高等数学 高等代数习题集

第一章 多项式

§1.1一元多项式的定义和运算

1．设

),(x f )(x g 和)(x h 是实数域上的多项式．证明：若是

(6) 222)()()(x xh x xg x f +=，

那么

.0)()()(===x h x g x f

2．求一组满足（6）式的不全为零的复系数多项式)(),(x g x f 和).(x h

3．证明：

!)

)...(1()1(!)

1)...(1()1(!2)1(1n n x x n n x x x x x x n

n

---=+---+--+

-

§1.2 多项式的整除性

1．求

)(x f 被)(x g 除所得的商式和余式：

( i ) ;13)(,14)(234--=--=x x x g x x x f (ii)

;23)(,13)(3235+-=-+-=x x x g x x x x f

2．证明：k x f x )(|必要且只要).(|x f x

3．令

()()()x g x g x f x f 2121,,),(都是数域

F

上的多项式，其中

()0

1≠x f 且

()()()()()().|,|112121x g x f x f x f x g x g 证明：()().|22x f x g

4．实数q p m ,,

满足什么条件时多项式12++mx x 能够整除多项式.4q px x ++

5．设F 是一个数域，.F a ∈证明：a x -整除.n n

a x -

6．考虑有理数域上多项式

()()

()()

()(),121211

n

k

n k n

k x x x x x x f ++++++=-++

这里k 和n 都是非负整数．证明：

()()()

.11|1

n k 1+++++-x x f x x k

7．证明：1-d

x

整除1-n x 必要且只要d 整除.n

§1.3 多项式的最大公因式

1. 计算以下各组多项式的最大公因式： ( i ) ()();32103,34323234-++=---+=x x x x g x x x x x f

(ii)

()().1)21(,1)21()42()22(2234i x i x x g i x i x i x i x x f -+-+=----+-+-+=

2. 设

()()()()()().,11x g x d x g x f x d x f ==证明：若()()(),),(x d x g x f =且()

x f 和

()x g 不全为零，则()();1),(11=x g x f 反之，若()(),1),(11=x g x f 则()x d 是()x f 与()x g 的一个

最大公因式．

3.

令

()x f 与()x g 是][x F 的多项式，而d c b a ,,,是F

中的数，并且

0≠-bc ad

证明：

()()()()()()).,(),(x g x f x dg x cf x bg x af =++

4． 证明： （i ）h g f ),(是

fh 和gh 的最大公因式；

（ii ）),,,,(),)(,(212121212211g g f g g f f f g f g f =

此处

h g f ,,等都是][x F 的多项式。

5． 设()()22,242234234---+=---+=x x x x x g x x x x x f 都是有理数域Q 上的多

项式。求()()][,x Q x v x u

∈使得

()()()()()()).,(x g x f x v x g x u x f =+

6． 设1),(=g f ,令n 是任意正整数，证明：1),(=n g f 由此进一步证明，对于任意正整数n m ,，

都有1),(=n m

g f

.

7． 设1)

,(=g f 证明：

1),(),(),(=+=+=+g f fg g f g g f f .

8． 证明：对于任意正整数n 都有),(),(n n n

g f g f =.

9． 证明：若是

)(x f 与)(x g 互素，并且)(x f 与)(x g 的次数都大于0，那么定理3.3.2里的)

(x u 与)(x v 可以如此选取，使得)(x u 的次数低于)(x g 的次数，)(x v 的次数低于)(x f 的次数，并且这样

的)(x u 与)(x v 是唯一的。

10． 决定k ，使24)6(2

++++k x k x

与k x k x 2)2(2+++的最大公因式是一次的。

11． 证明：如果1))(),((=x g x f

那么对于任意正整数m ，

()()()1,=m

m

x g x f

12． 设

)(x f ,)(x g 是数域P 上的多项式,)(x f 与)(x g 的最小公倍式指的是][x P 中满足以下条

件的一个多项式)(x m ：

()

a )(|)(x m x f 且)(|)(x m x g ；

()b 如果][)(x P x h ∈且)(|)(),(|)(x h x g x h x f ，那么)(|)(x h x m .

()i 证明：][x P 中任意两个多项式都有最小公倍式，并且除了可能的零次因式的差别外，是唯一的。

()ii 设)

(x f ,

)(x g 都是最高次项系数是1的多项式，令[])(),(x g x f 表示)(x f 和)(x g 的最高次项

系数是1的那个最小公倍式,证明

()()()()()()()[]x g x f x g x f x g x f ,,=

13． 设)()(|)(1x f x f x g n 并且1))(),((=x f x g i ,1,,2,1-=n i 证明：)(|)(x f x g n .

14． 设

][)(,),(),(21x P x f x f x f n ∈ 证明：

()i ()()()()()()()()()()()().11,,,,,,,,12121-≤≤=+n k x f x f x f x f x f x f x f x f n k k n ()ii )(,),(),(21x f x f x f n 互素的充要条件是存在多项式][)(,),(),(21x P x u x u x u n ∈ 使得

()()()()()()12211=++x u x f x u x f x u x f n n

15． 设

][)(,),(1x P x f x f n ∈ ,令

()()()()(){}.1],[11n i x F x g x g x f x g x f I i n n ≤≤∈+=

比照定理1.4.2，证明：)(,

),(1x f x f n 有最大公因式．

[提示：如果)(,),(1x f x f n 不全为零，取)(x d 是I 中次数最低的一个多项式，则)(x d 就是)(,),(1x f x f n 的一个最大公因式．]

§1.4 多项式的分解

1. 在有理数域上分解以下多项式为不可约多项式的乘积：

()i ;132+x ().12223+--x x x ii

2. 分别在复数域，实数域，有理数域上分解多项式14

+x 为不可约因式的乘积.

3. 证明：

)(|)(22x f x g 当且仅当)(|)(x f x g .

4.

()i 求 ()1222345-++--=x x x x x x f 在][x Q 内的典型分解式；

()ii 求()61416161022345-+-+-=x x x x x x f 在][x R 内的典型分解式

5.证明：数域P 上一个次数大于零的多项式)(x f 是][x P 中某一不可约多项式的幂的充分且必要条件是

对于任意][)(x P x g ∈,或者1))(),((=x g x f

,或者存在一个正整数m 使得)(|)(x g x f m .

6．设

)(x p 是][x P 中一个次数大于零的多项式.如果对于任意][)(),(x F x g x f ∈只要

)()(|)(x g x f x p 就有)(|)(x f x p 或)(|)(x g x p 那么)(x p 不可约.

§1.5 重因式

1. 证明下列关于多项式的导数的公式：

()i ()()()()();x g x f x g x f '+'='+ ()ii ()()()()()()().x g x f x g x f x g x f '+'='

2.

设

)(x p 是)(x f 的导数)(x f '的1-k 重因式.证明：

()i

)(x p 未必是)(x f 的k 重因式；

()ii

)(x p 是)(x f 的k 重因式的充分且必要条件是)(|)(x f x p .

3. 证明有理系数多项式

()!

!212n x x x x f n

+++=

没有重因式.

4.b a ,应该满足什么条件，下列的有理系数多项式才能有重因式？

()i ;33b ax x ++

()ii .44b ax x ++

5. 证明：数域P 上的一个n 次多项式

)(x f 能被它的导数整除的充分且必要条件是

()()

n

b x a x f -=，

这里的b a ,是P 中的数

§1.6 多项式函数 多项式的根

1．设

1532)(345+--=x x x x f ,求

)

2(),3(-f f .

2．数环R 的一个数c 说是][)(x R x f ∈的一个k 重根,如果)(x f 可以被k c x )(-整除,但不能被

1)(+-k c x 整除.判断5是不是多项式

5057422243)(235+++-=x x x x x f

的根.如果是的话,是几重根?

3．设d x c x b x a x x x

+-+-+-=-+-)2()2()2(5322323

求d c b a ,,, [提示:应用综合除法．]

4．将下列多项式

)(x f 表成a x -的多项式.

)(i 1,)(5==a x x f ;

)(ii 2,32)(24-=+-=a x x x f .

5．求一个次数小于4的多项式

)(x f ,使

2)5(,0)4(,1)3(,3)2(==-==f f f f

6．求一个2次多项式,使它在ππ

,2

,

0=x

处与函数x sin 有相同的值.

7．令)(),(x g x f 是两个多项式,并且)()(33x g x f +可以被12

++x x 整除.

证明

.0)1()1(==g f

8．令c 是一个复数,并且是][x Q 中一个非零多项式的根,令

}0)(|][)({=∈=c f x Q x f J

证明:)(i 在

J

中存在唯一的最高次项系数是1的多项式

)(x p ,使得J

中每一多项式

)(x f 都可以写成

)()(x q x p 的形式,这里][)(x Q x q ∈. )(ii )(x p 在][x Q 中不可约.

如果32+=c

,求上述的)(x p

[提示:取

)(x p 是J

中次数最低的、最高次项系数是1的多项式.]

9．设][x C 中多项式0)(≠x f 且)(|)(n x f x f )(|)(n

x f x f ,n 是一个大于1的整数.

证明:

)(x f 的根只能是零或单位根.

[提示:如果c 是

)(x f 的根,那么 ,,,3

2

n n n c c c 都是)(x f 的根.]

§1.7 复数和实数域上多项式

1．设n 次多项式

n n n n a x a x a x a x f ++++=--11

10)( 的根是n ααα,,,21 .求 )(i 以n ca ca ca ,,,21 为根的多项式,这里c 是一个数;

)(ii 以n

ααα1

,

,1

,

1

2

1 (假定n ααα,,,21 都不等于零)为根的多项式.

2．设

)(x f 是一个多项式,用)(x f 表示把)(x f 的系数分别换成它们的共轭数后所得多项式.证明:

)(i 若是g )(x |f )(x ,那么)(|)(x f x g ;

)(ii 若是)(x d 是)(x f 和)(x f 的一个最大公因式,并且)(x d 的最高次项系数是1,那么)(x d 是一个实

系数多项式).

3．给出实系数四次多项式在实数域上所有不同类型的典型分解式. 4．在复数和实数域上,分解2-n

x

为不可约因式的乘积.

5．证明:数域F 上任意一个不可约多项式在复数域内没有重根. §1.8 有理数域上多项式

1．证明以下多项式在有理数域上不可约:

)(i 108234-+-x x x ; )(ii ;66182245+++x x x )(iii 32234-+-x x x ;

)(iv 136++x x .

2．利用艾森斯坦判断法,证明:若是

t p p p ,,,21 是t 个不相同的素数而n 是一个大于1的整数,那么

n

t

p p p 21是一个无理数.

3．设

)(x f 是一个整系数多项式.证明:若是)0(f 和)1(f 都是奇数,那么)(x f 不能有整数根.

4．求以下多项式的有理根:

)(i 1415623-+-x x x ; )(ii 157424---x x x ; )

(iii 321

2252345--+-

-x x x x x .

§1.9多元多项式

1．写出一个数域F 上三元三次多项式的一般形式. 2．设

),,(1n x x f 是一个r 次齐次多项式.t 是任意数.证明

),,(),,(11n r n x x f t tx tx f =.

3．设

),,(1n x x f 是数域F 上一个n 元齐次多项式,证明:如果

),,(),,(),,(111n n n x x h x x g x x f =,则h g ,也是n 元齐次多项式.

4．把多项式xyz z y x

3333

-++写成两个多项式的乘积.

5．设F 是一个数域.

],,[,1n x x F g f ∈是F 上n 元多项式.如果存在],,[1n x x F h ∈使得

gh f =,那么就说g 是f 的一个因式.或者说g 整除

f

.

)(i 证明,每一多项式f

都可以被零次多项式c 和cf 整除,0,≠∈c F c .

)(ii ],[1n x x F f ∈说是不可约的,如果除了)(i 中那两种类型的因式外,f 没有其它的因式.证明,在

],[y x F 里,多项式y x y x y x -+2,,,都不可约.

)(iii 举一反例证明,当2≥n 时,类拟于一元多项式的带余除法不成立.

)(iv ],,[,1n x x F g f ∈说是互素的,如果除了零次多项式外,它们没有次数大于零的公共因式.证明

],[,y x F y x ∈是互素的多项式.能否找到],[),(),,(y x F y x v y x u ∈使得1),(),(=+y x yv y x xu ?

§1.10 对称多项式

1．写出某一数环R 上三元三次对称多项式的一般形式.

2．令],,,[21n x x x R 是数环R 上n 元多项式环,S 是由一切n 元对称多项式所组成的

],,[1n x x R 的子集.证明:存在],,[1n x x R 到S 的一个双射.[提示：利用对称多项式的基本定理，建

立],,[1n x x R 到S 的一个双射]

3．把下列n 元对称多项式表成初等对称多项式的多项式：

)

(i ∑2

31x

x ；)

(ii ∑4

x

；)

(iii ∑3

2221x

x x

．

4．证明：如果一个三次多项式c bx ax x +++23

的一个根的平方等于其余两个根的平方和，那么

这个多项式的系数满足以下关系：

2324)22(2)2(c ab a b a a +-=-

5．设n ααα,,,21 是某一数域Ｆ上多项式

n n n n a x a x a x ++++--111

在复数域内的全部根．证明：n αα,,2 的每一个对称多项式都可以表成Ｆ上关于1α的多项式．［提示：只需证明n αα,,2 的初等对称多项式可以表成Ｆ上关于1α的多项式即可．］