矿山地表移动与变形的分形分析

矿山地表移动与变形的分形分析

栾元重

1,2

,范玉红

2

(1.同济大学,上海200092;　2.山东科技大学,山东泰安271019)

摘　要:

采用分形插值方法拟合矿山地表移动的非线性监测曲线,用R /S 分形时间序列对地表移动时间序列进行了状态演变分析,模拟并预测裂缝的变化与发展。结果表明,分形理论应用于地表移动的非线性数据分析,逼真地描述了地表移动的非线性特征,计算简便。

关键词:安全工程;地表移动;分形插值;非线性;预测;R /S 序列

中图分类号:TD327;T D325.2　文献标识码:A 文章编号:1001-0211(2004)02-0100-04

收稿日期:2003-06-10

作者简介:栾元重(1963-),男,山东龙口市人,教授,博士,主要从

事岩土工程技术研究;

矿山地表移动的GPS 实时动态监测表明:地下开采引起的地表变形具有强烈的非线性,表现在地表点下沉曲线呈非光滑形状,应用常规的数学模型

进行拟合分析与实际有较大差异。为此,从非线性理论入手,应用分形方法对地表点动态变形数据进行分形插值、预测与分形模拟及分形状态演变分析,较好地反映了地表变形的非线性形态,为矿山地表移动分析提供了新的工具。

1　地表移动的分形布朗运动描述

地下开采地表点A 的理论影响曲线与GPS 实

测变形曲线如图1所示。由图1可见,二者分布规律基本一致。克诺特教授认为,ab 段内煤层采空后,将使A 点产生下沉,又将ab 段分成几个长度Δx i ,A 点因开采Δx i 煤层所产生的最终下沉ΔW i 应与Δx i 成正比,即:ΔW i =f (x i )·Δx i ,式中f (x )为影响曲线。

研究表明f (x )具有高斯曲线的形状,即:f (x )=W max /r ·exp (-πx 2

/r 2

),式中r 为地表主要影响半径,W max 为地表最终下沉量。

根据f (x )曲线性质,通过开采边界a 和b 的纵坐标所截得的该曲线下的面积,图1中阴影部分,就是因采掘ab 间的煤层而引起点A 的下沉的最终下沉量,因此,ab 段开采A 点产生的下沉可表示为:W max =∫

f (x )d x 。

图1　A 点的理论影响曲线与实测变形曲线

F ig .1　Theoretic influencing curve and surveyed

deformation curve of point A

布朗运动可定义成一个下沉值的随机函数B (W )(W 为下沉矢量),其增量(或一次差分)B (W 2)-B (W 1)符合均值为零的高斯正态分布:Var [B (W 2)-B (W 1)]∝|W 2-W 1|2H

,式中

H =1/2。

将参数H 推广到(0,1),则随机函数B (W )为分维布朗运动,分维的维数为2-H ,B (W )的增量在统计上具有自相似性,且对于任意的W 0和r >0,存在B (W 0+W )-B (W 0)和1/r H

·[B (W 0+rW )-B (W 0)]有相同的分布。

可见,矿山地表移动符合分形的本构关系,可以用分形理论来描述其运动特征。

2　矿山地表移动分形预测方法

2.1　分形插值方法

一般情况下,测量得到的是离散的时间-下沉坐标数据。线性分形插值方法是利用已知坐标数据模拟整体函数图象的一种有效方法。

设观测数据坐标为{(x i ,y i )},i =(0,1,2,...,n ),x i ∈[x 0,x n ],y i ∈[a ,b ],找一个分形

第56卷　第2期2004年5月

有　色　金　属Nonferrous M etals Vol .

56,No .2 M ay 2004

插值函数f(x),使得f(x):|x0,x n|※[a,b]是

连续函数,且f(x i)=y i,对i=(0,1,2,...,n)定义:L i(x)=x i-1+(x i-x i-1)(x-x0)/(x n-x0);F(x,y)=b i x+Hy+k i,其中H为Hurst系数,b i=[y i-y i-1-H(y i-y0)]/(x n-x0);k i= y i-1-Hy0-b i x0),i∈{0,1,2,...,n}。

令T i(x,y)=[L i(x),F(x,y)],i=(0,1,2,…,n),则{T i(x,y)},i=(0,1,2,…,n)构成一迭代函数系,其吸引子是分形插值函数f(x)的图像。

压缩因子H i和插值点分布有关,压缩因子H i ∈(0,1)影响分形幅度波动大小,在各个子区间,通过选择不同的压缩因子,就可以控制分形曲线的“陡峭”和“平坦”。

2.2　分形预测方法

应用上面线性分形插值函数的思想,可以构造线性分形预测模型,有效地实现对未来观测沉降数据的预测。如果已经知道前(n+1)个时间-下沉坐标数据,因地表下沉曲线具有自相似结构,可得到此下沉数据对应的Hurst参数H,同时也可以估计出在第(n+2)时刻下沉数据值。由y(t)d= a-H y(at),t∈T,a≥0可得y i n+1=(x i/x n+ 1)-H y i,i=(0,1,2,...,n)。令y n+1=1/(n+ 1)∑y i n+1,i=(0～n)。

即取y n+1为{y i n+1,i=(0,1,2,…,n)}的统计平均值。于是得到坐标数据(x n+1,y n+1),通过插值可得定义域为[x n,x n+1]上的下沉数据。

2.3　应用说明

图(2)～图(4)所表现的是压缩标度因子分别为0,0.3和0.5条件下GPS下沉观测数据的分形插值与分形预测曲线图。图2为H等于0时分形插值曲线与实测值之间的比较,虚线为实测曲线,实线为分形插值曲线,粗实线为分形预测曲线,可以看到分形插值与分形预测吻合得相当好。这充分证明了对地表下沉进行分形预测的可行性。对0,0.3和0.5三个压缩因子值进行了比较,考虑到实际情况下地下开采中的诸多不确定因素,分形预测曲线即应具有一定的波动,这种波动又不能太大,因此选H= 0.3时的分形插值曲线为地表动态下沉量的预测曲线。分形插值与预测有如此高的精度,一方面反映了地表点下沉曲线确实具有较高的自相似性和良好的分形特征,完全可以用分形的方法加以研究。另一方面也说明分形插值与预测方法比传统插值方法

具有更高的优越性。

图2　H=0地表移动观测数据分形插值

与预测曲线

Fig.2　F ractal interpolation and prediction curve of ground displacement measurements as H=0

图3　H=0.3地表移动观测数据分形插值

与预测曲线

Fig.3　F ractal interpolation and prediction curve of ground displacement measurements as H=0.3

图4　H=0.5地表移动观测数据分形插值

与预测曲线

Fig.4　F ractal interpolation and prediction curve of ground displacement measurements as H=0.5

3　矿山损坏裂缝分形模拟方法

矿山开采引起的各类裂缝是一种典型的不规则图形,各类裂缝的动态模拟是开采损坏评价的基础,在以往的模拟中多采用各种规则几何图形逼近或通过收集大量的裂缝图形,建立图形库,在需要时调用的方法来模拟裂缝。缺点是不能描述裂缝的真实形状,在放大的情况下失去意义,存储数据量大,灵活性小、缺少随机性。

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第2期 栾元重等:矿山地表移动与变形的分形分析

试验测定证明,损坏裂缝具有分形的特征,分形维数测量采用盒维数方法,裂缝的分形维数与裂缝走向等关系不大,虽然裂缝的两端和中部稍有差异,但分形维数一般都在1.06～1.12之间。

开采损害裂缝模拟的分形数学模型采用前述的插值模型,在程序编写中增加了产生随机数一项,即randganssian ()正态分布随机序列函数。

损坏裂缝模拟包括几何尺寸输入、分形参数设定、视图设定。用以模拟裂缝的数据包括裂缝的起点和终点坐标、分形维数及其他一些随机参数,调整分形插值函数中垂直比例因子H 值可得到不同的分形维数值。对开采引起的建筑物的门、窗裂缝分形模拟如图5所示

。

图5　开采引起的建筑物的门、窗裂缝分形模拟

Fig .5　F ractal simulation of building fracture

for door and window caused by mining

由图5可见,分形插值模拟可很好模拟裂缝的发展,且只需存储裂缝起始和终点坐标及裂缝的分形维数,比以往的模拟方式可节约大量空间。适当引入随机参数,可获得比较好的模拟效果。

4　矿山地表移动状态演变R /S

分形分析方法

赫斯特在1965年提出R /S (rescaled ranec analy sis )时间序列分析方法,基本原理为:对于一个时间序列{ε(t )},t =1,2,…,定义其均值序列为<ε>r =1/τ∑ε(t ),t =1～r 。累积离差为X (t ,τ)=∑[ε(u )-<ε>r ](u =1～t ,1≤t ≤τ)。极差为R (τ)=max X (t ,τ)-min X (t ,τ),(1≤t ≤r ,t =1,2,…,)。标准差为S (τ)=

{1/τ∑[ε

(u )-<ε>r ]2}1/2,τ=1,2,…。赫斯特在分析R (τ)/S (τ)=R /S 的统计规律时发现

R /S ∝(τ/2)H 。

赫斯特曾证明,若{ε(t )}是相互独立的和方差有限的随机序列,则有H =1/2。当H >1/2时,这就意味着持久性,即所研究的时间序列不是相互独立的,而是具有持久性。用平均的观点看,过去一个增长趋势意味着将来的一个增长趋势,反之亦然,过程具有持久性,事物所处的状态不发生变化。当H <1/2时,过去的增量与未来的增量呈负相关,过程具有反持久性,即过去的一个增大趋势意味着未来的一个减少趋势,事物的状态发生向相反方向的转变。据此,R /S 分析在时间序列中有很强的预报作用。由分形理论,H 可看成极差和标准差的分维值。对于沉陷的变形监测数据,进行分时间段处理,将某一时间序列分为几段,分别计算各段的τ个极差和标准差,建立R /S 和τ的数据对,在log (R /S )和log (τ)的双对数图上找出直线段,拟合直线段的斜率即得位移分形维数D 值,从而求得H =2-D ,并

与1/2比较,判断地表移动演变状态。

前述的分形插值与地表下沉数据,从τ=10开始分组,第一组为(W 1,W 2,…,W 10),第二组为

(W 1,W 2,…,W 11),第三组为(W 1,W 2,…,W 12),…这样连续类推,计算出每组的R /S 值,并绘制成趋势曲线图。分形插值与地表下沉数据拟合方程为y =1.1892x -0.6342,相关系数为r =0.978,则H =1.1892,即H >1/2,说明该点的地表移动具有较强增长趋势,持续性明显,应继续加强观测,分析其状态演变,做到开采损害预报,减少地质灾害发生。

5　结论

综上所述,分形理论能够很好地描述地表移动的非线性性态,并做到预测与模拟及地表移动状态的分形演变判别,计算简捷,是很有实用价值的地表

移动规律分析方法。

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有　色　金　属 第56卷

Fractal Analysis of Ground Displacement and Distortion Resulted from Mining

L UAN Y uan -zhong 1,2,FAN Hong -yu 2(1.T ongji University ,Shanghai 200092;

2.Shandong University of Technology ,Taian 271019,Shandong ,China )

Abstract

The nonlinear monitoring curve of ground movement resulted from mining process is fitted by means of the

fractal interpolation method ,the state evolution on g round movement time series is analyzed by use of R /S (Rescaled Ranged Analysis )fractal time series ,the development of the damaged fracture is simulated and pre -dicted .The results show that fo r the adoption of fractal theory to the nonlinear data analysis of ground move -ment ,the no nlinear characteristic of ground movement is realistically described ,especially ,the calculation is simplified .

Keywords :safety engineering ;g round movement ;fractal interpolation ;nonlinearity ;prediction ;R /S se -ries

(上接第95页　Continued from p .95)

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Application of FNN to Mining Subsidence Prediction

BI Zhong -wei ,ZHAN G Z hi -jun ,DI NG De -xin

(Scho ol of Architectural Engineering Res ources and Env ironment ,Nanhua University ,Hengyang 421001,Hunan ,China )

Abstract

The mining subsidence prediction w ith combination of fuzzy inference and neural netw orks is investigated .Compared to the artificial neural w orks ,fuzzy neural netwo rks is mo re effective method ,the disadvantages of the artificial neural w orks such as limitation of local optimal and slow convergence rate are overcome ,and the subsidence data predicted is com pletely based on the objective proto type without hypothesis on primary data and geological condition .The results are the prediction only for the static mining subsidence ,the horizontal displace -ment and distortion of the ground are no t included in the prediction ,and the effect of the dynamic factors such as rate of stoping face on the prediction are not considered .

Keywords :safety engineering ;mining subsidence ;neural netwo rk ;fuzzy

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