2014年深圳杯数学建模A题论文【终结版】
单独政策下人口预测的数学模型
摘要
本文根据2010年的全国人口普查数据对Leslie人口预测方程进行改进，对我国的人口增长建立了年龄递归模型。并将对2014年的人口与结构的估计作为测算的初始数据，通过独生子女的比例、单独家庭数量、生育意愿计算单独政策的贡献值，并将其与人口预测值相加即可视为单独政策下的总人口。然后依次递归，预测至2050年的人口数据。将其与现有预测报告相比，再次证实单独政策将不会引起人口激增，另外发现了单独政策通过减少独生子女引发的回馈作用，指出了预测报告政策贡献值收敛过慢的缺点。
并针对北京市，重点考虑城镇化、综合迁移率、政府控制等因素建立模型。对其未来各项人口数据进行了预测。
期间我们围绕递推模型，逐步深入的建立了五个模型。
模型一，只考虑生育率、死亡率对人口的影响。对2010年的各年龄死亡率进行拟合，发现其服从指数分布，对其进行修正。假定2010年后的生育率不变，基于2010年全国人口普查数据对Leslie预测方程进行改进。即用其生育率计算下一年的新生人口，其余年龄用死亡率逐步递推的方法估测得2014年人口数据。为后续模型提供测算起点，并预测无单独政策下的全国人口数据。由Matlb软件计算得到我国人口将于2021年到达峰值1.39亿。
模型二，引入短期预测更为精准的灰色预测模型，对2014年的人口总数进行了预测，并与模型以进行了对比。证明了模型以的可行性，并对2014年的人口数据进行修正。
模型三，在模型一的基础上考虑单独政策的影响，从05年1%人口抽样调查得到的独生子女人口结构，并通过拟合和递推将其预测到2014年。独生子女的婚姻情况可视为显性配子自由组合的过程，由此通过孟德尔遗传定律即可确定单独家庭比例，进而计算政策受益的潜在人群。生育意愿的统计置信水平过低，故取高中低三个水平进行计算。将得到单独政策的贡献值与原预测结合经过递推，即可预测政策下的人口变化，其中我们特别加入了单独政策的反馈处理。
预测得单独政策下2022年我国达到人口峰值14.06亿人，其对人口影响有限，老龄化依然严重。
模型四，基于模型三的思想，加入了人口迁入迁出、户口限制、政府控制等因素影响，建立针对北京市的人口预测模型。
模型五，为了重点考虑城镇化的影响以及城、镇、村三者生育理念、生育模式不同的问题，将人口数据按性别、城、镇、村离散为六类，建立北京市城-镇-
村人口预测模型，模拟了因城镇化人口向城市迁移的过程，令模型更符合实际情况。
最后由预测得到的人口结构，分析了单独政策对人口老龄化的改善、对教育的压力、抚养比的变化以及延迟退休年龄至多少达到最优，并就此给出合理化建议。
关键词：递归方程离散模型孟德尔遗传定律反馈作用城镇化
1 问题重述
人口的数量和结构是影响经济社会发展的重要因素。从20世纪70年代后期以来，我国鼓励晚婚晚育，提倡一对夫妻生育一个孩子。该政策实施30多年来，有效地控制了我国人口的过快增长，对经济发展和人民生活的改善做出了积极的贡献。但另一方面，其负面影响也开始显现。如小学招生人数（1995年以来）、高校报名人数（2009年以来）逐年下降，劳动人口绝对数量开始步入下降通道，人口抚养比的相变时刻即将到来，这些对经济社会健康、可持续发展将产生一系列影响，引起了中央和社会各界的重视。党的十八届三中全会提出了开放单独二孩，今年以来许多省、市、自治区相继出台了具体的政策。政策出台前后各方面人士对开放“单独二孩”的效应有过大量的研究和评论。
问题1：根据每十年一次的全国人口普查数据，建立模型，用以调查人口的变化趋势。
问题2：收集典型的研究评论报告，根据问题1的基础上，对报告的假设和某些结论发表自己的独特见解。
问题3：针对深圳市或其他某个区域，讨论计划生育新政策（可综合考虑城镇化、延迟退休年龄、养老金统筹等政策因素，但只须选择某一方面作重点讨论）对未来人口数量、结构及其对教育、劳动力供给与就业、养老等方面的影响。
2 问题的分析
本题要求根据每十年一次的全国人口普查数据，建立模型，用以调查全国以及某地区人口的变化趋势，并对报告要有独特的见解。
中国计划生育政策特别是30多年来独生子女政策的全面推行，不但改变了中国人口发展的历史趋势，改变了中国家庭社会的基本结构，而且出现了上亿的独生子女，形成了具有鲜明特点的独生子女家庭类型[1] ,
针对问题一：我们建立Leslie[2]离散人口模型，根据2010年全国第六次人口普查[3]的数据，针对育龄妇女生育一孩和育龄妇女生育二孩的原始生育率不变，以及政策调整所带来的受益人群生育意愿的改变，将育龄妇女分组求得总生育贡献值，并考虑到老龄人口比例逐年上升所带来的死亡率升高，得到人口增长的短期效应。
由于“单独二孩[4]”新政策的出台，将会在今后的二十多年，保持相对较高但有所衰减的人口增长率，之后由于“单独二孩”的大量产生而导致新的满足“单独二孩”家庭的比例下降，增速会明显放缓，具体将会在2035年前后出现明显的转折。所以还需增加模型要考虑的因素，对模型进行优化。
针对问题三：影响一个地区人口变化的因素不外乎死亡率、出生率以及性别比例几种。在问题一的基础上，对模型再分析，对于考虑城镇乡的人口变化情况时，迁徙率是重要的。因为现今农村人口向城市的大量涌入，寻找就业机会已成为一个较为普遍的社会现象，这种现象必然会造成城市和乡村人口的结构发生变化。
3 模型假设
3.1 问题一的假设
(1)预测年限期间没有大规模自然灾害导致的死亡率变化。
(2)没有国内外大范围人口流动。
(3)国家经济发展水平按当前态势稳步发展。
(4)原有一孩及二孩以上生育水平保持原有趋势。
(5)政策全面放开满足条件家庭按意愿生育。
(6)2014年起全面单独二孩。
(7)婚配完全随机。
3.2 问题三的假设
(1)假定一年内迁入和迁出北京的人口数及其性别比相同。
(2)2014年起北京市开始实行单独二孩政策。
4 名词解释及符号说明
4.1 模型一
M当年年龄为i的实际可生育妇女
i
?婚配率i?
i
λ年龄为i的生育妇女的生育率
)
(n
i
μ第n年i岁整体人群的死亡率
(n
)
i
)
q
(n
第n年年龄为i的人净迁入人口
i
?第n年新生人口
（
)n
i
B n
)
(
年龄为i的男性数量
i
[1y,2y] 育龄期
c存活率矩阵
)(t
(s n生育矩阵
)
(n
m表示第n年i岁的人口数；
)
4.2 模型二
)0(
x表示第i指标的参考数列
i
)1(
y表示生成的均值数列
i
∧
a表示预测方程的发展系统
b?表示预测方程的灰作用量
)0(
?
x表示第i个指标的原始数据的预测
i
)1(
?
x表示第i个指标累加数列的预测
i
4.3 模型三、四
M当年年龄为i的实际可生育妇女i
?婚配率i?
i
λ年龄为i的生育妇女的生育率
(n
)
i
μ第n年i岁整体人群的死亡率
)
(n
i
q
)
(n
第n年年龄为i的人净迁入人口i
?第n年新生人口
)n
（
i )(B n i
年龄为i 的男性数量 [1y ,2y ]
育龄期 )(t c 存活率矩阵 )(s n 生育矩阵
)(n m
表示第n 年i 岁的人口数；
4.4 模型五
123(),(),()i i i n n n μμμ
分别表示乡村、镇、市第n 年i 岁人口的死亡率； 123(),(),()i i i m n m n m n
分别表示乡村、镇、市第n 年i 岁的人口数； 123(),(),()i i i n n n λλλ
分别表示乡村、镇、市第n 年i 岁的女性生育率； 123(),(),()i i i k n k n k n
分别表示乡村、镇、市第n 年i 岁人口的女性比； 123(),(),()n n n ??? 分别表示乡村、镇、市第t 年的出生人数； 123(),(),()n n n βββ
分别表示乡村、镇、市第n 年的总和生育率； 123(),(),()n n n N N N
分别表示乡村、镇、市第n 年的总人数； 123(),(),()i i i A n A n A n
分别表示乡村、镇、市第n 年i 岁女性的总人数；
123(),(),()
i i i wd n wd n wd n 分别表示乡村、镇、市第n 年i 岁女性的死亡率；
123(),(),()i i i B n B n B n
分别表示乡村、镇、市第n 年i 岁男性的总人数；
123(),(),()
i i i md n md n md n
分别表示乡村、镇、市第n 年i 岁男性的死亡率；
123,,z z z
分别表示乡村、镇、市出生人口中女性所占的比例； 123(),(),()i i i s n s n s n 分别表示乡村、镇、市第n 年i 岁人口的存活率；
5 模型一的建立与求解
5.1 问题进一步分析
由于题目要求预测的单独政策在2014年开始执行，而全国人口普查最近则是2010年。针对数据年份的不同步问题，需要建立了改进后的Leslie 模型，在只考虑出生率死亡率影响的情况下，求得2014年的人口数量和结构作为后续计算单独政策影响的初始数据。
由于需要计算保留Leslie 模型的递归法，本年某年龄的人数是前一年该年龄人数减去改年龄人数在前一年中死亡人数。分析2010年全国人口普查的数据，由于人的生育意愿、生理状态、性别观念的综合作用，不同年龄、不同性别的出生率是不同的。随着年龄增大健康状况改变，不同年龄、不同性别的死亡率也是不同的。因此在出生率与死亡率的处理上，应按年龄性别分别运算。
5.2 数据的预处理
5.2.1妇女人数与生育率
生育预测是人口预测中的重要组成部分[5]。对比国家统计局公布的2010年全国人口普查数据中《全国分年龄、性别的人口》与《全国育龄妇女分年龄、孩次的生育状况》发现二者在育龄妇女的统计上存在误差。
以15岁至19岁为例，全国分年龄、性别的人口数据，如表5-1所示。
表5-1 2010年15岁-19岁妇女人数(单位：人)
15 16 17 18 19 8499586
8995340
10014541
10010718
10464099
育龄妇女分年龄、孩次的生育状况给出的数据。
表5-2 2010年15岁-19岁育龄妇女人数(单位：人)
15 16 17 18 19 820749
820749
820749
820749
820749
广义的育龄妇女是指某一生育期年龄的妇女数量总和，而生育表(表5-2)的育龄妇女数据则是考虑婚配状况、生育情况多方面影响后可生育的妇女，再加之统计渠道不同带来误差因而相差差较大。 M i i i i M =?-?
其中
i
M 为当年年龄为i 的实际可生育妇女，i ?
为截至到当年年龄为i 的妇女
婚配率，M i 为当年年龄为i 的妇女总数，i ?
为因各种原因不会生育的妇女。
因为婚配率i ?与不育妇女i ?
的数据统计置信水平过低，我们取生育表(表5-2)
中的分年龄分孩次出生人数，取人口表(表5-1)中女性总数作为广义的育龄妇女人数，算出基于2010年各年龄妇女人口总数的生育率
,i n
λ
经修正后的生育率如下：
表5-3 经修正后的生育率(单位：?) 年龄 15-19岁 20-24岁 25-29岁 30-34岁 35-39岁 40-44岁 45-49岁 生育率
5.93
69.47
84.08
45.84
18.71
7.51
4.68
将生育率离散，即每一年龄的生育率取所属集合的生育率值。（这样的分布与实际生育率分布情况相差较大，故我们在后面的模型中进行了改进） 5.2.2迁入率与迁出率的计算
对于全国的总人口计算，净迁移量主要由中国每年向外移民人口构成。相对由收集来得的数据：香港《南华早报》2月14日的报道中指出在2011年一年中，中国内地对世界几个主要移民国家永久性移民数量在15万人左右。我们以此作为2010年人口迁出量的参考值。计算得2010年中国人口净迁移量占中国总人口比例为1.09?，可以忽略迁移率的影响。 5.2.3男性和女性死亡率的拟合
考虑到2010年全国普查数据中死亡率随年龄的增长曲线个别地方有小的波动，从而用指数增长模型曲线去拟合，得出较光滑死亡率数据，以免带来不必要的误差。
拟合出男性和女性死亡率随时间变化的函数表达式分别为为：
0.07268.3369(n)n man e μ-=
0.08599.6831()n woman n e μ-=
0102030405060708090100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
男性死亡率
0102030405060708090100
0.050.1
0.15
0.20.250.3
0.35
0.40.45女性死亡率
图5-1 死亡率拟合
残差平方和分别为为0.0614和0.0236。
i i i λ=
当年年龄为的妇女生育人数
当年年龄为的妇女总数
5.3 模型建立
5.3.1年龄递推
对于一个地区，设第n-1年（取n-1年中旬做参考值）的年龄为i 的人口总数为)1-(M n i ,考虑该年龄到第n 年中旬的人口)(M n i 主要分为两部分：第n-1年年龄为i 的人存活下来的人数，第n-1年年龄为i 的人的迁入数量和迁出数量之差。
设)(n i μ为第n 年i 岁整体人群的死亡率，
)(n q i 为第n 年年龄为i 的人净迁入人口，则如下图所示得到这一代人口数量从n-1年递推至第n 年的公式：
[]?
??-+---=≤≤)1()1(1)1(M )(M 100
1n q n n n i i i i i μ
图5-2 年龄递推图
5.3.2新生人口的改进模型
而第n 年0岁人口需要通过育龄期妇女[1y ,2y ]的生育情况分年龄计算当年新生人口数量。在Leslie 人口预测模型中，新生人口矩阵=总和生育率×生育模式矩阵×育龄妇女年龄别矩阵×年龄组比例矩阵。而针对本题的预测过程，总和生育率会因单独政策的出台发生变化。而2010年全国人口普查对不同年龄段育龄妇女的生育率有详细的统计，由此对Leslie 预测的新生人口模型进行简化，第n 年新生人口)n （?
∑==2
1)(A )()y y n i i n n n λ?（
n 年
n+1年 0岁 1岁 …… i 岁 i+1岁 …… 90岁
0岁
1岁 …… i 岁 i+1岁 …… 90岁
新生
死亡 外部0岁迁入 死亡
外部i 岁迁入
)(B )(A n c n i i -=
其中)(n i λ是年龄为i 的妇女生育率，)(A n i 为年龄为i 的女性数量，)(B n i 为
年龄为i 的男性数量，[1y ,2y ]为育龄期。(在全国人口普查数据中，1y =15，
2y =49) 于是得到离散的人口发展方程模型： ∑==2
1)(A )()y y n i i n n n λ?（
[
]
[]
[
]?????
??
??=---=---=---=)(0M )1(01)1(0M )(1M )
1(11)1(1M )(2M ................
)1(1)1(M )(M n n n n n n n n n i n i n i
?μμμ）（
??
?
??≤≤>10012010n i
总人口： []
∑=---+=100
1
)1(1)1(M 0
M )(M i n i n i n i μ
5.3.3差分模型
基于Leslie 人口预测模型的思想将上述模型矩阵化：
人口构成矩阵 ：????
??? ??++=)(M ........
)()(A )()(A )(m 2211n n B n n B n n i 1-99岁人口存活矩阵：
()
()()1299000
01000010c()00010t t t t μμμ??
?- ? ?
-= ? ?
?-?
?
15岁-49岁妇女生育矩阵：
1
2
100100
00(n)
(n)
00000000s(n)0
00
000000
00y y λλ???
? ? ?
= ? ? ??
?
从上上述数据得到人口的差分方程模型，记
)
(A n s )(M n c )1(M n n n i i i ）（）（+=+
此即只考虑生育率与死亡率的离散人口发展模型
5.4 模型求解
2011
2011.5
2012
2012.5
2013
2013.5
2014
1.368
1.371.372
1.374
1.3761.378
1.38
1.382
1.384x 10
9
2014 年人口1382786019.2705
人数
年份
2010
201520202025
2030203520402045
2050
1.11.15
1.2
1.25
1.3
1.35
1.4
x 10
9
人口峰值1398016077
人数
年份
图5-3 模型一的短期预测 图5-4 2010年到2050年模型一预测人口变化图
表5-4 2011年-2014年总人口人口
年份 2011 2012 2013 2014
人口 1368874566 1373850458 1378486345 1382786019
图5-5 全国2014年人口结构
00.51
1.52
2.5
3
x 10
7
20
40
60
80
100
120
人口
年龄
图5-6 2050年人口结构图
2010
201520202025
20302035204020452050
1520
25
30
35
40
45
比例（%）
年份
图5-7 60岁以上老年人口变化图
5.5 结果分析
通过模型一的短期预测，我们得到了2014年人口与结构的数据，全国人口总数在2021年将达到13.52亿人，其中男性6.92亿，女性6.60亿。为后续模型的测算提供了起始数据。
再扩大程序的递推次数，对人口进行截止到2050年的长期预测，得到全国人口总数在2021年将达到13.98亿人。
由图5-7可知，未来40年间我国的老年人口比例不断攀升，老龄化程度不断加重，到2050年时老年人口比例已达到41.7%，社会将面临严重的老龄化问题。
6 模型二的建立与求解
6.1 问题进一步分析
在上面的模型中，在人口预测中建立了改进后的Leslie 模型，在只考虑出生率死亡率影响的情况下，求得2014年的人口数量和结构作为后续计算单独政策影响的初始数据。
对2014年以后做预测是以2010全国人口普查数据建立Leslie 模型为基础的，为了验证2014人口预测数据的准确性，我们以中华人民共和国国家统计局数据为基础，使用灰度预测，对2013到2022年的人口数量进行了预测。
6.2 模型建立
灰色系统是指部分信息已知，部分信息未知的系统。灰色系统的理论实质是将无规律的原始数据进行累加生成数列，再重新建模。由于生成的模型得到的数据通过累加生成的逆运算――累减生成得到还原模型，再有还原模型作为预测模型。
预测模型，是拟合参数模型，通过原始数据累加生成，得到规律性较强的序列，用函数曲线去拟合得到预测值。
灰色预测模型建立过程如下：
设)
0(X 为原始数据，为了使其成为有规律的时间序列数据，对原始数据作一次累加生成运算，从而得到新的生成数列()
1X
一般近似地服从指数规律。 则生成
的离散形式的微分方程具体的形式为
dx
ax u dt += (10)
即表示变量对于时间的一阶微分方程是连续的。求解上述微分方程，解为
(1)()a t u
x t ce a
--=+ (11)
当t =1时，()(1)x t x =，即(1)u c x a =-
，则可根据上述公式得到离散形式微分方程的具体形式为
()()()11a t u u
x t x e
a a
--?
?=-
+ ??? (12) 0()()
lim t dx x t t x t dt t →+-= 1lim(()())t dx
x t t x t dt →=+- (1)(1)(1)()dx
x t x t dt
=+- 当t 足够小时，变量x 从()x t 到()x t t +是不会出现突变的，所以取()x t 与
()x t t +的平均值作为当t 足够小时的背景值，即(1)(1)(1)1()(1)2
x x t x t ??=
++??将其值带入式子，整理得
(0)(1)(1)1
(1)()(1)2
x t a x t x t u ??+=-+++?? (13) 由其离散形式可得到如下矩阵：
(1)(1)
(0)(1)(1)(0)(0)(1)(1)
1(1)(2)2(2)1(2)(3)(3)2()1(1)()2x x x x x x a u x n x n x n ????-+ ????? ? ? ???-+ ??
? ?=+ ? ? ? ? ??? ???--+ ????
?
令 (0)(0)
(0)(2),(3),,()T
Y x x x n ??=?
?
(1)(1)(1)(1)(1)(1)
11(1)(2)211(2)(3)21(1)()12x x x x B x n x n ????-+ ??? ? ???-+?? ?= ? ? ???--+ ????
?
()T
a u α=
称Y 为数据向量，B 为数据矩阵，α为参数向量. 则上式可简化为线性模型：
Y B α= (14) 由最小二乘估计方法得：
()1T
T a B B B Y u α-??== ???
(15)
上式即为GM(1,1)参数,a u 的矩阵辨识算式，式中()1
T
T B B B Y -事实上是数据
矩阵B 的广义逆矩阵。
将求得的a ，u 值代入微分方程的解式，则
()1(1)()((1))a t u u
x t x e
a a
--=-+ (16) 其中，上式是GM(1,1)模型的时间响应函数形式，将它离散化得
(1)
(0)
(1)?()(1)a t u u
x
t x e a a
--?
?=-+ ??
? (17)
对序列
()()1?x
t 再作累减生成可进行预测. 即
(x)
b B
(18) 通过利用MATLAB 编程求得,a u ，将,a u 的值代入微分方程的时间响应函数，
6.3 模型求解
根据2012全国统计年鉴数据整理得到全国历年年度人口统计表如表1.
表6-1 2001年—2012年全国人口总数(单位：万人)
(1)根据上述数据，建立含有12个观察值原始数据序列()
0X ：
()0X =[127627 128453 129227 129988 130756 131448 132129 132802 133450
134091 134735 135404]
(2)生成累加序列()1X ：
()1X =[127627 256080 385307 515295 646051 777499 909628 1042430 1175880 1309971 1444706 1580110]
(3)使用Matlab 进行灰度预测，对人口拟合如下：
0.0052t
127960e
)1(=+t x (4)精度检验值
方差比： c ＝0.0014 (很好) 小残差概率：P ＝1 (很好)
(5)得到2012年未来10的预测值如表6-2所示：
表6-2：人口统计2013-2022年预测值(单位：万人)
(6)得到2012年未来10的预测值曲线图如图6-1所示：
2001年 2002年 2003年 2004年 2005年 2006年 127627 128453 129227 129988 130756 131448 2007年 2008年 2009年 2010年 2011年 2012年 132129
132802
133450
134091
134735
135404
2013年 2014年 2015年 2016年 2017年 136220 136940 137650 138370 139100 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年 139830
140560
141290
142030
142780
2013
201420152016
20172018
2019202020212022
1.361.37
1.38
1.39
1.4
1.41
1.42
1.43
x 10
5
2013年-2022年总人口
年份
人口(万人)
图6-1 人口统计2013-2022年预测值(单位：万人)
6.4 结果分析
2011
2011.52012
2012.520132013.52014
1.3451.351.3551.361.3651.37
1.3751.381.385x 10
5
年份
人口(万人)
Leslie 模型
灰度预测模型
图6-2 模型一与模型二2011年-2014年人口对比图(单位：万人)
通过模型二的短期预测，我们得到了2014年人口总数量的数据，根据图6-2得全国人口总数在2014年将达到13.69亿人，与模型一预测的数据13.82亿人相比之下有些许差异，这是因为模型一是由各年龄段人口数据累加之后的数据，与直接由历年来人口变化趋势得到的数据还有些许差异。
7 模型三的建立与求解
7.1 问题的进一步分析
在第一个模型的基础上考虑单独政策影响，即求出因为单独政策开放而导致的人口增加量与结构变化。 7.1.1测算起始时间
首先，在统一时间问题上，我们查询资料发现单独政策是在2014年中在全国各个省市逐渐放开。列出全国部分开放单独政策省市地区的开放时间如表7-1：
表7-1 全国部分开放单独政策省市地区的开放时间
其他现在还未开放单独二孩政策的省市除新疆与西藏外均表示在2014年年内将放开单独二孩政策，因此我们选用2014年作为我们预测单独政策的影响的测算起始时间。最近的人口普查为2010年统计数据，如需预测应采用模型一基于2010年人口普查数据对2014年人口数量与结构数据进行预测。 7.1.2独生子女数据
对于现有独生子女人口数据过于驳杂与不完整的问题，我们选取了置信水平较高的国家统计局公布的2005年全国1%人口抽样调查数据。虽然年份与测算时间相差较大，但该数据为国家机构调查所得，调查方法科学严谨，置信水平高达95%，故应对其进行修正后作为独生子女测算的初始数据。 7.1.3计算单独家庭比例
单独二孩政策的直接作用对象为符合政策的单独家庭，一个单独家庭中必定含有一个男性和一个女性，故单独家庭个数计算的关键在于单独家庭比例： 妇女人口数量
单独家庭妇女人数
单独家庭比例
7.1.4生育意愿
联系实际情况，显然并不是所有符合单独政策的妇女都有生育单独二孩意愿，针对意愿问题，引入生育意愿矩阵。
生育意愿分布问题:分析单独二孩生育意愿调查的调查报告，我们发现不同年龄的妇女是否选择生育单独二孩的意愿也不相同，需要进行离散处理和创建分布模型。
符合单独政策的潜在人群我们可以用单独家庭个数（或单独家庭妇女数）来表征，他们应该同时具备下列2个条件:
(1)夫妇目前已经生育且仅有一个亲生子女;
(2)夫妇中丈夫为独生子女，而妻子不是或妻子为独生子女，而丈夫不是；
浙江 江西 安徽 天津 北京 广西 上海 1月16日 1月18日 1月23日 2月14日 2月21日 3月1日 3月1日 江苏 湖北 海南 山西 河北 贵州 ...... 3月
3月
5月
6月
6月
5月
......
首先要单独政策针对必须加入入独生子女的数量计算
生育意愿的统计的置信水平过低故取上下限计算
7.2 数据预处理
通过模型一预测在单独政策未开放之前，截至到2014年的男女人口数据
表7-2 预测2014年男女人口数据
年龄0 1 2 3 4 5 6 男7055911 7034036 7033886 7013322 7416062 8551415 8491034 女5821228 5802074 5802531 5786147 6287721 7066421 7098522 年龄7 8 9 10 11 12 13 男8258767 8233761 7976734 8023129 7282023 7413097 7715083 女6969525 6966306 6737447 6764062 6131646 6238029 6516949 年龄14 15 16 17 18 19 20 男7819459 7511506 8275981 8147461 8448530 9506053 9774432 女6617656 6407578 7104317 7057747 7423043 8491344 8986438 年龄21 22 23 24 25 26 27 男10735992 10718256 11050699 14162078 13319193 12243733 12835900 女10004130 10000011 10452489 13809418 13182403 12176957 12801859 年龄28 29 30 31 32 33 34 男11255721 9937223 9845647 9766764 11228828 9874459 9563876 女11350712 9949459 9815247 9663941 11031884 9635900 9305847 年龄35 36 37 38 39 40 41 男10095112 9860771 9240089 10516299 10752027 11615072 12196739 女9704761 9543920 8869114 10086503 10340805 11183508 11669087 年龄42 43 44 45 46 47 48 男12566345 12828142 13865106 12598066 13632854 10730612 12101321 女12025598 12226755 13346952 12176067 13181958 10441905 11689190 年龄49 50 51 52 53 54 55 男12083571 11688020 13573342 10038660 5519933 7056826 6477314 女11632380 11405106 13060841 9761246 5546667 6819478 6142566 年龄56 57 58 59 60 61 62 男8363633 9176233 8299132 8699106 8679465 7799229 7819790 女7947103 8806565 8182872 8496720 8598250 7832681 7832299 年龄63 64 65 66 67 68 69 男6566190 6578120 6327036 5377681 5137610 4656405 4208775 女6652151 6512283 6138368 5360157 5092385 4720263 4292162 年龄70 71 72 73 74 75 76 男4011333 3608639 3479750 3411724 3225323 2659262 2888127 女4019919 3692808 3567535 3525050 3337542 2838411 3065213 年龄77 78 79 80 81 82 83 男2600722 2395401 2125162 1892092 1793718 1423005 1197569 女2814217 2702482 2507598 2273593 2157626 1792155 1513651
获得国家统计局05年全国1%人口抽样调查数据中关于独生子女的统计表，该数据是2005年全国独生子女的一个样本，因为数据中标注置信水平较高在95%以上。用样本估计总体，即2005年当年全国独生子女分年龄、分性别的人口数据。由概率统计公式
%100??
=总体容量
样本容量
样本期望值总体期望值
估测出05年独生子女数量与结构数据如表7-3所示：
表7-3 05年独生子女数量与结构数据
因为独生子女群体分散在全国人口总体中，而并非封闭的的对象。因而不可采用模型一或模型二对独生子女人口进行递推和预测。
利用Matlab 软件中的拟合工具Curve Fitting Tool 分别对独生男-年份、独生女-年份的变化图像进行拟合：
用三角函数拟合独生女变化趋势，如下图，拟合曲线为：
)9.14103322.0sin(10382.6)(4+??=t t f
年龄 84 85 86 87 88 89 90 男 1143008 807206 745697 567616 429812 358909 266380 女 1498687 1121273 1074114 854555 683204 601481 476781 年龄 91 92 93 94 95 96 97 男 190125 140629 105913 74074 47109 34238 24350 女 360373 274766 216589 160887
104084
78043
55402 年龄 98 99 100
男 18891 14588 11086 女
40870
30889
22409
年龄
0岁
1岁
2岁
3岁
4岁
5岁
6岁
7岁
独生男 6061500 5800200 5255900 5260700 5502900 5492800 5066100 5432700 独生女 5608800 5232800 4654000 4607500 4643900 4421900 3832400 3808800 年龄
8岁
9岁
10岁
11岁
12岁
13岁
14岁
15岁
独生男 5292500 5229400 5511400 4921400 5058700 4843500 4770400 4843700 独生女 3576300 3351300 3444400 3109800 3104200 2893100 2810200 2924800 年龄
16岁
17岁
18岁
19岁
20岁
21岁
22岁
23岁
独生男 4141100 3466000 3190300 2463000 1983500 1925400 2149300 2603400 独生女 2592600 2270200 2123600 1677800 1500700 1620900 1855700 2295100 年龄
24岁
25岁
26岁
27岁
28岁
29岁
30岁
独生男 2149500 1811400 1821200 1694000 1483500 1531400 2057800 独生女 1952200 1793600 1791300 1730300 1606900 1775800 2469100
图7-1 独生女拟合曲线
通过所得独生男女拟合曲线求得每年新生独生男女人口数，在代入2014年独
生子女数量
由模型一递推出2014年分性别分年龄人口数据
表7-4 2014年分性别分年龄人口数据
年龄0岁1岁2岁3岁4岁5岁6岁7岁
独生男6327154 6272480 6227254 6178290 6123619 6062733 5995507 5921719 独生女5707371 5565066 5439361 5316523 5194759 5073445 4952356 4831482 年龄8岁9岁10岁11岁12岁13岁14岁15岁
独生男5841570 6013695 5773976 5236276 5242736 5484823 5475083 5049661 独生女4710907 5568347 5214460 4641541 4596775 4633878 4412800 3824819 年龄16岁17岁18岁19岁20岁21岁22岁23岁
独生男5414636 5274322 5210500 5490383 4901554 5036789 4821121 4746790 独生女3801379 3569262 3344569 3437277 3103307 3097531 2886713 2803771 年龄24岁25岁26岁27岁28岁29岁30岁31岁
独生男4817993 4117719 3445192 3170257 2446890 1969993 1911733 2133426 独生女2917758 2586073 2264214 2117789 1673024 1496264 1615897 1849677 年龄32岁33岁34岁35岁36岁37岁38岁39岁
独生男2583241 2132087 1796079 1804964 1677857 1468423 1514787 2034051 独生女2287241 1945201 1786885 1784147 1722926 1599588 1767117 2456190
7.3 模型建立
7.3.1分孩次离散生育率
单独政策的本质是通过扩大生育第二孩的人群数量，通过二孩的增加量改变
新生人口数量。
HIMCM 2014美国中学生数学建模竞赛试题
HIMCM 2014美国中学生数学建模竞赛试题 Problem A: Unloading Commuter Trains Trains arrive often at a central Station, the nexus for many commuter trains from suburbs of larger cities on a “commuter” line. Most trains are long (perhaps 10 or more cars long). The distance a passenger has to walk to exit the train area is quite long. Each train car has only two exits, one near each end so that the cars can carry as many people as possible. Each train car has a center aisle and there are two seats on one side and three seats on the other for each row of seats.To exit a typical station of interest, passengers must exit the car, and then make their way to a stairway to get to the next level to exit the station. Usually these trains are crowded so there is a “fan” of passengers from the train trying to get up the stairway. The stairway could accommodate two columns of people exiting to the top of the stairs.Most commuter train platforms have two tracks adjacent to the platform. In the worst case, if two fully occupied trains arrived at the same time, it might take a long time for all the passengers to get up to the main level of the station.Build a mathematical model to estimate the amount of time for a passenger to reach the street level of the station to exit the complex. Assume there are n cars to a train, each car has length d. The length of the platform is p, and the number of stairs in each staircase is q. Use your model to specifically optimize (minimize) the time traveled to reach street level to exit a station for the following: 问题一:通勤列车的负载问题 在中央车站,经常有许多的联系从大城市到郊区的通勤列车“通勤”线到达。大多数火车很长(也许10个或更多的汽车长)。乘客走到出口的距离也很长，有整个火车区域。每个火车车厢只有两个出口,一个靠近终端, 因此可以携带尽可能多的人。每个火车车厢有一个中心过道和过道两边的座椅，一边每排有两个座椅，另一边每排有三个座椅。走出这样一个典型车站,乘客必须先出火车车厢,然后走入楼梯再到下一个级别的出站口。通常情况下这些列车都非常拥挤,有大量的火车上的乘客试图挤向楼梯，而楼梯可以容纳两列人退出。大多数通勤列车站台有两个相邻的轨道平台。在最坏的情况下,如果两个满载的列车同时到达,所有的乘客可能需要很长时间才能到达主站台。建立一个数学模型来估计旅客退出这种复杂的状况到达出站口路上的时间。假设一列火车有n个汽车那么长,每个汽车的长度为d。站台的长度是p，每个楼梯间的楼梯数量是q。使用您的模型具体来优化(减少)前往主站台的时间，有如下要求: Requirement 1. One fully occupied train's passengers to exit the train, and ascend the stairs to reach the street access level of the station. 要求1.一个满载乘客的火车，所有乘客都要出火车。所有乘客都要出楼梯抵达出主站台的路上。 Requirement 2. Two fully occupied trains' passengers (all passengers exit onto a common platform) to exit the trains, and ascend the stairs to reach the street access level
数学建模练习试题
2011年数学建模集训小题目 1.求下列积分的数值解 ? +∞ +-?23 2 2 3x x x dx 2.已知)s i n ()()c o s (),(2h t h t h t e h t f h t ++++=+，dt h t f h g ?=10 ),()(，画出 ]10,10[-∈h 时，)(h g 的图形。 3.画出16)5(2 2=-+y x 绕x 轴一周所围成的图形，并求所产生的旋转体的体积。 4.画出下列曲面的图形 （1）旋转单叶双曲面 14 92 22=-+z y x ； （2）马鞍面xy z =； 5.画出隐函数1cos sin =+y x 的图形。 6.（1）求函数x x y -+=12 ln 的三阶导数； 法一：syms x y dy; >> y=log((x+2)/(1-x)); >> dy=diff(y,3) dy = (6/(1-x)^3+6*(x+2)/(1-x)^4)/(x+2)*(1-x)-2*(2/(1-x)^2+2*(x+2)/(1-x)^3)/(x+2)^2*(1-x)-2*(2/(1-x)^2+2*(x+2)/(1-x)^3)/(x+2)+2*(1/(1-x)+(x+2)/(1-x)^2)/(x+2)^3*(1-x)+2*(1/(1-x)+(x+2)/(1-x)^2)/(x+2)^2 （2）求向量]425.00[=a 的一阶向前差分。 7.求解非线性方程组 （1）?????=-+=-+060622x y y x （2）???=+=++5 ln 10tan 10cos sin y x y e y x 8.求函数186)(2 3-++=x x x x f 的极值点，并画出函数的图形。 9.某单位需要加工制作100套钢架，每套用长为2.9m ，2.1m 和1m 的圆钢各一根。已知原料长6.9m ，问应如何下料，使用的原材料最省。 10. 某部门在今后五年内考虑给下列项目投资，已知： 项目A ，从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末回收本利115％； 项目B ，从第三年初需要投资，到第五年末能回收本利125％，但规定最大投资额不超过4万元；
西南大学2016年春《数学建模》作业及答案(已整理)(共5次)
西南大学2014年春《数学建模》作业及答案(已整理) 第一次作业 1：[填空题] 名词解释: 1．原型 2．模型 3．数学模型 4．机理分析 5．测试分析 6．理想方法 7．计算机模拟 8．蛛网模型 9．群体决策 10．直觉 11．灵感 12．想象力 13．洞察力 14．类比法 15．思维模型 16．符号模型 17．直观模型 18．物理模型19．2倍周期收敛20．灵敏度分析21．TSP问题22．随机存储策略23．随机模型24．概率模型25．混合整数规划26．灰色预测 参考答案： 1．原型：原型指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。2．模型：指为某个特定目的将原形的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。3．数学模型：是由数字、字母或其它数字符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法。4．机理分析：根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律，建立的模型常有明显的物理意义或现实意义。5．测试分析：将研究对象看作一个"黑箱”系统，通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合得最好的模型。6．理想方法：是从观察和经验中通过想象和逻辑思维，把对象简化、纯化，使其升华到理状态，以其更本质地揭示对象的固有规律。7．计算机模拟：根据实际系统或过程的特性，按照一定的数学规律用计算机程序语言模拟实际运行情况，并依据大量模拟结构对系统或过程进行定量分析。8．蛛网模型：用需求曲线和供应曲线分析市场经济稳定性的图示法在经济学中称为蛛网模型。9．群体决策：根据若干人对某些对象的决策结果，综合出这个群体的决策结果的过程称为群体决策。10．直觉：直觉是人们对新事物本质的极敏锐的领悟、理解或推断。11．灵感：灵感是指在人有意识或下意识思考过程中迸发出来的猜测、思路或判断。12．想象力：指人们在原有知识基础上，将新感知的形象与记忆中的形象相互比较、重新组合、加工、处理，创造出新形象，是一种形象思维活动。13．洞察力：指人们在充分占有资料的基础上，经过初步分析能迅速抓住主要矛盾，舍弃次要因素，简化问题的层次，对可以用那些方法解决面临的问题，以及不同方法的优劣作出判断。14．类比法：类比法注意到研究对象与以熟悉的另一对象具有某些共性，比较二者相似之处以获得对研究对象的新认识。15．思维模型：指人们对原形的反复认识，将获取的知识以经验的形式直接储存于人脑中，从而可以根据思维或直觉作出相应的决策。16．符号模型：是在一定约束条件或假设下借助于专门的符号、线条等，按一定形式组合起来描述原型。17．直观模型：指那些供展览用的实物模型以及玩具、照片等，通常是把原型的尺寸按比例缩小或放大，主要追求外观上的逼真。18．物理模型：主要指科技工作者为一定的目的根据相似原理构造的模型，它不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以用来进行模拟实验，间接地研究原型的某些规律。19．2倍周期收敛：在离散模型中，如果一个数列存在两个收敛子列就称为2倍周期收敛。20．灵敏度分析：系数的每个变化都会改变线性规划问题，随之也会影响原来求得的最优解。为制定一个应付各种偶然情况的全能方法，必须研究以求得的最优解是怎样随输入系数的变化而变化的。这叫灵敏性分析。21．TSP问题：在加权图中寻求最佳推销员回路的问题可以转化为在一个完备加权图中寻求最佳哈密顿圈的问题，称为TSP问题。22．随机存储策略：商店在订购货物时采用的一种简单的策略，是制定一个下界s和一个上界S，当周末存货不小于s时就不定货；当存货少于s 时就订货，且定货量使得下周初的存量达到S，这种策略称为随机存储策略。23．随机模型：如果随机因素对研究对象的影响必须考虑，就应该建立随机性的数学模型，简称为随机模型。24．概
数学建模作业
习 题 1 1. 请编写绘制以下图形的MA TLAB 命令，并展示绘得的图形. (1) 221x y +=、224x y +=分别是椭圆2241x y +=的内切圆和外切圆. (2) 指数函数x y e =和对数函数ln y x =的图像关于直线y=x 对称. (3) 黎曼函数 1, (0)(0,1) 0 , (0,1), 0,1 q x p q q x y x x x =>∈?=? ∈=?当为既约分数且当为无理数且或者 的图像（要求分母q 的最大值由键盘输入）. 3. 两个人玩双骰子游戏，一个人掷骰子，另一个人打赌掷骰子者不能掷出所需点数，输赢的规则如下：如果第一次掷出3或11点，打赌者赢；如果第一次掷出2、7或12点，打赌者输；如果第一次掷出4、5、6、8、9或10点，记住这个点数，继续掷骰子，如果不能在掷出7点之前再次掷出该点数，则打赌者赢. 请模拟双骰子游戏，要求写出算法和程序，估计打赌者赢的概率. 你能从理论上计算出打赌者赢的精确概率吗？请问随着试验次数的增加，这些概率收敛吗？
4. 根据表1.14的数据，完成下列数据拟合问题： (1) 如果用指数增长模型0()0()e r t t x t x -=模拟美国人口从1790年至2000年的变化过程，请用MATLAB 统计工具箱的函数nlinfit 计算指数增长模型的以下三个数据拟合问题： (i) 取定0x =3.9，0t =1790，拟合待定参数r ； (ii) 取定0t =1790，拟合待定参数0x 和r ； (iii) 拟合待定参数0t 、0x 和r . 要求写出程序，给出拟合参数和误差平方和的计算结果，并展示误差平方和最小的拟合效果图. (2) 通过变量替换，可以将属于非线性模型的指数增长模型转化成线性模型，并用MA TLAB 函数polyfit 进行计算，请说明转化成线性模型的详细过程，然后写出程序，给出拟合参数和误差平方和的计算结果，并展示拟合效果图. (3) 请分析指数增长模型非线性拟合和线性化拟合的结果有何区别？原因是什么？ (4) 如果用阻滞增长模型00 () 00()()e r t t Nx x t x N x --= +-模拟美国人口从1790年至2000年的变化过程，请用MA TLAB 统计工具箱的函数nlinfit 计算阻滞增长模型的以下三个数据拟合问题： (i) 取定0x =3.9，0t =1790，拟合待定参数r 和N ； (ii) 取定0t =1790，拟合待定参数0x 、r 和N ； (iii) 拟合待定参数0t 、0x 、r 和N . 要求写出程序，给出拟合参数和误差平方和的计算结果，并展示误差平方和最小的拟合效果图. 年份 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890
2014年美国数学建模大赛(MCM)试题译文
2014年美国数学建模大赛（MCM）试题译文 王景璟大连理工大学 问题A：超车之外靠右行原则 在一些开车必须靠右行驶的国家（比如：美国，中国，以及其他除了英国，澳大利亚，和一些前英国殖民地的国家），行驶在多车道高速路必须遵循一个规则，那就是要求驾驶员在超车之外的情况下，必须在最靠右的车道行驶，超车时，他们向左变道，超车，然后再回到之前行驶的车道。 构建一个数学模型来分析该规则在车流量很少和很大的时候的执行情况。你最好能考察车流量与安全的之间的相互关系，过低或是过量的速度限制的作用（速度设置过低或是过高），以及/或者其他在该问题陈述中没有明确提到的因素。该原则是否能有效促进更好的车流量？如果无效，请建议和分析其他更有助于提高车流量、安全、以及其他你认为重要的因素的其他方案（可以完全不包括该原则）。 在开车靠左行的国家，讨论一下你的方案在经过对方向的简单修改之后或是添加额外的要求之后是否也适用。 最后，以上原则取决于人们遵循交通规则的判断力。如果道路上的车流完全在智能系统（要么是道路体系的一部分，要么是包含在使用道路的所有车辆的设计之中）的控制之下，该改变在多大程度上会影响你先前分析的结果？ 问题B: 大学教练联盟 《体育画报》，一本体育爱好者的杂志，正在寻找上世纪“最好的大学教练”，包括男性和女性。建立一个数学模型以从诸如大学曲棍球，曲棍球，橄榄球，棒球，垒球，篮球，或足球等运动的男性或女性教练中选出最好的一个教练或几个教练（过去的或现在的）。分析中使用的时间分界线是否有影响？即在1913执教和在2013年执教有不同吗？清晰地表达你们模型中的评判标准。讨论你们的模型如何能广泛地应用于两种性别及所有可能的体育运动。分别选出你模型中3种不同运动的前5位教练。 除了MCM格式及要求，准备一篇1-2页的文章给《体育画报》以解释你们的结论并包括一份能让体育迷们看懂的对你们数学模型的非技术性解释。 问题C：使用网络模型测量影响力
2014年下学期数学实验与数学建模作业习题8
2014年下学期数学实验与数学建模作业习题8 1．轮船的甲板成近似半椭圆面形为了得到甲板的面积。首先测量得到横向最大相间8.534米；然后等间距地测得纵向高度，自左向右分别为：0.914, 5.060, 7.772, 8.717, 9.083, 9.144, 9.083, 8.992, 8.687, 7.376, 2.073，计算甲板的面积。 【1】命令： x=0:0.711:8.534; y2=[0,0.914^2,5.060^2,7.772^2,8.717^2,9.083^2,9.144^2,9.083^2,8.992^2, 8.687^2,7.376^2,2.073^2,0]; %plot(x,y2,'*'); a=polyfit(x,y2,2) 【2】结果： a = -5.2832 46.5248 -16.7465 得y^2=-5.2832*x^2+46.5248*x-16.7465,即y^2/85.68+(x-4.4031)^2/16.2175=1 故面积=0.5*a*b*pi=58.56. 2．物体受水平方向外力作用，在水平直线上运动。测得位移与受力如表8.1 表8.1 X 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 F 20 21 21 20 19 18.5 18.0 13.5 9 4.5 0 求(a) 物体从位移为0到0.4所做的功； (b) 位移为0.4时的速度是多少？ 【1】命令： x=0:0.1:1.0; f=[20,21,21,20,19,18.5,18.0,13.5,9,4.5,0]; plot(x,f,'*');hold on; a=polyfit(x,f,2) f2=-34.4988*x.*x+14.8625*x+19.5979; plot(x,f2); syms t y=-34.4988*t.*t+14.8625*t+19.5979; w=vpa(int(y,t,0,0.4),8) V=diff(y);t=2;v=eval(V)
2011年全国大学生数学建模竞赛测试试题
2011年全国大学生数学建模竞赛测试试题(A) 时量：180分钟满分：150分 院系：专业：学号：姓名： 一、选择题（2分/题×10题=20分） 1、Matlab程序设计中清除当前工作区的变量x,y的命令是( c ) A.clc x,y B.clear(x y) C.clear x y D.remove(x,y) 2、关于Matlab程序设计当中变量名和函数名的描述，下述说法正确的是( B ) A.都不区分大小写 B.都区分大小写 C.变量名区分,函数名不区分 D. 变量名区分,函数名不区分 3、MA TLAB软件中，把二维矩阵按一维方式寻址时的寻址访问是按（B）优先的。 A.行 B.列 C.对角线 D.左上角 4、关于矩阵上下拼接和左右拼接的方式中，下列描述是正确的是（ D ） A．上下拼接的命令为C=[A, B]，要求矩阵A, B的列数相同； B．左右拼接的命令为C=[A; B]，要求矩阵A, B的行数相同； C．上下拼接的命令为C=[A; B]，要求矩阵A, B的行数相同； D．左右拼接的命令为C=[A, B]，要求矩阵A, B的行数相同。 5、Matlab命令a=[65 72 85 93 87 79 62 73 66 75 70];find(a>=70 & a<80)得到的结果为（C ） A.[72 79 73 75] B.[72 79 73 75 70] C.[2 6 8 10 11] D.[0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1] 6、矩阵(或向量)的范数是用来衡量矩阵(或向量)的（A）的一个量 A.维数大小 B.元素的值的绝对值大小 C.元素的值的整体差异程度 D.所有元素的和 7、计算非齐次线性方程组AX=b的解可转化为计算矩阵X=A-1b，可以用Matlab的命令（A）实现 A.左除命令x=A\b B.左除命令x=A/b C.右除命令x=A\b D.右除命令x=A/b 8、关于Matlab的矩阵命令与数组命令，下列说法正确的是（b） A.矩阵乘A*B是指对应位置元素相乘 B.矩阵乘A.*B是指对应位置元素相乘 C.数组乘A.*B是指对应位置元素相乘 D.数组乘A*B是指对应位置元素相乘 9、生成5行4列，并在区间[1:10]内服从均分布的随机矩阵的命令是（d） A.rand(5,4)*10 B.rand(5,4,1,10) C.rand(5,4)+10 D.rand(5,4)*9+1 10、关于Matlab的M文件的描述中，以下错误的是（ d ） A、Matlab的M 文件有脚本M文件和函数M文件两种； B、Matlab的函数M文件中要求首行必须以function顶格开头；
网络学院数学建模作业题
网络学院数学建模作业题
数学建模作业题 注意事项： 作业共十题，每题十分，全部是比较简单的建模计算题，题目既是课本上的习题，在课本304~315有参考解答，又是在线题库的题目，在题库里有更详细的解答。学员应该先自己动脑筋解决，然后才参考一下课本及题库的解答。 评分高低主要是看完成作业的态度、独立程度和表达清晰程度。 上传的作业必须是包括全部作业的单独一份word文档，必须自己录入，不允许扫描，不允许直接插入题库答案中的图片。严重违反者，不及格。 请于有效期结束前两周提交上传作业，教师尽快批改，请学员有效期结束前一周查看成绩，不及格的学员可以在课程答疑栏目提出或者课程论坛提出重交申请，教师删除原作业后，这些学员可以在有效期结束前之前重交作业。每人只有一次重交机会。 作业题与考试相关（当然不会一模一样），认真完成作业的学员，必将在考试取得好成绩。 一、教材76页第1章习题1第7题（来自高中数学课本的数学探究问题，满分10分） 表1.17是某地一年中10天的白昼时间（单位：小时），请选择合适的函数模型，并进行数据拟合. 日期1月1日2月28日3月21日4月27日5月6日
白昼时间 5.59 10.23 12.38 16.39 17.26 日期 6月21日 8月14日 9月23日 10月25日 11月21日 白昼时间 19.40 16.34 12.01 8.48 6.13 解：根据地理常识，某地的白昼时间是以一年为周期而变化的，以日期在一年中序号为自变量x ，以白昼时间为因变量y ，则根据表1.17的数据可知在一年（一个周期）内，随着x 的增加，y 大约在6月21日（夏至）达到最大值，在12月21日（冬至）达到最小值，在3月21日（春分） 或9月21日（秋分）达到中间值。选择函数y=(b x A ++)3652sin(?π)作为函数值。根据表1.17的数据，推测A ，b 和?的值， 作非线性拟合得385.123712.13652sin(9022.6+-=x y π，预测该地12月21日的白昼时间为5.49小时。 二、教材100页第2章习题2第1题（满分10分） 继续考虑第2.2节“汽车刹车距离”案例，请问“两秒准则”和“一车长度准则”一样吗？“两秒准则”是否足够安全？对于安全车距，你有没有更好的建议？ 解：“两秒准则”表明前后车距D 与车速v 成正比例关系v K D 2 =，其中s K 22 =，对于小型汽车，“一车长度准则”与“两秒准则”不一致。由)]([1 2 2 K K v K v D d --=-可以计算得到当D d h km K K K v <=-<时有/428.542 12 ，“两秒准则”足够安全，或者把刹车距离实测数据和“两秒准则”都画在同一幅图中，根据图形指出“两秒准则”足够安全的车速范围。用最大刹车距离除以车速，得到最大刹车距离所需的尾随时间，并以尾随时间为依据，提出更安全的准则，如“3秒准则”、“4
数学建模一周作业题目
对作业题目的说明 1. 本次数学建模周一共提供十五道题目供大家选择。每支队伍（2-3人/队）必须从以下题目中任意选取一题（只须选择一道），并完成一篇论文，对论文的具体要求参阅《论文格式规范》。 2. 题目标注为“A ”的为有一定难度的题目，指导老师会根据题目的难度对论文最后的评分进行调整。 （一）乒乓球赛问题 (A) A 、 B 两乒乓球队进行一场五局三胜制的乒乓球赛，两队各派3名选手上场，并各有3种选手的出场顺序（分别记为123,,ααα 和123,,βββ）。根据过去的比赛记录，可以预测出如果A 队以i α次序出场而B 队以j β次序出场，则打满5局A 队可胜 ij a 局。由此得矩阵()ij R a =如下： 12 3 1232 140345 3 1R βββααα?? = ? ? ??? （1） 根据矩阵R 能看出哪一队的实力较强吗？ （2） 如果两队都采取稳妥的方案，比赛会出现什么结果？ （3） 如果你是A 队的教练，你会采取何种出场顺序？ （4） 比赛为五战三胜制，但矩阵R 中的元素却是在打满五局的情况下得到 的，这样的数据处理和预测方式有何优缺点？ （二）野兔生长问题 在某地区野兔的数量在连续十年的统计数量(单位十万)如下： 分析该数据，得出野兔的生长规律。 并指出在哪些年内野兔的增长有异常现象，
预测T=10 时野兔的数量。 （三）停车场的设计问题 在New England的一个镇上，有一位于街角处面积100 200平方英尺的停车场，场主请你代为设计停车车位的安排方式，即设计在场地上划线的方案。 容易理解，如果将汽车按照与停车线构成直角的方向，一辆紧挨一辆地排列成行，则可以在停车场内塞进最大数量的汽车，但是对于那些缺乏经验的司机来说，按照这种方式停靠车辆是有困难的，它可能造成昂贵的保险费用支出。为了减少因停车造成意外损失的可能性，场主可能不得不雇佣一些技术熟练的司机专门停车；另一方面，如果从通道进入停车位有一个足够大的转弯半径，那么，看来大多数的司机都可以毫无困难地一次停车到位。当然通道越宽，场内所容纳的车辆数目也越少，这将使得场主减少收入。 请你通过建模的计算结果，来给出一个合理的设计方案。 （四）奖学金的评定(A) 背景 A Better Class (ABC)学院的一些院级管理人员被学生成绩的评定问题所困 ）,这使得扰。平均来说，ABC的教员们一向打分较松（现在所给的平均分是A — 无法对好的和中等的学生加以区分。然而,某项十分丰厚的奖学金仅限于资助占总数10%的最优秀学生,因此,需要对学生排定名次。 教务长的想法是在每一课程中将每个学生与其他学生加以比较,运用由此得到的信息构造一个排名顺序。例如,某个学生在一门课程中成绩为A,而在同一课程中所有学生都得A,那么就此课而言这个学生仅仅属于“中等”。反之，如果一个学生得到了课程中唯一的A，那么，他显然处在“中等至上”水平。综合从几门不同课程所得到的信息，使得可以把所有学院的学生按照以10%划分等级顺序（最优秀的10%，其次的10%，等等）排序。 问题 , B+ ,…）这样的方式给出的,教务（1）假设学生成绩是按照（A+，A, A — 长的想法能否实现?
2015年数学建模作业题
数学模型课程期末大作业题 要求: 1）选题方式：共53题，每个同学做一题，你要做的题目编号是你的学号mod52所得的值+1。(例如：你的学号为119084157，则你要做的题为mod(119084157,52)+1=50)。 2）该类题目基本为优划问题，要求提交一篇完整格式的建模论文，文字使用小四号宋体，公式用word的公式编辑器编写，正文中不得出现程序以及程序冗长的输出结果，程序以附录形式附在论文的后面，若为规划求解必须用lingo 集合形式编程，其它可用Matlab或Mathmatica编写。 3）论文以纸质文档提交，同时要交一份文章和程序电子文档，由班长统一收上来，我要验证程序。 1、生产安排问题 某厂拥有4台磨床，2台立式钻床，3台卧式钻床，一台镗床和一台刨床，用以生产7种产品，记作p1至p7。工厂收益规定作产品售价减去原材料费用之余。每种产品单件的收益及所需各机床的加工工时（以小时计）列于下表（表1）： 表 到6月底每种产品有存货50件。 工厂每周工作6天，每天2班，每班8小时。 不需要考虑排队等待加工的问题。 在工厂计划问题中，各台机床的停工维修不是规定了月份，而是选择最合
适的月份维修。除了磨床外，每月机床在这6个月中的一个月中必须停工维修；6个月中4台磨床只有2台需要维修。扩展工厂计划模型，以使可作上述灵活安排维修时间的决策。停工时间的这种灵活性价值若何？ 注意，可假设每月仅有24个工作日。 5、生产计划 某厂有4台磨床，2台立钻，3台水平钻，1台镗床和1台刨床，用来生产7种产品，已知生产单位各种产品所需的有关设备台时以及它们的利润如表所示： 台镗床，4月—1台立钻，5月—1台磨床和1台立钻，6月—1台刨床和1台水平钻，被维修的设备在当月内不能安排生产。又知从1月到6月份市场对上述7种产品最大需求量如表所示： 量均不得超过100件。现在无库存，要求6月末各种产品各贮存50件。若该厂每月工作24天，每天两班，每班8小时，假定不考虑产品在各种设备上的加工顺序，要求： （a）该厂如何安排计划，使总利润最大； （b）在什么价格的条件下，该厂可考虑租用或购买有关的设备。 34、瓶颈机器上的任务排序 在工厂车间中，经常会出现整个车间的生产能力取决于一台机器的情况（例如，仅有一台的某型号机床，生产线上速度最慢的机器等）。这台机器就称为关键机器或瓶颈机器。此时很重要的一点就是尽可能地优化此机器将要处理的任务计划。
研究生赛E题【2014年研究生数学建模竞赛试题】
2014年全国研究生数学建模竞赛E题 乘用车物流运输计划问题 整车物流指的是按照客户订单对整车快速配送的全过程。随着我国汽车工业的高速发展，整车物流量，特别是乘用车的整车物流量迅速增长。图1、2、3就是乘用车整车物流实施过程中的画面。 乘用车生产厂家根据全国客户的购车订单，向物流公司下达运输乘用车到全国各地的任务，物流公司则根据下达的任务制定运输计划并配送这批乘用车。为此，物流公司首先要从他们当时可以调用的“轿运车”中选择出若干辆轿运车，进而给出其中每一辆轿运车上乘用车的装载方案和目的地，以保证运输任务的完成。“轿运车”是通过公路来运输乘用车整车的专用运输车，根据型号的不同有单层和双层两种类型，由于单层轿运车实际中很少使用,本题仅考虑双层轿运车。双层轿运车又分为三种子型：上下层各装载1列乘用车，故记为1-1型（图1）；下、上层分别装载1、2列，记为1-2型（图2）；上、下层各装载2列，记为2-2型（图3），每辆轿运车可以装载乘用车的最大数量在6到27辆之间。 在确保完成运输任务的前提下，物流公司追求降低运输成本。但由于轿运车、乘用车有多种规格等原因，当前很多物流公司在制定运输计划时主要依赖调度人员的经验，在面对复杂的运输任务时，往往效率低下，而且运输成本不尽理想。请你们为物流公司建立数学模型，给出通用算法和程序（评审时要查）。 1
装载具体要求如下：每种轿运车上、下层装载区域均可等价看成长方形，各列乘用车均纵向摆放，相邻乘用车之间纵向及横向的安全车距均至少为0.1米，下层力争装满，上层两列力求对称，以保证轿运车行驶平稳。受层高限制，高度超过1.7米的乘用车只能装在1-1、1-2型下层。轿运车、乘用车规格（第五问见附件）如下： 乘用车型号长度(米) 宽度(米) 高度(米) Ⅰ 4.61 1.7 1.51 Ⅱ 3.615 1.605 1.394 Ⅲ 4.63 1.785 1.77 轿运车类型上下层长度(米) 上层宽度(米) 下层宽度(米) 1-1 19 2.7 2.7 1-2 24.3 3.5 2.7 表2 轿运车规格 整车物流的运输成本计算较为繁杂,这里简化为：影响成本高低的首先是轿 运车使用数量；其次，在轿运车使用数量相同情况下，1-1型轿运车的使用成本 2
福建师范大学课程考试《数学建模》作业考核试题参考328
《数学建模》期末考试A卷 一、判断题（每题3分，共15分） 1、模型具有可转移性。 ------------------------------（√） 2、一个原型，为了不同的目的可以有多种不同的 模型。------（√） 3、一个理想的数学模型需满足模型的适用性和模 型的可靠性。 --------------------------------------------- （√） 4、力学中把质量、长度、时间的量纲作为基本量 纲。-------（√） 5、数学模型是原型的复制品。 -------------------- （×） 二、不定项选择题（每题3分，共15分） 1、下列说法正确的有 ACD 。A、评价模型优劣的唯一标准是实践检验。 B、模型误差是可以避免的。 C、生态模型属于按模型的应用领域分的模型。 D、白箱模型意味着人们对原型的内在机理了解不清楚。 2、建模能力包括 ABCD 。 A、理解实际问题的能力 B、抽象分析问题的能力 C、运用工具知识的能力 D、试验调试的能力 3、按照模型的应用领域分的模型有 CD 。 A、传染病模型 B、代数模型 C、几何模型 D、微分模型 E、生态模型 4、对黑箱系统一般采用的建模方法是 ABCD 。 A、机理分析法 B、几何法 C、系统辩识法 D、代数法 5、一个理想的数学模型需满足 AB 。 A、模型的适用性 B、模型的可靠性 C、模型的复杂性 D、模型的美观性 三、用框图说明数学建模的过程。（10分） 四、建模题（每题15分，共60分） 1、四条腿长度相等的椅子放在起伏不平的地面上，4条 腿能否同时着地？ 一、模型假设 对椅子和地面都要作一些必要的假设： 1.椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触可视为一 个点，四脚的连线呈正方形. 2.地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出 现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学 1
最新历年全国数学建模试题及解法归纳
历年全国数学建模试题及解法归纳 赛题解法 93A非线性交调的频率设计拟合、规划 93B足球队排名图论、层次分析、整数规划 94A逢山开路图论、插值、动态规划 94B锁具装箱问题图论、组合数学 95A飞行管理问题非线性规划、线性规划 95B天车与冶炼炉的作业调度动态规划、排队论、图论 96A最优捕鱼策略微分方程、优化 96B节水洗衣机非线性规划 97A零件的参数设计非线性规划 97B截断切割的最优排列随机模拟、图论 98A一类投资组合问题多目标优化、非线性规划 98B灾情巡视的最佳路线图论、组合优化 99A自动化车床管理随机优化、计算机模拟 99B钻井布局0-1规划、图论 00A DNA序列分类模式识别、Fisher判别、人工 神经网络 00B钢管订购和运输组合优化、运输问题 01A血管三维重建曲线拟合、曲面重建 赛题解法 01B 公交车调度问题多目标规划 02A车灯线光源的优化非线性规划 02B彩票问题单目标决策 03A SARS的传播微分方程、差分方程 03B 露天矿生产的车辆安排整数规划、运输问题 04A奥运会临时超市网点设计统计分析、数据处理、优化 04B电力市场的输电阻塞管理数据拟合、优化 05A长江水质的评价和预测预测评价、数据处理 05B DVD在线租赁随机规划、整数规划 06A出版社书号问题整数规划、数据处理、优化 06B Hiv病毒问题线性规划、回归分析 07A 人口问题微分方程、数据处理、优化 07B 公交车问题多目标规划、动态规划、图 论、0-1规划 08A 照相机问题非线性方程组、优化 08B 大学学费问题数据收集和处理、统计分 析、回归分析 2009年A题制动器试验台的控制方法分析工程控制 2009年B题眼科病床的合理安排排队论，优化，仿真，综合评价2009年C题卫星监控几何问题，搜集数据 2009年D题会议筹备优化
2014 数学建模练习题
练习1 基础练习 一、矩阵及数组操作： 1．利用基本矩阵产生3×3和15×8的单位矩阵、全1矩阵、全0矩阵、均匀分布随机矩阵（[-1，1]之间）、正态分布矩阵（均值为1，方差为4）。 2．利用fix及rand函数生成[0，10]上的均匀分布的10×10的整数随机矩阵a，然后统计a中大于等于5的元素个数。 3．在给定的矩阵中删除含有整行内容全为0的行，删除整列内容全为0的列。 二、绘图： 4．在同一图形窗口画出下列两条曲线图像： y1=2x+5；y2=x^2-3x+1， 并且用legend标注。 5．画出下列函数的曲面及等高线： z=x^2+y^2+sin(xy)． 三、程序设计： 6．编写程序计算（x在[-3，3]，间隔0.01） 7．有一列分数序列：
求前15项的和。 8．用至少三种方法编写函数实现求任意整数n的阶乘。 9．将任意大于6的偶数m写成两个素数p1、p2的和（试着写出所有的m=p1+p2的可能形式）。 10．是否任意3的倍数m可以写成两个素数p1、p2、p3的和（试着写出所有的m=p1+p2+p3 的可能形式）？ 四、数据处理与拟合初步： 11．通过测量得到一组数据： 分别采用y=c1+c2e^(-t)和y=d1+d2te^(-t)进行拟合，并画出拟合曲线进行对比。 12．计算下列定积分： 13．微分方程组 当t=0时，x1(0)=1，x2(0)=-0.5，求微分方程t在[0，25]上的解，并
画出相空间轨道图像。 14．设通过测量得到时间t与变量y的数据： t=[0 0.3 0.8 1.1 1.6 2.3]; y=[0.5 0.82 1.14 1.25 1.35 1.41]; 分别采用多项式：y=a0+a1t+a2t2 和指数函数y=b0+b1e^t+b2te^t 进行拟合，并计算均方误差、画出拟合效果图进行比较。 15．观察函数：y=e^x-1.5cos(2*pi*x) 在区间[-1,1]上的函数图像，完成下列两题： （1）用函数fzero求解上述函数在[-1,1]的所有根，验证你的结果；（2）用函数fminbnd求解上述函数在[-1,1]上的极小、极大、最小和最大值，在函数图像 上标出你求得的最小值点作出验证。 注：可以用help fzero命令查看fzero的调用格式，fzero典型的调用方法是： fzero(@myfun,x0) %返回函数myfun在x0附近的根；fminbnd典型的调用方法是： fminbnd(@myfun,x1,x2) %返回函数myfun在区间[x1,x2]上的最小值。
数学建模数学模型作业题
一、对于6.4节蛛网模型讨论下列问题： （1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第1k +时段的价格1k y +由第1k +和k 时段的数量1k x +和k x 决定，如果设 1k x +仍只取决于k y ，给出稳定平衡的条件，并与6.4节的结果进行比较。 （2）若除了1k y +由1k x +和k x 决定之外， 1k x +也由前两个时段的价格k y 和1k y -确定，试分析稳定平衡的条件是否还会放宽。 解：（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一个时段的价格，所以第k+1时段的价格1+k y 由第k+1和第k 时段的数量1+k x 和k x 决定，设1k y +由1k x +和k x 的平均值决定，即二者平均值 2 1k k x x ++，模型为： 110 0100(),02(),0 k k k k k x x y y x x x y y ααββ++++? -=-->?? ?-=->? 由此可以得到 22022(1)k k k x x x x αβαβαβ++++=+， 其特征方程为 022=++αβαβλλ， 得出其特征根： 4 8--2 2,1αβ αβαβλ）（±= * 当8>αβ时，有： 4 -48---2 2αβ αβαβαβλ<=）（ 由以上可算出： 2 2,1αβ λ= 即：2<αβ 所以与6.4节的结果相同，平衡点稳定的条件为2αβ<。 （2）设k x 也由k y 和1k y -的平均值决定，模型为： 1100110 0(),02 (),02 k k k k k k x x y y x y y x x y ααββ++-++? -=-->??? +?-=->??
数学建模选修大作业
中华女子学院 成绩2014 — 2015学年第二学期期末考试 （论文类） 论文题目数学建模算法之蒙特卡罗算法 课程代码 01 课程名称数学建模
学号 9 姓名陈可心 院系计算机系 专业计算机科学与技术 考试时间 2015年5月27日 一、数学建模十大算法 1、蒙特卡罗算法 该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法。接下来本文将着重介绍这一算法。 2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法 比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。 3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题 建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现。这个也是我们数学
建模选修课时主要介绍的问题，所以对这方面比较熟悉，也了解了Lindo、Lingo软件的基本用法。 4、图论算法 这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法， 涉及到图论的问题可以用这些方法解决，上学期数据结构课程以及离散数学课程中都有介绍。它提供了对很多问题都很有效的一种简单而系统的建模方式。 5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法 这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中 6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法 这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。 7、网格算法和穷举法 网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。 8、一些连续离散化方法
数学建模试题及答案
数学专业（本科）《数学建模》 注意事项：1、本试卷共6页，满分100分，考试时间为120分钟。 2、答卷前将密封线内的项目填写清楚。 一、填空题(每题5分，共15分) 1．一个连通图能够一笔画出的充分必要条件是。2．设银行的年利率为0．2，则五年后的一百万元相当于现在的 万元． 3．在夏季博览会上，商人预测每天冰淇淋销量N将和下列因素有关： （1）参加展览会的人数n；(2)气温T超过10℃；(3)冰淇淋的售价由此建立的冰淇淋销量的比例模型应为。 二、简答题：（25分） 1、建立数学模型的基本方法有哪些？写出建模的一般步骤。（5分） 2、写出优化模型的一般形式和线性规划模型的标准形式。（10分） 2、数据拟合方法在数学建模过程中有什么意义？常见的数据拟合方法有哪些？（10分）
三、（每小题15分，共60分） 1、设某产品的供给函数)(p ?与需求函数)(p f 皆为线性函数： 9)(, 43)(+-=+=kp p f p p ? 其中p 为商品单价，试推导k 满足什么条件使市场稳定。 2、1968年，介壳虫偶然从澳大利亚传入美国，威胁着美国的柠檬生产。随后， 美国又从澳大利亚引入了介壳虫的天然捕食者——澳洲瓢虫。后来，DDT 被普通使用来消灭害虫，柠檬园主想利用DDT 进一步杀死介壳虫。谁料，DDT 同样杀死澳洲瓢虫。结果，介壳虫增加起来，澳洲瓢虫反倒减少了。试建立数学模型解释这个现象。 3、试建立人口Logistic(逻辑)模型，并说明模型中何参数为自然增长率，为什
么？4、建立捕鱼问题的模型，并通过求解微分方程的办法给出最大的捕捞量 数学建模参考答案