三角形倒角

【例1】 (北京市竞赛题)在ABC ?中，三个内角的度数均为整数，且A B C ∠<∠<∠，47C A ∠=∠，则B ∠的

度数为 ．

【解析】 设C x ∠=?，则4()7A x ∠=?，11

1801807

B A

C x ∠=?-∠-∠=?-?，

则411

18077x x x <-<，解得7084x <<， 又4

7

x 是整数，得77x =，故44A ∠=?，59B ∠=?．

【例2】ABC ?中，A ∠是最小角，B ∠是最大角，且25B A ∠=∠，若B ∠的最大值是m ?，最小值是n ?．则m n += ．

【解析】 25A B ∠=∠，依题意得27

18055

B B B ∠?-∠∠≤≤，解得75100B ?∠?≤≤，故175m n +=．

【例3】 ⑴(河南竞赛题)若三角形的三个外角的比是234∶∶，则这个三角形的最大内角的度数是 ．

⑵ ABC ?的内角A ∠、B ∠、C ∠满足35A B ∠>∠，32C B ∠∠≤，则这个三角形是( )． A ． 锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定

⑴ 三角形内角和360?，故最小的外角为2

360809

??=?，它对应的内角为最大内角为100?．

⑵ C ．∵35B A ∠<∠，∴22

35

C B A ∠∠<∠≤，

∴B C A ∠+∠<∠，180A A ?-∠<∠，90A ∠>?．

【例5】在ABC ?中，若2AB BC =，2B A ∠=∠，判断ABC ?的形状(锐角三角形、直角三角形或钝角三角形)，并写出理由．

D

A

C

B ． AB

C ?是直角三角形．

理由：如上图，∵2AB BC =，∴AB BC >，

根据大边对大角：ACB A ∠>∠，作ACD A ∠=∠，CD 与AB 交于点D ， 根据等角对等边：AD CD =，

由外角定理：2BDC A ACD A ∠=∠+∠=∠， 又∵2B A ∠=∠，∴B BDC ∠=∠， 由等角对等边：CD BC =， 又∵2AB BC =，

∴1

2

AD BD CD BC AB ====

， ∴60B BCD BDC ∠=∠=∠=?，

∴1

302

ACD BDC ∠=∠=?，

∴90ACB ACD BCD ∠=∠+∠=?．

【例6】 如下图所示，在ABC ?中，90ACB ∠=?，D 、E 为AB 上两点，若AE AC =，45DCE ∠=?，求证：

BC BD =．

5

43

2

1E D C

B A

C ． 如图，∵245∠=?，AE AC =，∴523453∠=∠+∠=?+∠． ∴43A ∠=∠+∠，

15(453)(90)345445B A A ∠=∠-∠=?+∠-?-∠=∠+∠-?=∠-?．

∴4145BCD ∠=∠+∠?=∠， ∴BC BD =．

【例7】 如图，ABC ?中，120BAC ∠=?，AD BC ⊥于D ，且AB BD CD +=，则C ∠的大小是( )

A 20?

B 25?

C 30?

D 大于30?

A

B C

D E

A

B C

D

D ． 如图，在DC 上取D

E DB =，连接AE ，易得Rt Rt ABD AED ??≌．

AB AE CE ==，2AEB C ∠=∠，

所以22(902)120BAC EAD C C C ∠=∠+∠=?-∠+∠=?，得20C ∠=?．

【例8】 在ABC ?中，50A ∠=?，高BE 、CF 所在直线交于点O ，且点O 不与点B 、C 重合，求BOC ∠的

度数．

(1) (2)

A

A

B

B

C

C E E F

F O

O

【解析】 对于没有给出具体图形的几何问题，一定有要根据题意画出图形，特别是要注意是否有多解的情

况．若ABC ?是锐角三角形，如图(1)所示，

BOC A ABE ACF ∠=∠+∠+∠(90)(90)180130A A A A =∠+?-∠+?-∠=?-∠=?

若ABC ?是钝角三角形，如图(2)所示，

909090(90)50BOC ECO ACF A A ∠=?-∠=?-∠=?-?-∠=∠=?

从本题我们能得到一个重要结论：

三角形两边上的高相交所形成的角与第三边所对的角的关系是：

当此三角形是锐角三角形时，它们互补；当此三角形是钝角三角形时，它们相等．

【例9】 如图，在ABC ?中，BE 、CD 分别是ABC ∠、ACB ∠的角平分线，且BD CE BC +=，则A ∠的度数

为 ．

E

D C

B

A

【解析】 60?．

【例10】 如图所示，已知CB OA ∥，100C OAB ∠=∠=?，E ，F 在CB 上，且满足FOB AOB ∠=∠，OE 平

分COF ∠．

⑴ 求EOB ∠的度数； ⑵ 若平行移动AB ，那么OBC ∠：OFC ∠的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值；

⑶ 在平行移动AB 的过程中，是否存在某种情况，使OEC OBA ∠=∠？若存在，求出其度数；若不存在，请说明理由．

A

B

C E F

O

【解析】 此题是一类重点题型，考查了学生的转化思想，题目难度较大，是角平分线与平行性质的综合，提

高班及精英班老师可提前给学生渗透这种思想，让学生掌握此类问题的解法． ⑴ 40?；⑵ 1:2；⑶ 存在，60OEC OBA ∠=∠=?．

【例11】 (2008年南通市)已知三角形三个顶点坐标，求三角形面积通常有以下三种方法：

方法1：直接法．计算三角形一边的长，并求出该边上的高．

方法2：补形法．将三角形面积转化成若干个特殊的四边形和三角形的面积的和与差． 方法3：分割法．选择一条恰当的直线，将三角形分割成两个便于计算面积的三角形． 现给出三点坐标：(14)A -，，(22)B ，，(41)C -，，请你选择一种方法计算ABC ?的面积，你的答

案是ABC S ?=_________．

【解析】 本题考查三角形面积的求法及在坐标系内求线段长度．利用方法2，如图，取点(44)D ，，连接AD 、

BD 、DC ．

ABC ACD ABD BCD S S S S =--△△△△．

1125

55222ACD S AD DC =?=??=△，

11

()52522BCD D B S DC x x =?-=??=△，

11

()52522ABD D B S AD y y =?-=??=△，

∴2555522ABC S =--=△．故应填5

2

．

【例12】 如右图所示，BD 是ABC ∠的角平分线，CD 是ACB ∠的角平分线，BD 、CD 交于D ，试探索A ∠与

D ∠之间的关系： ．

A B

C

D

【解析】 ∵在BDC ?中，180D DBC DCB ∠+∠+∠=

∴180DBC DCB D ∠+∠=-∠

∵12DBC ABC ∠=∠，1

2

DCB ACB ∠=∠

∴1

()1802

ABC ACB D ∠+∠=-∠ ∵在ABC ?中，180A ABC ACB ∠+∠+∠=

∴2180D A ∠-∠=，即1

902

D A ∠=+∠

【例13】 (05年山东中考题改编)如右图所示，BD 是ABC ?的外角平分线，CD 也是ABC ?的外角平分线，

BD 、CD 交于点D ，试探索A ∠与D ∠之间的关系： ．

A

B

C

D

E

F

【解析】 ∵EBC A ACB ∠=∠+∠，FCB A ABC ∠=∠+∠

∴180EBC FCB A ABC ACB A A ∠+∠=∠+∠+∠+∠=+∠

∴11()9022

EBC FCB A ∠+∠=+∠ ∵12DBC EBC ∠=∠，1

2

DCB FCB ∠=∠

∴11

()9022

DBC DCB EBC FCB A ∠+∠=∠+∠=+∠

∵在DBC ?中，180D DBC DCB ∠+∠+∠=

∴1901802D A ∠++∠=，即1

902

D A ∠=-∠

【例14】 如右图所示，BD 是ABC ∠的角平分线，CD 是ABC ?的外角平分线，BD 、CD 交于点D ，试探索

A ∠与D ∠之间的关系： ．

A

B C D

E

【解析】 ∵ACE A ABC ∠=∠+∠

∵12DCE ACE ∠=∠，1

2DBC ABC ∠=∠

∴1

2

DCE A DBC ∠=∠+∠

∵DCE D DBC ∠=∠+∠

∴12D DBC A DBC ∠+∠=∠+∠，即1

2

D A ∠=∠

【例15】 如右图所示，在ABC ?中，CD 、BE 是外角平分线，BD 、CE 是内角平分线，BE 、CE 交于E ，

BD 、CD 交于D ，试探索D ∠与E ∠的关系： ．

A

B

C

D

E

F

G

O

【解析】 在BEO ?和DCO ?中，

∵111

18090222

EBO ABF ABC ∠=∠+∠=??=?

同理90DCO ∠=?

∴EBO DCO ∠=∠

∵EOB DOC ∠=∠，∴D E ∠=∠

【例16】 如图所示，点E 和D 分别在ABC ?的边BA 和CA 的延长线上，CF 、EF 分别平分ACB ∠和AED ∠，

试探索F ∠与B ∠，D ∠的关系： ．

A

B

C

D

E F

G

H

【解析】 EGD ?与CGF ?中，EGD CGF ∠=∠

∴F D DEG FCG ∠=∠+∠-∠

同理BHC ?与FHE ?中，BHC FHE ∠=∠ ∴F B HCB HEF ∠=∠+∠-∠ ∵DEG HEF ∠=∠，FCG HCB ∠=∠ ∴2F D B ∠=∠+∠

即1

()2

F D B ∠=∠+∠，也可连接EC ，而后利用等量代换求证．

【例17】 如图所示，DC 平分ADB ∠，EC 平分AEB ∠，试探索DCE ∠与DBE ∠和DAE ∠的关系： ．

A

B

C D

E

A

B

C D

E

【解析】 连接DE ，

∵在BDE ?中，180DBE BDE BED ∠+∠+∠=? ∴180BDE BED DBE ∠+∠=?-∠

∵在ADE ?中，180DAE ADE AED ∠+∠+∠=? 又∵ADE ADB BDE ∠=∠+∠，AED AEB BED ∠=∠+∠ ∴180()DAE ADB AEB BDE BED ∠+∠+∠=?-∠+∠

180(180)DBE DBE =?-?-∠=∠

∴ADB AEB DBE DAE ∠+∠=∠-∠

在DCE ?中，180DCE CDE CED ∠+∠+∠=?

∵1

()()2CDE CED ADB AEB BDE BED ∠+∠=∠+∠+∠+∠

∴1

180()()2DCE DBE DAE BDE BED ∠=?-∠-∠-∠+∠

11

()()22DBE DBE DAE DBE DAE =∠-∠-∠=∠+∠，

即：1

()2

DCE DBE DAE ∠=∠+∠

【例18】 如图，在三角形ABC 中，42A ∠=，ABC ∠和ACB ∠的三等分线分别交于D 、E ，求BDC ∠的度

数．

A B

C

D E

【解析】 设ABC ∠的三分之一为x ，ACB ∠的三分之一为y ，因为三角形内角和为180?，所以有：

3342180x y ++=?，

即180423x y ?-?+=

，所以180421802883

BDC ?-?

∠=?-?=?．

【例19】

如图，60A ∠=?，线段BP 、BE 把ABC ∠三等分，线段CP 、CE 把ACB ∠三等分，则BPE ∠的

大小是 ．

【解析】 思路1：分析可知BPC A ABP ACP ∠=∠+∠+∠，因为60A ∠=?，故可以先考虑求出ABP ACP ∠+∠的

度数，根据题设条件，线段BP 、BE 把ABC ∠三等分，线段CP 、CE 把ACB ∠三等分，所以

13ABP ABC ∠=∠，13ACP ACB ∠=∠，1

2

BPE BPC ∠=∠，这样只要求出ABC ACB ∠+∠的度数，就

可以解决问题，只需利用三角形内角和定理，即可求出． 解法1 ：在BPC ?中，

因为BE 平分CBP ∠，CE 平分BCP ∠， 所以PE 是BPC ∠的平分线．

即1

2

BPE BPC ∠=∠．

因为60A ∠=?，

所以120ABC ACB ∠+∠=?，

又因为BP 、BE 把ABC ∠三等分，CP 、CE 把ACB ∠三等分．

所以13ABP ABC ∠=∠，1

3

ACP ACB ∠=∠，

又因为BPC A ABP ACP ∠=∠+∠+∠，

所以1

2()3BPE A ABC ACB ∠=∠+∠+∠，

所以11

601205026

BPE ∠=??+??=?．

思路2：结合本题特有条件，还可以把着眼点集中于BPC ?中，直接利用三角形内角和定理解决这一

问题．同样由两个三等分得到1

2

BPE BPC ∠=∠，不同在于我们利用三等分的另一个结论，

23BCP ACB ∠=∠，2

3

CBP ABC ∠=∠．

解法2 ：在BPC ?中，

因为BE 平分CBP ∠，CE 平分BCP ∠，

所以PE 是BPC ∠的平分线，即1

2

BPE BPC ∠=∠．

因为60A ∠=?，

所以120ABC ACB ∠+∠=?．

2

()803

BCP CBP ABC ACB ∠+∠=∠+∠=?，

所以100BPC ∠=?，所以1

100502

BPE ∠=??=?．

【总结】图1和图2中，分别是两个内角的2等分线，3等分线相交．

易得结论：图1中有00

1

1809022

A A P +∠∠∠==+， 图2中有00

1

180226033

A A P +∠∠∠==+， 00001

218029*********

P A A P ∠+∠∠∠=+=+=+

．

【例20】 如图，延长四边形ABCD 对边AD ，交BC 于F ，DC ，AB 交于E ．若AED ∠，AFB ∠的平分线

交于O ，求证：1

()2

EOF EAF BCD ∠=∠+∠．

A

B

C

D

E

F

O A

B

C

D

E

F H

O

【解析】 延长FO 交AE 于H 点，

22()2()EOF FHE OEA FAE AFH OEA ∠=∠+∠=∠+∠+∠

2FAE BCD FBE OEA FAE ∠+∠=∠+∠+∠ 22FAE AFH OEA FAE =∠+∠+∠+∠

2()FAE AFH OEA =∠+∠+∠

即1

()2

EOF EAF BCD ∠=∠+∠

【例21】 (第5届希望杯初二1试)如图，BF 是ABD ∠的角平分线，CE 是ACD ∠角的平分线，BE 与CF 交

于G ，若140BDC ∠=?，110BGC ∠=?，求A ∠的度数．

A B

C

D

E

F

G G F E

D

C

B

A H

【解析】 延长BD 交AC 于H ，则BDC HCD DHC ∠=∠+∠

∵DHC A ABH ∠=∠+∠

∴BDC A ABH HCD ∠=∠+∠+∠①

∵BGC GFC FCG ∠=∠+∠，GFC A ABF ∠=∠+∠ ∴BGC A ABF FCG ∠=∠+∠+∠

∴2222

∠=∠+∠+∠

BGC A ABF FCG 即22

∠=∠+∠+∠②

BGC A ABH ACD ②－①得2BGC BDC A

∠-∠=∠

∴211014080

∠=??-?=?

A