线性代数习题集v1答案(修订版)

§1.1-§1.5 一、 单项选择

1、A

2、D

3、A

4、D

5、B 二、 填空题

1、332()a b -+

2、98

3、120

4、0 （提示：.,,003213231213213q x x x p x x x x x x x x x q px x -==++=++=++有对于） 三、计算题 1、40

2、第一列加到第二列，第二列加到第三列。。。。。。得 1

...

(32)

1

0......000 0

0 (000)

0......0021+---n n

a a a n

=n n a a a n ...)1()1(21+-

§1.5-1.6 一、 填空题

1、1或-1或2或-2

2、n n n b a 1)1(+-+

3、12

4、-4，-4 二、 单项选择

1、C

2、B

3、BD 三、 解答题

1、（1）-3 （2）4x （3）

1

)]()1[( (00)

...............0......0...

...1

])1[(...3,21 (1)

...

..................1 (1)

]

)1[(,--+-=?

?

???

?

?

??

???--+--+-n a x x a n a x a

x a a x a n n x

a a x a a x a n 列加到第一列乘提取公因式所有列加到第一列

2、（1）03

2564220000011133000543213256422333001113377754321333231===++A A A

（2）03

2564003331100000777543213

2564223331100033777543213534===+A A

§1.7

一、

1264

278116

9

4

14321111

1==

D ,126427812516

9

4

25

4325

1111

1-==D ,4864

271251169

25

1

4351

1111

2

==D ,

72641258116

25

4

1452111113-==

D ,48125

278125

9

4

1532111114==

D

4,6,4,144332211==-====-==

∴D

D

x D D x D D x D D x

二、 D=0，即14-=或k

三、 212,0±≠-≠≠k k D 且即

四、

设投资321321、x 、x x 、A 、A A 的钱分别为，即求方程组

??

?

??

=-=++=++02222.015.012.010********x x x x x x x x 是否有解。

观察系数行列式024.00

122215121

11100

1

01222.015.012.0111≠=-=-=D ，知方程组有唯一解，即可能实现预期的利润但只有唯一一种投资组合。

习 题 课 一、 选择填空

1、C

2、A

3、0 二、 计算

1、分析多项式，发现f(x)的最高次项若为四次，只能包含于44332211a a a a 和31

134422a a a a 两项中，第一项4x 系数为24，第二项4x 系数为-24，所以4x 的系数为0。因此最高次考虑3x ，分析发现每一项中必须有三个或者四个x 的因子才可能包含3x ，所以也只能从

44332211a a a a 和31134422a a a a 中考虑，通过行列式定义可求得第一项中3x 的系数为

24+24+24+24=96，第二项3x 的系数为-（-72+24+8+24）=16，即f(x)的最高次项3x 系数为112。

2、按第一列展开有，

∑=----------------+-+=+++++++=+-=

+++++==++=++=+=--+=n

i i

n i n

n

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x a x x a x

a x

a x a x xa a a x a x D D x a x a x xa a D x xa a xD a x a xD a a xD D 1

11

22

33

22

11

2

22233221221211111...)

1(.........)()1()1(

课 外 习 题 一、 选择题

1、A

2、B

3、A 二、 填空题

1、3)(b a -

2、7104.6?-

3、k=-2

三、 计算

1．（1）a+b+d (2)22y x

2.证明：按第一列展开，得21)(---+=n n n abD D b a D ，

n n n n n n n n b aD D b D D b aD D b aD D =-==-=-=-------)(......)()(122322211， 由此得，n n n b aD D +=-1------式（1）；同理可得n n n a bD D +=-1-------式（2）

将式（1）乘以b 减去式（2）乘以a ，再除以a-b ，得到b

a b a a b a b D n n n n n --=--=++++1

111

3．用归纳法

n=1时，)1

1(11

111a a a D +

=+=，结论成立。 假设结论对n-1阶行列式成立，对n 阶行列式n D ，先将n D 的最后一列元素看成是二数

之和，即

)11(...)]11(...[ (1)

000

01 (00)

0..................10...0010...0010 (001)

...1

1

1

..................01...11101...11101 (1111)

1...111...

...............11...11111...11111...11111 (1)

1

1..................011...111011 (111)

011 (111112111)

1211211

12111

32132

1

32

1

32

1

∑∑

=--=------+=++=+=+=+++++++=

+++++++=

n

i i

n n n i i n n n n n n n n n n

n

n a a a a a a a a a a a a a D a a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a D

4．设原价为321、x 、x x ，??

?

??=++=++=++31500

9.0*209.0*309.0*201765095.0*1095.0*109.0*202135095.0*159.0*2095.0*10321321321x x x x x x x x x

利用克拉默法则解得6005004003

2

1===、x

、x

x

§2.1-§2.2 矩阵的概念及运算 三、 单项选择

1、C

2、B

3、C

4、D

5、A 四、 填空题

1、s l =

2、 123246369??

?

? ?

??

，14 3、214016?? ???

三、计算题

1、Bz y Ay x ==,，其中

201232415A ????=-??????，310201013B -????=????-??，123x x x x ????=??????，123y y y y ????=??????，123z z z z ????=??

????

x Ay ABz ==则有，而

201310613232201124941501310116AB --??????

??????=-=-??????

??????---??????， 112233613124910116x z x z x z -??????

??????=-??????

??????--??????得，11232123312363,1249,1016.x z z z x z z z x z z z =-++??=-+??=--+?即

1111231112132223231111242111217201110511114292AB A -????????

????????-=-----=--????????

????????---????????

、， 111123058111124056111051290T

T A B ??????

??????=---=-??????

??????-??????

3、（1）2

101

021n λλ

????= ?

?????

当时，＝21， 1

0101n

n λ

λ

???? ? ?????

故＝1。 1

2

342121

13232211023202121

33232211043202132n

n n n n A

n E

n --????= ? ?

--????-????

= ? ?

-????--????= ? ?--????-????= ? ?

-????

-???=?

?-??? （2）当时，＝ 当时，＝1 当时，＝ 当时，＝1为奇数 故有为偶数

()()()()()()23221111112311

12421

2123333312

1111

232

332()333331112323332

133312

T T T T T T T T T T T T n n T n n A n A n A A A A A αββααβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ---?? ???

??? ? ?=== ? ? ???

? ???

? ??

?

???? ?== ? ??? ???

=====?===、 当时, 当时，＝＝＝＝ 故有? ?

? ? ? ? ? ??

?

2

2222115()()

22()()222A A B E B E B E B E B B E B E B E

??

=?+=+????

?++?++=+?=、＝2 §2.3 逆 矩 阵

四、 单项选择

1、C

2、A

3、C

4、C

5、D 五、 填空题

1、11213?? ? ?

? ? ? ??

?

， 1312

1?? ? ?

? ? ? ? ??

?

2、4231?? ???

－－，

23122-?? ? ?-??

1 3、－27 4、 21

0142013?? ? ? ???

－－－ 5、n k a n k a 1n

ak 1

n n k a - 六、 解答题

1、()1

1

*1111131113233(1)2222

A A A A A A A A A A ---------=

-=-=-=-=-=- ()()1

11

22(2),22

3321

1020,1

2

1

1

3

3121

1321111330330331211

3110123211

1123110AB A B A E B A C A E

C A E C C A E B A E A ---=+?-==--=-=-=≠--??

?

=-=- ? ?-??

-?????? ??? ?=-=-=- ??? ?

??? ?--??????、令故可逆，

且有： 故有

()()()()111

11111111

11

111413,113141427312732110111168368430

2P P AP A P P

A P P P P P P P P -------??==Λ?=Λ ?--??=ΛΛΛ=Λ????????

-== ? ? ? ? ?------??????

?? 、

()()()()

32221

422241024210242210

A E A E A A E E A A E

A E E

A A E A E A E =?+-+=-+?+=-+++－、 故可逆，且＝

()()()1***

*

1

*****

50,000

00

A A A A E A A A A A A A A A A --=======、（1）若由知必不可逆。因若不然，可逆，两边又乘 得从而，这时矛盾。故有不可逆，

1

1

***20,00,n n A A A A A AA A E A A --===≠==（）若；若可逆，对两边取行列式得。

§2.4 分 块 矩 阵 五、 填空题

1、132

4T T T

T A A A A ?? ???

2、4 2

3、73

01770000440

0109?? ?

?

? ?

?? 六、 解答题

1

212123

43434131

1413241122412343343

4

34121211111101010,,0b b b b b b B AB BA b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b B b b R

b ??????????==?=

? ? ? ? ?????

??????+=?=+++???????=?+=+???

? ?+=??????=+???

=∈ ???

、设，由故有

1

2123

434131

24341

121324

11

213

40020000000000X

X X X A E X X X X X B E X AX E

X B

AX AX AX E BX BX E BX X A

BX E X X

X B X X X A ----????????

== ? ? ? ?????????

=?=???==???????=???? ? ?==????????==??????= ? ? ?????

、（1）设逆矩阵，由 故＝

1

212343

4111221211

13

241331244

11

213

40000

00000X

X X

X A E X X X X

X C B E X A AX E

X AX AX AX E CX BX CX BX CX BX E X B CA CX BX E X B X X A X X X B C ------????????

== ? ? ? ?????

?????==???

==?

??????=????

? ?+++==-????????+==????=

?-??（2）设逆矩阵，由 故＝11A B --?? ? ???

1111111

12122

1111111121

1

1

10

4,,(),,(),000

000

000n n n n n n a a A A A A a A A a A a a a a A A A a --------------????

?? ? ?=====

? ? ??? ? ???????

??? ?== ?

??? ? ??

?

、

11122212121

111

11111222205

2835,,,,0215212565283

,.1034232152

5613160490

954A B AX B A B A A A B B B A A A B A A B A X A B B A A B -----????????===== ? ? ? ?????????

????

=====≠ ? ?

-????

--?? ?

?????? ?

====

? ? ? ?-??????

--??

、令其中因为故可逆，?

()3234234

2342346,2,2,22,,,8,,,,,,8(41)40

A B αβγγγαβγγγαγγγβγγγ+=+=+=+=?+=、

习 题 课 三、 选择题

1、C

2、C

3、D 四、 填空题

1、1PBP - 1n PB P -

2、1

2

3、10091106611118

9

6?? ? ?

? ? ? ? ???

4、1

6 五、 解答题

()1

1

1

1

20

1

1

200010010001100001001000,0,(3)

00000000000(1)2000

n

n n

n n n n

n n

k n n n

n n n

n n n n n n n A E B B B B k A E B E B B E B B n n n n C C C C C C λλλλλλλλλλλλ

λ

λ

λ-----???????? ? ? ? ?

=+=+===≥ ? ? ? ? ? ? ? ?????????=+=+++=++?- = ?

、，其中满足?

?????

??

()()()

()**11

1

2282828,

20,,2284(1,2,1)(1,1,1)(2,1,2)11(,1,),4(2,4,2)

22

A BA BA E AA BA ABA A A BA ABA A A A A A E

B E A E B E A E diag diag diag A E diag B A E diag -=-?=-?=-=-≠+=?+=+=-+=-+-=+=-－－、可逆用右乘上式两边得：又可逆，且＝

123123131206012012212214423121333312010111012222X ---??

?

≠ ? ?----??

??-??

-- ?-?? ?

==

? ? ? ??? ?--- ?????

、＝－，故可逆，且

14()()()()()()()0AB A B AB A B E E A B E B E E A E B E E A E A E B E B E A E E BA A B AB A B BA

=+?--+=?---=?--=?--=---=?--=?=+=－、可逆，且 故有

()

5()0

T

T T A E A AA A E A A E A A E A A E A E +=+=+=+=+=-+?+=、

()()()()

()()6,()

T

T

T

T T T T T T

T

T T

T T T T A A B B AB BA AB BA B A A B BA AB AB BA

AB BA AB BA B A A B BA AB AB BA ==?-=-=-=-+=-+=+=+=--=-+、

课 外 习 题 四、 选择题

1、C

2、C

3、C 五、 填空题

1、2

2、2

3、300030001?? ?

? ?-??

4、10211?

? ? ?--??

六、 解答题

()()1()100,10,0

T

T T A E A AA A E A A E A A E A A A E A A A E +=+=+=+=+?-+=<->

+=

、故

11121311

1213*21

222321

222331

32

3331

32

332

3

**112221111121213131112132(),,1000,1

T ij ij T T a a a A A A a A A a a a A A A A a a a A A A A A AA A E A A A A E A

A A a A A a A a A a A a a a A ????

? ?

==== ? ? ? ?????

=====≠>、由有： 从而＝或＝，由于，对按第1行展开，有：＝＋＋＝＋＋故必有＝

()1

3

******11

**382()3,

,2(2)6,6(2)10001

0010001002,210101

010111100002626n A A

A A A A A E

B A AA A A A E A A E A B E B E A E A E A --===-====-=-????

? ?

? ?

-=-= ? ?- ?

?

? ?

-- ? ????

?－、由有：，得。是可逆矩阵，

用又乘矩阵方程的两端有 又用左乘上式的两端，并把代入， 有故有＝，

6000060060600301B ?? ?

?= ? ?-??

故

()()1214()()()()111

1120111011001001125012001AX A B BX B A E A B X A B E

A B A B A B X A B -+-=?--=--?? ?

-=-=-- ? ???

?? ?

??=-= ?

??

???

－－、，故可逆，＝ 于是

111

115142401

(2)(4)8(2)(4)81

2(2)(4)

8

3202128(4)(4)12000211044020130.18810

02A B B E A AB B A A E B E E A E B E E

A E A E

B E A E B E B E A ----=--=--=---?? ?

+-- ?

???

??

? ? ?=- ? ? ? ??? －－－、（）由2＝－左乘知或 故可逆，且＝－－（）由（）知＝，而＝－－－＝－－故－10002?? ?- ? ?-??

()()()()()()()

2

2

22

6(1),(2),T

T

T

T

T T T T T T T T T T

T

T

A A AA A A AA A A A A A A

B B B

B B B

=?=====-==-=、

§3.1－§3.2 矩阵的初等变换、初等矩阵 一、填空与选择题

1. 100010?? ???

2. (,)E i j 、1(())E i k 、(,())E i j k -

3. 011100001??

?- ? ?

??

4.D

5.C 二、计算题

1. 211231322023102310013034301120112047100130013r r r r r r r

--------??????

? ? ?-→-→- ? ? ? ? ? ?----??????

13

122323000001050105001300130000r r r r r r r r

+?+????? ? ?→→ ? ? ? ?????

2. 143(1,2)(2,3)201312E AE -?? ?

=- ? ?-??

11143143210(1,2)201(2,3)(1,2)201(2,3)134312312321A E E E E -----??????

? ? ?

∴=-=-=- ? ? ? ? ? ?---??????

3. 2131321100321100(,)315010014110323001002101r r r r

A E --???? ? ?

=→-- ? ? ? ?-????

1312

232

1113

327326329221111222230912010001011201011200100010r r r r r r r r r -+----???? ? ?

→--→-- ? ? ? ?--????，732

6321112

21120A --?? ?∴=-- ? ?-?? 4. 41213100102(,)2212201015331131001124A B --???? ? ?=→-- ? ? ? ?--???? ，110

2153124X A B -?? ?

∴==-- ? ???

5. 10A =-≠ ，1(3)X A E B -∴=-

114100100191011(,)2310100101267016001001211A E ---???? ? ?=-→-- ? ? ? ?---???? 11910111267211A ---?? ?

∴=-- ? ?-??，

1103041432E B -?? ?-=- ? ?--?? 259232165720293X -?? ?

∴=- ? ?--??

。

§3.3 矩阵的秩 一、填空与选择题

1. ()()r A r B ≥

2. 1

3. 0

4. 4

5.B

6.BD 二、计算题

1. 3132414321122111

22

10

21510

21510215100222002220

0000r r r r r r r r A -+-?????

?

?

--

? ?

→→ ? ?----- ?

?

--????

，()3R A ∴= 2. 21230223300336k A k k k k -??

?

→-- ? ?--+??

，22203360k k k -≠?∴?--+≠?时()3r A =

即12()3k k r A ≠≠-=且时。

当1k =时123123123000123000A --????

? ?

=--→ ? ? ? ?-????，()1r A ∴=。

当2k =-时126126143069223000A ----???? ? ?

=---→-- ? ? ? ?--????

，()2r A ∴=。

3. A 为非满秩矩阵，

1[(1)]()0n a b

b b b a b b A a n b a b b b

b

a

-∴=

=+--=

(1)a b a n b ∴==--或 三、证明题

1. 只要证()R AB m <（不满秩）

()()R AB R A ≤ ，又()min{,},R A m n n m n ≤=>

()R AB n m ∴≤<，AB ∴不满秩，0AB ∴=

2. （1）当()A n =R 时A 满秩，0A ∴≠ 又*A A A E = ，1

**0n

n A A A A A

-∴=?=≠，*A ∴满秩，*()R A n ∴=

（2）当()1A n =-R 时0A =，*0A A A E ∴==

*()()R A R A n ∴+≤。 又()1A n =- R ，*()1R A ∴≤。 ()1A n =- R ，∴A 中至少有一个n-1阶子式不为0

*A 是由A 的n-1阶代数余子式构成的，*0A ∴≠，*()1R A ∴≥

*()1R A ∴=

（3）当()1A n <-R 时， A 的任意n-1阶子式都为0，*0A ∴=，*()0R A ∴= §3.4 线性方程组

一、填空与选择题

1. 无穷多

2. 非零

3. A

4.D

5.B 二、计算题

1. 1510020

10120012000

0r A ??

-???

?

-→????????

?

? ，∴非自由未知量123,,x x x ，自由未知量4x ， 令41x =，则得到一个基础解系12341521221x x x x ξ??

?? ? ? ? ?=

= ? ? ?- ? ? ?

????

∴通解,()X C C R ξ=∈其中

2. 21

123132

2112131121310334(,)121120112101121215470112100000r r r r r r r r A b ---+?????? ? ? ?

=-→---→--- ? ? ? ? ? ?-??????

1342

34

33

4433421x x x x x x x x x x =--+??=+-???=??=?

， 令3142,x c x c ==，则1122121212314233433421121,(,)100010x c c x c c c c c c R x c x c --+--??????????

? ? ? ? ?+-- ? ? ? ? ?==++∈ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???????????

3. 21

3122114114(,)11011411240228r r r r

A b λλλλλλλλ+-????

? ?

=-→+++ ? ? ? ?-----????

3223

2

122114114

022*********(1)(4)

00

(4)2r r r r r λλλλλλλλλλλλ+-?-?? ??? ?

?→-→- ? ? ? ?++++-??- ?

?

?

当14λ≠-和时则有1142

(,)014220011A b λλλλ??

? ?

- ?→ ? ?- ?

+?

?，()(,)3r A r A b ==有唯一解。

当1λ=-时()2(,)3r A r A b =<=，此时原方程组无解。

当4λ=时增广矩阵为114410300114011400000000????

? ?

→ ? ? ? ?????

，此时()(,)23r A r A b ==<，

故原方程组有无穷多解，对应方程变为13

2334x x x x =-??=-+?，

令3x c =，则通解为1233014,10x x c c R x -?????? ? ? ?

=-+∈ ? ? ? ? ? ???????

三、证明题

证：AX AY = ，()0A X Y ∴-=

()r A n = ，()0A X Y ∴-=有唯一的零解，

0X Y ∴-=，X Y ∴=

第三章 习题课 一、填空与选择题

1.2

2.-3

3.-1

4.1λ≠

5.C 二、计算题

1. 1

111111111111141111A -?? ?-- ?= ?-- ?--??

2. 21

42

31

32211212101221012120105

100393r r c c r r r r A μμμ

μμμμμμ-?-+--????

? ?→--+→+-- ? ? ? ?-----?

???

当3μ≠时()3r A =。

当3μ=时12212

1121310111701212015701570039300000000r r A μμμμμ----?????? ? ? ?

→+--=-→- ? ? ? ? ? ?--??????

∴当3μ=时，()3r A =

3. 1100

2340

1013(,)340019300000A b ??

--

? ? ?--

?→ ? ?

? ??

?，对应的方程组为1424

3

4123

4133493x x x x x x ?

=-??

?=-???

=-+??

令4x c =，则线性方程组的通解为12

34132413,()394130x x c c R x x ??- ?

???? ?

? ? ?- ? ? ?=+∈ ? ?- ? ? ? ?

????

? ???

4. 22112512122212

(,)2542222124512451r r r

A b λλλλλλλλ?-??- ?--??

? ?=--→-- ? ? ? ?----------?? ?

??

232131326(2)22512151212

2

(6)(1)02(1)101112(10)(1)

(4)(1)0111002

2r r r r r r r r λλλλ

λλλλλλλλλλλλλλ-+--+?-??

--?? ?- ? ? ?-- ?→---→---

? ? ?

---- ?

--- ?

???

?

??

当1,10λλ≠≠时则有，()(,)3r A r A b ==有唯一解。 当10λ=时()2(,)3r A r A b =<=，此时原方程组无解。

当1λ=时增广矩阵为122100000000-??

?

? ???

，此时()(,)13r A r A b ==<，

故原方程组有无穷多解，对应方程变为123221x x x =-++，

令2132,x c x c ==，则通解为1212123221100,(,)010x x c c c c R x -????????

? ? ? ?

=++∈ ? ? ? ? ? ? ? ?????????

第三章 课外作业

一、填空与选择题

1.AB

2.A

3.D

4.2

5.-2

二、1()()0ABA B ABAB E E AB E AB -=?=?-+= ，()()r E AB r E AB n ∴-++≤。

又()()()(2)r E AB r E AB r E AB E AB r E n -++≥-++== ，

()()r E AB r E AB n ∴-++=

三、（1）2

311123222

2314333234

4

411

(,)()011i j i j a a a a a a A b a a a a a a a a ≤<≤?? ?

?==∏-≠ ? ? ??

?

，（1234,,,a a a a 互不相等）

(,)4R A b ∴=。又()min{3,4}3R A ≤= ， ()(,)R A R A b ∴≤，∴方程组无解。

(2) 若1324,(0)a a k a a k k ====-≠，则232232232

3110010

10(,)1000010

0r k

k k k k

k k k A b k k k k k k ????

? ?--

? ?

=→ ? ? ? ? ? ?--?

???

∴原程组同解于21322x k x x k ?=-?=?，令3x c =，则通解为2

1

22300,()10x k x c k c R x ??-???? ? ? ?=+∈ ? ? ? ? ?

?????

?? 四、1

123011

23

02

16410

1221(,)3271

0080011610

0002r A b a a b b --???? ?

?

--

? ?

=→ ? ?-+ ?

?

---+????

∴（1）当20b +≠即2b ≠-时无解。

（2）当2,8b a =-=-时，()(,)24R A R A b ==<方程有无穷多解，

1

1

2301

4110

12210

1221(,)000000

00000

00000

0000r r A b ---????

?

?

? ?

→→

? ?

?

?

????

第四章 答案 §4.1-§4.2 一、单项选择

1、C

2、A

3、C

4、D

5、D 二、填空题

1、2711(7,5,,)22γ=-

2、3122ααα=+『修改：3(2,2,8)α=』

3、 0

4、 1