贵州省明德衡民中学2012-2013学年高一数学竞赛试题

2012─2013学年度明德衡民中学高一数学竞赛试题

(时量：120分钟 满分：100分)

（1）已知集合{}4,

3,2,1,0=M ,{

}

5,3,1=N ,N M P

=，则P 的子集共有 （A

）2个 （B

）4

个 （C ）6个 （D ）8个 （2）函数的x

y 3log 3

=图象是

（3 （A ）6 （B ）9 （C ）12

（D ）18

（4）已知向量,a b 夹角为45 ，1=a 且2

-=a b ，则=b (A)2 (B)6 (C)22 (D)23

（5）设函数

()sin()cos()(0,)

2f x x x π

ω?ω?ω?=+++><的最小正周期为π，且满足 )()(x f x f =-，则

(A)

()f x 在)

2,0(π

单调递减 (B)()f x 在)43,4(ππ单调递减 (C)

()f x 在)

2,0(π

单调递增 (D)()f x 在)43,4(ππ单调递增

在等腰Rt △ABC 中，

90=∠C ，现沿斜边AB 上的高CD 折成直二面角B CD A --,

那么得到的二面角D AB C --的余弦值为

图1

(A) 22 (B) 32 (C) 33 (D)36

填空题：（本大题共5小题，每小题6分，共30分，把 正确答案填在题中横线上）

（7）已知长、宽、高分别为5,4,3的长方体内接于球（顶点都在球面

上），则此球的表面 积是_______.

（8）三棱锥BCD A -中，F E ,分别是BD AC ,的中点，若2,4==AB CD ，且AB EF ⊥， 则EF 与CD 所成的角为_______.

已知直线:30l x y -+=被圆

4)2()(:2

2=-+-y a x C 截得的弦长为22，则a 的值 为 .

（10）若直线0=-+m my x 与01)32(=---y m mx 互相垂直，则m 的值为 .

（11） 关于x 的方程3)2(42

+-=-x k x 有两个不等实根，则实数k 的取值范围是_______.

解答题：（本大题共4小题，其中第12-14小题各8分，第15小题10分，

共34分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）

（12）（本小题满分8分） 如图2，P 为菱形ABCD 所在平面外一点，⊥PA 平面ABCD ，

求证：BD PC ⊥.

（13）（本小题满分8分） △ABC 中，内角

C B A ,,满足C B B C A >=+,2，且

5

sin 13C =

，

P

2

图A

B

C D

求cos A ． （14）（本小题满分8分）

如图3，在直三棱柱（侧棱与底面垂直的三棱柱）

111

ABC A B C -中，

90ABC ∠=

，12AB BC AA ===，D 是AB 的中点.

（I ）求证：//1AC 平面1B DC

；

（II ）求直线1

AC 与平面

11

B BC

C 所成角的正切值.

（15）（本小题满分10分）

已知圆心为坐标原点O 的圆与直线024:=++y x l 相切，如图4

所示.

（I ）求圆O 的方程；

（II ）若点P 在直线8=x 上，过P 引圆O 的两条切线PB PA ,，切点分别为

B A ,，

3

图A

B

C

D

1

A 1

B 1

C

求证：直线AB 恒过定点.

2012 2013学年度明德衡民中学高一数学竞赛答案 (时量：120分钟 满分：100分) 一、选择题：（本大题共6小题，每小题 6分，共36分，在每小题给出的四个 选项中只有一个是符合题目要求的）

二、填空题：（本大题共5小题，每小题6分，共30分，把正确答案填在题中横 线上）

（7）25 （8）

30 （9） 53-或 （10）20或 （11）4312

5≤

共34分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） （12）（本小题满分8分） 如图2，P 为菱形ABCD 所在平面外一点，⊥PA 平面ABCD ，求证：BD PC ⊥.

证明：连接AC ，∵四边形

ABCD 为菱形， ∴AC BD ⊥. ……………………………………………………………2分

P

2图A

B

C

D

∵⊥PA 平面ABCD ，?BD 平面ABCD ，

∴BD PA ⊥. ……………………………………………………………4分 ∵A AC PA = ，

∴⊥BD 平面PAC .………………………………………………………6分 ∵?PC 平面PAC ，

∴BD PC ⊥. ……………………………………………………………8分

（13）（本小题满分8分）

△ABC 中，内角

C B A ,,满足C B B C A >=+,2，且

5

sin 13C =

，求cos A ．

解：由三角形内角和定理得π=++C B A ，

结合B C A 2=+得

3π

=

B ． ……………………………………………2分

又因为C B >，且

5

sin 13C =

，则

1312sin 1cos 2=

-=C C ．……………4分 从而cos A

135

231312)21(sin 32sin cos 32cos )32cos(

?+?-=+=-=C C C πππ

2612

35-=

． ……………………………………………………………………8分

（14）（本小题满分8分）

如图3，在直三棱柱（侧棱与底面垂直的三棱柱）111ABC A B C -中，90ABC ∠= ，

12

AB BC AA ===，D 是AB 的中点.

（I ）求证：//1AC 平面1B DC

；

（II ）求直线1

AC 与平面

11

B BC

C 所成角的正切值.

解：（I ）证明：连接1BC ，交1CB 于E ，则E 为1BC 的中点，

连接DE ，∵D 是AB 的中点，∴1//AC DE . ……………………………………2分

3

图E

A

B

C

D

1

A 1

B 1

C

又∵?1AC 平面1B DC ，1?DE 平面1B DC

，

∴//1AC 平面

1B DC

. ………………………………………………………………4分

（II ）1

111BCC B AB BC AB AB BB ABC BB 平面平面⊥????

⊥⊥?⊥，

则B AC 1∠是直线1

AC 与平面

11

B BC

C 所成的角. ………………………………6分

因为

12

AB BC AA ===，在Rt △C AB 1中，222

121=+=C C BC BC ，

从而

22

tan 11==

∠BC AB B AC . ……………………………………………………8分

（15）（本小题满分10分）

已知圆心为坐标原点O 的圆与直线024:=++y x l 相切，如图4所示. （I ）求圆O 的方程；

（II ）若点P 在直线8=x 上，过P 引圆O 的两条切线PB PA ,，切点分别为B A ,，

求证：直线AB 恒过定点.

解：（I ）设圆的方程为

)0(222>=+r r y x ，由圆心

到直线的距离得 r

=+++2

2

1

12400，则162

=r ，即圆的方程为

1622=+y x .…………4分 （II ）设),(),,(2211y x B y x A ， 则切线PA 的方程为1611=+y y x x ，

切线PA 的方程为1622=+y y x x . ……………………………………6分

由题意可设点

),8(0y P ，则

??

?=+=+16

816

8022011y y x y y x ，即切点B A ,在直线

1680=+y y x 上，

从而直线AB 的方程为

1680=+y y x ，即

)2(8

--

=x y y . …………8分

由直线的点斜式方程知AB恒过定点)0,2(. ……………………………10分