【初中数学】2015年四川省成都市中考数学试卷(解析版 ) 人教版

2015年四川省成都市中考数学试卷

一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)

1.(3分)(2015?成都)﹣3的倒数是()

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A.﹣B.C.﹣3 D.3

考点:倒数.

分析:根据倒数的定义,若两个数的乘积是1,我们就称这两个数互为倒数.

解答:解:∵﹣3×(﹣)=1,

∴﹣3的倒数是﹣.

故选:A.

点评:主要考查倒数的概念及性质.倒数的定义:若两个数的乘积是1,我们就称这两个数互为倒数,属于基础题.

2.(3分)(2015?成都)如图所示的三视图是主视图是()

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A.B.C.D.

考点:简单几何体的三视图.

分析:根据原图形得出其主视图,解答即可.

解答:解:A、是左视图,错误;

B、是主视图,正确;

C、是俯视图,错误;

D、不是主视图,错误;

故选B

点评:此题考查三视图,关键是根据图形得出其三视图.

3.(3分)(2015?成都)今年5月,在成都举行的世界机场城市大会上,成都新机场规划蓝图首次亮相,新机场建成后,成都将成为继北京、上海之后,国内第三个拥有双机场的城市,

按照远期规划,新机场将建的4个航站楼的总面积约为126万平方米,用科学记数法表示为()

A.126×104B.1.26×105C.1.26×106D.1.26×107

考点:科学记数法—表示较大的数.

分析:科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.

解答:解:将126万用科学记数法表示为1.26×106.

故选C.

点评:此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

4.(3分)(2015?成都)下列计算正确的是()

A.a2+a2=a4B.a2?a3=a6C.(﹣a2)2=a4D.(a+1)2=a2+1

考点:完全平方公式;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方.

分析:根据同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方和完全平方公式计算即可.

解答:解:A、a2+a2=2a2,错误;

B、a2?a3=a5,错误;

C、(﹣a2)2=a4,正确;

D、(a+1)2=a2+2a+1,错误;

故选C.

点评:此题考查同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方和完全平方公式,关键是根据法则进行计算.

5.(3分)(2015?成都)如图,在△ABC中,DE∥BC,AD=6,DB=3,AE=4,则EC的长为()

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A.1 B.2C.3D.4

考点:平行线分线段成比例.

分析:根据平行线分线段成比例可得,代入计算即可解答.

解答:解:∵DE∥BC,

∴,

即,

解得:EC=2,

故选:B.

点评:本题主要考查平行线分线段成比例,掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键.

6.(3分)(2015?成都)一次函数y=2x+1的图象不经过()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

考点:一次函数图象与系数的关系.

分析:根据k,b的取值范围来确定图象在坐标平面内的位置.

解答:解:∵一次函数y=2x+1中的2>0,

∴该直线经过第一、三象限.

又∵一次函数y=2x+1中的1>0,

∴该直线与y轴交于正半轴,

∴该直线经过第一、二、三象限,即不经过第四象限.

故选:D.

点评:本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系.解答本题注意理解:直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系.k>0时,直线必经过一、三象限.k<0时,直线必经过二、四象限.b>0时,直线与y轴正半轴相交.b=0时,直线过原点;b<0时,直线与y轴负半轴相交.

7.(3分)(2015?成都)实数a,b在数轴上对应的点的位置如图所示,计算|a﹣b|的结果为()

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A.a+b B.a﹣b C.b﹣a D.﹣a﹣b

考点:实数与数轴;绝对值.

分析:根据绝对值的意义:非负数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数.同时注意数轴上右边的数总大于左边的数,即可解答.

解答:解:由数轴可得:a<0<b,|a|>|b|,

∴a﹣b<0,

∴|a﹣b|=﹣(a﹣b)=b﹣a,

故选:C.

点评:此题主要考查了实数与数轴的之间的对应关系及绝对值的化简,应特别注意:根据点在数轴上的位置来正确判断出代数式的值的符号.

8.(3分)(2015?成都)关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是()

A.k>﹣1 B.k≥﹣1 C.k≠0 D.k<1且k≠0

考点:根的判别式;一元二次方程的定义.

分析:在判断一元二次方程根的情况的问题中,必须满足下列条件:(1)二次项系数不为零;(2)在有不相等的实数根时,必须满足△=b2﹣4ac>0

解答:解:依题意列方程组

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解得k<1且k≠0.

故选D.

点评:本题考查了一元二次方程根的判别式的应用.切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件.

9.(3分)(2015?成都)将抛物线y=x2向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的抛物线的函数表达式为()

A.y=(x+2)2﹣3 B.y=(x+2)2+3 C.y=(x﹣2)2+3 D.y=(x﹣2)2﹣3

考点:二次函数图象与几何变换.

分析:先确定抛物线y=x2的顶点坐标为(0,0),再根据点平移的规律得到点(0,0)平移后所得对应点的坐标为(﹣2,﹣3),然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式.

解答:解:抛物线y=x2的顶点坐标为(0,0),把点(0,0)向左平移1个单位,再向下平移2个单位长度所得对应点的坐标为(﹣2,﹣3),所以平移后的抛物线解析式为y=(x+2)2﹣3.

故选:A.

点评:本题考查了二次函数图象与几何变换:由于抛物线平移后的形状不变,故a不变,所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法:一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标,利用待定系数法求出解析式;二是只考虑平移后的顶点坐标,即可求出解析式.

10.(3分)(2015?成都)如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,半径为4,则这个正六边形的边心距OM和的长分别为()

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A.2,B.2,πC.,D.2,

考点:正多边形和圆;弧长的计算.

分析:正六边形的边长与外接圆的半径相等,构建直角三角形,利用直角三角形的边角关系即可求出OM,再利用弧长公式求解即可.

解答:解:连接OB,

∵OB=4,

∴BM=2,

∴OM=2,

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==π,

故选D.

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点评:本题考查了正多边形和圆以及弧长的计算,将扇形的弧长公式与多边形的性质相结合,构思巧妙,利用了正六边形的性质,是一道好题.

二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)

11.(4分)(2015?岳阳)分解因式:x2﹣9=(x+3)(x﹣3).

考点:因式分解-运用公式法.

分析:本题中两个平方项的符号相反,直接运用平方差公式分解因式.

解答:解:x2﹣9=(x+3)(x﹣3).

故答案为:(x+3)(x﹣3).

点评:主要考查平方差公式分解因式,熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征,即“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法.

12.(4分)(2015?成都)如图,直线m∥n,△ABC为等腰三角形,∠BAC=90°,则∠1= 45度.

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考点:平行线的性质;等腰直角三角形.

分析:先根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠ABC,根据平行线的性质得出∠1=∠ABC,即可得出答案.

解答:解:∵△ABC为等腰三角形,∠BAC=90°,

∴∠ABC=∠ACB=45°,

∵直线m∥n,

∴∠1=∠ABC=45°,

故答案为:45.

点评:本题考查了等腰三角形的性质,三角形内角和定理,平行线的性质的应用,解此题的关键是求出∠1=∠ABC和求出∠ABC的度数,注意:两直线平行,同位角相等.

13.(4分)(2015?成都)为响应“书香成都”建设号召,在全校形成良好的人文阅读风尚,成都市某中学随机调查了部分学生平均每天的阅读时间,统计结果如图所示,则在本次调查中,阅读时间的中位数是1小时.

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考点:中位数;条形统计图.

分析:由统计图可知总人数为40,得到中位数应为第20与第21个的平均数,而第20个数和第21个数都是1(小时),即可确定出中位数为1小时.

解答:解:由统计图可知共有:8+19+10+3=40人,中位数应为第20与第21个的平均数,而第20个数和第21个数都是1(小时),则中位数是1小时.

故答案为1.

点评:本题属于基础题,考查了确定一组数据的中位数的能力.注意找中位数的时候一定要先排好顺序,然后根据奇数和偶数的个数来确定中位数,如果数据有奇数个,则正中间的数字即为所求,如果是偶数个则找中间两位数的平均数.也考查了条形统计图.

14.(4分)(2015?成都)如图,在?ABCD中,AB=,AD=4,将?ABCD沿AE翻折后,点B恰好与点C重合,则折痕AE的长为3.

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考点:翻折变换(折叠问题);平行四边形的性质.

分析:由点B恰好与点C重合,可知AE垂直平分BC,根据勾股定理计算AE的长即可.解答:解:∵翻折后点B恰好与点C重合,

∴AE⊥BC,BE=CE,

∵BC=AD=4,

∴BE=2,

∴AE===3.

故答案为:3.

点评:本题考查了翻折变换,平行四边形的性质,勾股定理,根据翻折特点发现AE垂直平分BC是解决问题的关键.

三、解答题(本大题共6小题,共54分)

15.(12分)(2015?成都)(1)计算:﹣(2015﹣π)0﹣4cos45°+(﹣3)2.

(2)解方程组:.

考点:实数的运算;零指数幂;解二元一次方程组;特殊角的三角函数值.

专题:计算题.

分析:(1)原式第一项化为最简二次根式,第二项利用零指数幂法则计算,第三项利用特殊角的三角函数值计算,最后一项利用乘方的意义化简,计算即可得到结果;

(2)方程组利用加减消元法求出解即可.

解答:解:(1)原式=2﹣1﹣4×+9

=8;

(2)①+②得:4x=4,即x=1,

把x=1代入①得:y=2,

则方程组的解为.

点评:此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.

16.(6分)(2015?成都)化简:(+)÷.

考点:分式的混合运算.

专题:计算题.

分析:原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算,同时利用除法法则变形,约分即可得到结果.

解答:解:原式=?=?=.

点评:此题考查了分式的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.

17.(8分)(2015?成都)如图,登山缆车从点A出发,途经点B后到达终点C,其中AB 段与BC段的运行路程均为200m,且AB段的运行路线与水平面的夹角为30°,BC段的运行路线与水平面的夹角为42°,求缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离.(参考数据:sin42°≈0.67,cos42°≈0.74,tan42°≈0.90)

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考点:解直角三角形的应用-坡度坡角问题.

分析:要求缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离,就是求BD+CE的值.解直角

△ADB,利用30°角所对的直角边等于斜边的一半得出BD=AB=100m,解直角△CEB,根

据正弦函数的定义可得CE=BC?sin42°.

解答:解:在直角△ADB中,∵∠ADB=90°,∠BAD=30°,AB=200m,

∴BD=AB=100m,

在直角△CEB中,∵∠CEB=90°,∠CBE=42°,CB=200m,

∴CE=BC?sin42°≈200×0.67=134m,

∴BD+CE≈100+134=234m.

答:缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离约为234m.

点评:本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题,锐角三角函数的定义,结合图形理解题意是解决问题的关键.

18.(8分)(2015?成都)国务院办公厅在2015年3月16日发布了《中国足球发展改革总体方案》,这是中国足球史上的重大改革,为进一步普及足球知识,传播足球文化,我市某区在中小学举行了“足球在身边”知识竞赛,各类获奖学生人数的比例情况如图所示,其中获得三等奖的学生共50名,请结合图中信息,解答下列问题:

(1)获得一等奖的学生人数;

(2)在本次知识竞赛活动中,A,B,C,D四所学校表现突出,现决定从这四所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛,请用画树状图或列表的方法求恰好选到A,B两所学校的概率.

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考点:列表法与树状图法;扇形统计图.

分析:(1)根据三等奖所在扇形的圆心角的度数求得总人数,然后乘以一等奖所占的百分比即可求得一等奖的学生数;

(2)列表将所有等可能的结果列举出来,利用概率公式求解即可.

解答:解:(1)∵三等奖所在扇形的圆心角为90°,

∴三等奖所占的百分比为25%,

∵三等奖为50人,

∴总人数为50÷25%=200人,

∴一等奖的学生人数为200×(1﹣20%﹣25%﹣40%)=30人;

(2)列表:

A B C D

A A

B A CAD

B B A B

C B D

C C A C B CD

D D A D B D C

∵共有12种等可能的结果,恰好选中A、B的有2种,

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∴P(选中A、B)==.

点评:本题考查了列表与树状图的知识,解题的关键是通过列表将所有等可能的结果列举出来,然后利用概率公式求解,难度不大.

19.(10分)(2015?成都)如图,一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y=(k为常数,

且k≠0)的图象交于A(1,a),B两点.

(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标;

(2)在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小,求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积.

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考点:反比例函数与一次函数的交点问题;轴对称-最短路线问题.

分析:(1)把点A(1,a)代入一次函数y=﹣x+4,即可得出a,再把点A坐标代入反

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比例函数y=,即可得出k,两个函数解析式联立求得点B坐标;

(2)作点B作关于x轴的对称点D,交x轴于点C,连接AD,交x轴于点P,此时PA+PB 的值最小,求出直线AD的解析式,令y=0,即可得出点P坐标.

解答:解:(1)把点A(1,a)代入一次函数y=﹣x+4,

得a=﹣1+4,

解得a=3,

∴A(1,3),

点A(1,3)代入反比例函数y=,

得k=3,

∴反比例函数的表达式y=,

两个函数解析式联立列方程组得,

解得x1=1,x2=3,

∴点B坐标(3,1);

(2)作点B作关于x轴的对称点D,交x轴于点C,连接AD,交x轴于点P,此时PA+PB 的值最小,

∴D(3,﹣1),

设直线AD的解析式为y=mx+n,

把A,D两点代入得,,

解得m=﹣2,n=5,

∴直线AD的解析式为y=﹣2x+5,

令y=0,得x=,

∴点P坐标(,0),

S△PAB=S△ABD﹣S△PBD=×2×2﹣×2×=2﹣=1.5.

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点评:本题考查了一次函数和反比例函数相交的有关问题;通常先求得反比例函数解析式;较复杂三角形的面积可被x轴或y轴分割为2个三角形的面积和.

20.(10分)(2015?成都)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AC的垂直平分线分别与AC,BC及AB的延长线相较于点D,E,F,且BF=BC,⊙O是△BEF的外接圆,∠EBF 的平分线交EF于点G,交⊙O于点H,连接BD,FH.

(1)求证:△ABC≌△EBF;

(2)试判断BD与⊙O的位置关系,并说明理由;

(3)若AB=1,求HG?HB的值.

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考点:圆的综合题.

分析:(1)由垂直的定义可得∠EBF=∠ADF=90°,于是得到∠C=∠BFE,从而证得

△ABC≌△EBF;

(2)BD与⊙O相切,如图1,连接OB证得∠DBO=90°,即可得到BD与⊙O相切;

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(3)如图2,连接CF,HE,有等腰直角三角形的性质得到CF=BF,由于DF垂直平分

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AC,得到AF=CF=AB+BF=1+BF=BF,求得BF=,有勾股定理解出

EF=,推出△EHF是等腰直角三角形,求得HF=EF=,通过

△BHF∽△FHG,列比例式即可得到结论.

解答:(1)证明:∵∠ABC=90°,

∴∠EBF=90°,

∵DF⊥AC,

∴∠ADF=90°,

∴∠C+∠A=∠A+∠AFD=90°,

∴∠C=∠BFE,

在△ABC与△EBF中,,

∴△ABC≌△EBF;

(2)BD与⊙O相切,如图1,连接OB

证明如下:∵OB=OF,

∴∠OBF=∠OFB,

∵∠ABC=90°,AD=CD,

∴BD=CD,

∴∠C=∠DBC,

∵∠C=∠BFE,

∴∠DBC=∠OBF,

∵∠CBO+∠OBF=90°,∴∠DBC+∠CBO=90°,

∴∠DBO=90°,

∴BD与⊙O相切;

(3)解:如图2,连接CF,HE,

∵∠CBF=90°,BC=BF,

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∴CF=BF,

∵DF垂直平分AC,

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∴AF=CF=AB+BF=1+BF=BF,

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∴BF=,

∵△ABC≌△EBF,

∴BE=AB=1,

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∴EF==,

∵BH平分∠CBF,

∴,

∴EH=FH,

∴△EHF是等腰直角三角形,

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∴HF=EF=,

∵∠EFH=∠HBF=45°,∠BHF=∠BHF,

∴△BHF∽△FHG,

∴,

∴HG?HB=HF2=2+.

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点评:本题考查了全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,圆周角定理,勾股定理,线段的垂直平分线的性质,直角三角形的性质,等腰直角三角形的判定和性质,熟练掌握这些定理是解题的关键.

四、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)

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21.(4分)(2015?成都)比较大小:<.(填“>”,“<”或“=”)

考点:实数大小比较.

分析:首先求出两个数的差是多少;然后根据求出的差的正、负,判断出、的大小关系即可.

解答:解:﹣

=

=

∵,

∴4,

∴,

∴﹣<0,

∴<.

故答案为:<.

点评:此题主要考查了实数大小比较的方法,要熟练掌握,解答此题的关键是判断出

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﹣的差的正、负.

22.(4分)(2015?成都)有9张卡片,分别写有1~9这九个数字,将它们背面朝上洗匀后,任意抽取一张,记卡片上的数字为a,则使关于x的不等式组有解的概率

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为.

考点:概率公式;解一元一次不等式组.

分析:由关于x的不等式组有解,可求得a>5,然后利用概率公式求解即可求得答案.

解答:解:,

由①得:x>3,

由②得:x<,

∵关于x的不等式组有解,

∴>3,

解得:a>5,

∴使关于x的不等式组有解的概率为:.

故答案为:.

点评:此题考查了概率公式的应用.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.

23.(4分)(2015?成都)已知菱形A1B1C1D1的边长为2,∠A1B1C1=60°,对角线A1C1,B1D1相较于点O,以点O为坐标原点,分别以OA1,OB1所在直线为x轴、y轴,建立如图所示的直角坐标系,以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1,再以A2C2为

对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2,再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形

A2B2C2D2,…,按此规律继续作下去,在x轴的正半轴上得到点A1,A2,A3,…,A n,则点A n的坐标为(3n﹣1,0).

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考点:相似多边形的性质;坐标与图形性质;菱形的性质.

专题:规律型.

分析:先根据菱形的性质求出A1的坐标,根据勾股定理求出OB1的长,再由锐角三角函数的定义求出OA2的长,故可得出A2的坐标,同理可得出A3的坐标,找出规律即可得出结论.

解答:解:∵菱形A1B1C1D1的边长为2,∠A1B1C1=60°,

∴OA1=A1B1?sin30°=2×=1,OB1=A1B1?cos30°=2×=,

∴A1(1,0).

∵B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1,

∴OA2===3,

∴A2(3,0).

同理可得A3(9,0)…

∴A n(3n﹣1,0).

故答案为:(3n﹣1,0).

点评:本题考查的是相似多边形的性质,熟知相似多边形的对应角相等是解答此题的关键.

24.(4分)(2015?成都)如图,在半径为5的⊙O中,弦AB=8,P是弦AB所对的优弧上的动点,连接AP,过点A作AP的垂线交射线PB于点C,当△PAB是等腰三角形时,线

段BC的长为8,或.

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考点:垂径定理;等腰三角形的性质;勾股定理.

专题:分类讨论.

分析:①当BA=BP时,利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半;

②当AB=AP时,如图1,延长AO交PB于点D,过点O作OE⊥AB于点E,易得

△AOE∽△ABD,利用相似三角形的性质求得BD,PB,然后利用相似三角形的判定定理△ABD∽△CPA,代入数据得出结果;

③当PA=PB时,如图2,连接PO并延长,交AB于点F,过点C作CG⊥AB,交AB的延长线于点G,连接OB,则PF⊥AB,易得AF=FB=4,利用勾股定理得OF=3,FP=8,易

得△PFB∽△CGB,利用相似三角形的性质,设BG=t,则CG=2t,利用相似三角形的

判定定理得△APF∽△CAG,利用相似三角形的性质得比例关系解得t,在Rt△BCG中,得BC.

解答:解:①当BA=BP时,

易得AB=BP=BC=8,即线段BC的长为8.

②当AB=AP时,如图1,延长AO交PB于点D,过点O作OE⊥AB于点E,则AD⊥PB,AE=AB=4,

∴BD=DP,

在Rt△AEO中,AE=4,AO=5,

∴OE=3,

易得△AOE∽△ABD,

∴,

∴,

∴,即PB=,

∵AB=AP=8,

∴∠ABD=∠P,

∵∠PAC=∠ADB=90°,

∴△ABD∽△CPA,

∴,

∴CP=,

∴BC=CP﹣BP==;

③当PA=PB时

如图2,连接PO并延长,交AB于点F,过点C作CG⊥AB,交AB的延长线于点G,连接OB,

则PF⊥AB,

∴AF=FB=4,

在Rt△OFB中,OB=5,FB=4,

∴OF=3,

∴FP=8,

易得△PFB∽△CGB,

∴,

设BG=t,则CG=2t,

易得∠PAF=∠ACG,

∵∠AFP=∠AGC=90°,

∴△APF∽△CAG,

∴,

∴,解得t=,

在Rt△BCG中,BC=t=,

综上所述,当△PAB是等腰三角形时,线段BC的长为8,,,

故答案为:8,,.

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点评:本题主要考查了垂径定理,相似三角形的性质及判定,等腰三角形的性质及判定,数形结合,分类讨论是解答此题的关键.

25.(4分)(2015?成都)如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根,且其中一个根为另一个根的2倍,则称这样的方程为“倍根方程”,以下关于倍根方程的说法,正确的是②③(写出所有正确说法的序号)

①方程x2﹣x﹣2=0是倍根方程.

②若(x﹣2)(mx+n)=0是倍根方程,则4m2+5mn+n2=0;

③若点(p,q)在反比例函数y=的图象上,则关于x的方程px2+3x+q=0的倍根方程;

④若方程ax2+bx+c=0是倍根方程,且相异两点M(1+t,s),N(4﹣t,s)都在抛物线y=ax2+bx+c 上,则方程ax2+bx+c=0的一个根为.

考点:根与系数的关系;根的判别式;反比例函数图象上点的坐标特征;二次函数图象上点的坐标特征.

专题:新定义.

分析:①解方程x2﹣x﹣2=0得:x1=2,x2=﹣1,得到方程x2﹣x﹣2=0不是倍根方程,故①错误;②由(x﹣2)(mx+n)=0是倍根方程,且x1=2,x2=﹣,得到=﹣1,或=﹣4,∴m+n=于是得到4m2+5mn+n2=(4m+1)(m+n)=0,故②正确;③由点(p,q)在

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反比例函数y=的图象上,得到pq=2,解方程px2+3x+q=0得:x1=﹣,x2=﹣,故∴③

正确;④由方程ax2+bx+c=0是倍根方程,得到x1=2x2,由相异两点M(1+t,s),N(4﹣t,s)都在抛物线y=ax2+bx+c上,∴

得到抛物线的对称轴x===,于是求出x1=,故④错误.

解答:解:①解方程x2﹣x﹣2=0得:x1=2,x2=﹣1,

∴方程x2﹣x﹣2=0不是倍根方程,故①错误;

②∵(x﹣2)(mx+n)=0是倍根方程,且x1=2,x2=﹣,

∴=﹣1,或=﹣4,

∴m+n=0,4m+n=0,

∵4m2+5mn+n2=(4m+n)(m+n)=0,故②正确;

③∵点(p,q)在反比例函数y=的图象上,

∴pq=2,

解方程px2+3x+q=0得:x1=﹣,x2=﹣,

∴x2=2x1,故③正确;

④∵方程ax2+bx+c=0是倍根方程,

∴设x1=2x2,

∵相异两点M(1+t,s),N(4﹣t,s)都在抛物线y=ax2+bx+c上,

∴抛物线的对称轴x===,

∴x1+x2=5,

∴x1+2x1=5,

∴x1=,故④错误.

故答案为:②③.

点评:本题考查了根与系数的关系,根的判别式,反比例函数图形上点的坐标特征,二次函数图形上点的坐标特征,正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键.

五、解答题(本大题共3小题,共30分)

26.(8分)(2015?成都)某商家预测一种应季衬衫能畅销市场,就用13200元购进了一批这种衬衫,面市后果然供不应求,商家又用28800元购进了第二批这种衬衫,所购数量是第一批购进量的2倍,但单价贵了10元.

(1)该商家购进的第一批衬衫是多少件?

(2)若两批衬衫按相同的标价销售,最后剩下50件按八折优惠卖出,如果两批衬衫全部售完后利润不低于25%(不考虑其他因素),那么每件衬衫的标价至少是多少元?

考点:分式方程的应用;一元一次不等式的应用.

分析:(1)可设该商家购进的第一批衬衫是x件,则购进第二批这种衬衫是2x件,根据第二批这种衬衫单价贵了10元,列出方程求解即可;

(2)设每件衬衫的标价y元,求出利润表达式,然后列不等式解答.

解答:解:(1)设该商家购进的第一批衬衫是x件,则购进第二批这种衬衫是2x件,依题意有

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+10=,

解得x=120,

经检验,x=120是原方程的解,且符合题意.

答:该商家购进的第一批衬衫是120件.

(2)3x=3×120=360,

设每件衬衫的标价y元,依题意有

(360﹣50)y+50×0.8y≥(13200+28800)×(1+25%),

解得y≥150.

答:每件衬衫的标价至少是150元.

点评:本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用,弄清题意并找出题中的数量关系并列出方程是解题的关键.

27.(10分)(2015?成都)已知AC,EC分别是四边形ABCD和EFDG的对角线,点E在△ABC内,∠CAE+∠CBE=90°.

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(1)如图①,当四边形ABCD和EFCG均为正方形时,连接BF.

(i)求证:△CAE∽△CBF;

(ii)若BE=1,AE=2,求CE的长;

(2)如图②,当四边形ABCD和EFCG均为矩形,且==k时,若BE=1,AE=2,CE=3,

求k的值;

(3)如图③,当四边形ABCD和EFCG均为菱形,且∠DAB=∠GEF=45°时,设BE=m,AE=n,CE=p,试探究m,n,p三者之间满足的等量关系.(直接写出结果,不必写出解答过程)

考点:四边形综合题.

分析:(1)(i)首先根据四边形ABCD和EFCG均为正方形,可得,

∠ACE=∠BCF;然后根据相似三角形判定的方法,推得△CAE∽△CBF即可.

(ii)首先根据△CAE∽△CBF,判断出∠CAE=∠△CBF,再根据∠CAE+∠CBE=90°,判断出∠EBF=90°;然后在Rt△BEF中,根据勾股定理,求出EF的长度,再根据CE、EF的关系,求出CE的长是多少即可.

(2)首先根据相似三角形判定的方法,判断出△ACE∽△∠BCF,即可判断出

,据此求出BF的长度是多少;然后判断出∠EBF=90°,在Rt△BEF中,

根据勾股定理,求出EF的值是多少,进而求出k的值是多少即可.

(3)首先根据∠DAB=45°,可得∠ABC=180°﹣45°=135°,在△ABC中,根据余弦定理,可得;然后根据相似三角形判定的方法,判断出△ACE∽△∠BCF,即

可用n表示出BF的值;最后判断出EBF=90°,在Rt△BEF中,根据勾股定理,判断出m,n,p三者之间满足的等量关系即可.

解答:(1)(i)证明:∵四边形ABCD和EFCG均为正方形,

∴,

∴∠ACB=∠ECF=45°,

∴∠ACE=∠BCF,

在△CAE和△CBF中,

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∴△CAE∽△CBF.

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