【解密高考】2015高考数学(人教A版)一轮作业：4-3函数y=Asin(ωx+φ)的图象与三角函数模型的简单应用]

时间：45分钟 满分：100分 班级：________ 姓名：________ 学号：________ 得分：________

一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．(2014·安徽模拟)要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos2x 的图象( )

A ．向左平移1个单位

B ．向右平移1个单位

C ．向左平移1

2个单位

D ．向右平移1

2个单位

解析：∵y ＝cos(2x ＋1)＝cos[2(x ＋1

2)]，

∴只须将y ＝cos2x 的图象向左平移1

2个单位即可得到 y ＝cos(2x ＋1)的图象． 答案：C

2．(2014·天津模拟)将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π

4个单位长度，所得图象经过点(3π

4，0)，则ω的最小值是( )

A.1

3 B ．1 C.5

3

D ．2

解析：f (x )＝sin ωx 的图象向右平移π

4个单位长度得： y ＝sin[ω(x －π4)]．又所得图象过点(3π

4，0)， ∴sin[ω(3π4－π4)]＝0，∴sin ωπ

2＝0， ∴ωπ

2＝k π(k ∈Z )，∴ω＝2k (k ∈Z )． ∵ω>0，∴ω的最小值为2. 答案：D

3．(2014·浙江模拟)把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是()

解析：y＝cos2x＋1图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得y1＝cos x＋1，再向左平移1个单位长度得y2＝cos(x＋1)＋1，再向下平移1个单位长度得y3＝cos(x＋1)，故相应图象为A.

答案：A

4．(2013·山东)将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移π

8个单位后，得到

一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为()

A.3π

4 B.

π

4

C．0 D．－π4

解析：y＝sin(2x＋φ)的图象向左平移π

8个单位后，得到函数y＝sin(2x＋φ＋

π

4)，

又得到偶函数，所以φ的一个可能值为π

4，故选B.

答案：B

5．(2013·湖北)将函数y＝3cos x＋sin x(x∈R)的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是()

A.π

12 B.π6

C.π

3 D.

5π

6

解析：y＝3cos x＋sin x＝2(

3

2cos x＋

1

2sin x)＝2sin(x＋

π

3)的图象向左平移m

个单位后，得到y ＝2sin(x ＋m ＋π

3)的图象，此图象关于y 轴对称，则x ＝0时，y ＝±2，即2sin(m ＋π3)＝±2，所以m ＋π3＝π2＋kπ，k ∈Z ，由于m ＞0，所以m min ＝π

6，故选B.

答案：B

6．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2＜φ＜π

2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )

A ．2，－π

3 B ．2，－π

6 C ．4，－π

6

D ．4，π

3

解析：由图可得34T ＝5π12－(－π3)＝3π4，则T ＝π＝2πω，即有ω＝2，又2×5π

12＋φ＝2kπ＋π2，∴φ＝2kπ－π3，∵－π2＜φ＜π2，∴φ＝－π

3.

答案：A

二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)

7．(2014·北京海淀期末)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是________．

解析：由图可知A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π

4，∴T ＝π. 又2πω＝T ，∴ω＝2ππ＝2.

根据函数图象的对应关系得2×π3＋φ＝kπ(k ∈Z )，∴φ＝kπ－2

3π(k ∈Z )． 取φ＝π3，则f (x )＝2sin(2x ＋π3)， ∴f (0)＝2sin π3＝6

2. 答案：6

2

8．(2014·海口调研)已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π

2)，y ＝f (x )的部分

图象如图，则f (π

24)＝________.

解析：由πω×12＝3π8－π8，得ω＝2，f (x )＝A tan(2x ＋φ)，又过(3π8，0)，即A tan(3π

4＋φ)＝0，∴φ＝π4，∴f (x )＝A tan(2x ＋π4)．又过点(0,1)，即A tan π

4＝1，故A ＝1.

∴f (x )＝tan(2x ＋π

4)，

∴f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π

3＝ 3. 答案： 3

9．(2014·兰州模拟)已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＜0，－π≤φ＜π)的图象如下图所示，则φ＝________.

解析：T ＝2×(2π－3π4)＝5π2，故ω＝45.

∴y ＝sin(45x ＋φ)，令45×3π4＋φ＝2kπ－π

2(k ∈Z )． 则φ＝2kπ－11π10，k ∈Z .又－π≤φ＜π，则φ＝9π

10. 答案：9π

10

10．(2014·衡水调研)已知函数y ＝sin ωx (ω>0)在一个周期内的图象如图所示，要得到函数y ＝sin(12x ＋π

12)的图象，则需将函数y ＝sin ωx 的图象向________平移________个单位长度．

解析：由图象知函数y ＝sin ωx 的周期为T ＝3π－(－π)＝4π，

∴ω＝2πT ＝12，故y ＝sin 12x . 又y ＝sin(x 2＋π12)＝sin[12(x ＋π

6)]，

所以将函数y ＝sin 12x 的图象向左平移π6个单位长度，即可得到函数y ＝sin(x

2＋π

12)的图象．

答案：左 π

6

三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)

11．(2014·山东模拟)已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝(3A cos x ，A

2cos 2x )(A ＞0)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6.

(1)求A ；

(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π

12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在[0，5π

24]上的值域．

解：(1)f (x )＝m ·n ＝3A sin x cos x ＋A

2cos 2x ＝A (32sin 2x ＋1

2cos 2x ) ＝A sin(2x ＋π

6)．

因为A >0，由题意知A ＝6. (2)由(1)f (x )＝6sin(2x ＋π

6)．

将函数y ＝f (x )的图象向左平移π

12个单位后得到 y ＝6sin[2(x ＋π12)＋π6]＝6sin(2x ＋π

3)的图象；

再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的1

2倍，纵坐标不变，得到y ＝6sin(4x ＋π

3)的图象．

因此g (x )＝6sin(4x ＋π

3)．

因为x ∈[0，5π24]，所以4x ＋π3∈[π3，7π

6]， 故g (x )在[0，5π

24]上的值域为[－3,6]．

12．(2014·宿州模拟)设函数f (x )＝2sin 2(ωx ＋π

4)＋2cos 2ωx (ω＞0)的图象上两个相邻的最低点之间的距离为2π3.

(1)求函数f (x )的最大值，并求出此时的x 值；

(2)若函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )的图象向右平移π

8个单位长度，再沿y 轴翻折后得到，求y ＝g (x )的单调递减区间．

解：(1)f (x )＝2sin 2(ωx ＋π

4)＋2cos 2ωx ＝1－cos(2ωx ＋π

2)＋1＋cos2ωx ＝sin2ωx ＋cos2ωx ＋2 ＝2sin(2ωx ＋π

4)＋2.

由题意知，函数f (x )的最小正周期为2π3，则2π2ω＝2π3，故ω的值为3

2，所以函数f (x )＝2sin(3x ＋π4)＋2，所以函数f (x )的最大值为2＋2，此时3x ＋π4＝2kπ＋π

2，

即x ＝2kπ3＋π

12(k ∈Z )．

(2)将y ＝f (x )的图象向右平移π8个单位长度得h (x )＝2sin[3(x －π8)＋π

4]＋2＝2sin(3x －π8)＋2的图象，再沿y 轴翻折后得到g (x )＝2sin(－3x －π

8)＋2＝－2sin(3x ＋π

8)＋2的图象，易知函数y ＝g (x )的单调递减区间，

即为y ＝sin(3x ＋π

8)的单调递增区间， 由2kπ－π2≤3x ＋π8≤2kπ＋π

2(k ∈Z )， 解得2kπ3－5π24≤x ≤2kπ3＋π

8(k ∈Z )． 故y ＝g (x )的单调递减区间为 [2kπ3－5π24，2kπ3＋π

8](k ∈Z )．

13．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在6千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元，该商品每件的售价为g (x )(x 为月份)，且满足g (x )＝f (x －2)＋2.

(1)分别写出该商品每件的出厂价函数f (x )、售价函数g (x )的解析式； (2)问哪几个月能盈利？

解：(1)f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，由题意可得， A ＝2，B ＝6，ω＝π4，φ＝－π4，

所以f (x )＝2sin(π4x －π

4)＋6(1≤x ≤12，x 为正整数)， g (x )＝2sin(π4x －3

4π)＋8(1≤x ≤12，x 为正整数)． (2)由g (x )＞f (x )，得sin π4x ＜2

2. 2kπ＋34π＜π4x ＜2k π＋9

4π，k ∈Z ， ∴8k ＋3＜x ＜8k ＋9，k ∈Z ，

∵1≤x ≤12，k ∈Z ，∴k ＝0时，3＜x ＜9， ∴x ＝4,5,6,7,8；

k ＝1时，11＜x ＜17，∴x ＝12. ∴x ＝4,5,6,7,8,12，

故4,5,6,7,8,12月份能盈利．