高考数学题难题巧解思路与方法
高考数学题难题巧解思路与方法
一、定义法求解
所谓定义法,就是直接用数学定义解题。选择题的命题侧重于对圆锥曲线定义的考查,凡题目中涉及焦半径、通径、准线、离心率及离心率的取值范围等问题,用圆锥曲线的第一和第二定义解题,是一种重要的解题策略。
【例1】(2008年,山东卷,理10)设椭圆C 1的离心率为
13
5,焦点在x 轴上且长轴长为26. 若
曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C 2的标准方程为( )
(A )
1342
22
2=-
y x (B )
15
132
22
2=-
y x
(C )14
3
2
22
2=-y x (D )112
13
2
22
2=-
y x
【巧解】由题意椭圆的半焦距为5=c ,双曲线2C 上的点P 满足|,|8||||||2121F F PF PF <=- ∴点P 的轨迹是双曲线,其中5=c ,4=a ,∴3=b ,故
双曲线方程为13
4
2
22
2=-
y x ,∴选(A )
巧练一:(2008年,陕西卷)双曲线
)0,0(12
22
2>>=-
b a b
y a
x 的左、右焦点分别是F 1,F 2,
过F 1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M 点,若MF 2垂直于x 轴,则双曲线的离心率为( )
A .6
B .3
C .2
D .
3
3
巧练二:(2008年,辽宁卷)已知点P 是抛物线x y 22
=上的一个动点,则点P 到点(0,2)
的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )
(A )
2
17 (B )3 (C )5
(D )
2
9
【例2】(2009年高考福建卷,理13)过抛物线)0(22
>=p px y 的焦点F 作倾斜角为450的
直线交抛物线于A 、B 两点,线段AB 的长为8,则=p .
【巧解】依题意直线AB 的方程为2p
x y -=,由?????
=-
=px
y p x y 222
消去y 得:
04
32
2
=+
-p
px x ,设),(11y x A ,),(22y x B ,∴p x x 321=+,根据抛物线的定义。
2
||2p x BF +=,2
||1p x AF +
=,∴84||21==++=p p x x AB ,∴2=p ,
故本题应填2。
二、代入法求解
若动点),(y x P 依赖于另一动点),(00y x Q 而运动,而Q 点的轨迹方程已知(也可能易
于求得)且可建立关系式)(0x f x =,)(0x g y =,于是将这个Q 点的坐标表达式代入已知(或求得)曲线的方程,化简后即得P 点的轨迹方程,这种方法称为代入法,又称转移法或相关点法。
【例1】(2009年高考广东卷)已知曲线C :2x y =与直线l :02=+-y x 交于两点),(A A y x A 和),(B B y x B ,且B A x x <,记曲线C 在点A 和点B 之间那一段L 与线段AB 所围
成的平面区域(含边界)为D .设点),(t s P 是L 上的任一点,且点P 与点A 和点B 均不重合.若点Q 是线段AB 的中点,试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程;
【巧解】联立2
x y =与2+=x y 得2,1=-=B A x x ,则AB 中点)2
5
,21(Q ,
设线段PQ 的中点M 坐标为),(y x ,则2
2
5,2
21
t y s x +=+=,
即2
52,2
12-
=-=y t x s ,又点P 在曲线C 上,
∴2
)2
12(2
52-=-
x y 化简可得8
112
+
-=x x y ,又点P 是L 上的任一点,
且不与点A 和点B 重合,则22
121<-<-x ,即4
541<<-x ,
∴中点M 的轨迹方程为8
112
+
-=x x y (4
54
1<<-
x ).
【例2】(2008年,江西卷)设),(00y x P 在直线m x =)10,(<<±≠m m y 上,过点P 作双
曲线122=-y x 的两条切线PA 、PB ,切点为A 、B ,
定点M )0,(1
m 。 过点A 作直线0=-y x 的垂线,垂足为N ,试求AMN ?的重心G 所在的曲线方程。
【巧解】设1122(,),(,)A x y B x y ,由已知得到120y y ≠,且22111x y -=,22221x y -=,
(1)垂线A N 的方程为:11y y x x -=-+, 由11
y y x x x y -=-+??
-=?
得垂足1111
(
,)22
x y x y N ++,设重心(,)G x y 所以111111
11()321(0)32x y x x m x y y y +?
=++???+?=++?? 解得1139341934
x y m x y x m
y ?
--?=???
?-+?=??
由22111x y -= 可得11(33)(33)2x y x y m
m
--+-
=
即2
2
12()39
x y m
-
-=
为重心G 所在曲线方程
巧练一:(2005年,江西卷)如图,设抛物线2:x y C =的焦点为F ,动点P 在直线
02:=--y x l 上运动,过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ,且与抛物线C 分别相切于A 、B
两点.,求△APB 的重心G 的轨迹方程.
巧练二:(2006年,全国I 卷)在平面直角坐标系xOy 中,有一个以)3,0(1-F 和)3,0(2F 为焦点、离心率为
2
3的椭圆,设椭圆在第一象限的部分为曲线C ,动点P 在C 上,C 在点P
处的切线与x 、y 轴的交点分别为A 、B ,且向量OB OA OM +=,求点M
的轨迹方程
三、直接求解法
直接从题设的条件出发,利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论,从而确定选择支的方法叫直接法。从近几年全国各地的高考数学试题来看,绝大大部分选择题的解答用的是此法。但解题时也要“盯住选项特点”灵活做题,一边计算,一边对选项进行分析、验证,或在选项中取值带入题设计算,验证、筛选而迅速确定答案。
【例1】(2009年高考全国II 卷)已知双曲线)0,0(1:
2
22
2>>=-
b a b
y a
x C 的右焦点为F ,
过F 且斜率为3的直线交C 于A 、B 两点。若FB AF 4=,则C 的离心率为( )
(A )
5
6 (B )
5
7 (C )
5
8 (D )
5
9
【巧解】设),(11y x A ,),(22y x B ,)0,(c F ,由FB AF 4=,得),(4),(2211y c x y x c -=-- ∴214y y -=,设过F 点斜率为3的直线方程为c y x +=
3,
由??
???=--+=0
3
222222b a y a x b c y x 消去x 得:032)3(4
2
222=++-b y c b y a b , ∴???????-=--=+224212222133)3(36a b b y y a b c b y y , 将 214y y -=代入得???????-=---=-224
22222
2334)3(363a b b y a b c b y 化简得 ???
????--
=-=)3(43)
3(32224222
22
2a b b y a b c b y ,∴)3(43)3(342
2422224a b b a b c b --=-, 化简得:)3(9)3(916222222a c a b a c +-=-=,∴2
23625a c =,25
362=
e ,即5
6=
e 。
故本题选(A )
【例2】(2008年,四川卷)设定义在R 上的函数)(x f 满足13)2()(=+?x f x f ,若
2)1(=f ,则=)99(f ( )
(A )13 (B )2 (C )
2
13
(D )
13
2
【巧解】∵)
(13)2(x f x f =+,∴)()
(1313)
2(13)4(x f x f x f x f ==+=
+
∴函数)(x f 为周期函数,且4=T ,∴2
13)
1(13)3()3244()99(=
==+?=f f f f
故选(C )
巧练一:(2008年,湖北卷)若),1()2ln(2
1)(2
+∞-++-=在x b x x f 上是减函数,则b 的取
值范围是( )
A .),1[+∞-
B .),1(+∞-
C .]1,(--∞
D .)1,(--∞
巧练二:(2008年,湖南卷)长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的8个顶点在同一个球面上,且AB=2,
AD=,3AA 1=1,则顶点A 、B 间的球面距离是( )
A .π22
B .π2
C .
2
2π D .
4
2π
四、向量坐标法
向量坐标法是一种重要的数学思想方法,通过坐标化,把长度之间的关系转化成坐标之间的关系,使问题易于解决,并从一定程度上揭示了问题的数学本质。在解题实践中若能做到多用、巧用和活用,则可源源不断地开发出自己的解题智慧,必能收到事半功倍的效果。 【例1】(2008年,广东卷)在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点O ,E 是线段OD 的中点,
AE 的延长线与CD 交于点F . 若AC =a ,BD =b ,则AF =( )
A .
4
1a +
2
1b B .
3
2a +3
1
b
C .
2
1a +
4
1b D .
3
1a +
3
2b
【巧解】如图所示,选取边长为2的正方形ABCD
则)0,2(B ,)2,2(C ,)2,0(D ,)1,1(O ,)2
3
,21(E ,
∴直线AE 的方程为x y 3=,联立???==2
3y x y 得)2,32
(F
A
x
y O
B
D
C
E
∴)2,3
2
(=AF ,设BD y AC x AF +=,则)22,22()2,2()2,2(y x y x y x AF +-=-+=
∴?????
=+=
-2
223222y x y x 解之得32=x ,31=y ,∴b a BD AC AF 31323132+=+=,故本题选B
【例2】已知点O 为ABC ?内一点,且=++OC OB OA 320,则AOB ?、AOC ?、BOC
?的面积之比等于
( )
A .9:4:1
B .1:4:9
C .3:2:1
D .1:2:3
【巧解】不妨设ABC ?为等腰三角形,090=∠B
3==BC AB ,建立如图所示的直角坐标系,则点)0,0(B
)3,0(A ,)0,3(C ,设),(y x O ,
∵=++OC OB OA 320,即)0,0(),3(3),(2)3,(=--+--+--y x y x y x
∴???==3
696y x 解之得23=x ,21=y ,即)21,23(O ,又直线AC 的方程为03=-+y x ,则点O
到直线AC 的距离2
21
1|
32
12
3
|
2
2
=
+-+
=
h ,∵23||=AC ,因此4
9||||2
1=
?=
?x AB S AOB ,
4
3||||2
1=
?=
?y BC S BOC ,
2
3||2
1=?=
?h AC S AOC ,故选C
巧练一:(2008年,湖南卷)设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点,且,2,2EA CE BD DC ==BC CF BE AD FB AF 与则++=,2( )
A .反向平行
B .同向平行
C .互相垂直
D .既不平行也不垂直
巧练二:设O 是ABC ?内部一点,且OB OC OA 2-=+,则AOB ?与AOC ?面积之比是 .
五、查字典法
查字典是大家比较熟悉的,我们用类似“查字典”的方法来解决数字排列问题中数字比较大小的问题,避免了用分类讨论法时容易犯的重复和遗漏的错误,给人以“神来之法”的
A
B
C x
y
O
味道。利用“查字典法”解决数字比较大小的排列问题的思路是“按位逐步讨论法”(从最高位到个位),查首位时只考虑首位应满足题目条件的情况;查前“2”位时只考虑前“2”位中第“2”个数应满足条件的情况;依次逐步讨论,但解题中既要注意数字不能重复,又要有充分的理论准备,如奇、偶问题,3的倍数和5的倍数的特征,0的特性等等。以免考虑不全而出错。
【例1】(2007年,四川卷)用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字,并且比20000
大的五位偶数共有( )
(A )288个
(B )240个
(C )144个
(D )126个
【巧解】本题只需查首位,可分3种情况,① 个位为0,即 0????型,首位是2,3,4,5
中的任一个,此时个数为3
414A A ; ②个位为2,即2????, 此种情况考虑到万位上
不为0,则万位上只能排3,4,5,所以个数为3
413
A A ;③个位为4, 4????型,此种特点考虑到万位上不为0,则万位上只能排2,3,5,所以个数为3
413A A ;故共有
24023
41
33
41
4=+A A A A 个。故选(B )
【例2】(2004年全国II 卷)在由数字1,2,3,4,5组成的所有没有重复数字的5位数中,
大于23145且小于43521的数共有( )
A .56个
B .57个
C .58个
D .60个
【巧解】(1)查首位:只考虑首位大于2小于4的数,仅有1种情况:即????3型,此特点
只需其它数进行全排列即可。有4
4A 种,
(2)查前2位:只考虑前“2”位中比3既大又小的数,有4种情况:
???24,???25,???41,???42型,而每种情况均有3
3A 种满足条件,故共有3
3
4A 种。
(3)查前3位:只考虑前“3”位中既比1大又小于5的数,有4种情况:
??234,??235,??431,??432型,而每种情况均有22A 种满足条件,故共有224A 种。
(3)查前4位:只考虑前“4”位中既比4大又小于2的数,此种情况只有
23154和43512两种情况满足条件。故共有582442
23344=+++A A A 个,故选C
巧练一:用数字5,4,3,2,1,0可以组成没有重复数字,并且不大于4310的四位偶数共有( )
A .110种
B .109种
C .108种
D .107种
巧练二:(2007年,四川卷)用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字,并且比20000大的五
位偶数共有( )
(A )48个
(B )36个
(C )24个 (D )18个
六、挡板模型法
挡板模型法是在解决排列组合应用问题中,对一些不易理解且复杂的排列组合问题,当元素相同时,可以通过设计一个挡板模型巧妙解决,否则,如果分类讨论,往往费时费力,同时也难以解决问题。
【例1】体育老师把9个相同的足球放入编号为1,2,3的三个箱中,要求每个箱子放球的个
数不少于其编号,则不同的放球方法有 ( )
A .8种
B .10种
C .12种
D .16种
【巧解】先在2号盒子里放1个小球,在3号盒子里放2个小球,余下的6个小球排成一排为:OOOOOO
,只需在6个小球的5个空位之间插入2块挡板,如:OO OO OO ||,每一
种插法对应着一种放法,故共有不同的放法为102
5=C 种. 故选B
【例2】两个实数集{}1250,,,A a a a = ,{}1225,,B b b b = ,若从A 到B 的映射f 使得B 中
每个元素都有原象,且()()()1250f a f a f a ≥≥≥ ,则这样的映射共有( )个 A .24
50A
B .24
49C
C .25
50C
D .25
49A
【巧解】不妨设B A 和两个集合中的数都是从小到大排列,将集合A 的50个数视为50个相同的小球排成一排为:OO OOOOOOO
,然后在50个小球的49个空位中插入24块木
板,每一种插法对应着一种满足条件()()()1250f a f a f a ≥≥≥ 对应方法,故共有不同映射共有24
49C 种. 故选 B
巧练一:两个实数集合A={a 1, a 2, a 3,…, a 15}与B={b 1, b 2, b 3,…, b 10},若从A 到B 的是映射f 使B 中的每一个元素都有原象,且f (a 1)≤f (a 2) ≤…≤f (a 10) ( ) A .510C 个 B .4 9C 个 C .1015 个 D .10 1510 5 A ? 巧练二:10个完全相同的小球放在标有1、2、3、4号的四个不同盒子里,使每个盒子都不空的放法有( )种 A .24 B .84 C .120 D .96 七、等差中项法 等差中项法是根据题目的题设条件(或隐含)的特征,联想到等差数列中的等差中项,构造等差中项,从而可使问题得到快速解决,从而使解题过程变得简捷流畅,令人赏心悦目。 【例1】(2008年,浙江卷)已知2,0,0=+≥≥b a b a 且,则( ) (A )2 1≤ ab (B )2 1≥ ab (C )222≥+b a (D )322≤+b a 【巧解】根据2=+b a 特征,可得b a ,1,成等差数列,1为a 与b 的等差中项。可设 x a -=1,x b +=1,其中11≤≤-x ;则21x ab -=,22222x b a +=+, 又102≤≤x ,故10≤≤ab ,4222≤+≤b a ,由选项知应选(C ) 【例2】(2008年,重庆卷)已知函数31++ -=x x y 的最大值为M ,最小值为m ,则 m M 的 值为( ) (A ) 14 (B ) 12 (C ) 22 (D ) 32 【巧解】由31++-=x x y 可得,2 y 为x -1与3+x 的等差中项, 令t y x += -21,t y x -= +2 3,其中2 ||y t ≤, 则431) 2 () 2 (2 2 =++-=-++x x t y t y ,即4 22 2 y t - =,又2 ||y t ≤ ,则 4 02 2 y t ≤ ≤,故4 4 202 2 y y ≤ - ≤,解之得222≤≤y ,即22=M ,2=m ∴ 2 22 22= =M m ,故选(C ) 巧练:(2008年,江苏卷)xz y z y x R z y x 2 , 032*,,,=+-∈的最小值 . 八、逆向化法 逆向化法是在解选择题时, 四个选项以及四个选项中只有一个是符合题目要求的都是 解题重要的信息。 逆向化策略是把四个选项作为首先考虑的信息,解题时,要“盯住选项”, 着重通过对选项的分析,考查,验证,推断进行否定或肯定,或者根据选项之间的关系进行逻辑分析和筛选,找到所要选择的,符合题目要求的选项。 【例1】(2008年,湖北卷)函数)4323ln( 1)(2 2 +--+ +-=x x x x x x f 的 定义域为( ) A .),2[]4,(+∞--∞ B .)1,0()0,4( - C .]1,0()0,4[ - D .)1,0()0,4[ - 【巧解】观察四个选项取端点值代入计算即可,取1=x ,出现函数的真数为0,不满足,排含有1的答案C ,取4-=x 代入计算解析式有意义,排不含有4-的答案B ,取2=x 出现二次根式被开方数为负,不满足,排含有2的答案A ,故选D 评析:求函数的定义域只需使函数解析式有意义,凡是考查具体函数的定义域问题都可用特值法代入验证快速确定选项。 【例2】(2008年,江西卷)已知函数mx x g x m mx x f =+--=)(,1)4(22)(2 ,若对于任一 实数)(,x f x 与)(x g 的值至少有一个为正数,则实数m 的取值范围是( ) A .(0,2) B .(0,8) C .(2,8) D .(∞-,0) 【巧解】观察四个选项中有三个答案不含2,那么就取2=m 代入验证是否符合题意即可, 取2=m ,则有 2 2)12(144)(-=+-=x x x x f ,这个二次函数的函数值0)(>x f 对 R x ∈且2 1≠ x 恒成立,现只需考虑x x g 2)(=当2 1= x 时函数值是否为正数即可。这显然 为正数。故2=m 符合题意,排除不含2=m 的选项A 、C 、D 。所以选B 巧练一:(2007年,湖北卷)函数1 212-+=x x y (x <0)的反函数是( ) A.11 log 2 -+=x x y (x <-1) B. 11 log 2 -+=x x y (x >1) C.1 1log 2+-=x x y (x <-1) D. 1 1log 2 +-=x x y (x >1) 巧练二:(2004年,重庆卷)不等式221 x x +>+的解集是( ) A .(1,0)(1,)-+∞ B .(,1)(0,1)-∞- C .(1,0)(0,1)- D .(,1)(1,)-∞-+∞ 九、极限化法 极限化法是在解选择题时,有一些任意选取或者变化的元素,我们对这些元素的变化趋势进行研究,分析它们的极限情况或者极端位置,并进行估算,以此来判断选择的结果.这种通过动态变化,或对极端取值来解选择题的方法是一种极限化法. 【例1】正三棱锥BCD A -中,E 在棱AB 上,F 在棱CD 上,使 λ==FD CF EB AE )0(>λ, 设α为异面直线EF 与AC 所成的角,β为异面直线EF 与BD 所成的角,则βα+的值是 ( ) A . 6 π B . 4 π C . 3 π D . 2 π 【巧解】当0→λ时,A E →,且C F →,从而AC EF →。因为BD AC ⊥,排除选择支C B A ,,故选D (或+∞→λ时的情况,同样可排除C B A ,,),所以选D 【例2】若3 223 2 (),,log 3x a b x c x ===,当x >1时,,,a b c 的大小关系是 ( ) A .a b c << B .c a b << C .c b a << D .a c b << 【巧解】当0→x 时,3 2→ a ,1→ b ,0→ c ,故c a b <<,所以选B 巧练一:若x x x sin 32,2 0与则π <<的大小关系 ( ) A .x x sin 32> B .x x sin 32< C .x x sin 32= D .与x 的取值有关 巧练二:对于任意的锐角βα,,下列不等关系式中正确的是( ) (A )βαβαsin sin )sin(+>+ (B )βαβαcos cos )sin(+>+ (C )βαβαsin sin )cos(+>+ (D ) βαβαcos cos )cos(+<+ 十、整体化法 整体化法是在解选择题时,有时并不需要把题目精解出来,而是从题目的整体去观察,分析和把握,通过整体反映的性质或者对整体情况的估算,确定具体问题的结果,例如,对函数问题,有时只需要研究它的定义域,值域,而不一定关心它的解析示式,对函数图象,有时可以从它的整体变化趋势去观察,而不一定思考具体的对应关系,或者对4个选项进行比较以得出结论,或者从整体,从全局进行估算,而忽略具体的细节等等,都可以缩短解题过程,这是一种从整体出发进行解题的方法. 【例1】已知θ是锐角,那么下列各值中,θθcos sin +可能取到的值是( ) A . 4 3 B . 3 4 C . 3 5 D .2 1 【巧解】∵)4 sin(2cos sin π θθθ+=+,又θ是锐角,∴2 0π θ< < 4 34 4 ππ θπ < + <,∴ 1)4 sin(2 2≤+ <π θ,即2)4 sin(21≤+ <π θ,故选B 【例2】(2002年,全国卷)据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》指出“2001年国内生产总值达到95933亿元,比上一年增长7.3%.”如果“十·五”期间(2001-2005年)每年的国内生产总值按此年增长率增长,那么,到“十·五”末,我国国内生产总值约为( ) (A )115000亿元 (B)120000亿元 (C) 127000亿元 (D)135000亿元 【巧解】 注意到已知条件给出的数据非常精确, 2001年国内生产总值达到95933亿元,精确到亿元,而四个选项提供的数据都是近似值, 精确到千亿元,即后三位都是0,因此,可以从整体上看问题,忽略一些局部的细节. 把95933亿元近似地视为96000亿元,又把20.073近似地视为0.005,这样一来,就有 ()() 4 2 9593317.3%96000140.07360.073 ?+≈+?+? 96000(10.29260.005)126720127000. ≈?++?=≈ 巧练一: 如图所示为三角函数)sin(?ω+=x A y ,()0,2 ||> ?的图象的一部分,则此 函数的周期T 可能是( ) A . π4 B .π2 C .π D . 8 11π 巧练二:(全国卷)如图,在多面体ABCDEF 中,已知面ABCD 是边长为3的正方形,EF ∥AB , EF 2 3= ,EF 与面AC 的距离为2,则该多面体的体积为( ) (A )2 9 (B )5 D E F C B A O x y 2- 2 4 3π (C )6 (D )2 15 十一、参数法 在解题过程中,适当引入一个或几个新变量代替原式中的某些量,使得原式中仅含有这些新变量,以此作为媒介,在进行分析和综合,然后对新变量求出结果,从而解决问题的方法叫参数法。 【例1】(2008年,安徽卷)设椭圆222 2 : 1(0)x y C a b a b + =>>过点(2,1)M ,且左焦点为 1(2,0)F - (Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点,A B 时,在线段A B 上取点Q ,满 足AP Q B AQ PB ?=? ,证明:点Q 总在某定直线上。 【巧解】(1)由题意:2222222211c a b c a b ?=??+=???=-? ,解得22 4,2a b ==,所求椭圆方程为 22 142x y += (2) 由AP Q B AQ PB ?=? 得:| || |||||QB AQ PB AP = 设点Q 、A 、B 的坐标分别为11 22(,),(,),(,)x y x y x y 。由题设知,,,AP PB AQ Q B 均不为零,记AP AQ PB Q B λ== ,则0λ>且1λ≠,又A ,P ,B ,Q 四点共线,从而,AP PB AQ Q B λλ=-= , 于是 1241x x λλ -= -, 1211y y λλ -= -, 121x x x λλ +=+, 121y y y λλ += + 从而 2 2 2 122 41x x x λλ -=-, ① 2 2 2 122 1y y y λλ -=-, ② 又点A 、B 在椭圆C 上,即 221124,x y += ③ 22 2224,x y += ④ ①+②2?并结合③,④得424x y +=,即点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上。 【例2】(2004年,辽宁卷)设椭圆方程为14 2 2 =+y x ,过点M (0,1)的直线l 交椭圆于点 A 、 B ,O 是坐标原点,点P 满足)(2 1OB OA OP +=,点N 的坐标为)2 1 ,21( ,当l 绕点M 旋转时,求动点P 的轨迹方程; 【巧解】直线l 过点M (0,1)设其斜率为k ,则l 的方程为.1+=kx y 记),(11y x A 、),,(22y x B 由题设可得点A 、B 的坐标),(11y x 、),(22y x 是方程组 ?? ???=++=14122y x kx y 的解. 将①代入②并化简得,032)4(22=-++kx x k ,所以 ??? ??? ?+=++-=+.48,42221221k y y k k x x 于是 ).44, 4( )2 , 2 ( )(2 12 2 2 12 1k k k y y x x OB OA OP ++-=++=+= 设点P 的坐标为),,(y x 则 ??? ??? ? +=+-=.44,422k y k k x 消去参数k 得042 2=-+y y x ③ 当k 不存在时,A 、B 中点为坐标原点(0,0),也满足方程③,所以点P 的轨迹方程 为.042 2 =-+y y x 巧练一:(2008年,全国I 卷)直线1=+ b y a x 通过点)sin ,(cos ααM ,则有 ( ) A .12 2 ≤+b a B . 12 2 ≥+b a C . 1112 2 ≥+ b a D . 1112 2 ≤+ b a 巧练二: 如图,已知直线l 与抛物线y x 42 =相切于点P (2,1),且与x 轴交于点A ,O 为坐 标原点,定点B 的坐标为(2,0). (I )若动点M 满足0||2=+ ?AM BM AB ,求点M 的轨迹C ; ① ② (II )若过点B 的直线l ′(斜率不等于零)与(I )中的轨迹C 交于不同的两点E 、F (E 在B 、F 之间),试求△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围. 十二、交轨法 如果所求轨迹是两条动曲线(包括直线)的交点所得,其一般方法是恰当地引进一个参数,写出两条动曲线的方程,消去参数,即得所求的轨迹方程,所以交轨法是参数法的一种特殊情况。 【例1】已知椭圆C :12 222 =+b y a x 3 6)0(的离心率为 >>b a ,短轴一个端点到右焦点F 的距离 为3. (Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)设直线l 经过椭圆的焦点F 交椭圆C 交于A 、B 两点,分别过A 、B 作椭圆的两条切线, A 、 B 为切点,求两条切线的交点P 的轨迹方程。 【巧解】(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c ,依题意6 33c a a ?= ??? =?,, 解之得2= c 1b ∴=,∴所求椭圆方程为 2 2 13 x y +=. (Ⅱ)由(I )知)0,2(F ,设),(11y x A ,),(22y x B ,),(00y x P ,对椭圆 2 2 13 x y += 求导: 023 2='+y y x ,即y x y 3- =',则过A 点的切线方程PA 为)(311 11x x y x y y --=- 整理得3311=+y y x x ① 同理过B 点的切线方程PB 为3322=+y y x x ②,又 ),(00y x P 在两切线PA 、PB 上,∴330101=+y y x x 330202=+y y x x ,因此,),(11y x A ,),(22y x B 两点在均在直线3300=+y y x x 上, 又∵)0,2(F 在直线3300=+y y x x 上,∴303200=?+y x ,即2 230= x 为交点P 的 轨迹方程 【例2】过抛物线C :2x y =上两点M ,N 的直线l 交y 轴于点P (0,b ). (Ⅰ)若∠MON 是钝角(O 为坐标原点),求实数b 的取值范围; (Ⅱ)若b=2,曲线C 在点M ,N 处的切线的交点为Q.证明:点Q 必在一条定直线上 运动. 【巧解】(Ⅰ)设点M ,N 坐标分别为).,(),,(),)(,(),,(22221121222211x x ON x x OM x x x x x x ==≠则由题意可设直线l 方程为 y=kx+b,?????-=?=+>+=?∴=--???+==b x x k x x b k b kx x y b kx y x y 2 12122 2 4,0得消去由 分 的取值范围是 不成立三点不共势此时得由且是钝角6).1,0(.1cos ,,,.10,0. 1cos ,0| |||cos ,2 22 21 21 b MON N M O b b b x x x x ON OM MON ON OM ON OM MON MON ∴-=∠<<<+-=+=?-≠∠?= ∠∴∠ (Ⅱ)当b=2时,由(Ⅰ)知???-=-=?=+, 2,2121b x x k x x ∵函数y=x 2的导数y ′=2x , 抛物线在),(),,(2 22211x x N x x M 两点处切线的斜率分别为,2,221x k x k N M ==∴在点M ,N 处 的切线方程分别为 . 2, 2,2,,2),(),()(2),(2). (2:),(2:212121222 2112 12222112 1上运动点在定直线 即满足 的坐标解得交点由-=∴????? -==?? ?? ??=+= ≠?? ???-=--=--=--=-y Q y k x x x y x x x y x Q x x x x x x y x x x x y x x x x y l x x x x y l N M 巧练一:已知定点A (1,0)和定直线1-=x 上的两个动点E 、F ,满足AF AE ⊥,动点P 满足OP FO OA EP //,//(其中O 为坐标原点). (Ⅰ)求动点P 的轨迹C 的方程; (Ⅱ)设直线l 经过点)0,1(M 与轨迹C 交于A 、B 两点,分别过A 、B 作轨迹C 的两条切线, A 、 B 为切点,求两条切线的交点P 的轨迹方程。 巧练二:如图,在以点O 为圆心,|AB |=4为直径的半圆ADB 中,OD ⊥AB ,P 是半圆弧上一点,∠POB =30°. 曲线C 是满足||MA |-|MB ||为定值的动点M 的轨迹,且曲线C 过点P . (Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求曲线C 的方程; (Ⅱ)设过点D 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点E 、F . 分别过E 、F .作轨迹C 的两条切线,E 、F .为切点, 求两条切线的交点Q 的轨迹方程。 十三、几何法 利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质,发现动点运动规律,然后得出题目结论的方法叫做几何法。 【例1】(2008年,浙江卷)已知a 、b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c 满足||,0)()(c c b c a 则=-?- 的最大值是( ) (A )1 (B )2 (C )2 (D )2 2 【巧解】不妨设以a 、b 所在直线为x 轴,y 轴,且)0,1(=a ,)1,0(=b , ),(y x c =由已知0)()(=-?-c b c a 得0||)(2 =+?+-?c c b a b a , 整理得02 2=--+y x y x 即2 1) 2 1() 21(2 2 = - +- y x ,所以向量c 的坐标是以)2 1 ,21(为圆心, 2 2为半径的一个圆且过原点,故||c 的最大值即为圆的直径为2,故本题选(C ) 【例2】(2008年,江苏卷)若AB=2,AC=ABC S BC ?则,2的最大值 . 【巧解】建立如图平面直角坐标系,设),(y x C ,)0,0(A ,)0,2(B ,由BC AC 2= 即||2||BC AC = ,∴ 2 22 2 )2(2y x y x +-=+, O x y C ||c ),(y x C )0,4(D y 化简得08822=++-y x x 配方得8)4(22=+-y x ,所以C 点轨迹是以)0,4(D 为圆心, 22为半径的一个圆(除去与x 轴的两个交点) ,所以当C 点纵坐标绝对值为22,即22||=y 时,ABC S ?有最大值为 222 2 22=?,所以答案为22 巧练一:已知)1,1(m m m m A - + ,)0,1(B ,其中0 巧练二:已知实数x 、y 满足6)2()2(2 222=++++-y x y x ,则y x +2的最大值等 于 . 十四、弦中点轨迹法 有关弦中点的问题,主要有三种类型:过定点且被定点平分的弦;平行弦的中点轨迹;过定点的弦重点轨迹。“点差法”解决有关弦中点问题较方便,要点是巧代斜率。 【例1】(2009年高考海南、宁夏卷)已知抛物线C 的顶点在坐标原点,焦点为)0,1(F ,直线 l 与抛物线C 相交于A ,B 两点,若AB 的中点为(2,2),则直线l 的方程为 . 【巧解】由)0,1(F 知抛物线C 的方程为x y 42=,设),(11y x A ,),(22y x B ,代入抛物线方程则有:12 14x y =,22 24x y =,两式相减有)(4212 22 1x x y y -=-, 即4)(4)(21212 121=+?=+--y y k y y x x y y ,又 21= +y y ,∴44=k ,即1=k 。 故AB l :22-=-x y ,即x y =,∴本题应填x y = 【例2】椭圆12 2 =+by ax 与直线x y -=1交于A 、B 两点,若过原点与线段AB 中点的 直线的倾斜角为0 30,则 b a 的值为 ( ) (A )4 3 (B )3 3 (C )2 3 (D )3 【巧解】设AB 的中点为),(00y x M ,),(11y x A ,),(22y x B ,则0212x x x =+ 0212y y y =+,又???=+=+11 2 22 2 2121by ax by ax ,两式相减,得 0))(())((21212121=-++-+y y y y b x x x x a , 即0)(2)(2210210=-+-y y by x x ax ,∴10 02 121-=- =--by ax x x y y ∴10 0=by ax ,又 3 330 tan 0 0= =x y ,∴ 3 3=b a ,故选(B ) 巧练一:若椭圆12 2 =+ny mx 与直线01=-+y x 交于A 、B 两点,过原点与线段AB 中 点的直线的斜率为2 2,则 m n 的值为 . 巧练二:若椭圆 19 36 2 2 =+ y x 的弦被点)2,4(P 平分,则此弦所在直线的斜率是为 . 十五、比较法 现实世界的同类量之间,有相等关系,也有不等关系。两个可以比较大小的量a 和b ,若0=-b a ,0>-b a ,0<-b a ,则它们分别表示b a =,b a >,b a <,我们把根据两个量的差的正、负或零判断两个量不等或相等的方法叫做差式比较法;当两个量均为正值时,有时我们又可以根据 1=b a , 1>b a 或 1 a 来判断 b a =,b a >,b a <,这个方法叫做商 式比较法。这两种方法在数列与函数、不等式交汇问题中应用广泛。 比较法之一(作差法0步骤:作差——变形——定号——结论 (1)作差:对要比较大小的两个数(或式)作差。 (2)变形:常采用配方、因式分解等恒等变形手段,将“差”化成“积”。 (3)定号:就是确定是大于0,还是等于0,还是小于0,最后下结论。 概括为“三步,一结论”,这里的“定号”是目的,“变形”是关键。 注意:若两个正数作差比较有困难,可以把式子灵活变形,通过作商或将它们的平方差来比较大小。 【例1】已知数列{}n a 中,11=a ,且点))(,(* 1N n a a P n n ∈+在直线01=+-y x 上 (1)求{}n a 的通项公式; (2)若函数)2,(1...11)(2 1 ≥∈++ +++ += n N n a n a n a n n f n ,求函数)(n f 的最小值. 【巧解】(1) 点),(1+n n a a P 在直线01=--y x 上,即11=-+n n a a 且11=a ∴数列}{n a 是以1为首项,1为公差的等差数列 n n a n =?-+=∴1)1(1 n a n =∴ (2)n n n n f 212 111)(+ ++++= , 221121 213 1 21 )1(++++ ++++ += +n n n n n n f 01 12 212 211 12 211 21 )()1(=+- ++ +> +- ++ += -+∴n n n n n n n f n f )(n f ∴是单调递增的,故)(n f 的最小值是12 7)2(=f 【例2】(Ⅰ)已知函数n S x x x f .263)(2 -+-=是数列}{n a 的前n 项和,点(n ,S n )(n ∈N*),在曲线2)(+=x f y 上,求a n . (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若6 ,)21(1 n n n n n b a c b ?==-,且T n 是数列{c n }的前n 项和.试问T n 是否存在最大值?若存在,请求出T n 的最大值,若不存在,请说明理由. 【巧解】(Ⅰ)点(n ,S n )在曲线()2y f x =+上,所以2 36.n s n n =-+ 当n =1时,a 1= S 1=3,当n ≥2时,a n = S n - S n -1=9-6n , 96.n a n ∴ =- (Ⅱ)11119611(),()(32)(),26622 n n n n n n n n b c a b n ---====- 2111 11()(32)().222 n n n T c c c n ∴=+++= -++- 利用错位相减法,1 (21)() 1.2 n n T n ∴=+- 1 1111(21)()0,1(23)()0,22 n n n n T n T n +++=+>+=+> 2011—2017年新课标高考全国Ⅰ卷理科数学客观题分类汇编 1.集合与常用逻辑用语 一、选择题 【2017,1】已知集合,,则() A.B.C. D. 【2016,1】设集合,,则()A.B.C.D. 【2015,3】设命题:,,则为() A.,B.,C., D., 【2014,1】已知集合A={|},B=,则=( ) .[-2,-1] .[-1,2).[-1,1] .[1,2) 【2013,1】已知集合A={x|x2-2x>0},B={x|-<x<},则( ) A.A∩B=B.A∪B=R C.B A D.A B 【2012,1】已知集合A={1,2,3,4,5},B={(,)|,,} ,则B中包含元素的个数为() A.3 B.6 C.8 D.10 2.函数及其性质 一、选择题 【2017,5】函数在单调递减,且为奇函数.若,则满足的的取值范围是() A.B.C.D. 【2017,11】设为正数,且,则() A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z 【2016,7】函数在的图像大致为() A.B.C.D. 【2016,8】若,,则() A . B . C . D . 【2014,3】设函数,的定义域都为R ,且是奇函数,是偶函数,则下列结论正确的是() .是偶函数.||是奇函数 .||是奇函数.||是奇函数 【2013,11】已知函数f(x)=若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是( ) A.(-∞,0] B.(-∞,1] C.[-2,1] D.[-2,0] 【2012,10】已知函数,则的图像大致为() 【2011,12】函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于()A.2 B.4 C.6 D.8 【2011,2】下列函数中,既是偶函数又在单调递增的函数是()A.B.C.D. x y O 1 1 A. 1 y x O 1 x y O 1 1 1 x y 1 O B.C.D. 10分钟秒杀高考数学选择题——老师不会教你的技巧 特值法: 从题干(或选项)出发,通过选取特殊情况代入,将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置,进行判断.特殊化法是“小题小做”的重要策略,要注意在怎样的情况下才可使用,特殊情况可能是:特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等 例1 (2017·卷)若a >b >0,且ab =1,则下列不等式成立的是( ) A.a +1b <b 2a <log 2(a +b ) B.b 2a <log 2(a +b )<a +1 b C.a +1b <log 2(a +b )<b 2 a D.log 2(a +b )<a +1b <b 2 a 例2.设4 7 10 310()22222()n f n n N +=++++ +∈,则()f n =( ) A 、 2(81)7n - B 、12(81)7n +- C 、32(81)7n +- D 、42 (1)7 n n +- 【解析】思路一(特值法):令0n =,则34 4 7 10 421(2)2 (0)2222(81)12 7 f ??-?? =+++= =--,对照选项,只有D 成立。 思路二:f (n )是以2为首项,8为公比的等比数列的前4n +项的和,所以 44 2(18)2()(1)187 n n f n n ++-==--,选D 。这属于直接法。 例3.若函数(1)y f x =+是偶函数,则(2)y f x =的对称轴是( ) A 、0x = B 、1x = C 、1 2 x = D 、2x = 【解析】:因为若函数(1)y f x =+是偶函数,作一个特殊函数2 (1)y x =-,则(2)y f x =变为2 (21)y x =-,即知(2)y f x =的对称轴是1 2 x = ,选C 例4.△ABC 的外接圆的圆心为O ,两条边上的高的交点为H ,=m(++)OH OA OB OC ,则实数m= 【答案】1 【解析】取特殊的直角三角形△ABC ,点O 为斜边的中点,点H 与三角形直角顶点C 重合,这时候有=++OH OA OB OC ,所以m=1 神奇巧解高考数学选择题专题 前 言 高考数学选择题,知识覆盖面宽,概括性强,小巧灵活,有一定深度与综合性,而且分值大,能否迅速、准确地解答出来,成为全卷得分的关键。 解选择题常见的方法包括数形结合、特值代验、逻辑排除、逐一验证、等价转化、巧用定义、直觉判断、趋势判断、估计判断、退化判断、直接解答、现场操作,等等。考生应该有意识地积累一些经典题型,分门别类,经常玩味,以提高自己在这方面的能力。下面主要就间接法分别举例说明之,并配备足够的对应练习题,每题至少提供有一种解法。 例题与题组 一、数形结合 画出图形或者图象能够使问题提供的信息更直观地呈现,从而大大降低思维难度,是解决数学问题的有力策略,这种方法使用得非常之多。 【例题】、(07江苏6)设函数()f x 定义在实数集上,它的图象关于直线1x =对称,且当1x ≥时,()31x f x =-,则有( )。 A 、132()()()323f f f p p B 、231 ()()()323 f f f p p C 、213()()()332f f f p p D .321()()()233f f f p p 【解析】、当1x ≥时,()31x f x =-,()f x 图象关于直线1x =()|1|f x x =-的图象代替它也可以。由图知, 符合要求的选项是B , 【练习1】、若P (2,-1)为圆22(1)25x y -+=的弦AB 的中点,则直线AB 的方程是( ) A 、30x y --= B 、230x y +-= C 、10x y +-= D 、250x y --= (提示:画出圆和过点P 的直线,再看四条直线的斜率,即可知选A ) 【练习2】、(07辽宁)已知变量x 、y 满足约束条件20170x y x x y -+≤??≥??+-≤?,则y x 的取值范围是( ) A 、9,65?????? B 、[)9 ,6,5??-∞+∞ ???U C 、(][),36,-∞+∞U D 、[]3,6 (提示:把y x 看作可行域内的点与原点所在直线的斜率,不难求得答案 ,选A 。) 【练习3】 、曲线[]12,2)y x =+∈- 与直线(2)4y k x =-+有两个公共点时, k 的取值范围是( ) A 、5(0,)12 B 、11 (,)43 C 、5(,)12+∞ D 、53(,)124 (提示:事实上不难看出,曲线方程[]12,2)y x =∈-的图象为22(1)4(22,13)x y x y +-=-≤≤≤≤,表示以(1,0)为圆心,2为半径的上半圆,如图。直线(2)4y k x =-+过定点(2,4),那么斜率的范围就清楚了,选D )] 【练习4】、函数)1(||x x y -=在区间 A 上是增函数,则区间A 是( ) A 、(]0,∞- B 、?? ????21,0 高考数学做选择题的技巧及例题 1、直接法:就是从题设条件出发,通过正确的运算、推理或判断,直接得出结论再与选择支对照,从而作出选择的一种方法.运用此种方法解题需要扎实的数学基础. 例1、某人射击一次击中目标的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有2次击中目标的概率为 ( ) 12527. 125 36. 125 54. 125 81. D C B A 解析:某人每次射中的概率为0.6,3次射击至少射中两次属独立重复实验. 12527)106(104)106(33 3223= ?+??C C 故选A. 例3、已知F 1、F 2是椭圆162x +92 y =1的两焦点,经点F 2的的直线交椭圆于点A 、B ,若|AB|=5,则 |AF 1|+|BF 1|等于( ) A .11 B .10 C .9 D .16 解析:由椭圆的定义可得|AF 1|+|AF 2|=2a=8,|BF 1|+|BF 2|=2a=8,两式相加后将|AB|=5=|AF 2|+|BF 2|代入,得|AF 1|+|BF 1|=11,故选A. 例4、已知 log (2) a y ax =-在[0,1]上是x 的减函数,则a 的取值范围是( ) A .(0,1) B .(1,2) C .(0,2) D .[2,+∞) 解析:∵a>0,∴y 1=2-ax 是减函数,∵ log (2) a y ax =-在[0,1]上是减函数. ∴a>1,且2-a>0,∴1tan α>cot α( 24π απ < <- ),则α∈( ) A .(2π- ,4π - ) B .(4π- ,0) C .(0,4π ) D .(4π,2π) 解析:因 24 π απ < <- ,取α=-6π 代入sin α>tan α>cot α,满足条件式,则排除A 、C 、D ,故选B. 例6、一个等差数列的前n 项和为48,前2n 项和为60,则它的前3n 项和为( ) 第1讲“六招”秒杀选择题——快得分题型概述选择题解法的特殊性在于可以“不讲道理”.常用方法分直接法和间接法两大类.直接法是解答选择题最基本、最常用的方法,但高考的题量较大,如果所有选择题都用直接法解答,时间可能不允许,因此,我们还要研究解答选择题的一些间接法的应用技巧.其基本解答策略是:充分利用题干和选项所提供的信息作出判断.先定性后定量,先特殊后推理,先间接后直接,先排除后求解,总的来说,选择题属于小题,尽量避免“小题大做”.在考场上,提高了解题速度,也是一种制胜的法宝. 方法一直接法 直接从题设条件出发,运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识,通过严密地推理和准确地运算,从而得出正确的结论,然后对照题目所给出的选项“对号入座”,作出相应的选择.涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法. 【例1】(1)(2016·全国Ⅱ卷)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a +b)⊥b,则m=( ) A.-8 B.-6 (2)(2016·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a =5,c=2,cos A=2 3 ,则b=( ) 解析(1)由题知a+b=(4,m-2),因为(a+b)⊥b,所以(a+b)·b=0,即4×3+(-2)×(m-2)=0,解之得m=8,故选D. (2)由余弦定理得5=b2+4-2×b×2×2 3, 解得b=3或b=-1 3 (舍去). 答案 (1)D (2)D 探究提高 1.直接法是解答选择题最常用的基本方法.直接法适用的范围很广,只要运算正确必能得出正确的答案,解题时要多角度思考问题,善于简化计算过程,快速准确得到结果. 2.用简便的方法巧解选择题,是建立在扎实掌握“三基”的基础上的,否则一味求快则会快中出错. 【训练1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷改编)设等比数列{a n }满足a 1+a 2=-1,a 1 -a 3=-3,则a 4=( ) B.-8 D.-4 (2)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是( ) 解析 (1)由{a n }为等比数列,设公比为q . ???a 1+a 2=-1,a 1-a 3=-3,即???a 1+a 1q =-1,①a 1-a 1q 2=-3,② 显然q ≠-1,a 1≠0, ② ① 得1-q =3,即q =-2,代入①式可得a 1=1, 所以a 4=a 1q 3=1×(-2)3=-8. (2)第一次循环:z =2,x =1,y =2; 第二次循环:z =3,x =2,y =3; 第三次循环:z =5,x =3,y =5; 第四次循环:z =8,x =5,y =8; 第五次循环:z =13,x =8,y =13; 第六次循环:z =21,x =13,y =21; 第七次循环:z =34,x =21,y =34,z =55. 高考数学选择题技巧精 选文档 TTMS system office room 【TTMS16H-TTMS2A-TTMS8Q8- 高考数学选择题的解题策略 解答选择题的基本策略是准确、迅速。准确是解答选择题的先决条件,选择题不设中间分,一步失误,造成错选,全题无分,所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏,确保准确;迅速是赢得时间获取高分的必要条件,对于选择题的答题时间,应该控制在不超过40分钟左右,速度越快越好,高考要求每道选择题在1~3分钟内解完,要避免“超时失分”现象的发生。 高考中的数学选择题一般是容易题或中档题,个别题属于较难题,当中的大多数题的解答可用特殊的方法快速选择。解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想,但更应看到选择题的特殊性,数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的,因而,在解答时应该突出一个“选”字,尽量减少书写解题过程,要充分利用题干和选择支两方面提供的信息,依据题目的具体特点,灵活、巧妙、快速地选择解法,以便快速智取,这是解选择题的基本策略。 (一)数学选择题的解题方法 1、直接法:就是从题设条件出发,通过正确的运算、推理或判断,直接得出结论再与选择支对照,从而作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础。 例1、某人射击一次击中目标的概率为,经过3次射击,此人至少有2次 击中目标的概率为 ( ) 解析:某人每次射中的概率为,3次射击至少射中两次属独立重复实验。 125 27)106(104)106(33 3223= ?+??C C 故选A 。 例2、有三个命题:①垂直于同一个平面的两条直线平行;②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直;③异面直线a 、b 不垂直,那么过a 的任一个平面与b 都不垂直。其中正确命题的个数为( ) A .0 B .1 C .2 D .3 解析:利用立几中有关垂直的判定与性质定理对上述三个命题作出判断,易得都是正确的,故选D 。 例3、已知F 1、F 2是椭圆162x +9 2 y =1的两焦点,经点F 2的的直线交椭圆 于点A 、B ,若|AB|=5,则|AF 1|+|BF 1|等于( ) 一讲选择题速解方法 ——七大方法巧解选择题 题型解读 型地位 择题是高考数学试卷的三大题型之一.选择题的分数一般占全卷的40%左右.解选择题的快慢和成功率的高低对于能否进入做题的最佳状态以及整个考试的成败起着举足轻重的作用.如果选择题做得比较顺手,会使应试者自信心增强,有利于后续试题的解答. 型特点 学选择题属于客观性试题,是单项选择题,即给出的四个选项中只有一个是正确选项,且绝大部分数学选择题属于低中档题.一般按由易到难的顺序排列,主要的数学思想和数学方法能通过它得到充分的体现和应用,并且因为它还有相对难度(如思维层次、解题方法的优劣选择,解题速度的快慢等),所以选择题已成为具有较好区分度的基本题型之一.其主要体现在以下三个方面: 1)知识面广,切入点多,综合性较强; 2)概念性强,灵活性大,技巧性较强; 3)立意新颖,构思精巧,迷惑性较强. 于解选择题不要求表述得出结论的过程,只要求迅速、准确作出判断,因而选择题的解法有其独特的规律和技巧.因此,我们应熟练掌握选择题的解法,以“准确、迅速”为宗旨,绝不能“小题大做”. 题策略 学选择题的求解,一般有两条思路:一是从题干出发考虑,探求结果;二是从题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件.其解法的基本思想有以下两点: 1)充分利用题干和选择支提供的信息,快速、准确地作出判断,是解选择题的基本策略. 2)既要看到通常各类常规题的解题思想,原则上都可以指导选择题的解答,更应看到,根据选择题的特殊性,必定存在着一些特殊的解决方法.其基本做法如下:①仔细审题,领悟题意;②抓住关键,全面分析;③仔细检查,认真核对. 另外,从近几年高考试题的特点来看,选择题以认识型和思维型的题目为主,减少了繁琐的运算,着力考查逻辑思维与直觉思维能力,以及观察、分析、比较、选择简捷运算方法的能力,且许多题目既可用通性通法直接求解,也可用“特殊”方法求解.所以做选择题时最忌讳: 1)见到题就埋头运算,按着解答题的解题思路去求解,得到结果再去 (一)数学选择题的解题方法 1、直接法:就是从题设条件出发,通过正确的运算、推理或判断,直接得出结论再与选择支对照,从而作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础。 例1、某人射击一次击中目标的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有2次击中目标的概率为 ( ) 125 27.12536.12554.12581.D C B A 解析:某人每次射中的概率为0.6,3次射击至少射中两次属独立重复实验。 125 27)106(104)106(333223=?+??C C 故选A 。 例3、已知F 1、F 2是椭圆162x +9 2 y =1的两焦点,经点F 2的的直线交椭圆于点A 、B ,若|AB|=5,则|AF 1|+|BF 1|等于( ) A .11 B .10 C .9 D .16 解析:由椭圆的定义可得|AF 1|+|AF 2|=2a=8,|BF 1|+|BF 2|=2a=8,两式相加后将|AB|=5=|AF 2|+|BF 2|代入,得|AF 1|+|BF 1|=11,故选A 。 例4、已知log (2)a y ax =-在[0,1]上是x 的减函数,则a 的取值范围是( ) A .(0,1) B .(1,2) C .(0,2) D .[2,+∞) 解析:∵a>0,∴y 1=2-ax 是减函数,∵ log (2)a y ax =-在[0,1]上是减函数。 ∴a>1,且2-a>0,∴1tan α>cot α(24παπ<<- ),则α∈( ) A .(2π-,4π-) B .(4π-,0) C .(0,4π) D .(4π,2 π) 解析:因24παπ<<-,取α=-6 π代入sin α>tan α>cot α,满足条件式,则排除A 、C 、D ,故选B 。 例6、一个等差数列的前n 项和为48,前2n 项和为60,则它的前3n 项和为( ) A .-24 B .84 C .72 D .36 解析:结论中不含n ,故本题结论的正确性与n 取值无关,可对n 取特殊值,如n=1,此时a 1=48,a 2=S 2-S 1=12,a 3=a 1+2d= -24,所以前3n 项和为36,故选D 。 (2)特殊函数 例7、如果奇函数f(x) 是[3,7]上是增函数且最小值为5,那么f(x)在区间[-7,-3]上是( ) A.增函数且最小值为-5 B.减函数且最小值是-5 C.增函数且最大值为-5 D.减函数且最大值是-5 盘点2017高考一轮复习数学客观题解题方法_答题技巧 解选择题常见的方法包括数形结合、逻辑排除、逐一验证、估计判断、直接解答等等。方法很多,同学要学会灵活应用,分门别类,以提高自己在这方面的能力,下面是查字典数学网整理的 数学客观题解题方法,供参考。 1、直接法 直接从题设条件出发,运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识,通过严密的推理和准确的运算,从而得出正确的结论。直接法是解答选择题最常用的基本方法,低档选择题可用此法迅速求解。直接法适用的范围很广,只要运算正确必能得出正确的答案。 2、排除法 从题设条件出发,运用定理、性质、公式推演,根据四选一的指令,逐步剔除干扰项,从而得出正确的判断。筛选法适应于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的条件多于一个时,先根据某些条件在选择支中找出明显与之矛盾的,予以否定,再根据另一些条件在缩小的选择支的范围那找出矛盾,这样逐步筛选,直到得出正确的选择。 3、数形结合法 据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形,借助几何图形的直观性作出正确的判断.习惯上叫数形结合法。它在解有关选择题时非常简便有效。 4、估值法 由于选择题提供了唯一正确的选择支,解答又无需过程.因此可以猜测、合情推理、估算而获得。这样往往可以减少运算量,当然自然加强了思维的层次。估算,省去了很多推导过程和比较复杂的计算,节省了时间,从而显得快捷.其应用广泛,它是人们发现问题、研究问题、解决问题的一种重要的运算方法。 其实还有最重要的就是代入法,有的选项,你只要带进去算就行了,其实很简单的。 盘点2017高考一轮复习数学客观题解题方法分享到这里,更多内容请关注高考数学答题技巧栏目。 高考数学答题中的一些特殊技巧选择题是知识灵活运用,解题要求是只要结果、不要过程。因此,逆代法、估算法、特例法、排除法、数形结合法……尽显威力。12个选择题,若能把握得好,容易的一分钟一题,难题也不超过五分钟。由于选择题的特殊性,由此提出解选择题要求“快、准、巧”,忌讳“小题大做”。 选择题应做到准确而且快速,应“多一点想的,少一点算的”,“不算就不会算错”因此,在解答时应该突出一个"选"字,尽量减少书写解题过程,在对照选择支的同时,多方考虑间接解法,依据题目的具体特点,灵活、巧妙、快速地选择解法,以便快速智取。我们不要给任何“方法”做出限定,重要的是这种解答的思想方式。 一、按部就班的解题方法。 二、解题技巧。 选择题只管结果,不管中间过程,因此在解题过程中可以大胆的简化中间过程,但简化毕竟是简化,数学是一门具有高度精密逻辑性的严谨的科学,没有充分的依据,所有的条件反射都是错误的,只有找到对的依据、逻辑思维过程、验证,答案才可确定,“做题不可以凭印象来,凡‘差不多就是’的都是错误的,无十足把握的都是错误的”。 选择题毕竟是简单的甚至可以口算的,思路也是简单的,如果没思路、做不下去或觉得复杂,或者发现做的时候需要大 量计算的时候,可以明确的告诉自己,你的方向错了,可以换一种思路了。 1.直接法 当选择题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编成的时,可直接按计算题、应用题、证明题、判断题来做,确定答案之后,从选项里找即可。 2.筛选法(排除法) 去伪存真,筛除一些较易判定的的、不合题意的结论,以缩小选择的范围,再从其余的结论中求得正确的答案。如筛去不合题意的以后,结论只有一个,则为应选项。 3.特殊值法 根据答案中所提供的信息,选择某些特殊情况进行分析,或某些特殊值进行计算,或将字母参数换成具体数值代入,或将比例数看成具体数带人,总之,把一般形式变为特殊形式,再进行判断往往十分简单。 4.验证法(代入法) 将各选项逐个代入题干中,进行验证、或适当选取特殊值进行检验、或采取其他验证手段,以判断选择支正误的方法。 5.图象法 可先根椐题意,作出草图,然后参照图形的作法、形状、位置、性质,综合图象的特征,得出结论。 6.试探法 高考数学选择题解题技巧 数学选择题在当今高考试卷中,不但题目多,而且占分比例高。数学选择题具有概括性强,知识覆盖面广,小巧灵活,且有一定的综合性和深度等特点,考生能否迅速、准确、全面、简捷地解好选择题,成为高考成功的关键。 解答选择题的基本策略是准确、迅速。准确是解答选择题的先决条件,选择题不设中间分,一步失误,造成错选,全题无分,所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏,确保准确;迅速是赢得时间获取高分的必要条件,对于选择题的答题时间,应该控制在不超过40分钟左右,速度越快越好,高考要求每道选择题在1~3分钟内解完,要避免“超时失分”现象的发生。 高考中的数学选择题一般是容易题或中档题,个别题属于较难题,当中的大多数题的解答可用特殊的方法快速选择。解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想,但更应看到选择题的特殊性,数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的,因而,在解答时应该突出一个“选”字,尽量减少书写解题过程,要充分利用题干和选择支两方面提供的信息,依据题目的具体特点,灵活、巧妙、快速地选择解法,以便快速智取,这是解选择题的基本策略。 1、直接法:就是从题设条件出发,通过正确的运算、推理或判断,直接得出结论再与选择支对照,从而作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础。 例1、某人射击一次击中目标的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有2次击中目标的概率为 ( ) 125 27 . 12536.12554.12581.D C B A 解析:某人每次射中的概率为0.6,3次射击至少射中两次属独立重复实验。 125 27)106(104)106(33 3223= ?+??C C 故选A 。 例2、有三个命题:①垂直于同一个平面的两条直线平行;②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直;③异面直线a 、b 不垂直,那么过a 的任一个平面与b 都不垂直。其中正确命题的个数为( ) A .0 B .1 C .2 D .3 解析:利用立几中有关垂直的判定与性质定理对上述三个命题作出判断,易得都是正确的,故选D 。 例3、已知F 1、F 2是椭圆162x +9 2 y =1的两焦点,经点F 2的的直线交椭圆于点A 、B ,若|AB|=5,则|AF 1|+|BF 1|等于 ( ) A .11 B .10 C .9 D .16 解析:由椭圆的定义可得|AF 1|+|AF 2|=2a=8,|BF 1|+|BF 2|=2a=8,两式相加后将|AB|=5=|AF 2|+|BF 2|代入,得|AF 1|+|BF 1|=11,故选A 。 例4、已知log (2)a y ax =-在[0,1]上是x 的减函数,则a 的取值范围是( ) A .(0,1) B .(1,2) C .(0,2) D .[2,+∞) 解析:∵a>0,∴y 1=2-ax 是减函数,∵ log (2)a y ax =-在[0,1]上是减函数。 ∴a>1,且2-a>0,∴1tan α>cot α(2 4 π απ < <-),则α∈( ) A .(2π- ,4π-) B .(4π-,0) C .(0,4π) D .(4π,2 π) 解析:因24παπ<<-,取α=-6 π 代入sin α>tan α>cot α,满足条件式,则排除A 、C 、D ,故选B 。 例6、一个等差数列的前n 项和为48,前2n 项和为60,则它的前3n 项和为( ) A .-24 B .84 C .72 D .36 解析:结论中不含n ,故本题结论的正确性与n 取值无关,可对n 取特殊值,如n=1,此时a 1=48,a 2=S 2-S 1=12,a 3=a 1+2d= -24,所以前3n 项和为36,故选D 。 (2)特殊函数 例7、如果奇函数f(x) 是[3,7]上是增函数且最小值为5,那么f(x)在区间[-7,-3]上是( ) A.增函数且最小值为-5 B.减函数且最小值是-5 C.增函数且最大值为-5 D.减函数且最大值是-5 高中数学备考资料:高考数学选择题十大万能解题方法1.特值检验法:对于具有一般性的数学问题,我们在解题过程中,可以将问题特殊化,利用问题在某一特殊情况下不真,则它在一般情况下不真这一原理,达到去伪存真的目的。 2.极端性原则:将所要研究的问题向极端状态进行分析,使因果关系变得更加明显,从而达到迅速解决问题的目的。极端性多数应用在求极值、取值范围、解析几何上面,很多计算步骤繁琐、计算量大的题,一但采用极端性去分析,那么就能瞬间解决问题。 3.剔除法:利用已知条件和选择支所提供的信息,从四个选项中剔除掉三个错误的答案,从而达到正确选择的目的。这是一种常用的方法,尤其是答案为定值,或者有数值范围时,取特殊点代入验证即可排除。 4.数形结合法:由题目条件,作出符合题意的图形或图象,借助图形或图象的直观性,经过简单的推理或计算,从而得出答案的方法。数形结合的好处就是直观,甚至可以用量角尺直接量出结果来。 5.递推归纳法:通过题目条件进行推理,寻找规律,从而归纳出正确答案的方法。 6.顺推破解法:利用数学定理、公式、法则、定义和题意,通过直接演算推理得出结果的方法。 7.逆推验证法(代答案入题干验证法):将选择支代入题干进行验证,从而否定错误选择支而得出正确选择支的方法。 8.正难则反法:从题的正面解决比较难时,可从选择支出发逐步逆推找出符合条件的结论,或从反面出发得出结论。 9.特征分析法:对题设和选择支的特点进行分析,发现规律,归纳得出正确判断的方法。 10.估值选择法:有些问题,由于题目条件限制,无法(或没有必要)进行精准的运算和判断,此时只能借助估算,通过观察、分析、比较、推算,从面得出正确判断的方法。 2020高考数学选择、填空题,历年考情与考点预测 再过一个月,许多童鞋也将迎来高中的最后一个镜头,准备好摆个什么pose了嘛~分题型押题系列,希望能让你谢幕时更加潇洒。 高考数学历年考点框架 理科数学每年必考知识点: 复数、程序框图、三视图、函数与导数、三角函数、圆锥曲线、球的组合体、(计数原理、概率与统计模块)等。 理科数学每年常考的知识点: 常用逻辑用语、集合、线性规划、数列、平面向量、解三角形、定积分、直线与圆等。 最后冲刺指导(14个专题) 1、集合与常用逻辑用语小题 (1)集合小题 历年考情: 针对该考点,近9年高考都以交并补子运算为主,多与解不等式等交汇,新定义运算也有较小的可能,但是难度较低;基本上是每年的送分题,相信命题小组对集合题进行大幅变动的决心不大。 常见集合元素限定条件;对数不等式、指数不等式、分式不等式、一元二次不等式、绝对值不等式、对数函数的定义域、二次根式、、点集(直线、圆、方程组的解);补集、交集和并集;不等式问题画数轴很重要;指数形式永远大于0不要忽记;特别注意代表元素的字母是还是。 2020高考预测: (2)常用逻辑用语小题 历年考情: 9 年高考中2017 年在复数题中涉及真命题这个概念.这个考点包含的小考点较多,并且容易与函数,不等式、数列、三角函数、立体几何交汇,热点就是“充要条件”;难点:否定与否命题;冷点:全称与特称(2015 考的冷点),思想:逆否.要注意,这类题可以分为两大类,一类只涉及形式的变换,比较简单,另一类涉及命题真假判断,比较复杂。 简单叙述:小范围是大范围的充分不必要;大范围是小范围的必要不充分。 2020高考预测: 2、复数小题 专题一数学客观题的解题方法与技巧 专题一I 选择题的解法 高考数学试题中,选择题注重多个知识点的小型综合,渗透各种数学思想和方法,体现以考查“三基”为重点的导向,能否在选择题上获取高分,对高考数学成绩影响重大.解答选择题的基本要求是四个字—准确、迅速.选择题主要考查基础知识的理解、基本技能的熟练、基本计算的准确、基本方法的运用、考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面. 选择题具有题小、量大、基础、快捷、灵活的特点,是高考中的重点题型.在高考试卷中数量最大,占分比例高.全国卷的选择题占60分.因此,正确的解好选择题已成为高考中夺取高分的必要条件. 选择题从难度上讲是比其他类型题目降低了,但知识覆盖面广,要求解题熟练、准确、灵活、快捷.应“多一点想的,少一点算的”,该算不算,巧判断.因而,在解答时应该突出一个“选”字,尽量减少书写解答过程.在对照选项的同时,多方考虑间接解法,依据题目的具体特点,灵活、巧妙、快速的选择巧法,以便快速智取. 选择题的巧解说到底就是要充分利用选项提供的信息,发挥选项的作用.能力稍差的学生解选择题仅仅顾及题干,然后像解答题那样解下去,选项只取了核对的作用.本来像选择题这样的小题应当“小题小作”,但却做成了解答题.至少做成了填空题.这样就“小题大作”了,导致后面的解答题没有充裕的时间思考,这是不划算的. 由于选择题结构特殊,不要求反映过程,再加上解答方式没有固定的模式,灵活多变,具有极大的灵活性.选择题的解题思想,渊源于选择题与常规题的联系与区别,它在一定程度上还保留着常规题的某些痕迹;而另一方面,选择题在结构上具有自己的特点,即至少有一个答案是正确的或合适的.因此,可充分利用题目提供的信息,排除迷惑支的干扰,正确、合理、迅速地从选择支中选出正确支;选择题中的错误支具有双重性,既有干扰的一面,也有可利用的一面.只有通过认真的观察、分析和思考才能揭露其潜在的暗示作用,从而从反面提供信息,迅速做出判断. 1.选择题的解题策略 解题的基本策略是:充分地利用题干和选择支的两方面条件所提供的信息作出判断.先定性后定量,先特殊后推理;先间接后直解,先排除后求解. 一般地,解答选择题的策略是: ①熟练掌握各种基本题型的一般解法; ②结合高考单项选择题的结构(由“四选一”的指令、题干和选择项所构成)和不要求书写解题过程的特点,灵活运用特例法、筛选法、图解法等选择题的常用解法与技巧;2011-2017年高考全国卷1理科数学客观题汇编
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