初中数学竞赛全辅导第二十六讲 开放性问题评说

【例题求解】

【例1】 如图，⊙O 与⊙O 1外切于点T ，PT 为其内公切线，AB 为其外公切线，且A 、B 为切点，AB 与PT 相交于点P ，根据图中所给出的已知条件及线段，请写出一个正确结论，并加以证

明． (杭州市中考题)

思路点拨 为了能写出更多的正确结论，我们可以从以下几分角度作探索，线段关系，角的关系、三角形的关系及由此推出的相应结论．

注：明确要求将数学开放性题作为中考试题，还是近一二年的事情．开放性问题没有明确的目标和解题方向，留有极大的探索空间．

解开放性问题，不具有定向的解题思路，解题时总要有合情合理、实事求是的分析，要把归纳与演绎协调配合起来，把直觉发现与逻辑推理相互结合起来，把一般能力和数学能力 同时发挥出来．杭州市对本例评分标准是以正确结论的难易程度为标准灵活打分，分值直接反映考生的能力及创新性． 【例2】 如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，A 是BD 的中点，过A 点的切线与CB 的延长线交于点E ．

(1)求证：AB ·DA=CO ·BE ； (2)若点E 在CB 延长线上运动，点A 在BD 上运动，使切线EA 变为割线EFA ，其他条件不变，问具备什么条件使原结论成立? (要求画出示意图，注明条件，不要求证明)

(北京市海淀区中考题)

⌒

⌒

思路点拨对于(2)，能画出图形尽可能画出图形，要使结论AB·DA=CD·BE成立，即要证△ABE∽△CDA，已有条件∠ABE=∠CDA，还需增加等角条件，这可由多种途径得到．

注：许多开放性问题解题思路也是开放的(多角度、多维度思考)，探索的条件或结论并不惟一．故解开放性问题，应尽可能深入探究，发散思维，提高思维的品质，切忌入宝山而空返．

【例3】(1)如图1，若⊙O1与⊙O2外切于A，BC是⊙O1与⊙O2外公切线，B、C为切点，求证：AB⊥AC．

(2)如图2，若⊙O1与⊙O2外离，BC是⊙O1与⊙O2的外公切线，B、C为切点，连心线O1 O2分别交⊙O1、⊙O2于M、N，BM、CN的延长线交于P，则BP与CP是否垂直?证明你的结论．

(3)如图3，若⊙O1与⊙O2相交，B C是⊙O1与⊙O2的公切线，B、C为切点，连心线O1 O2分别交⊙O1、⊙O2于M、N，Q是线段MN上一点，连结BQ、CQ，则BQ与CQ是否垂直?证明你的结论．

思路点拨本例是在基本条件不变的情况下，通过运动改变两圆的位置而设计的，在运动变化中，结论可能改变或不变，关键是把(1)的证法类比运用到(2)、(3)问题中．

注：开放性问题还有以下呈现方式：

(1)先提出特殊情况进行研究，再要求归纳猜测和确定一般结论；

(2)先对某一给定条件和结论的问题进行研究，再探讨改变条件时其结论应发生的变化，或改变结论时其条件相应发生的变化．

【例4】 已知直线4-=kx y (k >0)与x 轴、y 轴分别交于A 、C 两点，开口向上的抛物线c bx ax y ++=2过

A 、C 两点，且与x 轴交于另一点

B ．

(1)如果A 、B 两点到原点O 的距离AO 、BO 满足AO ＝3BO ，点B 到直线AC 的距离等于

5

16，求这条直线和抛物线的解析式；

(2)是否存在这样的抛物线，使得tan ∠ACB=2，且△ABC 外接圆截得y 轴所得的弦长等于5？若存在，求出这样的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

(无锡市中考题)

思路点拨 (1)通过“点B 到直线AC 的距离等于516”，利用等积变换求出A 、B 两点的距离；(2)先假设存在这样的抛物线，再由条件推理计算求得，最后加以验证即可．

注：解存在性开放问题的基本方法是假设求解法，即假设存在→演绎推理→得出结论(合理或矛盾)． 【例5】 如图，这些等腰三角形与正三角形的形状有差异，我们把它与正三角形的接近程度称为“正度”．在研究“正度”时，应保证相似三角形的“正度”相等．

设等腰三角形的底和腰分别为a 、b ，底角和顶角分别为α、β．要求“正度”的值是非负数． 同学甲认为：可用式子b a -来表示“正度”，b a -的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形； 同学乙认为：可用式子βα-来表示“正度”，βα-的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形． 探究：（1）他们的方案哪个较为合理，为什么?

(2)对你认为不够合理的方案，请加以改进(给出式子即可)；

（3）请再给出一种衡量“正度”的表达式． (安徽省中考题)

思路点拨通过阅读，正确理解“正度”这个新概念，同时也要抓住“在研究‘正度’时，应保证相似三角形的‘正度’相等”这句话的实质，可先采取举实例加深对“正度”的理解，再判断方案的合理性并改进方法．

注：（1）解结论开放题往往要充分利用条件进行大胆而合理的猜想，通过观察、比较、联想、猜测、推理和截判断等探索活动，发现规律，得出结论．

（2）阅读是学习的重要途径，在这种阅读型研究性问题中，涌现了许多介绍新的知识和新的研究方法的问题，能极大地开阔我们的视野．

（3）研究性学习是课程改革的一个亮点，研究性学习是美国芝加哥大学教授施瓦布在《作为探究的科学教学》的演讲时提出的．他主张引导学生直接用科学研究的方式进行教学，即设定情境、提出问题、分析问题、设计实验、验证假设、分析结果、得出结论．研究性问题是近年中考中出现的一种新题型，它要求我们适应新情况，通过实践，增强探究和创新意识，学习科学研究方法．

学力训练

1．如图，l是四边形ABCD的对称轴，如果AD∥BC，有下列结论：

①AB∥CD，②AB=BC；③AB⊥BC；④AO=OC．

其中正确的是．

(把你认为正确的结论的序号都填上) (安徽省中考题)

2．如图，是一个边长为a的小正方形与两个长、宽分别为a、b的小矩形ABCD，则整个图形可表达出一些有关多项式分解因式的等式，请你写出其中任意三个等式：①；②；③．

(泉州市中考题)

3．有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：

甲：对称轴是直线4

x；

乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；

丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3．

请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式： ．

(北京市东城区中考题)

4．如图，已知AB 为⊙O 的直径，直线l 与⊙O 相切于点D ，AC ⊥l 于C ，AC 交⊙O 于点E ，DF ⊥AB 于F ．

(1)图中哪条线段与BF 相等?试证明你的结论；

(2)若AE=3，CD=2，求⊙O 的直径．

(威海市中考题)

5．在一个服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料(如图)．现找出其中的一种，测得∠C=90°，AC=BC=4，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在△ABC 的边上，且扇形的弧与△ABC 的其他边相切，请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径(只要求画出图形，并直接写出扇形半径)．

(黄冈市中考题)

6．如图，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于点A(x 1，0)，B(x 2，0)( x 1<0

(1)求此抛物线的解析式；

(2)若点D 在此抛物线上，且AD ∥CB ．

①求D 点的坐标；

②在x 轴下方的抛物线上，是否存在点P 使得△APD 的面积与四边形ACBD 的面积相等?若存在，求出

点P 坐标；若不存在，请说明理由．

(连云港市中考题)

7．给定四个命题：①sinl5°与sin 75°的平方和为1；②函数682+-=x x y 的最小值为-10；③

4341a a a -=-；④x

x x x --=--510510，则x=10”，其中错误的命题的个数是 ． (“我爱数学”初中生夏令营试题)

8．①在实数范围内，一元二次方程02

=++c bx ax 的根为a ac b b x 242-±-=；②在△ABC 中，若AC 2+BC 2>AB 2，

则△ABC 是锐角三角形；③在△ABC 和△AB 1C 1中，a 、b 、c 分别为△ABC 的三边，1a 、1b 、1c 分别为△AB 1C 1的三边，若a >1a ，b >1b ，c >1c ，则△ABC 的面积大S 于△AB 1C 1的面积S 1．以上三个命题中，真命题的个数是( )

(全国初中数学联赛试题)

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

9．已知：AB 是⊙O 的直径，AP 、AQ 是⊙O 的两条弦，如图1，经过B 做⊙O 的切线l ，分别交直线AP 、AQ 于点M 、N ．可以得出结论AP ·AM ＝AQ ·AN 成立．

(1)若将直线l 向上平行移动，使直线l 与⊙O 相交，如图2所示，其他条件不变，上述结论是否成立?若成立，写出证明，若不成立，说明理由；

(2)若将直线l 继续向上平行移动，使直线l 与⊙O 相离，其他条件不变，请在图3上画出符合条件的图形，上述结论成立吗?若成立，写出证明；若不成立，说明理由．

10．如图，已知圆心A(0，3)， A 与x 轴相切，⊙B 的圆心在x 轴的正半轴上，且⊙B 与⊙A 外切于点P ，两圆的公切线MP 交y 轴于点M ，交x 轴于点N ．

（1）若sin ∠OAB=5

4，求直线MP 的解析式及经过M 、N 、B 三点的抛物线的解析式； (2)若A 的位置大小不变，⊙B 的圆心在x 轴的正半轴上移动，并使⊙B 与⊙A 始终外切，过M 作⊙B 的切线MC ，切点为C 在此变化过程中探究： ①四边形OMCB 是什么四边形，对你的结论加以证明；

②经过M 、N 、B 点的抛物线内是否存在以BN 为腰的等腰三角形?若存在，表示出来；若不存在，说明理由． (山西省中考题)

11．有一张矩形纸片ABCD ，E 、F 、分别是BC 、AD 上的点(但不与顶点重合)，若EF 将矩形ABCD 分成面积相等的两部分，设AB=a ，AD=b ，BE=x ．

(1)求证：AF=EC ；

(2)用剪刀将该纸片沿直线EF 剪开后，再将梯形纸片ABEF 沿AB 对称翻折，平移拼接在梯形ECDF 的

下方，使一底边重合，一腰落在DC的延长线上，拼接后，下方梯形记作EE'B'C．

①当b

x:为何值时，直线E'E经过原矩形的一个顶点?

②在直线E'E经过原矩形的一个顶点的情形下，连结BE'，直线BE'与EF是否平行?你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，试探究当a与b有何种数量关系时，它们就垂直?

(江西省中考题)

12．(1)证明：若x取任意整数时，二次函数c

a-、c都是整数．

=2总取整数值，那么，a2、b

+

ax

bx

y+

(2)写出上述命题的逆命题，且证明你的结论． (全国初中数学竞赛题)

13．已知四边形ABCD的面积为32，AB、CD、AC的长都是整数，且它们的和为16．

(1)这样的四边形有几个?

(2)求这样的四边形边长的平方和的最小值． (全国初中数学联赛题)

参考答案