辽宁省大连市第二十高级中学2015-2016学年高一数学下学期期中试题

大连二十高中2015--2016学年度下学期期中考试

高一数学试卷

考试时间:120分钟 试题分数：150分

卷 I

一、选择题：（本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个

是符合题目要求的.）

1.下列各角中，与60°角终边相同的角是( ) A ．1380°

B ．－60°

C ．600°

D ．－300°

2. tan690°的值为( ) A ．－

33 B.3

3

C. 3

D ．－ 3

3. 某产品的广告费用x 与销售额y 的统计

数据如右表：根据上表可得回归方程

^^^y b x a =+中的^

b 为9.4，据此模型预

报广告费用为6万元时销售额大约为( ) 万元 A ．63.6 B ．65.5 C ．67.7 D ．72.0

4. 样本12310, , , a a a a ???的平均数为a ，样本12310, , , b b b b ???的平均数为b ，那么样本

1122331010, ,, , ,, , a b a b a b a b ???的平均数为( )

A. ()a b +

B. 2()a b +

C.

1()2a b + D. 1

()10

a b + 5.1

arctan arcsin()arccos 02

-+的值为( ) A.

56

π B. π C. 0 D. 3

π

-

6. 函数)0)(3

sin()(>+=ωπ

ωx x f 的图象的相邻两条对称轴间的距离是

2

π

．若将函数)(x f 的图象向右平移

6

π

个单位，,再把图像上每个点的横坐标缩小为原来的一半，得到()g x ,则()g x 的解析式为( )

A ．()sin(4)6g x x π

=+

B.()sin(8)3

g x x π

=-

C.()sin()6

g x x π

=+ D.()sin 4g x x =

7. 1

()sin 22

f x x =+的最小正周期是( ) A. π

B.

2

π

C.

4

π

D. 2π 8. 已知一扇形的周长为40，当扇形的面积最大时, 扇形的圆心角等于( ) A. 2 B. 3 C. 1 D. 4

9.总体有编号为01,02,…,19,20的20个个体组成。利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）

7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A.08 B.07 C.02 D.01 10. 若2

sin sin 1θθ+=，则2

6

8

cos cos cos θθθ++=（ ）

A.

1

4

B.

32

- C. 1 D.

43

11. 在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数2

2

()2f x x ax b π=+-+有

零点的概率为( ) A. 78

B. 3

4

C. 1

2

D. 1

4

12. 1

()(sin cos sin cos )2

f x x x x x =

++-的值域是( )

A. [1,1]-

B. 11

[,]22

-

C. [2-

D. [1,2

- 卷II (非选择题，共90分)

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）． 13. ①函数y ＝cos(23x ＋π

2)是奇函数；②存在实数α，使得sin α＋cos α＝2；③若α、β

是第一象限角且α<β，则tan α

4)的一条对称轴方

程；⑤函数y ＝tan(2x ＋π3)的图象关于点(π

12

，0)成中心对称图形．

其中正确命题的序号为____________________.

14. 执行右面的程序框图，若输入的N 是5，那么输出的S 是_____. 15. 函数y ＝cosx 的定义域为[a ，b]，值域为[－1

2

，1]，则b －a 的

最小值为_______.

16. 某公司有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人

中抽取n 个人参加科技大会．如果采用系统抽样和分层抽样的 方法抽取，不用剔除个体，如果参会人数增加1个，则在采 用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，则n=_______.

三、解答题（本大题共6小题，第17题10,其余每题12分，解题时写出详细必要的解答过程） 17. 已知1

tan()2

πα+=-，求下列各式的值． (1)

2cos()3sin()34cos(2)cos()

2

παπαπ

απα--+-+-； (2)22

sin 2sin cos 4cos αααα-+

18．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.

(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率； (2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n ＜m ＋2的概率．

19. 某老师对本校2016届高三文科学生某次联考的数学成绩进行分析，抽取了20名学生的成

绩作为样本进行分析，分数用茎叶图记录如图所示（部分数据丢失），得到频率分布表如下：

（1）求表中,a b 的值及分数在[90,100)范围内的学生数，并估计这次考试全体文科学生数学

成绩及格率（分数在[90,150]范围为及格）；

（2）从大于等于110分的学生中随机选2名学生得分，求2名学生的平均得分大于等于130

分的概率.

20. 已知函数()sin(

)3

f x A x π

φ=+,x R ∈,0 , 02

A π

φ><<

.()y f x =的部分图象如图所

示，P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(1，A)．点R 的坐标为(1,0)，

34

PRQ π

∠=

(1)求()f x 的最小正周期以及解析式. (2)用五点法画出()f x 在111

[,]22

x ∈-上的图像.

21.

已知函数12

()log )]4

f x x π

=-

.

(1)求()f x 的定义域和值域; （2）说明()f x 的奇偶性； （3）求()f x 的单调增区间；

22.已知2

()=231f x x x -+,()=sin() (0)6

g x k x k π

?-

≠.

(1)设()f x 的定义域为[0,3],值域为A; ()g x 的的定义域为[0,3],值域为B,且A B ?, 求实数k 的取值范围.

(2)若方程(sin )sin 0f x x a +-=在[0,2)π上恰有两个解,求实数a 的取值范围.

2015--2016学年度下学期期中考试

高一数学试卷参考答案及评分标准

一、选择题:1---5 DABCB 6---10 DAADC 11—12 BC

二、填空题:13. ①④⑤ 14. -399 15. 2π

3 16. 6

三、解答题:

17.解: 因为tan(π＋α)＝－12，所以tan α＝－1

2

，……… (2分)

(1)原式＝－2cos α－3(－sin α)4cos α＋sin(－α)＝－2cos α＋3sin α4cos α－sin α＝－2＋3tan α

4－tan α

……… (4分)

＝－2＋3×? ??

?

?－124－? ??

?

?－12＝－79. ……… (5分)

(2)sin 2

α－2sin αcos α＋4cos 2

α＝sin 2

α－2sin αcos α＋4cos 2

α

sin 2α＋cos 2

α

……… (7分) ＝tan 2

α－2tan α＋4tan 2

α＋1……… (9分) ＝1

4+1＋414

＋1＝215. ……… (10分) 18．解: (1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2，1和3，1和

4，2和3，2和4，3和4，共6个．……… (2分) 从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2，1和3两个．……… (4分)

因此所求事件的概率P ＝26＝1

3

. ……… (6分)

(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n ，其一切可能的结果(m ，n)有：

(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16个． ……… (8分)

又满足条件n

(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4),(1，3)，(1，4)，(2，4)，共13个，……… (10分) 故满足条件n ＜m ＋2的事件的概率为P ＝13

16

.……… (12分)

19.（1）由茎叶图可知分数在[50,70)范围内的有2人，在[110,130)范围内的有3人，

∴2

0.120

a =

=，b ＝3． …………(2分) 又分数在[110,150)范围内的频率为5

0.2520

=，

∴分数在[90,110)范围内的频率为1－0.1－0.25－0.25＝0.4， ∴分数在[90,110)范围内的人数为20×0.4＝8， 由茎叶图可知分数[100,110)范围内的人数为4人， ∴分数在[90,100)范围内的学生数为8－4＝4（人）．…………(4分) 从频率分布表可知分数在[90,150)范围内的频率为0.25+0.4=0.65， 所以估计全校数学成绩及格率为65％ …………(6分)

（2）设A 表示事件“大于等于110分的学生中随机选2名学生得分，平均得分大于等于130分”，由茎叶图可知大于等于110分有5人，记这5人分别为,,,,a b c d e ，…………(7分) 则选取学生的所有可能结果为：

(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a c a d a e b c b d b e (,),(,)c d c e ,(,)d e ，

基本事件数为10，…………(9分)

事件“2名学生的平均得分大于等于130分”也就是“这两个学生的分数之和大于等于260”，所以可能结果为：（118,142），（128,136），（128,142），（136, 142）， 共4种情况，基本事件数为4， …………(11分) 所以42

()105

P A ==． …………(12分)

20. 解:(1)由题意得：()f x 的最小正周期263

T π

π

=

=,…… (1分)

因为P(1，A)在()sin()3f x A x π

φ=+的图像上,所以sin()13

π

φ+=， 所以

2 ()3

2

k k Z π

π

φπ+=

+∈,即2 ()6

k k Z π

φπ=

+∈，又因为02

π

φ<<

，

因此，6

π

φ=

…… (3分)

过Q 做QD ⊥x 轴，垂足为D,设0(,0)D x ，则0(,)Q x A -，由周期为6可知，RD=3， 由于34PRQ π∠=

，所以4

DRQ π

∠=,于是QD= RD=3，所以A=3, ()3sin(

)36

f x x π

π

∴=+ …… (6分) (2)列表:

21.解:(1)

)04x π-> ,即sin()04x π->，所以224

k x k π

πππ<-<+， 所以52244

k x k ππ

ππ+<<+

因此()f x 的定义域为5(2,2) ()44

k k k Z ππ

ππ++

∈ ……… (2分) 又因为0sin()14x π

<-

≤

，所以0)4

x π

<-≤ (3分)

再考察12

log (0y t t =<≤的图像，可知1

2

y ≥-

， 所以()f x 的值域为1[,)2

-+∞……… (5分) (2) 由(1)知()f x 的定义域不关于原点对称，故()f x 是非奇非偶函数. …… (8分)

(3)由题意可知2224

k x k ππ

πππ+

<-

<+ …… (10分) 即352244

k x k ππππ+<<+， 所以()f x 的单调增区间为35(2,2) ()44

k k k Z ππ

ππ++∈…… (12分) 22.解：（1）当[0,3]x ∈时，由于()f x 图像的对称轴为3

=

4

x ，且开口向上，可知 min 31

()()48

f x f ==-，max ()(3)10f x f ==，

所以()f x 的值域1

[,10]8

A =-……… (1分)

当[0,3]x ∈时， ()[,3]666x πππ-∈--，

1sin()[,1]62

x π-∈-……… (2分) 所以当0k >时，()g x 的值域1

[,]2

B k k =-

所以当0k <时，()g x 的值域1

[,]2

B k k =-

……… (4分) A B ? ，所以0

0111 288101102

k k k k k k ?

?>

-≤-≤-????≥???-≥??或……… (5分)

即 10 20k k ≥≤-或 ……… (6分)

（2）(sin )sin 0f x x a +-= ，所以2

2sin 2sin +10x x a --=在[0,2)x π∈上恰有两

个解，……… (7分)

设sin t x =，则[1,1]t ∈-，令2

()22+1h t t t a =--，

①当(1,1)t ∈-时，由题意()0h t =恰有一个解或者有两个相等的解,

即(1)(1)0h h -?-<或

48(1)0a =--= ，即15a <<或12

a =……… (9分)

②若1t =-是方程2

22+10t t a --=的一个根，此时5a =，且方程的另一个根为2t =，

于是sin 1x =-或sin 2x =,因此32

x π

=，不符合题意， 故5a =(舍). ……… (10分)

③若1t =是方程2

22+10t t a --=的一个根，此时1a =，且方程的另一个根为0t =，于是sin 1x =或sin 0x =,因此0x =或

2

π

或π，不符合题意，故1a =(舍). ……… (11分) 综上, a 的取值范围是15a <<或1

2

a = ……… (12分)