第二讲：全等三角形(2)
第二讲：全等三角形(2)
例5.(角平分线)
(1)如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,过C作CE⊥AB于E,并且2AE=AB+AD,求∠ABC+∠ADC 的度数.
(2)如图,I是△ABC的内角平分线的交点,且CA+AI=BC,若∠BAC=80°,求∠ABC与∠AIB的度数.
例6.(与上题类似,有特殊角)如图,在△ABC中,∠ABC=60°,AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB.求证:AC=AE+CD
例7.(再来一个特殊角;要敢于想象)如图,在四边形ABCD中,∠ACB=∠BAD=105°,∠ABC=∠ADC=45°,若AB=2,求CD的长.
例8.(非常重要的一个基本图形)如图,点C在线段AB上,DA⊥AB,EB⊥AB,FC⊥AB,且DA=BC,EB=AC,FC=AB,∠AFB=51°,求∠DFE的度数.
12.2.1 全等三角形的判定.2.1全等三角形的判定教案
全等三角形的判定 教学目标： 1知识目标:掌握“边边边”条件的内容，并能初步应用“边边边”条件判定两个三角形全等. 2能力目标:使学生经历探索三角形全等条件的过程,体会如何探索研究问题,并初步体会分类思想,提高学生分析问题和解决问题的能力. 3思想目标:通过画图、比较、验证，培养学生注重观察、善于思考、不断总结的良好思维习惯。 教学重点、难点: 重点：利用边边边证明两个三角形全等 难点：探究三角形全等的条件 学情分析：学生刚刚学过等腰三角形的性质，对等腰三角形已经有了一定的了解和认识。初二学生在这个阶段逐渐在各方面开始成熟，思维深刻性有了明显提高，有着自己独特内心世界，有着独特认识问题和解决问题的思维方式。他们现在需要用强烈的荣誉感、成功感来激发学习热情，目前学生们已初步形成合作交流、勇于探索、敢于置疑的良好学风，学生间相互评价、相互学习、相互竞争的学习氛围较浓。教学过程 （一）复习提问 1、什么叫全等三角形？ 2、全等三角形有什么性质？
3 、若△ABC≌△DEF,点A与点D,点B与点E是对应点,试写出其中相等的线段和角. （二）新课讲解: 问题1：如图:在△ABC和△DEF中,AB=DE,BC=EF,AC=DF, ∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F,则△ABC和△DEF全等吗? 问题2:△ABC和△DEF全等是不是一定要满足AB=DE,BC=EF,AC=DF, ∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F这六个条件呢？若满足这六个条件中的一个、两个或三个条件,这两个三角形全等吗? 一个条件可分为：一组边相等和一组角相等 两个条件可分为：两个边相等、两个角相等、一组边一组角相等探究一： 1.只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等）。 ①只给一条边： ②只给一个角：
专题三----全等三角形判定的三种类型
专题三全等三角形判定的三种类型类型一：已知一边一角型 应用1 一次全等型 1、如图，在ΔABC中，BD=CD,∠1=∠2,求证：AD平分∠BAC. 2、如图，在ΔABC中，D是BC边上一点，连接AD，过点B作 BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，且 BE=CF。求证：AD是ΔABC的中线。
应用2 二次全等型 3、如图，∠C=∠D,AC=AD，求证：BC=BD 4、如图，D是ΔABC中BC边上一点，E是AD上一点，EB=EC,∠BAE=∠CAE.求证：∠ABE=∠ACE. 类型二已知两边型
应用1 一次全等型 5、如图，在RtΔABC中，∠ACB=90o,CA=CB,D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE=BD,BD的延长线与AE交于点F，度猜想BF与AE 的位置关系，并说明理由。 应用2 两次全等型 6、如图，AB=CB,AD=CD，E是BD上任意一点。求证：AE=CD
7、如图，∠BAC是钝角，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，且CD=BE。求证：∠ADC=∠AEB 类型三已知两角型
应用1 一次全等型 8、如图，已知∠BDC=∠CEB=90O，BE、CD交于点O,且AO平分∠BAC。求证：OB=OC. 应用2 两次全等型 9、如图，在ΔABC与ΔDCB中，AC与BD六于点E，且∠BAC= ∠CDB，∠ACB=∠DBC，分别延长BA与CD交于点F。求证： BF=CF。
添加辅助线之 倍长中线法 1. 1、如图，CB 是△AEC 的中线，CD 是△ABC 的中线，且 AB =AC ． 求证：①CE =2CD ；②CB 平分∠DCE ． 2. 如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E 是AD 上一点，BE =AC ，BE 的延长线交AC 于 点F ． 求证：∠AEF =∠EAF ． E D C B A F E D B A
全等三角形的性质及判定(讲义)
全等三角形的性质及判定（讲义） ? 课前预习 1. “完全重合”的意思是“形状相同、大小相等”，下列图形能够完全重合 吗，为什么？ ①把长方形纸片对折再沿折痕剪开，重叠放置后，任意剪下一个三角形，从而得到的两个三角形； ②三棱柱上下底面的两个三角形； ③学生用的含有30°角的三角板（带孔）中内外两个三角形； ④张贴在家中的世界地图和手机上的世界地图． ? 知识点睛 1. 由____________________的三条线段_________________所组成的图形叫做 三角形．三角形可用符号“________”表示． 2. _____________________的两个三角形叫做全等三角形，全等用符号 “_________”表示．全等三角形的__________相等，____________相等． 3. 全等三角形的判定定理：______________________________． ? 精讲精练 1. 如图，△ABC ≌△DEF ，对应边AB =DE ，______________，_________，对 应角∠B =∠DEF ，_________，__________． F E D C B A A C B 1 2 O 第1题图 第2题图 2. 如图，△ACO ≌△BCO ，对应边AC =BC ，______________，__________， 对应角∠1=∠2，____________，____________． 3. 如图，△ABC ≌△DEC ，对应边___________，__________，___________， 对应角_______________，_______________， ______________． 4. 如图，△ABC ≌△CDA ，对应边___________，__________，___________， 对应角_______________，_______________， ______________． E D C B A
全等三角形的性质及判定(经典讲义)
全等三角形的性质及判定 1、全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形． 2、全等三角形性质：（1）两全等三角形的对应边相等，对应角相等． （2）全等三角形的对应边上的高相等， 对应边上的中线相等， 对应角的平分线相等． （3）全等三角形的周长、面积相等． 3、全等三角形判定方法： （1）全等判定一：三条边对应相等的两个三角形全等（SSS ） （2）全等判定二：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA ） （3）全等判定三：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) （4）全等判定四：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS ） 专题一、全等图形的性质——全等图形的对应边（对应中线、角平分线、高线）、对应角、对应周长、对应面积相等 例题1：下列说法，正确的是（ ） A.全等图形的面积相等 B.面积相等的两个图形是全等形 C.形状相同的两个图形是全等形 D.周长相等的两个图形是全等形 例题2：如图1，折叠长方形ABCD ，使顶点D 与BC 边上的N 点重合，如果AD=7cm ，DM=5cm ，∠DAM=39°，则AN =____cm ，NM =____cm ，NAB ∠=. 【仿练1】如图2，已知ABC ADE ???，AB AD =，BC DE =，那么与BAE ∠相等的角是. 【仿练2】如图 3，ABC ADE ???，则AB= ，∠E= _．若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC= . 、 图4 E D C B A 图2 图3 M D N B C 图1
三角形全等的判定一（SSS ） 相关几何语言考点 ∵AE=CF ∵CM 是△的中线 ∴_____________( ) ∴____________________ ∴__________（） 或 ∵AC=EF ∴____________________ ∴__________（） AB=AB （ ） 在△ABC 和△DEF 中 ∵?? ? ??___________________________ ∴△ABC ≌△DEF （ ） 例1．如图，AB ＝AD ，CB ＝CD ．△ABC 与△ADC 全等吗？为什么？ 例２．如图，C 是AB 的中点，AD ＝CE ，CD ＝BE ． 求证△ACD ≌△CBE ． B F E C A F E D C B A C M B A B A
全等三角形的判定与性质专题训练
全等三角形判定与性质专题训练 一、全等三角形实际应用问题 1如图，要测量河两岸相对的两点A、B间的距离，先在过B点的AB的垂线L上取两点C、D，使CD=BC，再在过D点的垂线上取点E，使A、C、E在一条直线上，ED=AB这时，测ED的长就得AB得长，判定△ACB≌△ECD的理由是（） A. SAS B. ASA C. SSS D .AAS 2.如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（） A．PO B．PQ C．MO D．MQ
3、如图所示，将两根钢条AA′，BB′的中点O连在一起，使A A′，BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，则A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（）A、SSS B、SAS C、ASA D、HL 4、如图：工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在∠AOB的边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，得到∠AOB的平分线OP，做法中用到三角形全等的判定方法是（） A、SSS B、SAS C、ASA D、HL
5、如图，有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等，则这两个滑梯与地面的夹角∠ABC+∠DFE= 度 6、如图,小明把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是：( ) A 、带①去， B 、带②去 C 、带③去 D 、①②③都带去
二、证两次全等相关问题 1：如图：已知AB=AE，BC＝ED，∠B＝∠E，AF⊥CD，F为垂足,求证: CF＝DF
《全等三角形的判定1》教案
《全等三角形的判定1》教案 教学目标 1 知识目标: 掌握“边边边”条件的内容，并能初步应用“边边边”条件判定两个三角形全等. 2 能力目标: 使学生经历探索三角形全等条件的过程,体会如何探索研 究问题,并初步体会分类思想,提高学生分析问题和解决问题的能力. 3思想目标: 通过画图、比较、验证，培养学生注重观察、善于思考、不断总结的良好思维习惯。 教学重点、难点: 重点：利用边边边证明两个三角形全等 难点：探究三角形全等的条件 教学过程 （一）复习提问 1、什么叫全等三角形？ 2、全等三角形有什么性质？ 3、若△ ABC DEF,点A与点D,点B与点E是对应点，试写出其中 相等的线段和角. （二）新课讲解: 问题1:如图:在厶ABC 和厶DEF 中,AB=DE,BC=EF,AC=DF, ∠ A=
∠ D, ∠ B= ∠ E, ∠ C= ∠尸则厶ABC和厶DEF全等吗 问题2: △ ABC 和厶DEF全等是不是一定要满足 AB=DE,BC=EF,AC=DF, ∠ A= ∠ D, ∠ B= ∠ E, ∠ C= ∠ F 这六个条件呢？若满足这六个条件中的一个、两个或三个条件，这两个三角形全等吗？ 一个条件可分为：一组边相等和一组角相等 两个条件可分为：两个边相等、两个角相等、一组边一组角相等 探究一: 1.只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等） ①只给一条边: 2?给出两个条件: ①一边一内角： ②只给一个角:
两个三角形若满足这六个条件中的三个条件能保证它们全等吗？ 满足三个条件有几种情形呢？ 3.给出三个条件 三个条件可分为：三条边相等、三个角相等、两角一边相等、两边一 角相等 例：画△ ABC,使 AB=2,AC=3,BC=4 画法:1画线段BC=4 2分别以A 、B 为圆心，以2和3为半径作弧，交于点C 则厶ABC 即为所求的三角形 ②两内角: 内 角
12.2全等三角形的判定(3)ASA和AAS教案
课时教案 课题§全等三角形的判定（3）——ASA和AAS 教材分析1．本节的主要内容是探索三角形全等的条件，及利用全等三角形进行证明．2．为了让学生经历一个完整地探索三角形全等的过程，教科书给了两个探究。探究一让学生从满足六个条件中的一个或两个入手，探究在这样的情形下能否保证两个三角形全等.从探究二开始让学生探究满足六个条件中的三个能否保证两个三角形全等，本次课主要探究ASA的情形. 学情% 分析 学生刚刚认识了全等三角形以及全等三角形的性质，对判定两个三角形全等暂时还不太熟悉，所以让孩子们通过自己的探究来得出两个角和一条边对应相等，两三角形全等的结论还是非常有必要的. 重点ASA，AAS 难点ASA，AAS的理解与灵活应用 教学方法1．教师教法：启发式引导发现法． % 2．学生学法：独立思考，主动发现． 教学内容及过程 教学环节教学内容学习内容设计意图 复习回顾$ 1.什么是全等三角形 2.判定两个三角形全等要具备什么条件 边边边（SSS） 边角边（SAS） * 思考：如果两个三角形中只有一组对应 边相等，那么还需要什么条件能够判断 两个三角形全等呢 问题1：如果已知一个三角形的两角及 一边，那么有几种可能的情况呢 角边角（ASA） 角角边（AAS） ^ ! 设置情境引入课题探究1：一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了（如下图），你能制作一张与原来同样大小的新教具吗能恢复原来三 角形的原貌吗 … 、
分析问题 探究新知 ￥ | 分析问题 》 探究新知探究1反映的规律是： 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. (可以简写成“角边角”或“ASA”） 用数学符号表示: ) ） |
全等三角形的判定1练习题
全等三角形的判定（SSS） 1．如图，若AB=CD,AC=DB，能够判定哪两个三角形全等？说明理由 2．如图，△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，∠B与∠C有什么关系？试说明。 3．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，则AB和DE有怎样的位置关系？推理说明。 4．如图，已知AB=AC，AD=AE，BD=EC。图中有几对三角形全等？用推理说明。 5．如图，已知AB=CD，BE=DF，AF=CE，则AB与CD有怎样的位置关系？ 6．如图，已知AB=CD，AD=CB。则AB与CB，AD与CB有怎样的位置关系？
7．如图，AC=AD，BC=BD，∠1=35o，∠2=65o，求∠C 8．如图，AB=AD，BC=DC，∠BAD=64o，求∠DAC 9．如图，AC=DF，BC=EF，AD=BE，∠BAC=80o，∠F=60o，求∠ABC 10.如图，AB=CD，AE=DF，BF=CE，试判断AB与CD，AE与FD的位置关系。 11.如图，AB=AC，BE=CE，说明AD平分∠BAC
12.如图，△ABC中，AD=AE，BE=CD，AB=AC，说明△ABD≌△ACE 13.如图，AC=DB，要使△ABC≌△DCB，只要增加一个条件是： 14.如图，已知AC，BD相交于O，AB=DC，AC=DB，说明∠A=∠D 15.如图，在△ABC中AB=AC，∠B与∠C相等吗？说明理由。你还有发现吗？ 16.如图，已知AB=AC，BD=DC，则∠B与∠C是什么关系？为什么？
∠BDC与∠A，∠B，∠C又有什么时候关系？ 17．已知AB=AD，DC=CB，则∠B与∠D是什么关系？ 18．已知AB=CD，AD=BC，则直线AB，CD有什么位置关系？为什么？ 19．如图，△ABC中AB=AC，AD是△ABC的中线，问AD还是三角形的什么线？为什么？ 20.如图，已知AB=DC，AC=DB，说明∠1=∠2
全等三角形二次全等证明
全等三角形两次全等证明 1.已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DF⊥AB于F，DE⊥AC于 E． 求证：△BDF≌△CDE． 2.已知：如图，点A，E，F，C在同一直线上，AE=CF，过点E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC， 连接AB，CD，BD，BD交AC于点G，AB=CD． 求证：△DEG≌△BFG． 3.已知：如图，在Rt△ACD中，∠ADC=90°，BE⊥AC于E，交CD于点F，AE=AD． 求证：△CEF≌△BDF．
4.已知：如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，BD平分∠ABC，E为BD上任意一点，连接AE，CE． 求证：△ADE≌△CDE． 5.已知：如图，在△ABC中，∠ACB=∠ABC=60°，∠EDF=60°，BD=CD，∠DBC=∠DCB=30°，∠BDC=120°，延长AC到点G，使CG=BE． 求证：△EFD≌△GFD． 6已知：如图，点A，C在直线EF上，BC=AD，AB=CD，AE=CF． 求证：∠E=∠F．
7.已知，如图，AE=BF，AD=BC，CE=DF． 求证：AO=BO． 8、已知：如图，∠D=∠E，AM=ME=CN=DN．试猜想AB和BC的数量关系，并证明你的猜想． 9.已知：如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E，DF=DE． 求证：AB=AC．
10.如图，在正方形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=CD=AD．E为BC边上一点，且AE=DE，AE与对角线BD交于点F，∠ABF=∠CBF，连接CF交DE于点G． 求证：DE⊥CF． 11.已知：如图，在等边△ABC中，∠C=∠ABD=60°，AB=BC=AC，点D，E分别为BC，AC边上一点且AE=CD，连接AD，BE相交于点F． 求证：∠1=∠2． 12.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是AB上一点，且BE=BC，过E作DE⊥AB交
全等三角形二次全等典型习题
1. 已知：如图，点C 为线段AB 上一点，△ACM ，△CBN 是等边三角形，AM AC CM ，BC CN BN ，∠ACM ∠BCN 60°，连接AN 交CM 于点E ，连接BM 交CN 于点F ． 求证：①△CAN ≌△CMB ；②△CEN ≌△CFB ． / ） 2. 已知：如图，在正方形ABCD 中，AD AB ， ∠D ∠DAB=∠ABC 90°，E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且∠EAF 45°， 延长CB 到点G ，使BG DE ，连接EF ，AG ． 求证：①△ADE ≌△ABG ；②△AFE ≌△AFG ． … ？ 第1题图 N M C F E B F D E C B A G 第2题图
3. 已知：如图，∠A ∠D 90°，BE EC ．求证：△ABC ≌△DCB ． ! ！ 4. 已知：如图，点A ，E ，F ，C 在同一直线上，AE CF ，过E ，F 分别作DE ⊥ AC ，BF ⊥AC ，连接AB ，CD ，BD ，BD 交AC 于点G ．若AB CD ，求证：△DEG ≌△BFG ． ， 5. ） 6. 已知：如图，AB ，CD 相交于点O ，AO BO ，CO DO ，过点O 作EF 交AC 于 点E ，交BD 于点F ．求证：OE OF ． ~ 第4题图 A D E G B C F A D E B C 第3题图 第5题图 A D E O B C F
7. 已知：如图，AB AC ，BD DC ，AD 与BC 交于点O ． 求证：AD ⊥BC ． 】 ; 8. 已知：如图，在△ABC 中，点D 是BC 的中点，DF ⊥AB ，DE ⊥AC ，垂足分别是 F ，E ，DF DE ，试猜想AB 和AC 的数量关系，并证明你的猜想． } 9. 已知：如图，AB AE ，BC ED ，∠B ∠E ，F 是CD 中点， 求证：AF ⊥CD ． ; ） 1．已知：如图，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，CF ⊥AD 于F ，且BC ＝DC ．试猜想 BE 与DF 有怎样的数量关系并说明理由． 第7题图 A D E B C F 第6题图 A D O B C 第8题图 A D B C F
全等三角形各种判定
全等三角形各种判定-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
F E D C B A １．三角形全等的判定一（SSS ） 1．如图，AB ＝AD ，CB ＝CD ．△ABC 与△ADC 全等吗为什 么 ２．如图，C 是AB 的中点，AD ＝CE ，CD ＝BE ． 求证△ACD ≌△CBE ． ３．如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AB =DE ， AC =DF ， BE =CF ． 求证∠A =∠D ． ４．已知，如图，AB=AD ，DC=CB ．求证：∠B=∠D 。 ５．如图, AD ＝BC, AB ＝DC, DE ＝BF. 求证：BE ＝DF. C A A C E A D C B
２．三角形全等的判定二（SAS） 1．如图，AC和BD相交于点O，OA=OC，OB=OD．求证DC∥AB． 2．如图，△ABC≌△A B C '''，AD，A D''分别是△ABC，△A B C '''的对应边上的中线，AD与A D''有什么关系证明你的结论． 3．如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD，试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明你的结论． 4．已知：如图，AD∥BC，AD=CB，求证：△ADC≌△CBA． 5．已知：如图AD∥BC，AD=CB，AE=CF。求证：△AFD≌△CEB． 6．已知，如图，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2。求证：△ABD≌△ACE． A C D B A E B C F D A B C D A
H F E D C B A 7．已知:如图,点B,E,C,F 在同一直线上,AB ∥DE,且AB=DE,BE=CF. 求证:AC ∥DF ． 8．已知:如图,AD 是BC 上的中线 ,且DF=DE ．求证:BE ∥CF ． 9．如图, 在△ABC 中, 分别延长中线BE 、CD 至F 、H, 使EF ＝BE, DH ＝CD, 连结AF 、AH ． 求证：(1) AF ＝AH ； (2)点A 、F 、H 三点在同一直线上； (3)HF ∥BC. 10．如图, 在△ABC 中, AC ⊥BC, AC ＝BC, 直线EF 交AC 于F, 交AB 于E, 交BC 的延长线于D, 连结AD 、BF, CF ＝CD. 求证：BF ＝AD, BF ⊥AD. 11．证明：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线对应相等，那么这两个三角形全等．（提示：首先分清已知和求证，然后画出图形，再结合图形用数学符号表示已知和求证） A B E F
初中数学--全等三角形专项训练——多次全等
】 Q P C B ， M Q 全等三角形专项训练（2）——多次全等 一、知识回顾： 全等三角形的5种判定方法都必须有____组元素的相等关系，与判定方法相对应的_______、________不能用来判定三角形的全等关系. 二、同步练习 1. 下列三角形中,能全等的是 (1)一腰和顶角对应相等的两个等腰三角形；(2)一腰和一个角分别相等的两个 等腰三角形；(3)有两边分别相等的两个直角三角形；(4)两条直角边对应相等的两个直角三角形 ； A.(1)(3) B.(2)(4) C.(1)(4) D.(1)(3)(4) ( 2．如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，要使△ABD ≌△ACD ，若根据“HL ”判定，还需要加条件_______，若加条件∠B ＝∠C ，则可用_______判定． 3．如图，AD ＝AE ，BE ＝CD ，∠1＝∠2＝100°，∠BAE ＝60°，那么∠CAE ＝_______． 4．如图，∠A ＝∠E ，AC ⊥BE ，AB ＝EF ，BE ＝10．CF ＝4，则AC ＝_______． 5．如图，BD 是∠ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E ，△ABC 的面积是30cm 2，AB ＝18cm ，BC ＝12cm ，则DE ＝__________cm ． 6．如图，有一个直角三角形ABC ，∠C=90°，AC=10cm ，BC=5cm ，射线AM 垂直AC ，P 、Q 两点分别在AC 上和射线AM 上运动（P 点能与A ，C 重合），且PQ 始终等于AB.问P 点运动到 位置时， △ABC 才能和△QPA 全等. 三、例题解析 例1 已知：∠1＝∠2，∠3＝∠4，试说明DB ＝DC. > ! ) 例2 如图，AB 、CD 相交于点O ，∠A ＝∠C ，EO ＝FO ，∠1＝∠2，试说明；DO ＝BO. ( 、 A C D B 《 4 1 2 3 A C O 2 1 F E
经典全等三角形各种判定(提高版)
H F E D C B A F E D C B A １．三角形全等的判定一（SSS ） 1．如图，AB ＝AD ，CB ＝CD ．△ABC 和△ADC 全等吗？为什么？ ２．如图，C 是AB 的中点，AD ＝CE ，CD ＝BE ． 求证△ACD ≌△CBE ． ３．如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AB =DE ，AC =DF ， BE =CF ． 求证∠A =∠D ． ４．已知，如图，AB=AD ，DC=CB ．求证：∠B=∠D 。 ５．如图, AD ＝BC, AB ＝DC, DE ＝BF. 求证：BE ＝DF. ２．三角形全等的判定二（SAS ） 1．如图，AC 和BD 相交于点O ，OA =OC ，OB =OD ．求证DC ∥AB ． 2．如图，△ABC ≌△A B C '''，AD ，A D ''分别是△ABC ，△A B C '''的对应边上的中线，和A D ''有什么关系？证明你的结论． 3．如图，已知AC ⊥AB ，DB ⊥AB ，AC ＝BE ，AE ＝BD ，试猜想线段CE 和DE 的大小和 位置关系，并证明你的结论． 4．已知：如图，AD ∥BC ，AD=CB ，求证：△ADC ≌△CBA ． 5．已知：如图AD ∥BC ，AD=CB ，AE=CF 。求证：△AFD ≌△CEB ． 6．已知，如图，AB=AC ，AD=AE ，∠1=∠2。求证：△ABD ≌△ACE ． 7．已知:如图,点B,E,C,F 在同一直线上,AB ∥DE,且AB=DE,BE=CF. 求证:AC ∥DF ． 8．已知:如图,AD 是BC 上的中线 ,且DF=DE ．求证:BE ∥CF ． 9．如图, 在△ABC 中, 分别延长中线BE 、CD 至F 、H, 使EF ＝ BE, DH ＝CD, 连结AF 、AH ． 求证：(1) AF ＝AH ； (2)点A 、F 、H 三点在同一直线上； (3)HF ∥BC. 10．如图, 在△ABC 中, AC ⊥BC, AC ＝BC, 直线EF 交AC 于F, 交 AB 于E, 交BC 的延长线于D, 连结AD 、BF, CF ＝CD. 求证：BF ＝AD, BF ⊥AD. 11．证明：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线对应相等，那么这两个三角形全 等．（提示：首先分清已知和求证，然后画出图形，再结合图形用数学符号表示已知和求证） 12．证明：如果两个三角形有两条边和第三边上的中线对应相等，那么这两个三角形全等． 13.已知：如图，正方形ABCD ，BE =CF ，求证：(1)AE =BF ； （2）AE ⊥BF . 14．已知：E 是正方形ABCD 的边长AD 上一点，BF 平分∠EBC ， 交CD 于F ，求证BE=AE+CF.（提示：旋转构造等腰） 15.如图,△ABD 和△ACE 是△ABC 外两个等腰直角三角形,∠BAD=∠CAE=900.（1）判断CD 和BE 有怎样的数量关系;（2）探索DC 和BE 的夹角的大小.（3）取BC 的中点M ，连MA ，探讨MA 和DE 的位置关系。 C D A B D A C B E A C E D B A E B C F D A B C D 2 A C B E D 1 A B C D E F A D E F G F E D C A B A D C
全等三角形的判定1 优秀教学设计
三角形全等的判定（一） 【课题】：三角形全等的判定（一）(平行班) 【教学目标】： （1）知识与技能目标：了解三角形的稳定性，会应用“边边边”判定两个三角形全等．（2）过程与方法目标：经历探索“边边边”判定全等三角形的过程，解决简单的问题。（3）情感与态度目标：培养有条理的思考和表达能力，形成良好的合作意识。 【教学重点】：掌握“边边边”判定两个三角形全等的方法 【教学难点】：理解证明的基本过程，学会综合分析法 【教学突破点】：掌握图形特征，寻找适合条件的两个三角形 【教法、学法设计】：合作探究式分层次教学，讲授、练习相结合。 【课前准备】：课件
(图1) 如图1,AB=DE,BC=EF,AC=DF,证明△ABC≌△DEF 如下图，AC=EF，BC=DE，AD=BF，证明△ABC≌△FDE（提示：AD+BD=BF+BD 采取师生互动的形式完成。 即：学生谈本节课的收获，教师适当的补充、概括，以本节知识目 标的要求进行把关，确保基础知识的当堂落实。 课后练习： 1、如图1，在△ABC中，AD=ED，AB=EB，BD是△ABD和△EBD的边，∠A=80°，则（1）依据
边边边 可判断图中的 △ABD ≌ △EBD ；（2）这时，∠BED= 80° 。 2、如图2，AB=DB ，BC=BE ，要使△AEB ≌△DCB ，则需增加的条件是（ C ）。 （A ）AB=BC （B ）AC=CD （C ）AE=DC （D ）AE=AC 3、如图3，直角三角形ABC 沿直角边BC 所在直线向右平移得到△DEF ，下列结论中错误的是（ D ）。 （A ）△AB C ≌△DEF （B ）∠DEF =90° （C ）A C=DF （D ）EC=CF 4、如图4，小明做了一个如图所示的风筝，测得DE=DF ，EH=FH ，求证：△DEH ≌△DFH 。 （由DE=DF ，EH=FH ，DH=DH 得△DEH ≌△DFH ） 5、如图5 ，AB=DF ，AC=DE ，BE=CF ，BC 与EF 相等吗？?你能找到一对全等三角形吗？说明你的理由． （△ABC ≌△ DFE ，理由是：AB=D ，AC=DE ，BC=FE ） 6、如图6，在五边形ABCDE 中，AB=AE ，BC=ED ，AC=AD ，求证：∠B=∠E 。 （由AB=AE ，BC=ED ，AC=AD 得△ABC ≌△AED ，所以∠B=∠E ） ，BE=CF ，B 、E 、F 、C 在同一条直线 上，求证：AB ∥CD 。 证明：∵BE=CF ∴BF=CE 又∵AB=DC AF=DE ∴△ABF ≌△DCE ∴∠B=∠C ∴AB ∥CD 7、如图8，已知AD=BC ，AB=CD ，试说明：∠B=∠D 。 证明：连结AC ∵AD=BC AB=CD AC=AC ∴△ABC ≌△CDA ∴∠B=∠D 9、已知：如图，AD=BC ，AB=DC ，求证：∠A=∠C 图5
【精品】八年级上册数学 全等三角形(角度转化问题_二次全等问题)
三角形三边关系问题（注意分类讨论） 例题1：(1)已知等腰三角形的一边等于8cm，一边等于6cm，求它的周长． (2)一个等腰三角形的周长为30cm，一边长为6cm，求其它两边的长． (3)有两边相等的三角形的周长为12cm，一边与另一边的差是3cm，求三边的长．例题2：(1)若三角形三条边的长分别是7，10，x，求x的范围． (2)若三边分别为2，x－1，3，求x的范围． (3)若三角形两边长为7和10，求最长边x的范围． (4)等腰三角形腰长为2，求周长l的范围．
三角形内角和定理与外角定理（计算角度问题时，有些情况可以用方程思想去解答） 例题1：(1)△ABC中，若∠A＋∠C＝2∠B，则∠B＝______． (2)△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则∠A＝______，∠B＝______，∠C＝______． (3)△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则它们的相应邻补角的比为______． 例题2：如图，直线a∥b，则∠A＝______度． 例题3：已知：如图，DE⊥AB，∠A＝25°，∠D＝45°，则∠ACB＝______． 拓展题：已知：如图，O是△ABC内一点，且OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB． (1)若∠A＝46°，求∠BOC； (2)若∠A＝n°，求∠BOC； (3)若∠BOC＝148°，利用第(2)题的结论求∠A．
角度转化问题 1．已知：如图，AB⊥AE，AD⊥AC，∠E＝∠B，DE＝CB． 求证：AD＝AC． 2．已知：如图，AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC． 求证：BD＝CE． 3．已知：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ． 求证：HN＝PM. 4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF， E、F为垂足．当直线l不与底边AB相交时，求证：EF＝AE＋BF．
全等三角形证明方法归纳经典(1)
【第1部分 全等基础知识归纳、小结】 1、全等三角形的定义： 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。两个全等三角形中， 互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。 概念深入理解： （1）形状一样，大小也一样的两个三角形称为全等三角形。（外观长的像） （2）经过平移、旋转、翻折之后能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。（位置变化） 2、全等三角形的表示方法：若△ABC 和△A′B′C′是全等的，记作“△ABC ≌△A′B′C′”其中，“≌”读作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 3、全等三角形的性质： 全等是工具、手段，最终是为了得到边等或角等，从而解决某些问题。 （1）全等三角形的对应角相等、对应边相等。 （2）全等三角形的对应边上的高，中线，角平分线对应相等。 （3）全等三角形周长，面积相等。 4、寻找对应元素的方法 （1）根据对应顶点找 如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。 （2）根据已知的对应元素寻找 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； 图 3 图 1 图2
（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。 通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的；运动一般有3种：平移、对称、旋转； 5、全等三角形的判定：（深入理解） ①边边边（SSS）②边角边（SAS）③角边角（ASA）④角角边（AAS） ⑤斜边，直角边（HL） 注意：（容易出错） （1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等（边定全等）； （2）不能证明两个三角形全等的是，㈠三个角对应相等，即AAA；㈡有两边和其中一角对应相等，即SSA。 全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。 6、常见辅助线写法：（照着辅助线说明要能做出图、养成严谨、严密的习惯） 如：⑴过点A作BC的平行线AF交DE于F ⑵过点A作BC的垂线，垂足为D ⑶延长AB至C，使BC＝AC ⑷在AB上截取AC，使AC＝DE ⑸作∠ABC的平分线，交AC于D ⑹取AB中点C，连接CD交EF于G点 同一条辅助线，可以说法不一样，那么得到的条件、证明的方法也不同。
全等三角形判定二(基础)知识讲解
全等三角形判定二（SAS ）（基础） 责编：康红梅 【学习目标】 1．理解和掌握全等三角形判定方法4——“边角边”； 2．能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等. 3. 探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式； 【要点梳理】 【高清课堂：379109 全等三角形判定一，基本概念梳理回顾】 要点一、全等三角形判定4——“边角边” 1. 全等三角形判定4——“边角边” 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）. 要点诠释：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 要点二、判定方法的选择 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS 要点三、如何选择三角形证全等 1.可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；
2.可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； 3.由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； 4.如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 要点四、全等三角形证明方法 全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法. 1．证明线段相等的方法： (1) 证明两条线段所在的两个三角形全等. (2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等. (3) 等式性质. 2．证明角相等的方法： (1) 利用平行线的性质进行证明. (2) 证明两个角所在的两个三角形全等. (3) 利用角平分线的判定进行证明. (4) 同角（等角）的余角（补角）相等. (5) 对顶角相等. 3．证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法； 可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明. 4．辅助线的添加: (1)作公共边可构造全等三角形； (2)倍长中线法； (3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形； (4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形. 5. 证明三角形全等的思维方法: （1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件. （2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件. （3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质. 【典型例题】 类型一、全等三角形的判定4——“边角边” 1、已知：如图，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2． 求证：BC＝DE． 【思路点拨】由条件AB＝AD，AC＝AE，需要找夹角∠BAC与∠DAE，夹角可由等量代换证得
全等三角形二次全等典型习题
1. 已知：如图，点C 为线段AB 上一点，△ACM ，△CBN 是等边三角形， AM =AC =CM ，BC =CN =BN ，∠ACM =∠BCN =60°，连接AN 交CM 于点E ，连接BM 交CN 于点F ． 求证：①△CAN ≌△CMB ；②△CEN ≌△CFB ． 2. 已知：如图，在正方形ABCD 中，AD =AB ， ∠D =∠DAB=∠ABC =90°，E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且∠EAF =45°，延长CB 到点G ，使BG =DE ，连接EF ，AG ． 求证：①△ADE ≌△ABG ；②△AFE ≌△AFG ． 3. 已知：如图，∠A =∠D =90°，BE =EC ．求证：△ABC ≌△DCB ． 第1题图 N M C F E B F D E C B A G 第2题图
4. 已知：如图，点A ，E ，F ，C 在同一直线上，AE =CF ，过E ，F 分别作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，连接AB ，CD ，BD ，BD 交AC 于点G ．若AB =CD ，求证：△DEG ≌△BFG ． 5. 已知：如图，AB ，CD 相交于点O ，AO =BO ，CO =DO ，过点O 作EF 交AC 于点E ，交BD 于点F ．求证：OE =OF ． 6. 已知：如图，AB =AC ，BD =DC ，AD 与BC 交于点O ． 求证：AD ⊥BC ． 第4题图 A D E G B C F 第6题图 A D O B C 第5题图 A D E O B C F
7. 已知：如图，在△ABC 中，点D 是BC 的中点，DF ⊥AB ，DE ⊥AC ，垂足分 别是F ，E ，DF =DE ，试猜想AB 和AC 的数量关系，并证明你的猜想． 8. 已知：如图，AB =AE ，BC =ED ，∠B =∠E ，F 是CD 中点， 求证：AF ⊥CD ． 1．已知：如图，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，CF ⊥AD 于F ，且BC ＝DC ．试猜想BE 与DF 有怎样的数量关系？并说明理由． A B C E F D 12 第7题图 A D E B C F 第8题图 A D B C F
全等三角形的判定教学设计 (3)
11.2 三角形全等的判定（一） 【课题】：三角形全等的判定（一）(平行班) 【教学时间】：45分钟 【学情分析】：《三角形全等的判定一》是人教版《数学》八年级上册第二章《全等三角形》中的第二节，同时也是教科书把研究三角形全等条件重点放在第一个条件（“边边边”条件）上，使学生以“边边边”条件为例，理解什么是三角形的判定，怎样判定。在掌握了“边边边”条件的基础上，使学生学会怎样运用“边边边”条件进行推理论证，怎样正确地表达证明过程。“边边边”条件掌握好了，再学习其他条件就不困难了。 学生在前面学习了一些图形的有关知识，对图形已有一定的认识，也有了一定的研究图形的方式方法，并初步具备了合作交流、敢于探究与实践的良好习惯，敢想他人之所未想，敢说他人之所未说，敢做他人之所未做，学生间互相提问，相互评价，相互补充的互动气氛较浓。 怎样上好第一堂课呢？由于每位教师对数学的理解不同，而且每位教师对学生的把握也存在差异，因此不同的教师对第一堂课的设计就会有不同的观念，因而也就有不同的处理方式。三角形全等条件不是直接给出的，而是通过我们老师引导，让学生画出与已知三角形某些元素对应相等的三角形，画完后，再剪剪量量，在这个基础上启发学生想一想，判定两个三角形全等需要什么条件。这样让学生自己动手画图实验，就会对相关结论印象深刻。将三角形的画法与三角形全等条件的探索相结合，比单独讲三角形的画法效果好，单讲容易单调枯燥。 希望在上节课成功的基础上，这节课继续调动学生的积极性，尤其是基础差的学生。 【教学目标】： （1）知识与技能目标：了解三角形的稳定性，会应用“边边边”判定两个三角形全等． （2）过程与方法目标：经历探索“边边边”判定全等三角形的过程，解决简单的问题。 （3）情感与态度目标：培养有条理的思考和表达能力，形成良好的合作意识。 【教学重点】：掌握“边边边”判定两个三角形全等的方法 【教学难点】：理解证明的基本过程，学会综合分析法 【教学突破点】：掌握图形特征，寻找适合条件的两个三角形 【教法、学法设计】：合作探究式分层次教学，讲授、练习相结合。 【课前准备】：课件 教学 环节 教学活动设计意图 一、复习旧知识1、请一位同学叙述上一节所学的知识。 2、如图3所示，△AOC≌△BOD，∠A和∠B，?∠C?和∠D?是对应角， ?那么对应边CO=____，AO=_____， AC=______，对应角∠COA=______． 3、你是如何来识别两个三角形全等的？ 通过旧知识 的回顾，让学 生对三角形全 等认识更清 楚。提出问题， 让学生尝试找 出三角形全等 的方法。