On Minkowski Sums of Simplices

On Minkowski Sums of Simplices
On Minkowski Sums of Simplices

高中不等式的证明方法

不等式的证明方法 不等式的证明是高中数学的一个难点,证明方法多种多样,近几年高考出现较为形式较为活跃,证明中经常需与函数、数列的知识综合应用,灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提,下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 注意ab b a 22 2 ≥+的变式应用。常用2 222b a b a +≥ + (其中+ ∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。 一、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法,有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c 均为正数,求证: a c c b b a c b a ++ +++≥++1 11212121 证明:∵a,b 均为正数, ∴ 0) (4)(44)()(14141)(2 ≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理 0)(41 4141)(2 ≥+= +-+-c b bc c b c b c b ,0) (414141)(2 ≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加,可得 01 11212121≥+-+-+-++a c c b b a c b a ∴a c c b b a c b a ++ +++≥++111212121 二、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等,运用不等式的变换,从已知条件推出所要证明的结论。 2、a 、b 、),0(∞+∈c ,1=++c b a ,求证: 31222≥ ++c b a 证:2 222)(1)(3c b a c b a ++=≥++?∴ 2222)()(3c b a c b a ++-++0 )()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a ca bc ab c b a 3、设a 、b 、c 是互不相等的正数,求证:)(4 4 4 c b a abc c b a ++>++ 证 : ∵ 2 2442b a b a >+ 2 2442c b c b >+ 2 2442a c a c >+∴ 222222444a c c b b a c b a ++>++ ∵ c ab c b b a c b b a 2 2222222222=?>+同理:a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+ ∴ )(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈,求证: )(22 2 2 2 2 2 c b a a c c b b a ++≥++ ++ + 证明:∵ ) (2 2 2 2 2 2 2 2)(22b a b a b a b a ab ab +≥++≥+∴≥+

基本不等式(很全面)

基本不等式 【知识框架】 1、基本不等式原始形式 (1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2≥+ (2)若R b a ∈,,则2 22b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式(均值不等式) 若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 (1)若*,R b a ∈,则 ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈,则22?? ? ??+≤b a ab 总结:当两个正数的积为定植时,它们的和有最小值; 当两个正数的和为定植时,它们的积有最小值; 4、求最值的条件:“一正,二定,三相等” 5、常用结论 (1)若0x >,则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”) (2)若0x <,则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) (3)若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”) (4)若R b a ∈,,则2 )2(222b a b a ab +≤+≤ (5)若*,R b a ∈,则2211122b a b a ab b a +≤+≤≤+ 6、柯西不等式 (1)若,,,a b c d R ∈,则22222 ()()()a b c d ac bd ++≥+

(2)若123123,,,,,a a a b b b R ∈,则有: 22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ (3)设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数,则有 22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 【题型归纳】 题型一:利用基本不等式证明不等式 题目1、设b a ,均为正数,证明不等式:ab ≥b a 112 + 题目2、已知c b a ,,为两两不相等的实数,求证:ca bc ab c b a ++>++222 题目3、已知1a b c ++=,求证:22213a b c ++≥ 题目4、已知,,a b c R +∈,且1a b c ++=,求证:abc c b a 8)1)(1)(1(≥--- 题目5、已知,,a b c R +∈,且1a b c ++=,求证:1111118a b c ??????---≥ ???????????

浅谈中学几种常用证明不等式的方法

成绩: 江西科技师范大学 毕业论文 题目:浅谈中学几种常用证明不等式的方法 (外文):On the method commonly used in Middle School to prove inequality 院(系):数学与计算机科学学院 专业:数学与应用数学 学生姓名:吴丹 学号:20091741 指导教师:樊陈 2013年3月20日

目录 1引言 (1) 2放缩法证明不等式 (1) 2.1放缩法 (1) 2.2(改变分子分母)放缩法 (1) 2.3拆补放缩法 (2) 2.4编组放缩法 (3) 2.5寻找“中介量”放缩法 (4) 3反正法证明不等式 (4) 3.1反证法定义 (4) 3.2反证法步骤 (5) 4.换元法证明不等式 (6) 4.1利用对称性换元,化繁为简 (6) 4.2三角换元法 (7) 4.3和差换元法 (8) 4.4分式换元法 (8) 5.综合法证明不等式 (9) 5.1综合法证明不等式的依据 (9) 5.2用综合法证明不等式的应用 (9) 5.3综合法与比较法的内在联系 (10) 6.分析法 (11) 6.1分析法的定义 (11) 6.2分析法证明不等式的方法与步骤 (11) 6.3分析法证明不等式的应用 (11) 7.构造法证明不等式 (13) 7.1构造函数模型 (13) 7.2构造数列模型 (14) 8.数学归纳法证明不等式 (15) 8.1分析综合法 (16) 8.2放缩法 (16) 8.3递推法 (17) 9.判别式法证明不等式 (17) 10.导数法证明不等式 (18) 10.1利用函数的单调性证明不等式 (18) 9.2利用极值(或最值) (20) 11比较法证明不等式 (20) 11.1差值比较法 (20) 11.2商值比较法 (21) 11.3比较法的应用范围 (22) 12结束语: (22) 参考文献 (22)

利用均值不等式证明不等式

1,利用均值不等式证明不等式 (1)均值不等式:设12,,...,n a a a 是n 个正实数,记 12111n n n H a a a = ++???+ n G = 12 n n a a a A n ++???= n Q = 它们分别称为n 个正数的调和平均数,几何平均数,算术平均数,平方平均数。有如下关系:n n n n H G A Q ≤≤≤.等号成立的充要条件是12n a a a ==???=。 先证n n A G ≥ 证法一: .n n A G ≥用数学归纳法证明: 20,n n n n n A G A G =-=≥≥当时,成立。 1.k k k k A G ≥≥假设:n=k 2时成立,即有: 11111 111k k k k k k k k k k k k k k k k A A A G G G A G ++++++++≥?≥n=k+1时:只需证: 12n a a a ≤≤≤L 不妨设:0< 1 1 11 1 1111 1= 11 k k k k k k i i i i k i i i i k a a a a A k k k k +++++====+?? ?? ?? ? ? ? ? ? ?=+-++ ? ? ? ? ? ??? ???? ∑∑∑∑1 101 1 11111 1 k k k k k k i i i i i i i i k k a a a a C C k k k k ++====++?????? ? ? ? ? ? ?≥+-+ ? ? ? ? ? ?? ? ?? ?? ∑∑∑∑ 1111 111(1)(11).1k k k k k k i i i i k i i i i k k k a a a a k k a A a k k k k +====++??? ??? ? ? ? ? ? ?=+-+-==+ ? ? ? ? ? ??? ???? ∑∑∑∑ 111 11.1k k k k k k k k k A G a n k A G +++++∴≥==+所以对时亦成立。原不等式成立。 . n n A G ≥证法二:用反向数学归纳法证明:

不等式证明的常用基本方法

证明不等式的基本方法 导学目标:1.了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式. [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式:如果a ,b ,c>0,那么_________________________,当且仅当a =b =c 时等号成立. 2.基本不等式(基本不等式的推广):对于n 个正数a 1,a 2,…,a n ,它们的算术平均不小于它们的几何平均,即a 1+a 2+…+a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ,当且仅当__________________时等号成立. 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法:比较法是证明不等式最基本的方法,具体有作差比较和作商比较两种,其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小. (2)综合法:从已知条件出发,利用定义、______、______、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种证明方法叫综合法.也叫顺推证法或由因导果法. (3)分析法:从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的________条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立为止,这种证明方法叫分析法.也叫逆推证法或执果索因法. (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,我们把它称为反证法. ②反证法的特点 先假设原命题不成立,再在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以是与已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实等矛盾. (5)放缩法 ①定义:证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值________或________,简化不等式,从而达到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法. ②思路:分析观察证明式的特点,适当放大或缩小是证题关键. 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t =a +2b ,s =a +b 2+1,则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t 0;②a 2+b 2≥2(a -b-1);③a 2+3ab>2b 2;④,其中所 有恒成立的不等式序号是 ② . ②【解析】①a=0时不成立;②∵a 2+b 2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,成立;③a=b=0时不成立;④a=2,b=1时不成立,故恒成立的只有②.

基本不等式完整版(非常全面)

基本不等式专题辅导 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 (1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式(均值不等式) 若* ,R b a ∈,则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 (1)若* ,R b a ∈,则 ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈,则2 2? ? ? ??+≤b a ab 总结:当两个正数的积为定植时,它们的和有最小值; 当两个正数的和为定植时,它们的积有最小值; 特别说明:以上不等式中,当且仅当b a =时取“=” 4、求最值的条件:“一正,二定,三相等” 5、常用结论 (1)若0x >,则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”) (2)若0x <,则1 2x x + ≤- (当且仅当1x =-时取“=”) (3)若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”) (4)若R b a ∈,,则2 )2(2 22b a b a ab +≤ +≤ (5)若* ,R b a ∈,则22111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ 特别说明:以上不等式中,当且仅当b a =时取“=” 6、柯西不等式 (1)若,,,a b c d R ∈,则2 2 2 2 2 ()()()a b c d ac bd ++≥+ (2)若123123,,,,,a a a b b b R ∈,则有: 222 222 2 1 2311 23112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ (3)设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数,则有 22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 二、题型分析 题型一:利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数,证明不等式:ab ≥ b a 112+ 2、已知 c b a ,,为两两不相等的实数,求证: ca bc ab c b a ++>++222 3、已知1a b c ++=,求证:222 13 a b c ++≥ 4、已知,,a b c R + ∈,且1a b c ++=,求证: abc c b a 8)1)(1)(1(≥--- 5、已知,,a b c R + ∈,且1a b c ++=,求证: 1111118a b c ??????---≥ ??????????? 6、(2013年新课标Ⅱ卷数学(理)选修4—5:不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明: (Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)222 1a b c b c a ++≥. 7、(2013年江苏卷(数学)选修4—5:不等式选讲 已知0>≥b a ,求证:b a ab b a 2 2 3 3 22-≥- 题型二:利用不等式求函数值域 1、求下列函数的值域 (1)2 2 21 3x x y += (2))4(x x y -=

三个数的均值不等式

平均值不等式导学案2 ☆学习目标: 1.理解并掌握重要的基本不等式; 2.理解从两个正数的基本不等式到三个正数基本不等式的推广; 3.初步掌握不等式证明和应用 一、课前准备(请在上课之前自主完成) 1.定理1 如果,a b R ∈, 那么22 2a b ab +≥. 当且仅当a b =时, 等号成立. 2. 定理2(基本不等式) 如果+∈R b a ,, 那么 . 当且仅当 时, 等号成立. 利用基本不等式求最值的三个条件 推论10. 两个正数的算术平均数 , 几何平均数 , 平方平均数 ,调和平均数 , 从小到大的排列是: ☆课前热身: (1) 某汽车运输公司,购买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析每辆客车营运的总利 润y (单位:10万元)与营运年数x 的函数关系为),(11)6(2* ∈+--=N x x y 则每辆客车 营运多少年,其运 营的年平均利润最大( ) A .3 B .4 C .5 D .6 (2) 在算式“4130??+?O =”中的△,〇中,分别填入两个正整数,使它们的倒数和最步, 则这两个数构成的数对(△,〇)应为 . (3) 设+∈R x 且12 22 =+y x ,求21y x +的最大值. 二、新课导学 请你类比两个数的基本不等式得出三个数的基本不等式: 如果+ ∈R b a ,, 那么2a b +≥.当且仅当a b =时, 等号成立. 如果,,a b c R +∈,那么 .当且仅当 时, 等号成立. ?建构新知: 问题:已知,,a b c R +∈, 求证:3333.a b c abc ++≥当且仅当a b c ==时, 等号成立. 证明: ∵3333a b c abc ++-= 定理3 如果,,a b c R +∈, 那么3 a b c ++≥当且仅当a b c ==时, 等号成立. 语言表述:3个数的 平均数不小于它们的 平均数 推论 对于n 个正数12,,,n a a a L , 它们的

证明不等式的几种常用方法

证明不等式的几种常用方法 证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法,即比较法、综合法和分析法外,在不等式证明中,不仅要用比较法、综合法和分析法,根据有些不等式的结构,恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易.下面几种方法在证明不等式时也经常使用. 一、反证法 如果从正面直接证明,有些问题确实相当困难,容易陷入多个元素的重围之中,而难以自拔,此时可考虑用间接法予以证明,反证法就是间接法的一种.这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”,所谓的“正难则反”就是这个道理. 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的,在使用反证法时,必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论,缺少任何一种可能,则反证法都是不完全的. 用反证法证题的实质就是从否定结论入手,经过一系列的逻辑推理,导出矛盾,从而说明原结论正确.例如要证明不等式A>B,先假设A≤B,然后根据题设及不等式的性质,推出矛盾,从而否定假设,即A≤B不成立,而肯定A>B成立.对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式,若正面难以找到解题的突破口,可转换视角,用反证法往往立见奇效. 例1 设a、b、c、d均为正数,求证:下列三个不等式:①a+b<c+d; ②(a+b)(c+d)<ab+cd;③(a+b)cd<ab(c+d)中至少有一个不正确. 反证法:假设不等式①、②、③都成立,因为a、b、c、d都是正数,所以

不等式①与不等式②相乘,得:(a +b)2<ab +cd ,④ 由不等式③得(a +b)cd <ab(c +d)≤( 2 b a +)2 ·(c +d), ∵a +b >0,∴4cd <(a +b)(c +d), 综合不等式②,得4cd <ab +cd , ∴3cd <ab ,即cd <31 ab . 由不等式④,得(a +b)2<ab +cd < 34ab ,即a 2+b 2<-3 2 ab ,显然矛盾. ∴不等式①、②、③中至少有一个不正确. 例2 已知a +b +c >0,ab +bc +ca >0,abc >0,求证:a >0,b >0, c >0. 证明:反证法 由abc >0知a ≠0,假设a <0,则bc <0, 又∵a +b +c >0,∴b +c >-a >0,即a(b +c)<0, 从而ab +bc +ca = a(b +c)+bc <0,与已知矛盾. ∴假设不成立,从而a >0, 同理可证b >0,c >0. 例3 若p >0,q >0,p 3+q 3= 2,求证:p +q ≤2. 证明:反证法 假设p +q >2,则(p +q)3>8,即p 3+q 3+3pq (p +q)>8, ∵p 3+q 3= 2,∴pq (p +q)>2. 故pq (p +q)>2 = p 3+q 3= (p +q)( p 2-pq +q 2), 又p >0,q >0 ? p +q >0, ∴pq >p 2-pq +q 2,即(p -q)2 <0,矛盾.

均值不等式公式完全总结归纳(非常实用)

均值不等式归纳总结 1. (1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤ (当且仅当b a =时取“=”) 2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥ +2 (2)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+ (当且仅当b a =时取“=”) (3)若* ,R b a ∈,则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”) 若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则1 1122-2x x x x x x +≥+ ≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 4.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”) 若0ab ≠,则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 5.若R b a ∈,,则2 )2 (22 2b a b a +≤+(当且仅当b a =时取“=”) 『ps.(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和 为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』

应用一:求最值 例1:求下列函数的值域 (1)y=3x 2+1 2x 2(2)y=x+ 1 x

解:(1)y =3x 2+1 2x 2 ≥2 3x 2· 1 2x 2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞) (2)当x >0时,y =x +1 x ≥2 x ·1 x =2; 当x <0时, y =x +1x = -(- x -1 x )≤-2 x ·1 x =-2 ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 解题技巧 技巧一:凑项 例 已知5 4 x <,求函数14245 y x x =-+ -的最大值。 解:因450x -<,所以首先要“调整”符号,又1 (42)45 x x -- 不是常数,所以对42x -要进行拆、凑项, 5,5404x x <∴-> ,11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -,即1x =时,上式等号成立,故当1x =时,max 1y =。 评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。 技巧二:凑系数 例1. 当时,求(82)y x x =-的最大值。 解析:由 知, ,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为 定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值,故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。 当 ,即x =2时取等号 当x =2时,(82)y x x =-的最大值为8。

均值不等式的待定系数法

均值不等式的待定系数篇 在处理一些不等式问题的时候,往往难以直接使用均值不等式,这就需要我们根据题目自身的结构特点来进行适当的配凑,一种被称之为待定系数法均值的方法就这样产生了。在配的时候要牢牢把握住“正,定,等”。这个纯属个人一些观点,高手直接pass 掉。我的用意是在普及的基础上能帮助一些朋友有所提高,不至于有那么多,啊!啊!啊! 引子: 已知,,x y z R + ∈,求函数 2 22 xy yz u x y z +=++的最大值。 解析:取待定正数α,β,有基本不等式得: 2222222222222 22111[()()][()] 22y y y z y xy yz x x x y x y x αβαβαββαβαβαβ +=?+?≤+++≤++++令22 2211αβαβ=+= ,解得:α= β=,于是 2222222 ()) 22 xy yz x y z x y z α+≤++=++ 所以222222222() 22 x y z xy yz u x y z x y z +++=≤=++++ y ==时,等号成立。 推广:设,a b 为给定实数,,,x y z 为任意不全为0的实数,则222 axy byz x y z +++的最大值 ,最小值为。 简析:即证2222 22222 222222a y b y x z x z x y z a b a b ?+?≤+++=++++。 1. 设 是不全为零的实数,求 的最大值 分析:显然只需考虑的情形 直接均值显然不行,我们是不是可以这么考虑,引入待定的正参数 满足

故依据取等条件显然参数就是我们要求的最大 值。 消去我们得到一个方程 此方程的最大根为我们所求的最大值 解之得 我们再来看一个类似的,相信你已经找到了怎么处理这个问题了 2. 设是不全为零的正实数,求的最大值 是的同我们依然可以引进参数使其满足 依据取等条件我们有 消去参数我们得到一个方程 这个方程的最大根为我们所求的目标。 解之得 呵呵扯到这里,或许你说天啊,这个方程好恐怖,是的很遗憾这个题目手工解我认为很困难解决,当然我们可以借助计算机求解这个高次方程。有了这个待定系数我们也可以冒充一回高手,你可以很轻飘飘的对这个题目来个一行秒杀。 你也可以打出这么一个让别人,啊!啊!啊!有木有的解答。 当且仅当取等。 好了,我相信通过这两个例题你对待定系数均值有了个大致的思路了,那我们开始来处理下面的几个问题吧! 3.设是正实数,求的最小值。 解:我们考虑引进参数使其满足:

浅谈不等式的证明

浅谈不等式的证明 不等式问题是高中数学的重要内容之一,考察学生对不等式理论熟练掌握的程度也是衡量学生数学水平的重要方面,同时,不等式也是高中数学的基础,因此,在每年的数学高考题中,有关不等式的相关题目占有一定的比例,命题主要涉及解不等式、不等式的证明、不等式的应用这三方面,现将不等式的证明进行研究。 证明不等式有利于提高学生的分析与综合能力,证明不等式没有固定的程序,一个不等式的证法往往不止一种,证明过程往往是几种方法的综合运用,但无论是哪种方法,都离不开不等式的基本性质,另外在教材中提到了平均值不等式、排序不等式、三角不等式,如果能熟记并能运用的话,在证明不等式的过程中会有很大的帮助。下面将详细列举证明不等式的方法。 一、比较法 比较法是证明不等式的一种最基本也是最重要的方法,主要有作差比较和作商比较两种形式。 (1)作差比较法的步骤一般为:①作差式②差式变形③判断差式的正负④下结论;在这些步骤中,最难的就是差式变形,常用到的有配方法、通分法、因式分解法等等。 (2)作商比较法的步骤为:①作商式②商式变形③判断商式的值是大于1、小于1还是等于1④下结论。 (3)当不等式两边为多项式、分式或对数形式时,往往选择作差法;当不等式两边为指数时,常采用作商法。下面将列举例子进行

分析,以进一步加深对比较法的认识。 例1 若40πβα< <<,则ββααcos sin cos sin +<+ 证明 β βααβαβαβαβαβαβαπβαβαππβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ βααcos sin cos sin 02 sin 2cos 2sin 22 sin 222cos ,02sin 420,02840)2 sin 2(cos 2sin 22 cos 2sin 22sin 2cos 2) cos (cos )sin (sin cos sin cos sin +<+<+-+-+>>+<-<+<<-<-<<<+-+-=-+--+=-+-=+-+即)(所以得于是有,所以因为 二、放缩法 放缩法是证明不等式所特有的方法,把要证的不等式中的一部分量进行放大或缩小,形成新的不等式,而这个新的不等式必须是比原不等式更容易证明的,同时,由新的不等式成立可以推出原不等式成立。另外,放缩目标必须明确,从实际出发,从原不等式过渡到新的不等式是证明的关键。下面就实际例子进行分析。 例2 若,求证:且3,0,,≥++>zx yz xy z y x

均值不等式的证明(精选多篇)

均值不等式的证明(精选多篇) 第一篇:常用均值不等式及证明证明 常用均值不等式及证明证明 这四种平均数满足hn?gn? an?qn ?、ana1、a2、 ?r?,当且仅当a1?a2?? ?an时取“=”号 仅是上述不等式的特殊情形,即d(-1)≤d(0)≤d(1)≤d(2)由以上简化,有一个简单结论,中学常用 均值不等式的变形: (1)对实数a,b,有a 2 22 ?b2?2ab (当且仅当a=b时取“=”号),a,b?0?2ab (4)对实数a,b,有 a?a-b??b?a-b? a2?b2? 2ab?0 (5)对非负实数a,b,有 (8)对实数a,b,c,有

a2? b2?c2?ab?bc?ac a?b?c?abc(10)对实数a,b,c,有 均值不等式的证明: 方法很多,数学归纳法(第一或反向归纳)、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序 不等式法、柯西不等式法等等 用数学归纳法证明,需要一个辅助结论。 引理:设a≥0,b≥0,则?a?b??an?na?n-1?b n 注:引理的正确性较明显,条件a≥0,b≥0可以弱化为a≥0 ,a+b≥0 (用数学归纳法)。 当n=2时易证; 假设当n=k时命题成立,即 那么当n=k+1时,不妨设ak?1是则设 a1,a2,?,ak?1中最大者, kak?1?a1?a2???ak?1 s?a1?a2???ak 用归纳假设 下面介绍个好理解的方法琴生不等式法 琴生不等式:上凸函数f?x?,x1,x2,?,xn是函数f?x?在区间(a,b)内的任意n个点, 设f?x??lnx,f

?x?为上凸增函数所以, 在圆中用射影定理证明(半径不小于半弦) 第二篇:均值不等式证明 均值不等式证明一、 已知x,y为正实数,且x+y=1求证 xy+1/xy≥17/4 1=x+y≥2√(xy) 得xy≤1/4 而xy+1/xy≥2 当且仅当xy=1/xy时取等 也就是xy=1时 画出xy+1/xy图像得 01时,单调增 而xy≤1/4 ∴xy+1/xy≥(1/4)+1/(1/4)=4+1/4=17/4 得证 继续追问: 拜托,用单调性谁不会,让你用均值定理来证 补充回答: 我真不明白我上面的方法为什么不是用均值不等式证的法二: 证xy+1/xy≥17/4

不等式的证明方法习题精选精讲

不等式性质的应用 不等式的性质是解不等式、证明不等式的基础和依据。教材中列举了不等式的性质,由这些性质是可以继续推导出其它有关性质。教材中所列举的性质是最基本、最重要的,对此,不仅要掌握性质的内容,还要掌握性质的证明方法,理解掌握性质成立的条件,把握性质之间的关联。只有理解好,才能牢固记忆及正确运用。 1.不等式性质成立的条件 运用不等式的基本性质解答不等式问题,要注意不等式成立的条件,否则将会出现一些错误。对表达不等式性质的各不等式,要注意“箭头”是单向的还是双向的,也就是说每条性质是否具有可逆性。 例1:若0< B .a b a 11>- C .||||b a > D .22b a > 解:∵0<->-b a 。 由b a -< -11,b a 11>,∴(A )成立。 由0<< b a ,||||b a >,∴(C )成立。 由0>->-b a ,2 2 )()(b a ->-,2 2b a >,∴(D )成立。 ∵0<->-a b a , )(11b a a --<-,b a a ->11,∴(B )不成立。 故应选B 。 例2:判断下列命题是否正确,并说明理由。 (1)若0<c ,在2 2c b c a >两边同乘以2 c ,不等式方向不变。∴b a >。 (3)错误。b a b a 1 1,成立条件是0>ab 。 (4)错误。b a >,bd ac d c >?>,当a ,b ,c ,d 均为正数时成立。 2.不等式性质在不等式等价问题中的应用 例3:下列不等式中不等价的是( ) (1)2232 >-+x x 与0432 >-+x x (2)13 8112++ >++ x x x 与82>x (3)35 7354-+>-+x x x 与74>x (4) 023 >-+x x 与0)2)(3(>-+x x A .(2) B .(3) C .(4) D .(2)(3) 解:(1)0432232 2 >-+?>-+x x x x 。 (2)482>?>x x ,44,11 3 8112>?>-≠?++>++ x x x x x x 。

(均值不等式的推广)

均值不等式的推广: 2/]2^...2^1[n an a ++≥(a1+a2+…+an)/n≥n an a a ...21≥n/(1/a1+1/a2+…+1/an) 证明: 1. 2/]2^...2^1[n an a ++≥(a1+a2+…+an)/n 两边平方,即证 ((a1)^2+(a2)^2+… +(an)^2)≥(a1+a2+…+an) ^2 /n (如果你知道柯西不等式的一个变式,直接代入就可以了) 柯西不等式: (a1^2 + a2^2 +...+an^2)* (b1^2+b2^2+...+bn^2)≥ (a1b1+a2b2+...+anbn )^2 柯西不等式变式: [a1^2 + a2^+...+an^2] ×n ≥(a1+a2+...+an )^2

得等号!!! 2.(a1+a2+…+an)/n≥n an 1 2 a a... 琴生不等式: 若f(x)在定义域内是凸函数,则nf((x1+x2+...+xn)/n)≥f(x1)+f(x2)+...+f(xn) 令f(x)=lgx 显然,lgx在定义域内是凸函数[判断凸函数的方法是二阶导数<0或从图象上直接观察] nf((x1+x2+...xn)/n)=nlg[(a1+a2+..an)/n]≥ f(x1)+f(x2)+...f(xn)=lga1+lga2+lga3+...+lgan =lga1*a2*…*an 也即 lg[(a1+a2+..an)/n]≥1/n(lga1a2a3...an)=lg(a1a2 a...an)^(1/n)=lg n an 2 1 a... a f(x)在定义域内单调递增,所以 (a1+a2+..an)/n≥n an 1 2 a... a

分式不等式放缩裂项证明

放缩法的常见技巧 (1)舍掉(或加进)一些项(2)在分式中放大或缩小分子或分母。(3)应用基本不等式放缩(例如均值不等式)。(4)应用函数的单调性进行放缩(5)根据题目条件进行放缩。(6)构造等比数列进行放缩。(7)构造裂项条件进行放缩。(8)利用函数切线、割线逼近进行放缩。 使用放缩法的注意事项 (1)放缩的方向要一致。(2)放与缩要适度。 (3)很多时候只对数列的一部分进行放缩法,保留一些项不变(多为前几项或后几项)。(4)用放缩法证明极其简单,然而,用放缩法证不等式,技巧性极强,稍有不慎,则会出现放缩失当的现象。所以对放缩法,只需要了解,不宜深入。 先介绍工具 柯西不等式(可以通过向量表示形式记住即摸摸大于向量乘积) 均值不等式 调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数 绝对值三角不等式 定理1:|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|? 推论1:|a1+a2+a3|≤|a1|+|a2|+|a3|? 此性质可推广为|a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|. 推论2:|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|? 定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立. 常用放缩思想

这几个务必牢记 不常见不常用的不等式 这几个一般用不到,放的太大了,知道有印象就好了下面就是常用思路了,主要就是裂项部分

二项平方和 f(x)=(a1x-b1)^2+(a2x-b2)^2+……(anx-bn)^2 由f(x)≥0可得△小于等于0

1.分式不等式中的典范,典范中的典范,放缩、裂项、去等,步步精彩 解析: 步步经典,用笔化化就能明白思想,换元或许更直观,即令 t=1/(x+2) 第一步意义--开不了方的,开方,并且可取等号 第二步意义--开不了方的,开方,裂项,并且可取等号 个人认为这俩个放缩,很犀利,没见过,看似难实则简单, 看似简单实则难 2.构造+三角形★★★★ 平面内三点A、B、C,连接三点,令AB=c, AC=b,BC=a,求 解析: 构造,主要就是构造,b/c就是很 明显的提示。 三角形中两边之和大于第三边,两 边之差小于第三边。 构造★★★★

均值不等式的待定系数法.doc

不等式讲座系列之 均值不等式的待定系数篇 在处理一些不等式问题的时候,往往难以直接使用均值不等式,这就需要我们 根据题目自身的结构特点来进行适当的配凑,一种被称之为待定系数法均值的方法 就这样产生了。在配的时候要牢牢把握住“正,定,等”。这个纯属个人一些观 点,高手直接 pass 掉。我的用意是在普及的基础上能帮助一些朋友有所提高,不 至于有那么多,啊!啊!啊! 引子 : 已知 x, y, z R ,求函数 u xy yz 的最大值。 x 2 y 22 z 解析:取待定正数 , ,有基本不等式得: xy yz y x y 1 [ 2 x 2 y 2 2 y 2 z 2 ] 1 2 x 2 1 2 ) y 2 2 x 2 y 2 x 2 ( ) ( ) [ ( 2 2 ] 2 令 2 1 2 1 ,解得: 4 2 , 1 ,于是 2 2 4 2 2 2 ( x 2 xy yz 2 ( x 2 y 2 z 2 ) y 2 z 2 ) 2 xy yz 2 (x 2 y 2 z 2 ) 2 所以 u 2 ,当且仅当 2x y 2z 时,等号成 x 2 y 2 z 2 x 2 y 2 z 2 2 立。 推广:设 a, b 为给定实数, x, y, z 为任意不全为 0 的实数,则 axy byz 的最大值 x 2 y 2 2 z 为 a 2 b 2 ,最小值为 a 2 b 2 。 2 2 简析:即证 2 x ay 2 z by b 2 x 2 a 2 y 2 z 2 b 2 y 2 x 2 y 2 z 2 。 a 2 b 2 a 2 a 2 b 2 a 2 b 2 1. 设 是不全为零的实数,求 的最大值 分析:显然只需考虑 的情形 直接均值显然不行,我们是不是可以这么考虑,引入待定的正参数 满足

不等式的证明方法论文

不等式的证明方法 摘要 不等式的形式与结构多种多样,其证明方法繁多,技巧性强,也没有通法,所以研究范围极广,难度极大.目前国内外研究者已给出很多不等式的证明方法,已有文献分别就不等式的性质、各种证明方法及应用作了论述.论文以现有研究成果为基础,整理和归纳了常用的不等式证明方法,包括构造几何图形、构造复数、构造定比分点、构造主元、构造概率模型、构造方差模型、构造数列、构造向量、构造函数、代数换元、三角换元、放缩法、数学归纳法,让每一种方法兼具理论与实践性.旨在使学生对不等式证明问题有一个较为深入的了解,进而在解决相关不等式证明问题时能融会贯通、举一反三,达到事半功倍的效果,同时为从事教育的工作者提供参考. 关键词:不等式;证明;方法

Methods for Proving Inequality Abstract:The form of structure of inequality is diversity, and the proving methods of it are various which requires lots of skills, and there is no common way, so it is a extremely difficult study. Researchers have been given a lot of inequality proof methods at home and abroad, the existing literature, respectively, the nature of inequality, certificate of various methods and application are discussed. The paper on the basis of existing research results and summarizes the commonly used methods of inequality proof, including structural geometry, structure complex, the score point, tectonic principal component, structure, tectonic sequence probability model, structure of variance model, vector construction, constructor, algebra in yuan, triangle in yuan, zoom method, mathematical induction, making every kind of method with both theory and practice. The aim is to make the student have a more thorough understanding on the inequality problems , and in solving the problem of relative inequality proof can digest the lines, to achieve twice the result with half the effort, at the same time provide a reference for engaged in education workers. Key words: inequality; proof; method

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