导数及其应用第一讲(学生)

导数及其应用（一）

知识点1 导数的概念及其运算 1.

2. (1) '[()()]____________.u x v x ±= (2) [()()]____________u x v x '=

(3) ()

[]_______________(()0)()

u x v x v x '=≠ 例1-1. 求下列各函数的导数： （1）;sin 2

5x x

x x y ++=

（2）);3)(2)(1(+++=x x x y

（3）

;4cos 212sin 2??? ??--=x x y （4）.1111x

x y ++-=

例1-2 已知f(x)=sinx(cosx+1)，则)(x

f'等于（）

A.cos2x-cosx

B.cos2x-sinx

C.cos2x+cosx

D.cos2x+cosx 例1-3 若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式x)(x

f'＞-f(x)恒成立，且常数a,b 满足a＞b,则下列不等式一定成立的是（）

A.a f(b)＞bf(a)

B.a f(a)＞bf(b)

C.a f(a)＜bf(b)

D.a f(b)＜bf(a)

知识点2导数的几何意义

例2-1已知曲线y＝1

3x

3＋

4

3.

(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；

(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；

(3)求斜率为1的曲线的切线方程．

例2-2 （2008·辽宁理，6）设P 为曲线C ：y=x 2+2x+3上的点，且曲线C 在点P

处切线倾斜角的取值范围是??

?

???4,0π，则点P 横坐标的取值范围为（ ）

A.??

???

?--21,1 B.［-1，0］ C.［0，1］ D.??

????1,21

练习2-1已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1,1)，且在点Q (2，－1)处与直线 y ＝x －3相切，求实数a 、b 、c 的值．

练习2-2 （2012年高考（课标文））曲线(3ln 1)y x x =+在点(1,1)处的切线方程为________

练习2-3 若直线y=kx 与曲线y=x 3-3x 2+2x 相切，则k= .

知识点3 函数的单调性

1、 函数y ＝)(x f 在某个区间可导，若)(x f '＞0，则)(x f 为 ；若)(x f '＜0，则)(x f 为 .（逆命题不成立）

2、 如果在某个区间内恒有

0)(='x f ，则)(x f

.

注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的. 3、 求可导函数单调区间的一般步骤和方法： ① 确定函数)(x f 的 ；

② 求)(x f '，令 ，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根； ③ 把函数)(x f 的间断点（即)(x f 的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数)(x f 的定义区间分成若干个小区间；④ 确定)(x f '在各小开区间内的 ，根据

)(x f '的符号判定函数)(x f 在各个相

应小开区间内的增减性.

例3-1已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x .

(1)若f (x )在[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )的单调区间．

例3-2 已知f(x)=e x-ax-1.

（1）求f(x)的单调增区间；

（2）若f(x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围；

（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.

练习3-1（2012年辽宁文）函数y=1

2

x2-㏑x的单调递减区间为（）

A．(-1,1] B．(0,1] C．[1,+∞)D．(0,+∞)

练习3-2 若f(x)＝－1

2(x－2)

2＋b ln x在(1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是

()

A．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1] D．(－∞，－1)

练习3-3 已知函数f(x)＝－1

2x

2＋4x－3ln x在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围

是________．

基础练习：

1．已知f(x)＝x2＋3xf′(2)，则f′(2)＝________.

2．已知点P在曲线f(x)＝x4－x上，曲线在点P处的切线平行于3x－y＝0，则点P的坐标为________．

3．曲线y＝x

x＋2

在点(－1，－1)处的切线方程为____________．

4．(2012·烟台模拟)函数f(x)＝x2－2ln x的递减区间是( )．A．(0,1] B．[1，＋∞)

C．(－∞，－1)，(0,1) D．[－1,0)，(0,1]

5．已知函数f(x)＝x3－ax2－3x.

(1)若f(x)在[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；

(2)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间．

答案：

1． 解析 由题意得f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)，

∴f ′(2)＝2×2＋3f ′(2)，∴f ′(2)＝－2. 2．答案 (1,0)

解析 由题意知，函数f (x )＝x 4

－x 在点P 处的切线的斜率等于3，即f ′(x 0)＝4x 3

0－1＝3，∴x 0＝1，将其代入f (x )中可得P (1,0)． 3．答案 y ＝2x ＋1

解析 易知点(－1，－1)在曲线上，且y ′＝x ＋2－x x ＋2 2＝2

x ＋2

2，

∴切线斜率k ＝y ′＝2

1

＝2. 由点斜式得切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1. 4．解析 函数的定义域为(0，＋∞)，

又f ′(x )＝2x －2x ＝2 x ＋1 x －1

x

由f ′(x )≤0，解得0＜x ≤1. 答案 A

5．解 (1)对f (x )求导，得f ′(x )＝3x 2－2ax －3.

由f ′(x )≥0，得a ≤32????x －1x .记t (x )＝3

2????x －1x ，当x ≥1时，t (x )是增函数， ∴t (x )min ＝3

2

(1－1)＝0.∴a ≤0.

(2)由题意，得f ′(3)＝0，即27－6a －3＝0， ∴a ＝4.∴f (x )＝x 3－4x 2－3x ，f ′(x )＝3x 2－8x －3. 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1

3

，x 2＝3.

当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：

∴当x ∈???－∞，－13，[3，＋∞)时，f (x )单调递增，当x ∈??－1

3，3时，f (x )单调递减．