天津市一元函数微分竞赛试题解答
一元函数微分竞赛试题
一、填空题
1．（2001gj ）设函数)(x y y =由方程0)cos(e =-+xy y x 所确定，则==0
d x y
．
解：用0=x 代入到方程0)cos(e =-+xy y x 之中，有01e =-y
，得0=y ，
方程0)cos(e =-+xy y x 两边同时求微分，有0)d d )(sin()d d (e =++++y x x y xy y x y x ， 将0=x 、0=y 代入上式，有0d d 0
=+=x y
x ，所以x y
x d d 0
-==．
2．（2004gj ）设函数)(x y y =由参数方程???-=-=)
1e ()(3t
f y t f x ，
π所确定，其中)(u f 可导，且0)0(≠'f ，则
==0
d d t x
y ．
解：)()1e (e 3)()(d d 33t f f t x t y x y x x '-'=
''=，由于0)0(≠'f ，所以
3)
0()
0(3)
()1e (e 3d d 0
330=''=
'-'=
==f f t f f x
y t x x t ． 3．（2014gj ）设函数x x x f ln 2)(+=，而)(1
y f x -=是)(x f y =的反函数，则==2
d y x
．
解：当1=x 时，2=y ．而3)
1
2()ln 2()1(1
1
=+='
+='==x x x
x x f ，所以
3
1
)
(1
])([1
2
1=
'=
'==-x y y
x f y f ，故=
=2
d y x 3
d y ． 4．（2014gj ）设函数)(x f y =在0=x 的某个邻域内具有一阶连续的导数，若21
e ]
sin )
(1ln[lim
=-+
→x
x x x f ，则='')0(f ． 解：由题设已知0)
(lim sin )(lim
00==→→x x f x x f x x ，于是0)0(0)0(='=f f 、．而
)0(21)0()(lim 212)(lim )(lim sin )(lim 1e ]
sin )(1ln[lim 2002000f x f x f x x f x
x f x x x f x x f x x x x x x ''='-'='===-+=→→→→→，所以4)0(=''f ．
5．（2003j ）设?
??==,),(2
kt y t x ?其中函数)(t ?具有二阶导数，则=22d d y x
．
解：kt t t y t x y x 2)()()(d d ?'=''=，=?'-''='=kt t
t t t k y t kt t t y x 21
)()(21d d ]2)([d d d d 2
22???324)()(t k t t t ??'-''． 6．（2008j ）设)(00y x ，是光滑曲线)(x f y =上一点，在该点处曲线的一个法向量为}15{-，，则
=)
,(00d d y x x
y
．
解：由法向量为}15{-，，则曲线)(x f y =在点)(00y x ，处的法向量的斜率5
11-=
k ， 于是曲线)(x f y =在点)(00y x ，处的切向量的斜率51
1
=-
=k k ，所以
5d d )
,(00=y x x y
7．（2005g ）曲线???==t
y t x t
t cos e ,
2sin e 在点)10(，处的法线方程为 ． 解：将10==y x 、代入到方程之中，得参数0=t ．
2
12cos e 22sin e sin e cos e )
()(d d 0
=
+-=''=
===t t t
t t t t t
t t t t x t y x
y ， 曲线在点)10(，处的切线斜率21d d 0
=
==t x
y k ，法线斜率21
1-=-=k
k ， 法线方程为：)0(21--=-x y ，即012=-+y x ．
8．（2002gj ）设摆线方程为??
?-=-=,
cos 1,sin t y t t x 则此曲线在3π
=t 处的法线方程为 ．
解：用3
π
=
t 代入到方程之中，得切点坐标2
1211233
00=-=-
=
y x 、π
． 切线斜率3cos 1sin d d 3
/3
/=-=
=
==ππt t t
t x
y
k ，法线斜率为3
1-
，法线方程为
)23
3(3
121+--=-
πx y ，即3331π+-
=x y ． 9．（2005j ）设函数)(x y y =由方程x
y
y x arctan
2
2
e =+所确定，则曲线)(x y y =在点)01(，处的法
线方程为 ． 解：方程x
y
y x arctan
2
2
e
=+两边取对数，有
x
y
y x arctan )ln(2122=+，该等式两边同时对x 求导，
有
2
22)
/(1x y y
y x y x y y x +-'=+'+，用01==y x 、代入，得)1(1y '=，即切线斜率1=k ，法线斜率11-=k ，所以法线方程为)1(0--=-x y ，即01=-+y x ．
10．（2008g ）设函数)(x y y =由方程11
)sin(=--
x
y xy 所确定，则曲线)(x y y =上对应0=x 处的切线方程是 ． 解：将0=x 代入到方程之中，有1)
0(1
=-
y ，得1)0(-=y ． 方程11)si n (=--
x y xy 同时对x 求导，有0)1d d ()(1)d d )(cos(2=--++x
y
x y x y x y xy ，用10-==y x 、代入，有01d d 10
=-+-=x x
y
，得
2d d 0
==x x
y ，则切线斜率2=k ，所以切线方程为
)0(21-=+x y ，即12-=x y ．
11．（2007j ）对数螺线θ
ρe =在点)2
e ()(2π
θρπ
，，=处的切线的直角坐标系下的方程是 ．
解：将对数螺线θ
ρe =改写为参数方程为?
??==，，θθθ
θsin e cos e y x 所给点对应2π
θ=，于是切点在直角坐标系的坐标为00=x ，20e π
=y ．
θθ
θθθθθθθθθθs i n c o s c o s
s i n )s i n (c o s e )c o s (s i n e )()(d d -+=
-+=''=x y x y ，切线斜率1d d 2
/-==πθx y ，所以切线方程为
)0(1e 2--=-x y π
，即2e π
=+y x ．
12．（2008gj ）设0)0(0)0(='>f f ，，则极限=∞
→n
n f n f ])
0()/1([
lim ． 解：设=n x n
f n f ])
0()/1([
，则 n
f n f f n f n x n n n n /1)
0(ln )/1(ln lim )]0(ln )1([ln lim ln lim -=-=∞→∞→∞→ 0)
0()
0()
()
(])([ln 0
='=
'=
'
===f f x f x f x f x x ，
所以，1e ])
0()/1([
lim 0==∞
→n
n f n f ． 13．（2014j ）设x x y 44cos sin +=，则=)(n y ．
解：化简函数2
2sin 1cos sin 2)cos (sin cos sin 22
2
2
2
2
4
4
x x x x x x x y -=-+=+=
x x 4cos 4
1
4324cos 1211+=--=， 于是
=?++=+=n n n n x x y
4)24c o s (410)4c o s 4143()()
(π)2
4c o s (41πn x n +-． 14．（2009gj ）设函数x x x f 4)(=，则使得)0()
(n f 存在的最大自然数=n ．
解：当0≠x 时，???≥<-=，，，，00)(55x x x x x f ???><-='，，，，0505)(44x x x x x f ???><-=''，，，
，002002)(3
3x x x x x f ???><-='''，
，，，006006)(2
2x x x x x f ???><-=.02010120)()4(x x x x x f ，，
，
在0=x 点：
0)(lim )0()(lim )0(4
00=-=-='--
→→-x x
f x f f x x ，
0lim )
0()(lim )0(400==-='-
+→→+x x
f x f f x x ， 于是函数)(x f 在0=x 点有一阶导数，且0)0(='f ；
0)5(lim )0()(lim )0(3
00=-='-'=''-
-
→→-x x
f x f f x x ， 05lim )
0()(lim )0(300=='-'=''-
+→→+x x f x f f x x ， 于是函数)(x f 在0=x 点有二阶导数，且0)0(=''f ；
0)20(lim )0()(lim )0(2
00=-=''-''='''-
-
→→-x x
f x f f x x ，
020lim )0()(lim )0(2
00==''-''='''-+→→+x x f x f f x x ，
于是函数)(x f 在0=x 点有三阶导数，且0)0(='''f ；
0)60(lim )
0()(lim )0(00)4(=-='''-'''=-
-
→→-x x
f x f f x x ，
060lim )
0()(lim )0(00)4(=='''-'''=-+→→+x x f x f f x x ，
于是函数)(x f 在0=x 点有四阶导数，且0)0()
4(=f
；
120120
l i m )0()(l i m )0(0)4()
4(0
)5(-=-=-=-
-
→→-
x
x x f x f
f
x x ， 120120lim )0()(lim )0(0)4()4(0)
5(==-=-+→→+
x
x
x f x f f
x x ．
因为)0()0()5()5(+-≠f f ，于是)(x f 在0=x 点的五阶导数不存在，所以对函数x x x f 4)(=，使得)0()
(n f
存在的最大自然数4=n ．
或者：当0≠x 时，x x f
x x x f x x x f x x x f 120)(60)(20)(5)()
4(23=='''=''='、、、．
0l i m )
0()(l i m
)0(300==-='→→x x x
f x f f x x ；
05lim )
0()(lim
)0(200=='-'=''→→x x x
f x f f x x ；
020lim )
0()(lim )0(00==''-''='''→→x x x
f x f f x x ； 060lim )0()(lim
)0(00)
4(=='''-'''=→→x x
f x f f x x ； 而x
x x f x f x x 120lim
)
0()(lim 0)4()4(0→→=-不存在，由此可见)0()4(f 存在，)0()5(f 不存在，所以使得)0()
(n f
存在的最大自然数4=n ．
15．（2012j ）设函数)(x f 在点0=x 处有二阶导数，且2cos 1)
(lim 0=-→x
x f x ，则='')0(f ．
解：由x
x f x cos 1)
(lim
0-→存在，及函数)(x f 在点0=x 处可导，根据分母极限为零，得0)0(=f ．
而22)(lim 22/)(lim cos 1)(lim
0200='==-→→→x x f x x f x x f x x x ，即2)
(lim 0='→x
x f x ，再由该极限的分母极限为零及)(x f 在点0=x 处有二阶导数，得0)0(='f ．
2)
(lim 0)0()(lim
)0(00
='=-'-'=''→→x
x f x f x f f x x ． 16．（2006j ）若??
?
??=≠---=-0,e ,0,cos e 11)(sin 2
x a x x x x f x x 是区间)(∞+-∞，上的连续函数，则=a ．
（注：本题提法错误，应将区间)(∞+-∞，改为)11(，-）
，函数也不妥当，最好改为
?????=<<---=0,
,10,cos e 11)(2x a x x x x f x
） 解：只需求a 使函数)(x f 在0=x 点连续．首先a a f ==0e )0(，所以
0s i n e lim cos e 2/lim cos e 11lim )(lim )0(020200=+=-=---===→→→→x
x
x x x x x f f a x x x x x x x ．
17．（2007gj ）若函数x x y 2=在0x x =处取得极小值，则=0x ．
解：定义域)(∞+-∞∈，x ，)2ln 1(22ln 22x x y x x x +=+='，由0='y ，得唯一驻点2
ln 1
0-=x ，当2ln 1-
ln 10-=x 是极小值点． 18．（2006gj ）函数x x y sin 2+=在区间]2/[ππ，上的最大值为 ． 解：x y cos 21+='，有0cos 21=+='x y ，在区间)2/(ππ，得函数的驻点为π3
2
=x ． 因为πππππ
π=+=+=
)(32
3)2(22)2(f f f 、、，所以函数x x y sin 2+=在区间]
2/[ππ，上的最大值为32
3)2(+=
π
πf ． 19．（2010j ）设曲线2
46)(cx bx x x f y ++==在拐点))1(1
(f ，处有水平切线，则=b ，=c ，=)1(f ． 解：c bx x x f cx bx x x f 21230)(246)(2435++=''++='，．
根据已知，有0)1()1(=''='f f ，即?
??=++=++，，
021*******c b c b 解得33=-=c b 、，从而
2
4633)(x x x x f +-=，1)1(=f ．
二、单项选择题
20．（2006gj ）设函数)(x f 可导，且5)(0='x f ，则当0→?x 时，该函数在点0x 处的微分y d 是增量y ?的（ ）． （A ） 等价无穷小； （B ） 同阶但不等价的无穷小； （C ） 高阶无穷小； （D ） 低阶无穷小．
解：因为1)(55lim )()()(lim )(d d lim d lim
00
0000=?+??=?+?'?'=?+=?→?→?→?→?x o x x
x o x x f x x f x o y y y y x x x x ，所以当
0→?x 时，函数在点0x 处的微分y d 是增量y ?的等价无穷小．选（A ）．
21．（2014gj ）若函数)(u f 可微，且1)]tan (ln [d d
4
/==πx x f x
，则=')0(f （ ）．
（A ）
21 （B ）1 （C ）2
3
（D ）2 解：设x u tan ln =，则4
π
=
x 时，0=u ．由
)0(2tan sec )()
()()]tan (ln [d d
14
/24
/4/f x
x
u f x u u f x f x
x x x '=?
'=''=====πππ，
所以=
')0(f 2
1
，选（A ）． 22．（2002gj ）若函数)(x f 满足2
)]([)(x f x f ='，则当2>n 时，=)()
(x f
n （ ）
． （A ）!)]
([1
n x f n +； （B ）n x f n 1)]([+； （C ）n x f 2)]([； （D ）!)]([2n x f n ．
解：3
2
)]([2)()(2})]({[)(x f x f x f x f x f ='='=''，
423)]([23)()]([23})]([2{)(x f x f x f x f x f ?='?='='''，
依次类推，n n x f n x f
)]([23)1()()
1(???-=- ，于是
11)()]([!)()]([!})]([23)1{()(+-='='???-=n n n n x f n x f x f n x f n x f ．选（A ）
23．（2010g ）上曲线的极坐标方程为)cos 1(4θ+=r ，则在其上对应3/2πθ=点处的切线的直角坐标方程为（ ）．
（注：原题将方程写为θc o s
1+=r ，这时没有正确选项） （A ）01=+x ； （B ）01=+y ； （C ）0=+y x ； （D ）0=-y x ．
解：将极坐标方程为)cos 1(4θ+=r 改写为参数方程：?
??+=+=.sin )cos 1(4cos )cos 1(4θθθθy x ，
设切点坐标为)(00y x ，，则1)32(0-==πx x ，3)3
2(0==π
y y ． 由于
0)
2cos (cos 4)2sin sin (4)
()(d d 3
/23
/23
/2=+--=
''=
πππθθθθθθy x y
x
，所以
∞=3
/2d d πx
y
，于是曲线在点
)(00y x ，处的切线垂直于x 轴，因此切线方程为1-=x ，即01=+x ，选（A ）
．
24．（2010j ）设周期为3的函数)(x f 可导，1)1(=f ，且极限12)
1()1(lim
1
-=--→x
x f f x ，则曲线
)(x f y =在点))4(4(f ，处的切线方程为（ ）
． （A ） 03=--y x ； （B ）052=--y x ； （C ）022=--y x ； （D ）092=-+y x ． 解：由1)1(2
1
)1()1(lim 212)1()1(lim
11
-='=---=--→→f x f x f x x f f x x ，得2)1(-='f ．
由于)(x f 的周期为3，则)(x f '的周期也为3，所以2)1()4(1)1()4(-='='==f f f f 、． 曲线)(x f y =在点))4(4(f ，处的切线方程为)4(21--=-x y ，即092=-+y x ．选（D ）
25．（2010gj ）设函数?????≤>-=，
，，
，0)(0co s 1)(x x xg x x
x
x f 其中)(x g 是有界函数，则)(x f 在0=x 点处（ ）． （A ） 极限不存在； （B ） 极限存在，但函数不连续； （C ） 函数连续，但是不可导； （D ） 函数可导．
解：由于0)(lim )(lim )0(0
===-
-→→-
x xg x f f x x （无穷小与有界变量之积为无穷小）， 0cos 1lim )(lim )0(00=-==+
+→→+x
x
x f f x x 及0)0(=f ，得函数)(x f 在0=x 点处连续．
又21
cos 1lim )0()(lim )0(200=-=-='+
+→→+x x x f x f f x x ， )(lim )0()(lim )0(00x g x f x f f x x --→→-=-='（该极限不一定存在，即便存在也不一定为21
，
所以，函数)(x f 在0=x 点处不一定可导，只有（C ）可选．
（注：本题选项设计的不好，如果21)(l i m
=→x g x （如2
1
)(+=x x g ），（C ）也不正确了，所以将选项(C)改为：“函数连续，但是可能不可导”就无懈可击了）
26．（2014gj ）设函数)(x f 在0=x 处连续，下列结论错误的是（ ）．
（A ）若x x f x )(lim
0→存在，则0)0(=f （B ）若x
x f x f x )
()(lim 0-+→存在，则0)0(=f
（C ）若x x f x )(lim 0→存在，则)0(f '存在 （D ）若x x f x f x )
()(lim 0-+→存在，则)0(f '存在
解：由x
x f x )
(lim 0→存在，及)(x f 在0=x 处连续，得)0()(lim 00f x f x ==→，所以0)0(=f ，并且由
x f x f x x f x x )
0()(lim )(lim
00
-=→→存在，知函数)(x f 在0=x 处可导，排除（A ）、（C ）． 由x
x f x f x )()(lim 0-+→存在，及)(x f 在0=x 处连续，得)0(2)]()([lim 00f x f x f x =-+=→，即
0)0(=f ，所以排除（B ）
． 对于在0=x 处不可导的函数3)(x x f =，有00
lim )()(lim
00
==-+→→x x
x f x f x x ，所以（D ）不成立，选（D ）．
27．（2001gj ）设函数)(x f 对于任意实数x 都满足)()1(x af x f =+，且b f =')0(，其中a 与b 均是非零常数，则)(x f 在1=x 处（ ）． （A ） 不可导； （B ） 可导，且a f =')1(； （C ） 可导，且b f =')1(； （D ）可导，且ab f =')1(． 解：用0=x 代入到)()1(x af x f =+之中，得)0()1(af f =．
由ab f a h
af h af h f h f h h ='=-=-+→→)0()
0()(lim )1()1(lim
00
，得 )(x f 在1=x 点可导，且ab f =')1(．选（D ）
28．（2011gj ）设函数)1ln()2()(x x x f -+=，则)(x f 在0=x 处（ ）． （A ）2)0(-='f ； （B ）0)0(='f ； （C ）2)0(='f ； （D ） 不可导．
解：因为2))(2(lim 0)1ln()2(lim )
0()(lim 000-=-+=--+=-→→→x
x x x x x x f x f x x x ，所以函数
)1ln()2()(x x x f -+=在0=x 点可导，且2)0(-='f ，选（A ）
． 29．（2013g ）设函数)1sin 1)(2()(-++=x x x f ，则（ ）． （A ） 0)0(='f ； （B ） 1)0(='f ； （C ） 2)0(='f ； （D ）)(x f 在0=x 处不可导．
解：由12sin )2(lim )1sin 1)(2(lim 0)
0()(lim 000=+=-++=--→→→x
x x x x x x f x f x x x ，则1)0(='f ．选（B ）
30．（2006gj ）设函数)(x f 在点a x =处可导，则函数)(x f 在点a x =处不可导的充分必要条件是（ ）． （A ） 0)(=a f ，且0)(='a f ； （B ） 0)(≠a f ，但0)(='a f ；
（C ）0)(=a f ，且0)(≠'a f ； （D ） 0)(≠a f ，且0)(≠'a f ．
解：若0)(≠a f ，不妨设0)(>a f ，由于)(x f 在点a x =处可导，则它在a x =点处连续，根据连续函数性质，则存在a x =的一个邻域)(δ，a U ，在该邻域内0)(>x f ，于是
)()
()(lim
)()(lim
a f a
x a f x f a
x a f x f a
x a
x '=--=--→→，
从而)(x f 在点a x =处可导，（B ）、（D ）被排除．
若0)(=a f ，则a
x x f a
x a f x f a
x a
x -=--→→)(lim
)()(lim
，而
)()(lim )(lim a f a
x x f a
x x f a
x a
x '-=--=--
-
→→；)()(lim )(lim a f a
x x f a
x x f a
x a
x '=-=-+
+
→→，
于是当0)(='a f ，0)()(lim )()(lim =--=--+
-
→→a x a f x f a
x a f x f a
x a
x ，
此时)(x f 在点a x =处可导，（A ）被排除，当0)(≠'a f 时，a
x a f x f a
x a f x f a
x a
x --≠--+
-
→→)()(lim )()(lim ，此时)(x f 在点a x =处不可
导，所以)(x f 在点a x =处不可导的一个充分条件是0)(=a f ，且0)(≠'a f ，选（C ）． （注：本题为客观题，建议答题时从几何直观考虑）
31．（2012gj ）设函数)(x f 在点0=x 的一个邻域内有定义，且满足2)(x x f ≤，则有（ ）．
（A ）)(x f 在点0=x 处不一定可导； （B ）)(x f 在点0=x 处可导，且0)0(='f ； （C ）)(x f 在点0=x 处可导，且0)0(≠'f ；（D ）)(x f 在点0=x 处取得极小值．
解：用0=x 代入到不等式2
)(x x f ≤之中，有0)0(≤f ，得0)0(=f ．
由2
)(x x f ≤，有x x x f ≤≤
)(0，即x x
f x f ≤-≤)
0()(0，而00lim 0=→x 、0lim 0=→x x ，根据
夹逼准则，得0)
0()(lim
=-→x
f x f x ，从而0)0()(lim
0=-→x f x f x ，所以函数)(x f 在点0=x 处可导，且0)0(='f ，选（B ），同时排除（A ）、（C ）．
否定（D ）可以用例子：3)(x x f =，在1≤x 时，2
)(x x f ≤，但是0=x 不是极值点．
32．（2004gj ）设函数)(x f 在0x x =的一个邻域内有定义，则存在0x 点处连续函数)(x g ，使得)()()()(00x g x x x f x f -=-是)(x f 在0x 点处可导的（ ）． （A ） 充分而非必要条件； （B ） 必要而非充分条件； （C ） 充分且必要条件； （D ） 既非充分，也非必要条件． 解：一方面，由)()()()(00x g x x x f x f -=-，当0x x ≠时，有
)()
()(0
0x g x x x f x f =--，
因为函数)(x g 在0x 点处连续，所以)()(lim )
()(lim
00
000
x g x g x x x f x f x x x x ==--→→，从而)(x f 在0x 点处可导． 另一方面，由)(x f 在0x 点处可导，有)()
()(lim
00
00
x f x x x f x f x x '=--→，根据极限与无穷小的关系，
存在无穷小量)(x α，使得
)()()
()(00
0x x f x x x f x f α+'=--（0x x ≠）
，定义0)(0=x α，则)()()(0x x f x g α+=在0x 点处连续，且)()()()(00x g x x x f x f -=-．
所以存在0x 点处连续函数)(x g ，使得)()()()(00x g x x x f x f -=-是)(x f 在0x 点处可导的充分且必要条件．选（C ）．
33．（2003gj ）函数?????=≠=0,
0,
0,1cot arc )(3
x x x
x x f 在0=x 点处存在最高阶导数的阶数为（ ）． （A ） 1阶； （B ） 2阶； （C ） 3阶； （D ） 4阶．
（注：原试卷将函数误印为?
??=≠=0,0,
0,cot arc )(3x x x x x f 所有考生以满分记）
解：因为01
cot arc lim )0()(lim
200
==-→→x
x x f x f x x ，所以)0(f '存在，且0)0(='f ， 当0≠x 时，1
1arccot 3)(23
2
++='x x x x x f ．
因为0)1
1cot arc 3(lim )0()(lim
22
00=++='-'→→x x x x x f x f x x ，所以)0(f ''存在，且0)0(=''f ， 当0≠x 时，2
24
22)1(2161cot arc 6)(+-
++=''x x x x x x x f ，
因为极限])
1(2161cot arc 6[lim )0()(lim 223
200+-++=''-''→→x x x x x x f x f x x 不存在，所以在0=x 点)(x f 的三阶导数不存在，因此最高有二阶导数，选（B ）
． 34（2012j ）．设)(x f 有连续的导数，且3)0(1)0(='=f f 、，则=→x
x x f 21
)]
([lim （ ）．
（A ）1； （B ）e ； （C ）32e ； （D ） 2
3e ． 解：设x
x f y 21
)]([=，则x
x f y 2)
(ln ln =
，于是 2
3
)()(l i m 212)(l n l i m l n l i m 000='==→→→x f x f x x f y x x x ，所以=→x x x f 210)]([lim 23
e ，选（D ）．
35．（2010j ）设函数)()(x f x f =-若在区间)0(∞+，内0)(<'x f ，0)(>''x f ，则在区间)0(，-∞ 内（ ）． （A ）0)(>'x f ，0)(<''x f ； （B ）0)(>'x f ，0)(>''x f ； （C ）0)(<'x f ，0)(>''x f ； （D ）0)(<'x f ，0)(<''x f ． 解：由)()(x f x f =-知)(x f 是偶函数，从而)(x f '是奇函数、)(x f ''是偶函数．
因为在区间)0(∞+，内0)(<'x f ，0)(>''x f ，所以在区间)0(，-∞ 内0)(>'x f ，
0)(>''x f ，选（B ）．
36．（2002gj ）已知函数)(x f 在区间)(∞+-∞，内有定义，且点0x 是函数)(x f 的一个极大值点，则（ ）． （A ）0x 是函数)(x f 的驻点； （B ）在)(∞+-∞，内恒有)()(0x f x f ≤； （C ）0x -是函数)(x f --的极小值点； （D ）0x -是函数)(x f -的极小值点．
解：由于点0x 是函数)(x f 的一个极大值点，则在0x 的一个邻域内)(00
δ，x U 内有)()(0x f x f >，于是)()(0x f x f -<-．
记)()(x f x F --=，则)()(x f x F -=-，)()(00x f x F -=-，由于)()(0x f x f -<-，得)()(0x F x F -<-（其中x -在0x -的去心邻域内）
，于是0x -函数)()(x f x F --=的一个极小值点，
应当选（C ）．
（注：客观题可以借助图形直观判断，如图）
排除的理由是0x 可以是不
（A ）
可导点，如x x f -=1)(，取00=x ；
（B ）排除的理由是极值是局部概念，如33)(x x x f -=，取10=x ； （D ）排除可以用例子2)1()(--=x x f ，取10=x ．
37．（2014j ）若函数22)(y bxy ax y x f -+=，有一个唯一极大值)00(，f ，则常数b a 、应满足（ ）．
（A ）42b a -> （B ）44b a < （C ）4
2
b a -< （D ）上述结论都不正确
解：y bx y x f by ax y x f y x 2)(2)(-='+='，、，，显然0)00()00(='='，，y x f f ．
又2)00()00(2)00(-=''==''==''=，、，、，yy xy xx f C b f B a f A ．
根据二元函数极值的充分条件，应有002
<>-A B AB 、，于是0042
<>--a b a ，，即
4
2
b a -<，选（C ）．
38．（2008gj ）设极限1)
()
()(lim
3
/1=--→a x a f x f a
x ，则函数)(x f 在a x =点处必（ ）． （A ） 取极大值； （B ） 取极小值； （C ）可导； （D ） 不可导．
解：由1)()
()(lim 3/1=--→a x a f x f a x ，有1)()()(lim 32
=---→a x a x a f x f a x ，若函数)(x f 在a x =点处可导，则)()()(lim a f a x a f x f a x '=--→，此时00)()()
()(lim 32
=?'=---→a f a x a
x a f x f a x ，与此极限等于1矛盾，所以函数)(x f 在a x =点处一定不可导，选（D ），同时排除（C ）．
又由01)()()(lim
3/1>=--→a x a f x f a
x ，则在a
x =的去心邻域内有0)()
()(3
/1>--a x a f x f ，而在a x =的左侧附近，0)(3/1<-a x ，得)()(a f x f <；在a x =的右侧附近，0)(3/1>-a x ，得)()(a f x f >，所以)(a f 既不是极大值，也不是极小值，（A ）、（B ）被排除． 或者：由01)()
()(lim
3
/1>=--→a x a f x f a
x ，得在a x =的邻域内有0))](()([≥--a x a f x f （等号只在
a x =点成立），所以在该邻域内函数)(x f 单调增加，（A ）、（B ）被排除． 39．（2005j ）若极限1)()
()(lim
2
-=--→a x a f x f a
x ，则函数)(x f 在a x =点处（ ）
． （A ） 导数存在，且0)(≠'a f ； （B ） 导数不存在； （C ） 取得极小值； （D ）取得极大值．
解：由极限1)()
()(lim 2
-=--→a x a f x f a x ，根据极限的保号性，存在a 点的一个去心邻域)(0δ，
a U ，在该邻域内
0)
()
()(2
<--a x a f x f ，于是)()(a f x f <，所以函数)(x f 在a x =点处取得极大值，选（D ），同时排除（C ）． 因为极限1
1
)()(lim )()()(lim
2
-=-?--=--→→a x a x a f x f a x a f x f a x a
x （存在），而极限∞=-→a x a x 1lim ，所以极限0)
()(lim
=--→a
x a f x f a
x ，即函数)(x f 在a x =点处可导，且0)(='a f ，排除（A ）、（B ）．
40．（2009gj ）设函数)(x f 与)(x g 具有任意阶导数，且1e )()()()(-=+'+''x
x xf x g x f x f ，又
1)0(=f ，0)0(='f ，则（ ）
． （A ）)0(f 为函数)(x f 的极小值； （B ）)0(f 为函数)(x f 的极大值； （C ） 点)10(，为曲线)(x f y =的拐点； （D ）极值与拐点要由函数)(x g 确定．
解：由1)0(=f ，0)0(='f ，将0=x 代入到1e )()()()(-=+'+''x x xf x g x f x f 之中，得0)0(=''f ，
方程1e )()()()(-=+'+''x
x xf x g x f x f 两边同时对x 求导，有 x
x f x x f x g x f x g x f x f e )()()()()()()(='++''+''+'''，
用0=x 代入，得0)0(='''f ，上式两边同时对x 再求导，有
x x f x x f x g x f x g x f x g x f x f e )()(2)()()()(2)()()()4(=''+'+'''+''+'''+，
用0=x 代入，得1)0()
4(=f
，于是
)()0(24
1)0(61)0(21)0()0()(44)
4(22x o x f x f x f x f f x f ++'''+''+
'+= )(24
)0(44
x o x f ++=． 由此的)(24)0()(44
x o x f x f +=
-，于是0241)0()(lim 40>=-→x f x f x ，根据极限的保号性，在0=x 的一个邻域内
0)
0()(4
>-x
f x f ，显然)0()(f x f >，所以)0(f 为函数)(x f 的极小值，选（A ），同时排除（B ）． 又0241
12)(lim 4)(lim )0()(lim
20304
>=''='=-→→→x x f x x f x f x f x x x ，根据极限的保号性，在0=x 的一个邻域内
012)
(2
>''x
x f ，显然0)(>''x f ，所以)10(，不是曲线)(x f y =的拐点，排除（C ），同时也排除（D ）． 41．（2011gj ）设函数)(x f y =具有二阶导数，且满足方程0e sin =-'+''x y y ，已知0)(0='x f ，则（ ）．
（A ）函数)(x f 在0x 的某个邻域内单调增加；（B ）函数在0x 的某个邻域内单调减少； （C ）函数)(x f 在0x 处取得极小值； （D ）函数)(x f 在0x 处取得极大值． 解：用0x x =代入方程0e sin =-'+''x y y 并注意0)(0='x f ，得0e )(0
s i n 0>=''x x y ，根据极值第二
充分条件，函数)(x f 在0x 处取得极小值，选（C ），同时排除（D ）．
若函数)(x f 在0x 的某个邻域内单调增加或减少，则0x 不能是极值点，所以（A ）、（B ）也被排除． 42．（2005g ）设函数)(x y y =满足方程042=+'-''y y y ，且0)(0)(00=' )(x y y =在0x 点处（ ）． （A ） 取得极小值； （B ） 取得极大值； （C ） 的一个邻域内单调增加； （D ） 的一个邻域内单调减少． 解：用0x x =代入到方程042=+'-''y y y 之中，并注意到0)(0)(00=' 0)(4)(00>-=''x y x y ， 又因为0x 为驻点，根据极值第二充分条件，函数)(x y 在0x 点处取得极小值，选（A ），同时排除（B ）、（C ）、（D ）． 43．（2003gj ）设函数)(x f y =在1=x 点处有连续的导数，且21 ) (lim 1 =-'→x x f x ，则1=x 是（ ）． （A ）是曲线)(x f y =拐点的横坐标； （B ） 函数)(x f y =的极小值点； （C ）函数)(x f y =的极大值点； （D ） 以上选项均不正确． 解：由)(x f y =在1=x 点处有连续的导数，及21 ) (lim 1 =-'→x x f x ，得0)1(='f 、02)1(>=''f ． 根据极值第二充分条件知，1=x 是函数)(x f y =的极小值点，选（B ）．同时（C ）、（D ）被排除． 根据所给条件，当1≠x 时，)(x f ''是否存在不清楚，所以选项（A ）无法判定，但是如果)(x f ''存在且连续时，根据连续函数性质，在1=x 附近有0)(>''x f ，所以1=x 不是 曲线)(x f y =拐点的横坐标，这是（A ）被排除． 44．（2007gj ）设函数)(x f 在区间)0(∞+，内具有二阶导数，且满足0)(0)0(<''=x f f ，又b a <<0，则当b x a <<时，恒有（ ）成立． （A ） )()(a xf x af >； （B ） )()(b xf x bf >； （C ） )()(b bf x xf >； （D ）)()(a af x xf >． 解：(A)、(B)涉及函数x x f x F )()(= 单调性问题，为此2) ()()(x x f x f x x F -'='，设 )()()(x f x f x x G -'=，而)()(x f x x G ''='，当0>x 时，0)(<'x G ，于是函数)(x G 单调减少，则0)0()(= b b f x x f a a f )()()(>>，得)()(b xf x bf >及)()(a xf x af <， 因此（B ）正确，（A ）错误． （C ）、（D ）涉及函数)(x xf 的单调性，在满足题目条件时，)(x xf 的单调性依赖于)(x f 而定，如 x x f =)(时，2 3)(x x xf =在区间)0(∞+， 内单调增加；再如2)(x x f -=时，3)(x x xf -=在区间)0(∞+，内单调减少，所以（C ）、（D ）都不是肯定的结论． 45．（2013gj ）设)()(x g x f 、都是区间][b a ，上恒大于零的可导函数，且满足 0)()()()(<'-'x g x f x g x f （∈x ][b a ，） ． 则当b x a <<时，必有（ ）． （A ）)()()()(x g b f b g x f >； （B ）)()()()(x g a f a g x f >； （C ）)()()()(a g a f x g x f >； （D ）)()()()(b g b f x g x f >． 解：设)()()(x g x f x F = ，则0) () ()()()()(2 <'-'='x g x g x f x g x f x F ，于是函数)(x F 在区间][b a ，上单调减少，所以对∈x ][b a ，，有)()(b F x F >，即 ) () ()()(b g b f x g x f > ，亦即)()()()(x g b f b g x f >，选（A ）． 同时有有)()(a F x F <，即 ) () ()()(a g a f x g x f <，亦即)()()()(x g a f a g x f <，排除（B ）． 而根据条件函数)()()(x g x f x G =的单调性无法确定，所以（C ）与（D ）都不确定，应排除． 46．（2005gj ）设函数)()(x g x f ，在开区间)(b a ，内可导，考虑下面两个命题： （1）若)()(x g x f >，则)()(x g x f '>'； （2）若)()(x g x f '>'，则)()(x g x f >． 下列论断中正确的是（ ）． （A ）两个命题均正确； （B ）两个命题均不正确； （C ）命题（1）正确，命题（2）不正确； （D ）命题（2）正确，命题（1）不正确． 解：在区间)10(，用例子：x x f -=2)(，x x g =)(，则)()(x g x f >，但1)(-='x f ，1)(='x g ，没有)()(x g x f '>'，所以命题（1）是错误的． 在区间)10(，用例子：x x f =)(，x x g -=2)(，此时 1)(='x f ，1)(-='x g ，从而 )()(x g x f '>'，但是没有)()(x g x f >，所以命题（2）是错误的． 两个命题均不正确，选（B ）． 47．（2005j ）函数)(x f 在闭区间]21[，上具有二阶导数， 且0)2()1(==f f ，设)()1()(2x f x x F -=，则)(x F ''在开区间)21(，内（ ）． （A ） 没有零点； （B ） 至少有一个零点； （C ） 恰有两个零点； （D ） 有且仅有一个零点． 解：由函数)(x f 在闭区间]21[，上具有二阶导数，且0)2()1(==f f ，则)()1()(2x f x x F -=在闭区间]21[，上具有二阶导数，且0)2()1(==F F ，根据罗尔定理，有)21(，∈η使得0)(='ηF ． )()1()()1(2)(2x f x x f x x F '-+-='在闭区间]21[，上连续，在开区间)21(，内， 且0)1(='F ，0)(='ηF ，再由罗尔定理，有)1(ηξ，∈，使得0)(=''ξF ，所以)(x F ''在开区间)21(，内至少有一 个零点，选（B ）． （A ）、（B ）、（C ）的排除可以用例子0)(=x f ，满足题目条件，这时0)(≡''x F ，则)(x F ''在开区间)21(，内有无穷多个零点． 48．（2007gj ）设函数)(x f 具有一阶导数，下列论断中正确的是（ ）． （A ） 若函数)(x f 只有一个零点，则)(x f '必至少有两个零点； （B ） 若)(x f '至少有一个零点，则函数)(x f 必至少有两个零点； （C ） 若函数)(x f 没有零点，则)(x f '必至少有一个零点； （D ） 若)(x f '没有零点，则函数)(x f 至多有一个零点． 解：只有（D ）是正确的，事实上：若函数)(x f 有两个以上零点，不妨设21x x <都是)(x f 的零点，在区间][21x x ，上对)(x f 使用罗尔定理，有)(21x x ，∈ξ使得0)(='ξf ，与)(x f '没有零点矛盾，所以函数)(x f 至多有一个零点． （A ）的否定可以用例子：x x f =)(； （B ）的否定可以用例子：2 )(x x f =； （C ）的否定可以用例子：x x f e )(=． 49．（2003gj ）当0→x 时，下列无穷小量： ① x x sin 1tan 1+-+； ② 33121x x +-+； ③ x x x sin )cos 3 1 34( --； ④ 1e 4--x x ． 从低阶到高阶的排列顺序为（ ）． （A ） ①②③④； （B ） ③①②④； （C ） ④③②①； （D ） ④②①③． 解：6~ sin 1tan 1sin tan sin 1tan 13 x x x x x x x +++-=+-+（0→x ），是x 的3阶无穷小； )()3(9 1 3311[)]()2(812211[312132223x o x x x o x x x x +?-?+-+-?+ =+-+ 2~)(222 2x x o x +=（0→x ），是x 的2阶无穷小； )](1206)][(2421[3134{sin )cos 3134(5534 42x o x x x x o x x x x x x ++-++- --=-- 30 ~)(3055 5x x o x +=（0→x ），是x 的5阶无穷小； x x x x x ----~~1e 44（0→x ） ，是x 的1阶无穷小． 从低阶到高阶的排列顺序为④②①③，所以选（D ）． 三、计算与解答题 50．（2011g ）（本题6分）设函数)(t x x =有方程0cos =+x x t 确定，又函数)(x y y =由方程 1e 2=--xy y 确定，求复合函数)]([t x y y =的导数 d d =t t y ． 解：由0=t ，代入到方程0cos =+x x t 之中，得0=x ，进而代入到方程1e 2 =--xy y 之中， 得0=x ，得2=y ． 方程0cos =+x x t 两边同时对t 求导，有0d d d d sin cos =+? -t x t x t t x ，用00==x t 、代入，有0d d 10 =+ =t t x ，得 1d d 0 -==t t x ． 方程1e 2 =--xy y 两边同时对x 求导，有0d d d d e 2=---x y x y x y y ，用20==y x 、代入，有02d d 0=-=x x y ，得 2d d 0==x x y ． 2)1(2d d d d d d 000-=-?=?====t x t t x x y t y ． 51．（2005j ）（本题6分）求由参数方程????? =+=t a y t t a x sin ), cos 2 tan (ln 所确定的函数)(x y y =的二阶导数 2 2d d x y ． 解：t t a t t a t t t a t x csc cos )sin sin 1 (]sin 21)2/tan()2/(sec [)(22?=-=-?='，t a t y cos )(='， t t t a t a t x t y x y t a n c s c c o s c o s )()(d d 2=?=''=，=?=?=t t a t x t t t x y csc cos sec d d d )d(tan d d 2 222t a t 4cos sin ． 52．（2010gj ）（本题6分）设函数x x x f +-=11arctan )(，求)0()5(f ． 解：2 2211 )1()1()1() 11(11)(x x x x x x x f +-=+--+-+-+= '，为求高阶导数，改写该式为：1)()1(2-='+x f x ，两边同时对x 再求1-n 阶导数，有 )1()(21 1 )]([)1(k n k n k k n x f x C ---=-'+∑ 0)(22 ) 2)(1()(2)1()()1()2()1()(2=??--+ ??-++=--x f n n x f x n x f x n n n ． 用0=x 代入上式，有0)0()2)(1()0()2() (=--+-n n f n n f ，于是得到关于)0()(n f 的递推公式 )0()2)(1()0()2()(----=n n f n n f ． 所以24)0(24)0(1234)0(34)0() 5(-='='???='''?-=f f f f （其中1)0(-='f ） ． 53．（2007gj ）（本题7分）设函数x x x f 2sin )(2 =，求)0() (n f （3≥n ） ． 解：)()(20 ) (2) ()2(sin )() 2sin ()(k n k n k k n n n x x C x x x f -=∑== )2 2 2sin(222)1()212sin(22)22sin(2212πππ-+??-+-+??++ ?=--n x n n n x x n n x x n n n ． 2s i n 2)1()2s i n (2)1()0(2 2)(πππn n n n n n f n n n ----=--=． 54．（2004g ）（本题6分）求函数)1ln()(2 x x x f +=在0=x 点的100阶导数值)0() 100(f ． 解：（方法一）由)100()(2100 100) 100()]1[ln()()(k k k k x x C x f -=+=∑ [] [] []) 98() 99() 100(2)1ln(22 99100)1ln()2(100)1ln(x x x x x +???+ +??++=， 2020年考研数学大纲考点：一元函数微分学 在研究生入学考试中，高等数学是数一、数二、数三考试的公共 内容。数一、数三均占56%(总分150分)，考察4个选择题(每题4分，共16分)、4个填空题(每题4分，共16分)、5个解答题(总分50分)。数二不考概率论，高数占78%，考察6个选择题(每题4分，共24分)、4个填空题(每题5分，共20分)、7个解答题(总分72分)。由高数所 占比例易知，高数是考研数学的重头戏，所以一直流传着“得高数者 得数学。”高等数学包含函数、极限与连续、一元函数微分学、一元 函数积分学、多元函数微分学、多元函数积分学、常微分方程和无穷 级数等七个模块，在梳理分析函数、极限与连续的基础上，继续梳理 对一元函数微分学，希望对学员有所协助。 一元函数微分学包含导数与微分、微分中值定理、导数应用三方 面内容。 1、考试内容 (1)导数和微分的概念；(2)导数的几何意义和物理意义；(3)函数 的可导性与连续性之间的关系；(4)平面曲线的切线和法线；(5)导数 和微分的四则运算(6)基本初等函数的导数；(7)复合函数、反函数、 隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法；(8)高阶导数；(9)一阶 微分形式的不变性；(10)微分中值定理；(11)洛必达(L’Hospital)法则；(12)函数单调性的判别；(12)函数的极值；(13)函数图形的凹凸性、拐点及渐近线；(14)函数图形的描绘；(15)函数的值和最小值；(16)弧微分、曲率的概念；(17)曲率圆与曲率半径(其中16、17只要 求数一、数二考试掌握，数三考试不要求)。 2、考试要求 (1)理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的 几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，理解函数的可导性 与连续性之间的关系；(2)了解导数的物理意义，会用导数描述一些物 一元函数微分学典型例题 1. 有关左右极限题 求极限??? ?????+++→x x sin e e lim x x x 41 012 ● 根据左右极限求极限， ● 极限x x e lim 1 →， x x sin lim x 0 →，x tan lim x 2 π→，x cot lim x 0→，x cot arc lim x 0→，x arctan lim x 1 0→都不存在， ● A )x (f lim A )x (f lim )x (f lim x x x =?==∞ →-∞ →+∞ → ● 【 1 】 2. 利用两个重要极限公式求1∞ 型极限 x sin x ) x (lim 20 31+→ ● 0→)x (?，e )) x (lim() x (=+??1 1 ● A )x (f lim =0→)x (?，A )x (f ) x (e ])) x (lim[(=+??11 ● 【 6e 】 3. 等价无穷小量及利用等价代换求极限 当0x + → (A) 1- (B) ln (C) 1. (D) 1-. ● 等价无穷小定义：如果1=α β lim ，则称β与α失等价无穷小，记为α∽β， ● 0→x 时，（1）n x x a x a x x x x x x x x x e x x x x x n x x ≈ -+≈-≈-+≈-≈---+≈-≈+≈≈≈≈111112 1 16111112 3 ln )(cos sin )ln(arctan tan sin αα ● 当0→)x (?时，)x (sin ?∽)x (?，11-+n )x (?∽ n ) x (?∽∽ ● 【 B 】 4. 利用单调有界准则求极限 设数列{}n x 满足n n x sin x ,x =<<+110π。证明：极限n n x lim ∞→存在，计算1 1n x n n n x x lim ??? ? ??+∞→ ● 利用单调有界准则球数列或者函数极限的步骤：1。证明数列或函数单调；2。证明 数列或函数是有界；3。等式取极限求出极限。 ● 定理单调有界数列必有极限还可以叙述为单调递减有下界数列必有极限，或单调递 增有上界数列必有极限。 ● 61 1 2 -→=?? ? ??e x x sin lim x x ● 【 0；6 1- e 】 5. 判断函数连续与否以及利用函数的连续性解题 设函数f (x )在x =0处连续，下列命题错误的是： (A) 若0()lim x f x x →存在，则f (0)=0. (B) 若0()() lim x f x f x x →+-存在，则f (0)=0. (C) 若0()lim x f x x →存在，则(0)f '存在. (D) 若0()() lim x f x f x x →-- 存在，则(0)f '存 在 【 】 ● 若()()00 x f x f lim x x =→，则称函数()x f 在点0x 处连续。 ● 左连续右连续则连续。 ● 分段函数的分段点不一定是函数的间断点。 ● 判断函数在某点是否连续的步骤：求函数在该点的极限；求函数在该点的函数值；判断 二者是否相等，相等则连续，否则间断。 6．导数的定义式相关题目 设函数 ()x f 在 x=0某领域内有一阶连续导数，且 ()()0 000≠'≠f ,f 。若 ()()()02f h bf h af -+在0→h 时是比h 高阶的无穷小，试确定a, b. ● 函数在某一点导数的定义： ()()()x x f x x f lim x y lim x f x x ??????000 00-+=='→→ ()()()()()0 0000 00 x x x f x f lim h x f h x f lim x f x x h --=-+='→→ 第二部分 一元函数微分学 [选择题] 容易题 1—39，中等题40—106，难题107—135。 1．设函数)(x f y =在点0x 处可导，)()(00x f h x f y -+=?，则当0→h 时，必有( ) (A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -?是h 的同阶无穷小量。 (C) y d 是比h 高阶的无穷小量. (D) y y d -?是比h 高阶的无穷小量. 答D 2．已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数，且当0 )(x f 的（ ） （A ）间断点。 （B ）连续而不可导的点。 （C ）可导的点，且0)0(='f 。 （D ）可导的点，但0)0(≠'f 。 答C 6．设函数f(x)定义在[a ，b]上，判断何者正确？（ ） （A ）f （x ）可导，则f （x ）连续 （B ）f （x ）不可导，则f （x ）不连续 （C ）f （x ）连续，则f （x ）可导 （D ）f （x ）不连续，则f （x ）可导 答A 7．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的导数的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的切向量 （B ）0x 点的法向量 （C ）0x 点的切线的斜率 （D ）0x 点的法线的斜率 答C 8．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的自向量的增量 （B ）0x 点的函数值的增量 （C ）0x 点上割线值与函数值的差的极限 （D ）没意义 答C 9．x x f = )(，其定义域是0≥x ，其导数的定义域是（ ） （A ）0≥x 第二章 综合练习题 一、 填空题 1. 若21lim 11x x x b x →∞??+-+= ?+?? ，则b =________. 2. 若当0x →时，1cos x -与2sin 2x a 是等价无穷小，则a =________. 3. 函数21()1ln f x x = -的连续区间为________. 4. 函数2()ln |1| x f x x -=-的无穷间断点为________. 5. 若21sin ,0,(),0, x x f x x a x x ?>?=??+?…在R 上连续，则a =________. 6. 函数()sin x f x x =在R 上的第一类间断点为________. 7 当x → 时，1 1x e -是无穷小量 8 设21,10(), 012,12x x f x x x x x ?--≤ [考研类试卷]考研数学一（一元函数微分学）历年真题试卷汇编1 一、选择题 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1 (1998年)函数f(x)=(x2一x一2)|x3一x|不可导点的个数是( ) （A）3 （B）2 （C）1 （D）0 2 (1999年)设其中g(x)是有界函数，则f(x)在x=0处( ) （A）极限不存在 （B）极限存在，但不连续 （C）连续，但不可导 （D）可导 3 (2001年)设f(0)=0，则f(x)在点x=0可导的充要条件为( ) 4 (2004年)设函数f(x)连续，且f′(0)＞0，则存在δ＞0使得( ) （A）f(x)在(0，δ)内单调增加 （B）f(x)在(一δ，0)内单调减少 （C）对任意的x∈(0，δ)有f(x)＞f(0) （D）对任意的x∈(一δ，0)有f(x)＞f(0) 5 (2005年)设函数则f(x)在(一∞，+∞)内( ) （A）处处可导 （B）恰有一个不可导点 （C）恰有两个不可导点 （D）至少有三个不可导点 6 (2006年)设函数y=f(x)具有二阶导数，且f′(x)＞0，f"(x)＞0，△x为自变量x在X0处的增量，△y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若△x＞0，则( ) （A）0＜dy＜△y （B）0＜△y＜dy （C）△y＜dy＜0 （D）dy＜△y＜0 7 (2007年)设函数f(x)在x=0连续，则下列命题错误的是( ) 8 (1998年)设f(x)连续，则 （A）xf(x2) （B）一xf(x2) （C）2xf(x2) （D）一2xf(x2) 9 (2008年)设函数则f′(x)的零点个数为( ) （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 10 (2000年)设f(x)，g(x)是恒大于零的可导函数，且f′(x)g(x)一f(x)g′(x)<0，则当a ＜x＜b时，有( ) （A）f(x)g(b)＞f(b)g(x) （B）f(x)g(a)＞f(a)g(x) （C）f(x)g(x)＞f(b)g(b) （D）f(x)g(x)＞f(a)g(a) 第二部分 一元函数微分学 [选择题］ 容易题 1—39，中等题40—106，难题107-135。 1．设函数)(x f y =在点0x 处可导,)()(00x f h x f y -+=?,则当0→h 时，必有（ ) （A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -?是h 的同阶无穷小量。 （C) y d 是比h 高阶的无穷小量。 (D ） y y d -?是比h 高阶的无穷小量. 答D 2．已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数，且当0 )(x f 的（ ) （A ）间断点。 （B ）连续而不可导的点. (C ）可导的点,且0)0(='f . （D ）可导的点，但0)0(≠'f . 答C 6．设函数f(x ）定义在［a ，b]上,判断何者正确？( ） （A ）f(x ）可导,则f （x ）连续 (B ）f （x ）不可导，则f （x ）不连续 （C)f （x ）连续，则f （x)可导 （D ）f （x ）不连续，则f （x ）可导 答A 7．设可微函数f(x ）定义在［a ，b]上,],[0b a x ∈点的导数的几何意义是：（ ） （A)0x 点的切向量 （B ）0x 点的法向量 （C ）0x 点的切线的斜率 （D ）0x 点的法线的斜率 答C 8．设可微函数f （x)定义在[a ，b ］上，],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是：（ ） (A)0x 点的自向量的增量 （B ）0x 点的函数值的增量 (C ）0x 点上割线值与函数值的差的极限 （D ）没意义 答C 9．x x f =)(，其定义域是0≥x ,其导数的定义域是（ ) （A ）0≥x 一元函数微分学练习题答案 一、计算下列极限： 1．93 25 235lim 222-=-+=-+→x x x 2．01)3(3)3(13lim 2 2223=+-=+-→x x x 3．x x x 11lim --→) 11(lim )11()11)(11(lim 00+--=+-+---=→→x x x x x x x x x 21 1 011 1 11lim -=+--= +--=→x x 4．0111 111lim )1)(1()1(lim 112lim 1212 21=--+-=-+=-++=-++-→-→-→x x x x x x x x x x x 5．21 )23()124(lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x x x 6．x t x t x t x x t x t x t x t t t 2)2(lim ) )((lim )(lim 00220-=--=--+-=--→→→ 7．0001001311 1lim 13lim 4 2322 42=+-+=+-+ =+-+∞ →∞→x x x x x x x x x x 8．943)3(2) 13()31()12(lim )13()31()12(lim 10 82108 210 108822=-?=---=---=∞→∞→x x x x x x x x x x x 原式 9．2)211(lim 22 11)211(1lim )21...41211(lim =-=-- =++++∞→∞→∞→n n n n n n 10．21 2lim 02tan lim 3sin lim )2tan 3sin (lim 0000=+=+=+ →→→→x x x x x x x x x x x x x x 11．01 sin lim 20=→x x x （无穷小的性质） 一、极限题 1、求.)(cos lim 2 1 0x x x → 2、6 sin )1(lim 2 2 x dt e x t x ?-→求极限。 3、、)(arctan sin arctan lim 20x x x x x -→ 4、2 1 0sin lim x x x x ?? ? ??→ 5、? ?+∞ →x t x t x dt e dt e 0 20 2 2 2)(lim 6、 ) 1ln(1 lim -→+x e x x 7、x x x e x cos 11 20 ) 1(lim -→+ 8、 x x x x x x ln 1lim 1+--→ 9、) 1ln()2(sin ) 1)((tan lim 2 30 2 x x e x x x +-→ 10、1 0lim( )3 x x x x x a b c →++ ， (,,0,1)a b c >≠ 11、)1)(12(lim 1--+∞ →x x e x 12、 )cot 1(lim 2 20x x x -→ 13、[] )1(3sin 1 lim 11x e x x ---→ 14、() ?? ???=≠+=0 021)(3 x A x x x f x 在0=x 点连续，则A =___________ 二、导数题 1、.sin 2 y x x y ''=，求设 2、.),(0y x y y e e xy y x '==+-求确定了隐函数已知方程 3、.)5()(2 3 的单调区间与极值求函数-=x x x f 4、要造一圆柱形油罐，体积为V ，问底半径r 和高h 等于多少时，才能使表面积最小， 这时底直径与高的比是多少？ 第一章 函数与极限 1. 函数 会求函数的定义域，对应法则； 几种特殊的函数（复合函数、初等函数等）； 函数的几种特性（有界性、单调性、周期性、奇偶性） 2. 极限 （1）概念 无穷小与无穷大的概念及性质； 无穷小的比较方法；（高阶、低阶、同阶、等价） 函数的连续与间断点的判断 （2）计算 函数的极限计算方法（对照极限计算例题，熟悉每个方法的应用条件） 极限的四则运算法则 利用无穷小与无穷大互为倒数的关系； 利用无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小的性质； 消去零因子法； 无穷小因子分出法； 根式转移法； 利用左右极限求分段函数极限； 利用等价无穷小代换（熟记常用的等价无穷小）； 利用连续函数的性质； 洛必达法则（掌握洛必达法则的应用条件及方法）； ∞ ∞或00型，)()(lim )()(lim x g x f x g x f ''= 两个重要极限（理解两个重要极限的特点）；1sin lim 0=→x x x ，1)()(sin lim 0)(=??→?x x x e x x x =+→10)1(lim ，e x x x =+∞→)11(lim ， 一般地，0)(lim =?x ，∞=ψ)(lim x ，)()(lim )())(1lim(x x x e x ψ?ψ=?+ 3 函数的连续 连续性的判断、间断点及其分类 第二章 导数与微分 1 导数 （1）导数的概念：增量比的极限；导数定义式的多样性，会据此求一些函数的极限。 导数的几何意义：曲线上某点的切线的斜率 （2）导数的计算： 基本初等函数求导公式； 导数的四则运算法则；（注意函数积、商的求导法则） 复合函数求导法则（注意复合函数一层层的复合结构，不能漏层） 隐函数求导法则（a ：两边对x 求导，注意y 是x 的函数；b ：两边同时求微分；） 高阶导数 2 微分 函数微分的定义，dx x f dy x x )(00'== 第三章 导数的应用 洛必达法则（函数极限的计算） 函数的单调性与极值，最值、凹凸性与拐点的求法 《高等数学》（上）“一元函数微分学”复习题 1.设x x f +=1)(ln ，求)(x f '. 2.设函数)(x f 二阶可导，且0)0(=f ，1)0(='f ，2)0(=''f ，求2 0)(lim x x x f x -→. 3.设)(x f 在2=x 处连续，且22 )(lim 2=-→x x f x ，求)2(f '. 4.若)(sin x f y =，求dy . 5.函数)(x f 有任意阶导数，且[]2)()(x f x f ='，求)()(x f n . 6.设函数)1ln()(2x x f -=，求)(x f ''. 7.求等边曲线x y 1=在点2) ,2 1(的切线方程. 8.设函数???≥+<=0 ),1ln(0,sin )(x x x x x f ，求)0(-'f 、)0(+'f ，并判断)0(f '是否存在. 9.设函数???>+≤=1 ,1,)(2x b ax x x x f ，为了使函数)(x f 在1=x 处连续且可导，b a ,应取 什么值？ 10.求曲线???==t y t x sin 2cos 在3π=t 处的切线方程和法线方程. 11.设()3,1是曲线23bx ax y +=的拐点，求b a ,. 12.设)(x y y =由x y y 223=+确定，求其在点)1,0(-处的切线方程和法线方程. 13.设函数x x x y ?? ? ??+=1，求其导数y '. 14.设曲线的参数方程为?????==-t t e y e x 23，求22dx y d . 15.求由方程12 2=-y x 所确立的隐函数)(x y y =的二阶导数22dx y d . 16.求椭圆124322=+y x 上点)2 3 ,1(的切线方程. 17.设函数)(x f y =由方程4ln 2y x xy =+确定，求() 1,1dx dy . 一元函数微分学及其应用练习题与自测题 习题2-1 导数 1．假定0()f x '存在，则000()()lim h f x ah f x bh h →+--= ． 2．求曲线ln y x =在点(,1)e 处的切线方程和法线方程． 3．过点(2,0)-作曲线x y e =的切线，求此切线方程． 4．若函数22,1,1x x y ax b x ?+≤=?+>? 在1x =处可导，求,a b 的值． 5．已知21,0(),0 x e x f x x x ?->?=?≤??，求()f x '． 6．讨论函数21sin , 0()0 , 0 x x f x x x ?≠?=??=?在0x =处的连续性与可导性． 习题2-2 求导法则与求导公式 1．求下列函数的导数： （1）24(1)y x x =++． （2 ）y = （3）21sin y x x =． （4 ）y = （5 ）y e =． （6 ）ln(0)y x a =+>． 2．讨论分段函数21cos sin ,0(),0x x x f x x x x ?+>?=??≤? 在分段点0x =处的连续性和可导性． 3．设()f x 可导，求(sin )y f x =的二阶导数22d y dx ． 4．求函数2 x y xe =的二阶导数． 5．求函数x y xe =的n 阶导数． 习题2-3 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率 1 ．求由方程arctan y x =()y y x =的导数； 2．过点(4,2)-作椭圆223x xy y ++=的切线，求此切线方程． 3．求下列函数的导数： （1）1x x y x ??= ?+?? （0x >）． （2 ）y = 4．求由方程x e xy e +=所确定的函数()y y x =的二阶导数22d y dx ． 5．求由参数方程(sin )(1cos ) x a t t y a t =-??=-?（0a >）所确定的函数的二阶导数22d y dx ： 6．某人以2/m s 的速度通过一座桥，桥面高出水面20m ，在此人的正下方有一条小船以4/3 m s 的速度在与桥垂直的方向航行，求经5s 后，人与桥相分离的速度． 习题2-4 函数的微分 1．将适当的函数填入下列括号内，使等式成立： （1）d （ ）45 x dx -=． （2）d （ ）3x e dx -=． 2．求下列函数的微分： （1 ）y =． （2）22(1)n n x y x =+． 习题2-5 中值定理 1．函数32()452f x x x x =-+-在区间[0,1]上满足Lagrange 中值定理的ξ= ． 2．试用中值定理证明不等式：arctan arctan a b a b -≤-． 3．设()f x 在[0,]a 上连续，在(0,)a 内可导，且()0f a =，证明：至少存在一点(0,)a ξ∈，使()()0f f ξξξ'+=． 24 第二章 一元函数微分学 §2.1 导数与微分 （甲）内容要点 一、导数与微分概念 1、导数的定义 设函数)(x f y =在点0x 的某领域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ?，相应地函数增量)()(00x f x x f y -?+=?。如果极限 x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000 存在，则称此极限值为函数)(x f 在0x 处的导数（也称微商），记作0()f x '，或0 x x y =' ， x x dx dy =， )(x x dx x df =等，并称函数)(x f y =在点0x 处可导。如果上面的极限不存在，则 称函数)(x f y =在点0x 处不可导。 导数定义的另一等价形式，令x x x ?+=0，0x x x -=?，则 0000 ()() ()l i m x x f x f x f x x x →-'= - 我们也引进单侧导数概念。 右导数：0 000000()()()() ()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x + + +→?→-+?-'==-? 左导数：0 000000()()()() ()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x - - -→?→-+?-'==-? 则有 )(x f 在点0x 处可导)(x f ?在点0x 处左、右导数皆存在且相等。 2．导数的几何意义与物理意义 如果函数)(x f y =在点0x 处导数0()f x '存在，则在几何上0()f x '表示曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。 切线方程：000()()()y f x f x x x '-=- 第八章 多元函数微分法及其应用 复习题及解答 一、选择题 1. 极限lim x y x y x y →→+00 242= （提示：令22y k x =） （ B ） (A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于 12 (D) 存在且不等于0或1 2 2、设函数f x y x y y x xy xy (,)sin sin =+≠=? ????1100 ，则极限lim (,)x y f x y →→0 = （ C ） （提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小） (A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于2 3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=??? ? ?22 2222000 ，则(,)f x y （ A ） （提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx = ， 20 0(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续.所以， (,)f x y 在整个定义域内处处连续.） (A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续 4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件 (B)充分而非必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件 5、设u y x =arctan ，则??u x = （ B ） (A) x x y 22 + (B) - +y x y 22 (C) y x y 22 + (D) -+x x y 22 6、设f x y y x (,)arcsin =，则f x '(,)21= （ A ） （A ）-1 4 （B ） 14 （C ）-12 （D ）12 7、设y x z arctan =，v u x +=，v u y -=，则=+v u z z （ C ） 第二章一元函数微分学 历年试题 1. 利用导数的定义求函数在某点的导数值 1994——2012年共考了8次，考到的概率P=42.1% （1）（0119）设函数f(x)在x=0处可导，且.x ) 0(f )x 3(f lim ,1)0(f 0x -='→求 （2）（0222）设函数f(x)在x=1处可导，且.x ) 1(f )x 21(f lim ,1)1(f 0x -+='→求 （3）（0303）函数f(x)在x 0处可导，且h ) x (f )h 2x (f lim ,2)x (f 000h 0-+='→则= （ ） A.0 B.1 C.2 D. 4 （4）（0702）已知.x ) 1(f )x 21(f lim ,2)1(f 0x ）（则=?-?+='→? A.-2 B.0 C.2 D. 4 （5）（0802）已知f(x)在x=1处可导，且).( h ) 1(f )h 1(f lim ,3)1(f 0h =-+='→则 A.0 B.1 C.3 D. 6 2. 利用四则运算法则求函数的导数或在某点的导数值和微分 1994——2012年共考了19次，考到的概率P=100% （1）（0122）设函数.y ,1 x x cos y 2 '-= 则 （2）（0210）设函数.y ,x cos 11 y = '+= 则 （3）（0310）设函数.)0(f ,e x )x (f x ='=则 （4）（0419）设函数.y ,x ln x y '=求 （5）（0522）设函数.dy ,x cos x y 3求= （6）（0622）设函数.dy ,x sin x y 4求= （7）（0705）设函数).( d y ),1x sin(y 2=-=求 A. dx )1x cos(2- B. dx )1x cos(2-- C. dx )1x cos(x 22- D. dx )1x cos(x 22-- （8）（0822）设函数.y ,3x sin x y 3'++=求 （9）（0903）设函数).( )1(f ,3x ln e )x (f x ='+=则 A.0 B.1 C. e D. 2e （10）（1022）设函数.dy ,x cos x y 3 则= （11）（1122）设函数.y ,x sin 1 x y '+= 求 （12）（1222）设函数.,cos )(?? ? ??'=2πf x x f 则=（ ） A.-1 B. 2 1 - C.0 D. 1 3. 复合函数的导数 1994——2012年共考了16次，考到的概率P=84.2% （1）（0107）设函数.dy ,x 1y 2=+=则 （2）（0109）设函数.)x (f ,x sin )x (f ='=则 （3）（0217）设函数.y x 1x y 2 '+= 求 （4）（0211）设函数.)x (f ,x ln )x 2(f = '=则 （5）（0223）设函数.dx dy ,(x)]g f[y .x sin )x (g ,e )x (f x 求且'=== （6）（0318）设函数.y ,x x y '+=求 （7）（0418）设函数).0(f ,x 2sin 1)x (f '+=求 高数第二章 一元函数微分学 [选择题] 容易题 1—39，中等题40—106，难题107—135。 1．设函数)(x f y =在点0x 处可导，)()(00x f h x f y -+=?，则当0→h 时，必有( ) (A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -?是h 的同阶无穷小量。 (C) y d 是比h 高阶的无穷小量. (D) y y d -?是比h 高阶的无穷小量. 答D 2． 已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数，且当0 （C ）可导的点，且0)0(='f 。 （D ）可导的点，但0)0(≠'f 。 答C 6．设函数f(x)定义在[a ，b]上，判断何者正确？（ ） （A ）f （x ）可导，则f （x ）连续 （B ）f （x ）不可导，则f （x ）不连续 （C ）f （x ）连续，则f （x ）可导 （D ）f （x ）不连续，则f （x ）可导 答A 7．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的导数的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的切向量 （B ）0x 点的法向量 （C ）0x 点的切线的斜率 （D ）0x 点的法线的斜率 答C 8．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的自向量的增量 （B ）0x 点的函数值的增量 （C ）0x 点上割线值与函数值的差的极限 （D ）没意义 答C 9．x x f =)(，其定义域是0≥x ，其导数的定义域是（ ） （A ）0≥x （B ）0≠x （C ）0>x （D ）0≤x 答C 第八章 多元函数微分法及其应用复习题及解答 一、选择题 1.极限lim x y x y x y →→+00 242 = （ B ） (A)等于0； (B)不存在； (C)等于 12； (D)存在且不等于0或12 （提示：令2 2 y k x =） 2、设函数f x y x y y x xy xy (,)sin sin =+≠=? ????1100 ，则极限lim (,)x y f x y →→00 = （ C ） (A)不存在； (B)等于1； (C)等于0； (D)等于2 （提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小） 3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=??? ? ?22 2222000 ，则(,)f x y （ A ） (A) 处处连续； (B) 处处有极限，但不连续； (C) 仅在（0,0）点连续； (D) 除（0,0）点外处处连续 （提示：①在2 2 0x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx = ， 200 0(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续。所以，(,)f x y 在 整个定义域内处处连续。） 4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件； (C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件 5、设u y x =arctan ，则??u x = （ B ） (A) x x y 22+； (B) -+y x y 22； (C) y x y 22+ ； (D) -+x x y 22 6、设f x y y x (,)arcsin =，则f x ' (,)21= （ A ） （A ）- 14； （B ） 14； （C ）-12； （D ）12 一元函数微分学习题精 选文档 TTMS system office room 【TTMS16H-TTMS2A-TTMS8Q8- 第二部分 一元函数微分学 [选择题] 容易题 1—39，中等题40—106，难题107—135。 1．设函数)(x f y =在点0x 处可导，)()(00x f h x f y -+=?，则当0→h 时，必有( ) (A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -?是h 的同阶无穷小量。 (C) y d 是比h 高阶的无穷小量. (D) y y d -?是比h 高阶的无穷小量. 答D 2．已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数，且当0 5．设函数)(x f 在)1,1(-内有定义，且满足)1,1(,)(2-∈?≤x x x f ，则0=x 必是 )(x f 的（ ） （A ）间断点。 （B ）连续而不可导的点。 （C ）可导的点，且0)0(='f 。 （D ）可导的点，但0)0(≠'f 。 答C 6．设函数f(x)定义在[a ，b]上，判断何者正确？（ ） （A ）f （x ）可导，则f （x ）连续 （B ）f （x ）不可导，则f （x ）不连续 （C ）f （x ）连续，则f （x ）可导 （D ）f （x ）不连续，则f （x ）可导 答A 7．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的导数的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的切向量 （B ）0x 点的法向量 （C ）0x 点的切线的斜率 （D ）0x 点的法线的斜率 答C 8．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的自向量的增量 （B ）0x 点的函数值的增量 （C ）0x 点上割线值与函数值的差的极限 （D ）没意义 感谢下载载 2010级《一元函数微分学》 检测题 班级__________________ 学号______ 姓名_____________ 成绩________ (15,3)一、填空题分每小题分 1 111.lim ,0,0,0,_____________.3n n n n n a b c a b c →∞??++ ?I =>>>I = ? ??? 设其中则3 2222.,(),_______________________________.设则dy x y y u x x du =+=+= ()()()()()()3.0,00,00,200,_________,____________. 设函数在的某邻域内具有一阶连续导数且若在时是比高阶的无穷小则f x x f f af h bf h f h h a b '=≠≠+-→==4. 2lim tan 4n n n π→∞??+= ???_____________. 2 5.1______________________.曲线的斜渐近线为x y xe =- (15,3)二、单项选择题分每小题分 0000000000001.()( ).()()(2)()()lim ;()lim ;2()()1()lim ;()lim ()().2下列条件与在处可导的定义等价的是h h h n f x x x f x h f x h f x h f x h A B h h f x f x h C B n f x f x h n →→→→∞=+--+-+--??+-???? 2.设函数()g x 可微,1()(),(1)1,(1)2,g x h x e h g +''===则g (1)等于( ) （A ）ln31- （B ）ln31-- （C ）ln21-- （D ）ln21- 3.(),()0,()0,()-(),0,().()0;()0;()0;()0. 设有二阶导数且又则当时有f x f x f x y f x x f x x A y dy B y dy C dy y D dy y '''>>?=+??>?<<>?> 第八章 多元函数微分法及其应用 复习题及解答 一、选择题 1. 极限 lim x 2 y = （提示：令 y k 2 x 2 ） （ B ） x 0 x 4 y 2 y 0 (A) 等于 0 (B) 不存在 (C) 等于 1 (D) 存在且不等于 0 或 1 2 2 2、设函数 f x y ) x sin 1 y sin 1 xy 0 ，则极限 lim f ( , ) = （ C ） y x ( , 0 xy 0 x 0 x y y 0 （提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小） (A) 不存在 (B) 等于 1 (C) 等于 0 (D) 等于 2 3、设函数 f ( x, y) xy x 2 y 2 0 （ A x 2 y 2 x 2 y 2 ，则 f ( x, y) ） （提示：①在 x 2 y 2 0 ， f (x, y) 处处连续；②在 x 0, y 0 ，令 y kx ， lim 2 kx 2 2 2 lim kx f (0,0) ，故在 x 2 y 2 0 ，函数亦连续 . 所以， x 0 k x x 0 1 k 2 y 0x f ( x, y) 在整个定义域内处处连续 . ） (A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（ 0,0 ）点连续 (D) 除（ 0,0 ）点外处处连续 4、函数 z f ( x, y) 在点 (x 0 , y 0 ) 处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A) 必要而非充分条件 (B) 充分而非必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件 5、设 u arctan y ，则 u = （ B ） x x (A) x (B) y (C) y (D) x y 2 x 2 y 2 x 2 y 2 x 2 y 2 x 2 6、设 f ( x, y) arcsin y ，则 f x ' (2,1) （ A ） x （A ） 1 （ B ） 1 （C ） 1 （D ） 1 4 4 2 2 7、设 z arctan x ，x u v ，y u v ，则 z u z v （ C ） y2020年考研数学大纲考点：一元函数微分学
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