶线性微分方程的为（ ）

A ．x y y y =+'+''2)(

B ．x y y cos 2)(2=+'

C ．y y y 2='''

D ．x y x y y x 2ln 352

=+'-'' （2）下列微分方程中，（ ）所给的函数是通解。

A ．x y y x y ==',；

B ．222,

C y x y

x y =-='；

C ．x C y y x

y =-=',； D ．1,22=+-='y x y x y ；

（3）下列微分方程中为可分离变量方程的是（ ）

A ．

t xt dt dx +=； B ．t e dt

dx x xt sin =； C ．2t xt dt dx +=； D ．22t x dt dx +=； （4）微分方程x e y y y x cos 2-=+'+''的特解形式应设为=*y （ ）

A ．x Ce x cos ；

B ．)sin cos (21

x C x C e x +； C ．)sin cos (21x C x C xe x +-； D ．)sin cos (212x C x C e x x +-；

（5）微分方程0=+''y y 的通解为（ ）

A ．x x e C e C y -+=21

B ．x e x

C C y -+=)(21；

C ．x C x C y sin cos 21+=；

D ．x e x C C y )(21+=；

解 （1）微分方程的“阶”是指方程中未知函数的导数的最高阶数，“线性”是指未知函数及其导数均以线性（一次）形式出现在方程中，由于，A 、C 中分别含有2)(y ''和y y '''项，都呈非线性形式，B 中2)(y '是一阶导数，方程为一阶方程，故只有选择D 正确，事实上，D 中方程可化成二阶线性方程的标准形式为x x

xy y x y ln 135=+'-''。

（2）微分方程的通解是指所含独立任意常数的个数与微分方程．．．．．．．．．．．．．．．．的阶相等的解．．．．．．

。经验证，所给四个答案中，A 、B 、C 是方程的解，但A 、D 中不含任意常数，说明它们是特解，不是通解，故选项B 正确。

（3）将方程进行变量分离，可知

A 为)1(+=x t dt dx 是可分离变量方程。

B 、

C 、

D 均不能分离变量，故正确选择是A 。

（4）二阶常系数线性非齐次微分方程的特解形式与右端项的形式密切相关，此方程中右端项x e x f x cos )(-=，因此特解*y 应设为

),sin cos (21x C x C e x y x k +=-*其中k 由βi a +不是特征方程的根，是单根或是重根而分别设为0，1，2此题中i a a ββ+=-=,1,1不是特征根，因此特解应设为),sin cos (21x C x C e y x +=-*故正确的选项为B 。

（5）二阶常系数线性齐次方程的通解与特征方程的根的形式密切相关。0=+''y y 的特征根为i ±=λ，是共轭复根，通解为三角函数形式x C x C y sin cos 21+=，故选项C 正确。

例2 在下列各题的空白处填写正确答案：

（1）通过点（1，1）处，且斜率处处为x 的典线方程是 。

（2）二阶微分方程x e y =''的通解是 。

（3）微分方程0='+''y y 满足初始条件1)0(,1)0(='=y y 的特解为 。

（4）齐次方程1+='x

y y 的通解是 。

解 （1）斜率处处为x 的曲线方程应满足

x y =' 积分得 C x y +='221，代入条件1)1(=y ，得2

1=C ，故所求曲线方程是21212+=x y 。 （2）对x e y =''两次积分，得211,C x C e y C e y x x ++=+='，此为所求通

解。

（3）微分方程0='+''y y 的特征方程为02=+λλ，特征根为0

,121=-=λλ，通解为

21C e C y x +=-