2015年江苏高考南通密卷三(南通市数学学科基地命题)
2015年高考模拟试卷(3)
南通市数学学科基地命题
第Ⅰ卷（必做题，共160分）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． 1．已知集合{}
2|20M x x x =-≥,{}|1N x x =≤，
则R M N （ ）e= .
2．如果1a bi -+与-b i +互为共轭复数（,a b ∈R ，i 为虚数单位）， 则||a bi += ．
3．如右图，该程序运行后输出的结果为 .
4．在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点，1AC =．若sin B ＝13，
则AM ＝________.
5．某单位有,,A B C 三部门，其人数比例为3∶4∶5，现欲用分层抽样方法抽调n 名志愿者支援西部大开发 ．若在A 部门恰好选出了6名志愿者，那么n ＝________． 6．函数()2sin()(0,f x x ω?ω=+>且||)2
π
?<的部分图像如图所示,则
(0)f 的值为 .
7．连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是a ，b ，则函数
2()f x ax bx =-在1x =处取得最值的概率是 .
8．在等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，已知12128,2,1,2a a b b =-=-==，那么满足n n a b =的n 的所有取值构成的集合是 .
9．已知如图所示的多面体EF ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，四
边形BDEF 是矩形，ED ⊥平面ABCD ，∠BAD ＝3
π
.若BF ＝BD
＝2，则多面体的体积 ．
10．如果关于x 的方程23a
x x
+
=有两个实数解，那么实数a 的值是 ． 11．设()()2,0,1
,0.x a x f x x a x x
?-?
=?++>??… 若()0f 是()f x 的最小值，则实数a 的取值范围为 .
F
E
D
C
B
A
12．
已知椭圆22
21(3x y a a +=>的中心、右焦点、右顶点依次为,,,O F G
直线2x =x 轴 交于H 点，则
FG OH
取得最大值时a 的值为 .
13．在四边形ABCD 中，2AB =，AD BC =，
BA BC BA
BC
+
3BD BD
，则四边形ABCD 的面积
是 ．
14．()f x 是定义在R 上的奇函数，若当0x ≥时，[)[)
12log (1),0,1()13,1,x x f x x x ?+∈?
=??--∈+∞? ，则关于x 的函
数()()(10)F x f x a a =+-<<的所有零点之和为 （用a 表示） 二、解答题：本大题共6小题，共90分.
15．（本小题满分14分）如图，在xoy 平面上，点(1,0)A ，点B 在单位圆上，AOB θ∠=（0θπ<<）
（1）若点34(,)55B -，求tan()4π
θ+的值；
（2）若OA OB OC +=，1813OB OC ?=，求cos()3
π
θ-.
16．（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中,PAC ⊥平面平面
A B C D ,ABC ?是边长为4的正三角形,AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点,又120ADC ∠=,点
N 在线段PB 上,且
1
3
PN NB =. (1)求证：PA BD ⊥； (2)求证：//MN 平面PDC .
C
B
P
17.（本小题满分14分）2014年8月以“分享青春，共筑未来”为口号的青奥会在江苏南京举行， 为此某商店经销一种青奥会纪念徽章，每枚徽章的成本为30元，并且每卖出一枚徽章需向相关部门上缴a 元（a 为常数，25a ≤≤），设每枚徽章的售价为x 元（3541x ≤≤）.根据市场调查，日销售量与x e （e 为自然对数的底数）成反比例.已知当每枚徽章的售价为40元时，日销售量为10枚.
（1）求该商店的日利润()L x 与每枚徽章的售价x 的函数关系式；
（2）当每枚徽章的售价为多少元时，该商店的日利润()L x 最大？并求出()L x 的最大值.
18．(本小题满分16分) 已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>过点
)
． （1）若A 是椭圆E 的上顶点，12,F F 分别是左右焦点，直线12,AF AF 分别交椭圆于,B C ，直
线BO 交AC 于D ，求证:3:5ABD ABC S S ??=；
（2）若12,A A 分别是椭圆E 的左右顶点，动点M 满足212MA A A ⊥，且1MA 交椭圆E 于点P ．
求证：OP OM ?为定值.
19.（本小题满分16分）已知函数21
()ln 2f x ax x =+，()g x bx =-，设()()()h x f x g x =-.
（1）若()f x 在x =
处取得极值，且(1)(1)2f g '=--，求函数h (x )的单调区间； （2）若0a =时函数h (x )有两个不同的零点x 1,x 2.
①求b 的取值范围；②求证：
12
2
1x x e >.
20.（本小题满分16分）若数列{}n C 1n c +，②存在常数(M M 与n 无关），使n c M ≤.
则称数列{}n c 是“和谐数列”.
（1）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，且442,30a S ==，求证：数列{}n S 是“和谐数列”； （2）设{}n a 是各项为正数，公比为q 的等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，求证：数列{}
n S 是“和谐数列”的充要条件为01q <<.
第Ⅱ卷（附加题，共40分）
21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应．．．．．．．．．．．．的答题区．．．．域内作答．．．．
． A ．（选修４－１：几何证明选讲）如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C ．若AB = 2 BC ， 求证：A C ∠=∠．
B ．（选修４－２：矩阵与变换）已知矩阵21a M b ??=????
，其中,a b 均为实数，若点(3,1)A -在矩阵M 的变换作用下得到点(3,5)B ，求矩阵M 的特征值.
C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线1325
: 45x t C y t ?
=+???
?=??
（t 为参数）和曲线22:sin 2cos C ρθθ=相交于A B 、两点，求AB 中点的直角坐标．
D ．（选修４－５：不等式选讲）已知实数a ，b ，c ，d 满足3a b c d +++=，
22222365a b c d +++=，求a 的取值范围．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.
22．（本小题满分10分）甲、乙、丙三位同学商量高考后外出旅游，甲提议去古都西安，乙提
议去海上花园厦门，丙表示随意．最终，三人商定以抛硬币的方式决定结果．规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上，则甲得一分、乙得零分；若反面朝上，则乙得一分、甲得零分，先得4分者获胜．三人均执行胜者的提议．若记所需抛掷硬币的次数为X ． （1）求6X =的概率；
（2）求X 的分布列和数学期望．
23．（本小题满分10分）在数学上，常用符号来表示算式，如记0n
i i a =∑=0123n a a a a a ++++
+，
其中i N ∈，n N +∈.
（1）若0a ，1a ，2a ，…，n a 成等差数列，且00a =，求证：()0n
i
i n i a C ==∑12n n a -?；
（2）若22
201221
(1)n
k
n
n k x a a x a x a x =+=+++
∑，20
n n i i b a ==∑，记1
1[(1)]n
i i
n i n i d b C ==+-∑，且不等
式(1)n n t d b ?-≤恒成立，求实数t 的取值范围.
2015年高考模拟试卷(3)参考答案
南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）
一、填空题
1．(]0,1； 2
； 3．1027； 由流程图，b 和a 的值依次为1,1;3,2;10,3;1027,4，结束循环. 4
5．24；6
．7
1
12
； 8．{}3,5 ；【解析】 由已知得，1614,2n n n a n b -=-=，令n n a b =，可得16142n n --=，解得3n =或5，所以满足n n a b =的n 的所有取值构成的集合是{}3,5. 9
【解析】如图，连接AC ，AC ∩BD ＝O .因为四边形ABCD 是菱形，所以，AC ⊥BD ，又因为ED ⊥平面ABCD ，AC ?平面ABCD ，所以，ED ⊥AC .因为，ED ，BD ?平面BDEF ，且ED ∩BD ＝D ，所
以，AC ⊥平面BDEF ，所以，AO 为四棱锥A -BDEF 的高．又因为，四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝3
π
，所以，△ABD 为等边三角形．又因为，BF ＝BD ＝2，所以，AD ＝2，AO
S
四边形
BDEF ＝4，所以，V 四棱锥
A -BDEF
＝
. 10．2± ； 11．[]0,2； 12．2； 13
；【解析】 设
BA
a BA =，BC
b BC =，BD
c BD
=，
则|a |=|b |=|c |=1，a
+b ，所以，得cos=1
2,又由AD BC =，所以，可得图形为有一个
3
π
角的菱形，所以，其面积22S =?=. 14．112a
??
- ???
；【解析】 根据对称性，作出R 上的函数图象，
由()()F x f x a =+，所以，零点就是()f x 与()0,1y a =-∈交点的横坐标，共有5个交点，根据对称性，函数()f x 的图象与
()0,1y a =-∈的交点在()2,4之间的交点关于3x =对称，所以，126x x +=，在()()5,43,2----
之间的两个交点关于3x =-对称，所以，346x x +=-，设(]1,0x ∈-，则[)0,1x -∈，所以，
O
F
E
D
C
B
A
12
()log (1)()f x x f x -=-+=-，即12
()log (1)f x x =--+，由()0f x a +=，所以，
12
log (1)0x a --++=，即5112a x ??
=- ???，所以，12345112a
x x x x x ??++++=- ???.
二、解答题
15. （1）由于34(,)55
B -，AOB θ∠=，所以3cos 5θ=-，4
sin 5θ= ，
所以4tan 3θ=-， 所以1tan 1
tan()41tan 7πθθθ++==-- ；
（2）由于(1,0)OA =,(cos ,sin )OB θθ=,
所以(1cos ,sin )OC OA OB θθ=+=+,
22218
cos (1cos )sin cos cos sin 13
OC OB θθθθθθ?=?++=++=. 所以5cos 13θ=，所以12
sin 13
θ=，
所以cos(
)cos
cos sin
sin 3
3
3
π
π
π
θθθ-=+=
16．（1）因为ABC ?是正三角形,M 是AC 中点, 所以BM AC ⊥,即BD AC ⊥, 又PAC ABCD ⊥平面平面,,PAC
ABCD AC =平面平面BD ?平面ABCD ,,BD AC ⊥
所以BD ⊥平面PAC .
又PA ?平面PAC ,所以.PA BD ⊥.
(2)在正三角形ABC 中
,BM =
在ACD 中，因为M 为AC 中点, DM AC ⊥，所以AD CD =, 因为120ADC ∠=,所以60ADM ∠=. 所以
, DM =
,所以:3:1BM MD =, 所以::BN NP BM MD =,所以//MN PD . 又MN ?平面PDC ,PD ?平面PDC ,
所 以//MN 平面PDC .
C
B
P
17. （1）设日销售量为
x k e ，则4010k e
=， 所以40
10k e =，则日销售量为40
10x e e 枚.
每枚徽章的售价为x 元时，每枚徽章的利润为(30)x a --元，
则日利润40401030()(30)10(3541)x x
e x a
L x x a e x e e --=--=≤≤.
（2）4031()10(3541)x
a x
L x e x e +-'=≤≤. ①当24a ≤≤时，333135a ≤+≤，而3541x ≤≤， 所以()0,()L x L x '≤在[]35,41上单调递减，
则当35x =时，()L x 取得最大值为510(5)a e -. ②当45a <≤时，353136a <+≤，令()0L x '=，得31x a =+， 当[]35,31x a ∈+时，()0,()L x L x '>在[]35,31a +上单调递增； 当(]31,41x a ∈+时，()0,()L x L x '<在(]31,41a +上单调递减. 所以当31x a =+时，()L x 取得最大值为910a e -.
综上，当24a ≤≤时，每枚徽章的售价为35元时，该商店的日利润()L x 最大,5max ()10(5)L x a e =-; 当45a <≤时，每枚徽章的售价为（31a +）元时，
该商店的日利润()L x 最大，9max ()10a L x e -= . 18. （1）易得222
11,a b c a
?+=??
??=??且222c a b =-，
解得2
24 2 a b ?=??=??，
，
所以,椭圆E 的方程为22
142x y +=；
所以，
12(A F F ，
所以，直线:AB y x =
:AC y x =- 将 y x =
230x +=，
所以(B
，同理可得C ， 所以直线BO 为1
4
y x =
，
联立12y x
y x ?
=???=-+?
，得交点D ，
所以，88
,53AD AC ==，即:3:5AD AC =
所以，:3:5ABD
ABC
S
S
=；
（2）设0(2 )M y ，，11( )P x y ，，
易得直线1MA 的方程为0042
y y
y x =
+， 代入椭圆22
142
x y +=,得()
2222000140y y y x x +++-=， 由()201204828
y x y --=+得，()20120288
y x y --=
+，
从而0
12088
y y y =
+， 所以()()2
22000002
2220000284888 (2 )48888y y y y OP OM y y y y y ----??
?=?=+= ?++++??
，，. 19. (1)因为1
()f x ax x
'=+
，所以(1)1f a '=+, 由(1)(1)2f g '=--可得a =b-3. 又因为()f x
在x =处取得极值，
所以0f '=， 所以a = -2,b =1 . 所以2()ln h x x x x =-++，其定义域为（0，+∞）
2121(21)(1)
()21=x x x x h x x x x x
-++-+-'=-++=
令()0h x '=得121
,12x x =-=，
当x ∈（0,1）时，()>0h x '，当x ∈（1,+∞）()<0h x '，
所以函数h (x )在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+∞）上单调减. （2）当0a =时，()ln h x x bx =+，其定义域为（0，+∞）. ①由()0h x =得ln -x b x =，记ln ()x x x ?=-，则2ln 1
()x x x
?-'=, 所以ln ()x
x x
?=-
在(0,)e 单调减，在(,)e +∞单调增， 所以当x e =时ln ()x x x ?=-
取得最小值1
e
-. 又(1)0?=，所以(0,1)x ∈时()0x ?>，而(1,)x ∈+∞时()0x ?<,
所以b 的取值范围是（1
e -，0）.
②由题意得1122ln 0,ln 0x bx x bx +=+=,
所以12122121ln ()0,ln ln ()0x x b x x x x b x x ++=-+-=, 所以
1212
2121
ln ln ln x x x x x x x x +=--，不妨设x 1 要证212x x e > , 只需要证12 122121 ln (ln ln )2x x x x x x x x +=->-. 即证2121212()ln ln x x x x x x -->+，设21 (1)x t t x =>, 则2(1)4()ln ln 211t F t t t t t -=- =+-++, 所以2 22 14(1)()0(1)(1)t F t t t t t -'=- =>++, 所以函数()F t 在（1，+∞）上单调增，而(1)0F =， 所以()0F t >即2(1) ln 1 t t t ->+, 所以212x x e > . 20. （1）设公比为q ，则3411414161(1)21a a q a a q q s q ?==??? ??? -==???-? , 所以5 1322 n n s -=- . (32s =5 32(2 2 n n --+ 4 22322 2 n -≤+ 214 4 1 1 )322n n S +--=-=. 且5 13232.2n n S -=- <即存在常数32, 所以，数列{}n S 是“和谐数列” . （2）充分性 设等比数列{}n a 的公比q ，且0 1.q << 则1111(1)1111n n n a q a a q a S q q q q -= =-<----. 令1 1a M q = -，则.n S M < 因为222222112()(1)(1)()(1)11n n n n n n n a a S S q q q q q q q ++++=--=--+-- 21222122111()(12)()(1)11n n n n a a q q q S q q ++++<-+=-=-- 所以{}n S 是“和谐数列” 必要性 等比数列{}n a 各项为正，且n S 是“和谐数列”. 因为0.n a > 所以，0.q > 下面用反证法证明，1q < （1）当1,q =则1,n S na =因为10,a >所以，不存在M ，使1na M <对1n N -∈恒成立; 当1q >，则111(1)111 n n n a q a a S q q q q -= =---- 所以，对于给定的正数M ，若 11,11 n a a q M q q ->-- C 因为，1q >，所以，1 1 log (1).q q n M a ->+ 即当1 1 log ( 1)q q n M a ->+时，有n S M >. 所以，不存在常数M ，使.n S M ≤ 所以，0 1.q << 综上,数列{}n S 是“和谐数列”的充要条件为其公比为01q <<. 第Ⅱ卷（附加题，共40分） 21. A. 连结OD ，BD ， 因为AB 是圆O 的直径，所以902ADB AB OB ∠==o ，． 由AB = 2 BC ， 所以，AB OC =， 因为DC 是圆O 的切线，所以90CDO ∠=o ． 于是△ADB ?△CDO ， 所以，AD DC = 所以，A C ∠=∠. B ．由条件可知233115a b ?????? =??????-??????，所以233,315 a b ?-=??-=?， 则3,2a b ==． 矩阵的特征多项式为22 3 ()(2)(1)(2)(3)342 1 f λλλλλλλ--= =-----=---- 令()0f λ=,得两个特征值分别为121,4λλ=-=． C. 将1C 化为直角坐标方程为4380x y --= 将2C 化为直角坐标方程为22y x = 将直线方程代入22y x =可得22380y y --= 解之可得123 2 y y +=，124y y =-，所以，22 12124128y y x x ++== 所以，中点坐标为341,416?? ??? D. 由柯西不等式，得() 2222111(236)()b c d b c d ++++++≥， 即()2 222236b c d b c d ++++≥． 由条件，得()2 253a a --≥， 解得12a ≤≤ = = 时等号成立， 代入111,,36b c d ===时，max 2a =；21 1,,33 b c d ===时，min 1a =， 所以a 的取值范围是[1,2]． 22. （1）抛掷硬币正面向上、反面向上的概率都为 1 2 ， ()3 2 35 1115 6222216P X C ????==????= ? ????? （2）X 的分布列为: 所以，115593 4567.84161616 EX =?+?+?+?= 23. （1）设等差数列的通项公式为0n a a nd =+，其中d 为公差 则()0n i i n i a C ==∑12012n n n n n a a C a C a C ++++01 12 0()(2)n n n n n n n n a C C C d C C nC =++++++ 因为1 1k k n n kC nC --= 所以122n n n n C C nC ++01 1 111()n n n n n C C C ----=+++ 所以()0 n i i n i a C ==∑1022n n a nd -?+?=12n n a -?. 注：第（1）问也可以用倒序相加法证明. （2）令1x =，则22 3 202(14) 2222 2421 n n n n i i a =-=+++ +==?--∑ 令1x =-，则20 [(1)]0n i i i a =-=∑， 所以20 n n i i b a ==∑1 (242)412n n =?-=- 根据已知条件可知，012233 (41)(41)(41)(1)(41)n n n n n n n n n d C C C C C =--+---+ +-- 01223 301234 [(4)(4)(4)(4)][(1)]1 n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C =+-+-+-++---+-+++-+ (14)(11)1(3)1n n n =---+=-+， 所以(3)1n n d =-+ 将41n n b =-、(3)1n n d =-+代入不等式(1)n n t d b ?-≤得，(3)41n n t ?-≤- 当n 为偶数时，41()()33n n t ≤-，所以22415 ()()333t ≤-=； 当n 为奇数，41[()()]33n n t ≥--，所以1141 [()()]133 t ≥--=-； 综上所述，所以实数t 的取值范围是5 [1,]3-.