振动和波习题课

振动和波习题课

内容提要

一、振动

1.简谐振动的定义：

恢复力F=-kx

微分方程d2x/d t2+ω2x=0

运动方程x=A cos(ωt+?0)

弹簧振子ω=(k/m)1/2，单摆ω=(g/l)1/2，

复摆ω=(mgh/J)1/2；

2.描述谐振动的物理量：

(1)固有量：固有频率ω，周期T，频率ν

其关系为ω=2π/T=2πνν=1/T

(2)非固有量，

振幅A A=(x02+v02/ω2)1/2

位相??=ωt+?0

初位相?0tan?0=-v0/(ω x0)

(再结合另一三角函数定出?0)；

3.旋转矢量法(略)；

4.谐振动能量：

E k=E sin2(ωt+?0)

E p=E cos2(ωt+?0)

E=E k+ E p

5.谐振动的合成：

(1)同方向同频率两谐振动的合成

A=[A12+A22+2A1A2cos(?20-?10)]1/2

tg?0=(A1sin?10+A2sin?20)/(A1cos?10+A2cos?20) (再结合另一三角函数定出?0)

拍?ω<<ω1拍频?ν=|ν2-ν1| (2)相互垂直振动的合成

ω1=ω2时为椭圆方程：

x2/A12+y2/A22- 2(x/A1)(y/A2)cos(?20-?10)

=sin2(?20-?10)

ω1与ω2成简单整数比时成李萨如图形

二、波动

1.机械波的产生的条件:(1)波源,(2)媒质.

机械波的传播实质是相位(或振动状态)的传播,质量并不迁移；

2.描述波的物理量：

波长λ，频率ν，周期T，波速.u

其关系为T=1/ν=λ/u u=λ/T=λν

3.平面简谐波的波动方程

y=A cos[ω(t-x/u)+?0]

=A cos[2π(t/T-x/λ)+?0]

=A cos[2π(νt-x/λ)+?0]

4.平均能量密度w=ρA2ω2/2，

能流密度(波的强度) I=w u=ρA2ω2u/2

5.惠更斯原理(略)；

6.波的叠加原理：独立性，叠加性；

7.波的干涉

(1)相干条件：

频率相同，振动方向相同，位相差恒定。(2)相干加强与减弱的条件：

加强??=2kπ减弱??=(2k+1)π

其中??=?20-?10-2π(r2-r1)/λ

(3)驻波：波腹处振幅最大，波节处振幅最小，相邻波节(或波幅)之间的距离为λ/2；

8.半波损失：波从波疏媒质(ρu较小)向波密媒质(ρu较大)传播，在界面上反射时，反射波中产生半波损失，其实质是位相突变π；

9.多普勒效应：只考虑波源和观察者在同一直线上运动时的频率变化公式

波源运动(v S)等效波长改变

ν'=ν0u /(u-v S)

观察者运动(v B)相当于波速变化

ν''=ν0(u+v B)/u

(相互接近v R v S取正)

波源运动(v S), 观察者也运动(v B)

ν''=ν0(u+v B)/ (u-v S)

1.一简谐波，振动周期T =0.5s ，波长λ =10 m ，振幅A = 0.1m ．当t =0时，波源振动的位移恰好为正方向的最大值．若坐标原点和波源重合，且波沿Ox 轴正方向传播，求：

(1) 此波的表达式；

(2) t 1 = T /4时刻，x 1 = λ /4处质点的位移； (3) t 2 = T /2时刻，x 1 = λ /4处质点的振动速度． .解：(1))102

4cos(1.0x t y π-

π= )20

1

(4cos 1.0x t -π= (SI)

(2)t 1 = T /4 = (1 /8) s ，x 1 = λ /4 = (10 /4) m 处质点的位移

)80/4/(4cos 1.01λ-π=T y m 1.0)8

1

8/1(4cos 1.0=-π=

3、振速

)20/(4sin 4.0x t t

y

-ππ-=??=

v ． 当)4/1(212==T t s ，

在x 1= λ /4= (10 /4)m 处质点的振速

26.1)2

1

sin(4.02-=π-

ππ-=v m/s

2、 一平面简谐波在介质中以速度c = 20 m/s 自左向右传播，已知在传播路径上某点A 的振动方程为y = 3cos (4πt —π ) (SI) ，另一点D 在A 右方9米处

(1) 若取x 轴方向向左，并以A 为坐标原点，如图所示，试写出波动方程，并求出D 点的振动方程；

解：(1)若取x 轴方向向左，A 为坐标原点，则波动方程为

y=3cos[4π(t +x/c )-π]

=3cos(4πt+πx /5-π) (SI)

D (x=-9m)点的振动方程为

y 0=3cos[4πt+π(-9)/5-π] =3cos(4πt -14π/5) (SI)

(2)若取x 轴方向向右，A 点左方5m 处的O 点为x 轴原点，有A 点坐标为x 0=5m ，D 点坐标为x =14m . 则波动方程为

y =3cos{4π[t -(x -5)/c ]-π} =3cos(4πt -πx /5) (SI)

(2)

(1)

D点的振动方程

y D=3cos(4πt-π?14/5)

=3cos(4πt-14π/5) (SI) 3、