设计程序利用分治策略求n个数的最大值和最小值
设计程序利用分治策略求n个数的最大值和最小值。
代码如下:
#include
#include
#define N 100
int a[N];
int count=0;
void input()
{
int i,n;
printf("请输入想输入的数目:\n");
scanf("%d",&count);
n=count;
printf("请输入正整数:\n");
for(i=0;i { printf("请输入第%d个数:",i+1); scanf("%d",&a[i]); printf("\n"); } } int find_maxmin(int a[],int i,int j,int *max,int *min) /*A存放输入的数据,i,j存放数据的范围,初值为,n-1,*max,int *min 存放最大和最小值*/ {int mid; int max1,max2; int min1,min2; if (j==i) {*max=a[i];*min=a[i]; return 1;} if (j-1==i) {if(a[i] { *max=a[j];*min=a[i]; return 1; } else { *max=a[i];*min=a[j]; return 1; } } mid=(i+j)/2; find_maxmin(a,i,mid,&max1,&min1); find_maxmin(a,mid+1,j,&max2,&min2); if (max1 *max=max2; else *max=max1; if (min1 *min=min1; else *min=min2; } void main() { int max,min; input(); find_maxmin(a,0,count-1,&max,&min); printf("最大值:%d,最小值:%d\n",max,min); } 绝对值大全(零点分段法、化简、最值) 一、去绝对值符号的几种常用方法 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号,使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式,而后,其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。 1利用定义法去掉绝对值符号 根据实数含绝对值的意义,即|x |=(0)(0)x x x x ≥?? -,有|x | 例说求函数的最大值和最小值的方法 例1.设x 是正实数,求函数x x x y 32+ +=的最小值。 解:先估计y 的下界。 55)1(3)1(5)21(3)12(222≥+- +-=+-+ ++-=x x x x x x x y 又当x =1时,y =5,所以y 的最小值为5。 说明 本题是利用“配方法”先求出y 的下界,然后再“举例”说明这个下界是可以限到的。“举例”是必不可少的,否则就不一定对了。例如,本题我们也可以这样估计: 77)1(3)1(7)21(3)12(222-≥-+ +-=-++ ++-=x x x x x x x y 但y 是取不到-7的。即-7不能作为y 的最小值。 例2. 求函数1 223222++--=x x x x y 的最大值和最小值。 解 去分母、整理得:(2y -1)x 2+2(y +1)x +(y +3)=0. 当2 1≠y 时,这是一个关于x 的二次方程,因为x 、y 均为实数,所以 ?=[2(y +1)]2-4(2y -1)(y +3)≥0, y 2+3y --4≤0, 所以 -4≤y ≤1 又当3 1-=x 时,y =-4;x =-2时,y =1.所以y min =-4,y max =1. 说明 本题求是最值的方法叫做判别式法。 例3.求函数152++-=x x y ,x ∈[0,1]的最大值 解:设]2,1[1∈=+t t x ,则x =t 2-1 y = -2(t 2-1)+5t = -2t 2+5t +1 原函数当t =169,45=x 即时取最大值8 33 例4求函数22 3,5212≤≤+--=x x x x y 的最小值和最大值 解:令x -1=t ( 121≤≤t ) 则t t t t y 4142+=+= y min =5 1,172max =y 例5.已知实数x ,y 满足1≤x 2+y 2≤4,求f (x )=x 2+xy +y 2的最小值和最大值 解:∵)(2 122y x xy +≤ ∴6)(23 ),(2222≤+≤++=y x xy y x y x f 又当2==y x 时f (x ,y )=6,故f (x ,y )max =6 又因为)(2122y x xy +- ≥ 关于绝对值的几种题型及解题技巧 所谓绝对值就是只有单纯的数值而没有负号。即0≥a 。但是,绝对值里面的数值可以是正数也可以是负数。怎么理解呢?绝对值符号就相当于一扇门,我们在家里面的时候可以穿衣服也可以不穿衣服,但是,出门的时候一定要穿上衣服。 所以,0≥a ,而a 则有两种可能:o a π和0φa 。如:5=a ,则5=a 和5-=a 。合并写成:5±=a 。 于是我们得到这样一个性质: a 很多同学无法理解,为什么0πa 时,开出来的时候一定要添加一个“负号”呢?a -。因为此时0πa ,也就是说a 是一个负数,负数乘以符号就是正号了。如2)2(=--。因此,当判断绝对值里面的数是一个负数的时候,一定要在这个式子的前面添加一个负号。 例如:0πb a -,则)(b a b a --=-。 绝对值的题解始终围绕绝对值的性质来展开的。我就绝对值的几种题型进行详细讲解,希望能对你们有所帮助。 绝对值的性质: (1) 绝对值的非负性,可以用下式表示:|a|≥0,这是绝对值非常重要的性 质; a (a >0) a 0φa 0 0=a a - 0πa (2) |a|= 0 (a=0) (代数意义) -a (a <0) (3) 若|a|=a ,则a ≥0;若|a|=-a ,则a ≤0; (4) 任何一个数的绝对值都不小于这个数,也不小于这个数的相反数, 即|a|≥a ,且|a|≥-a ; (5) 若|a|=|b|,则a=b 或a=-b ;(几何意义) (6) |ab|=|a|·|b|;|b a |=||| |b a (b ≠0); (7) |a|2=|a 2|=a 2 ; (8) |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a-b| 一:比较大小 典型题型: 【1】已知a 、b 为有理数,且0πa ,0πb ,b a φ,则 ( ) A :a b b a --πππ; B :a b a b --πππ; C :a b b a πππ--; D :a a b b πππ-- 这类题型的关键是画出数轴,然后将点按照题目的条件进行标记。 函数的最大值和最小值教案 1.本节教材的地位与作用本节主要研究闭区间上的连续函数最大值和最小值的求法和实际应用,分两课时,这里是第一课时,它是在学生已经会求某些函数的最值,并且已 经掌握了性质:“如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数,那么 f(x)在闭区间[a,b]上有最大值和最小值” ,以及会求可导函数的极值之后进行学习的,学好这一节,学生将会求更多的函数的 最值,运用本节知识可以解决科技、经济、社会中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实际问题.这节课集中体现了数形结合、理论联系实际等重要的数学思想方法,学好本节,对于进一步完善学生的知识结构,培养学生用数学的意识都具有极为重要的意义. 2.教学重点会求闭区间上连续开区间上可导的函数的最值. 3.教学难点高三年级学生虽然已经具有一定的知识基础,但由于对求函数极值还不熟练,特别是对优 化解题过程依据的理解会有较大的困难,所以这节课的难点是理解确定函数最值的方法. 4.教学关键本节课突破难点的关键是:理解方程f′(x)=0的解,包含有指定区间内全部可能的极值点. 【教学目标】根据本节教材在高中数学知识体系中的地位和作用,结合学生已有的认知水平,制定本节如下的 教学目标: 1.知识和技能目标 (1)理解函数的最值与极 值的区别和联系. (2)进一步明确闭区间[a,b]上的连续函数 f(x),在[a,b]上必有最大、最小值. (3)掌握用导数法求上述 函数的最大值与最小值的方法和步骤. 2.过程和方法目标(1)了解开区间内的连续函数或闭区间上的不连续函数不一定有 最大、最小值. (2)理解闭区间上的连续函数最值存在的可能 位置:极值点处或区间端点处. (3)会求闭区间上连续,开区 间内可导的函数的最大、最小值. 3.情感和价值目标 (1) 认识事物之间的的区别和联系. (2)培养学生观察事物的能力,能够自己发现问题,分析问题并最终解决问题. (3)提高 学生的数学能力,培养学生的创新精神、实践能力和理性精神. 【教法选择】根据皮亚杰的建构主义认识论,知识是个体在 与环境相互作用的过程中逐渐建构的结果,而认识则是起源于主 客体之间的相互作用. 本节课在帮助学生回顾肯定了闭区间 上的连续函数一定存在最大值和最小值之后,引导学生通过观察 闭区间内的连续函数的几个图象,自己归纳、总结出函数最大值、最小值存在的可能位置,进而探索出函数最大值、最小值求解的 方法与步骤,并优化解题过程,让学生主动地获得知识,老师只是 进行适当的引导,而不进行全部的灌输.为突出重点,突破难点, 这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学. 【学法指导】对于求函数的最值,高三学生已经具备了良好的知识基础,剩下 的问题就是有没有一种更一般的方法,能运用于更多更复杂函数 的求最值问题?教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望,使 得他们能积极主动地观察、分析、归纳,以形成认识,参与到课堂 绝对值最值问题 绝对值的几何意义:一个数a的绝对值就是数轴上表示a的点与原点的距离。数a的绝对值记作a 几个绝对值和的最小值问题:奇点偶段(含端点) 1、(1)阅读下面材料: 点A、B在数轴上分别表示实数a、b,A、B两点之间的距离表示为AB. 当A、B两点中有一点在原点时,不妨设点A在原点, 如图甲,AB=OB=|b|=|a﹣b|; 当A、B两点都不在原点时, 1如图乙,点A、B都在原点的右边, AB=OB﹣OA=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|; ②如图丙,点A、B都在原点的左边, AB=OB﹣OA=|b|﹣|a|=﹣b﹣(﹣a)=|a﹣b|; ③如图丁,点A、B在原点的两边 AB=OA+OB=|a|+|b|=a+(﹣b)=|a﹣b|. 综上,数轴上A、B两点之间的距离AB=|a﹣b|. (2)回答下列问题: ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是,数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的 距离是,数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是; ②数轴上表示x和﹣1的两点分别是点A和B,则A、B之间的距离是,如果|AB| =2,那么x=; ③当代数式|x+2|+|x﹣5|取最小值时,相应的x的取值范围是. ④当代数式|x﹣1|+|x+2|+|x﹣5|取最小值时,相应的x的值是. ⑤当代数式|x﹣5|﹣|x+2|取最大值时,相应的x的取值范围是. 2、在数轴上,点A,B分别表示数a,b,则线段AB的长表示为|a﹣b|,例如:在数轴上,点A表示5.点B表示2,则线段AB的长表示为|5﹣2|=3:回答下列问题: (1)数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是: (2)若AB=8,|b|=3|a|,求a,b的值. (3)若数轴上的任意一点P表示的数是x,且|x﹣a|+|x﹣b|的最小值为4,若a=3,求b 的值. 导数在函数求最大值和最小值中的应用 例1.求函数f (x )=5x + . 解析:由3040x x +??-? ≥≥得f (x )的定义域为-3≤x ≤4,原问题转化为求f (x )在区间[-3, 4]上的最值问题。 ∵ y ’=f ’(x ) =5 在[-3,4]上f ’(x )>0恒成立, ∴ f (x )在[-3,4]上单调递增. ∴ 当x =-3时y min =-15-7, 当x =4时y max =20+27, ∴ 函数的值域为[-15-7,20+27]. 例2.设32f (a ),f (-1) 二次函数的最大值和最小值问题 ————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期: 二次函数的最大值和最小值问题 高一数学组主讲人---------蒋建平 本节课的教学目标: 重点:掌握闭区间上的二次函数的最值问题 难点:理解并会处理含参数的二次函数的最值问题 核心: 区间与对称轴的相对位置 思想: 数形结合、分类讨论 一、复习引入 1、二次函数相关的知识点回顾。 (1)二次函数的顶点式: (2)二次函数的对称轴: (3)二次函数的顶点坐标: 2、函数的最大值和最小值的概念 设函数)(x f 在0x 处的函数值是)(0x f ,如果不等式)()(0x f x f ≥对于定义域内任意x 都成立,那么)(0x f 叫做函数)(x f y =的最小值。记作)(0min x f y = 如果不等式)()(0x f x f ≤对于定义域内任意x 都成立,那么)(0x f 叫做函数)(x f y =的最小值。记作)(0max x f y = 二、新课讲解:二次函数最大值最小值问题探究 类型一:无限制条件的最大值与最小值问题 例1、(1)求二次函数322 ++-=x x y 的最大值 . (2)求二次函数x x y 422-=的最小值 . 本题小结:求无条件限制时二次函数最值的步骤 1、配方,求二次函数的顶点坐标。 2、根据二次函数的开口方向确定是函数的最大值还是最小值。 3、求出最值。 类型二:轴定区间定的最大值与最小值问题 例2、(1)求函数])1,3[(,232-∈-+=x x x y 的最大值 ,最小值 . (2)求函数])3,1[(232∈-+=x x x y 的最大值 ,最小值 . (3)求函数])2,5[(232 --∈-+=x x x y 的最大值 与最小值 . 本题小结:求轴定区间定时二次函数最值的步骤 1、配方,求二次函数的顶点坐标或求对称轴,画简图。 2、判断顶点的横坐标(对称轴)是否在闭区间内。 3、计算闭区间端点的值,并比较大小。 类型三:轴动区间定的最大值与最小值问题 例3、求函数)(32R a ax x y ∈++=在]1,1[-上的最大值。 § 4函数的最大值最小值问题 最值与极值的重要区别: 极值是一点X 。局部的形态; 最值是某区间整体的形态。 先讨论必要 性: X 。是f (x)在(a b 内的最大(小)值, =X 。必是f (x)在(a,b)的极大(小)值点, =X 。是f (x)的稳定点或不可导点. 稳定点 f(x)在[a,b ]的可能的最值点:S 不可导点 ,区间端点 F 面就两种常见的情形给出判别法,以最大值为例说明. 1 ?闭区间情形 设f (x)在a,b 1连续,这时f (x)在l.a, b 1必有最大值. 则将所有稳定点、不可导点和区间端点的函数值进行比较 (如果可能的 话),最大者即是最大值. 2.开区间情形 设f(x)在(a,b)可导,且在(a,b)有最大值.若在(a,b)内有唯一的 稳定点X 。,则X 。是最大值点. 注意强调最值的存在性 例1 一块边长为a 的正方形,在四个角上截去同样大小的正方形, 做成无盖的盒,问截去多大的小方块能使盒的容积最大? 图5-13 解设x为截去的小方块的边长,则盒的容积为 V(x)二x(a 2,) ,x 100,) 显然,V(x)在(0,a)可导,且 2 ' 2 V (x) =(a _2x) _4x(a _2x) =(a_2x)(a _6x) 令V (x) = 0得x =—或x =—。因此在(0,—)中有唯一一的稳定点—o 2 6 2 6 由实际问题本身知V(x)在(0,-)中必有最大值,故知最大值为 2 V(—) -a3。即截去的小的方块边长为-时,盒的容积最大。 6 2 7 6 例2求函数f (x) = 2x3 -9x2 +12x在1-1,3】的最大值和最小值 解2x3-9x212x =x 2(x-9)2 15, IL 4 8 因此f(x) =(2x3-9x2 12x)sgnx,x 〔-1,3 1, f (x) =(6x2-18x 12)sgn x = 6(x-1)(x -2)sgn x, x (T,0) _? (0,3) 故f (x)的稳定 点为x=1,x=2,不可导为x=0。 比较所有可能的最值点的函数值: f(-1)= 2 3f, (0) f 0, =(1f) 5〒(f2) =4, 即得最大值为f(-1) = 23,最小值为f(0)=0。 例3 在正午时,甲船恰在乙船正南82处,以速度V1=20km h向正东开出;乙船也正以速度v =16km h向正南开去(图5—15).已知两船航向不变,试证:下午二时,两船相距最近. 绝对值的最小值”探究教学 发表时间:2018-11-03T15:18:12.423Z 来源:《中国教师》2018年12月刊作者:谭志勇 [导读] 在“绝对值”教学中,很多同学往往只掌握到会求如 “|2x-3|的最小值”这类问题的程度。把若干个绝对值放在一起求和,并求它的最小值的时候很多同学都会无从下手,本文旨在引导学生利用数轴探究得出“求|x-a1|+|x-a2|+|x-a3|+…|x-an|的最小值问题”的一般方法,激发学生的探索精神和实践能力。 谭志勇乐山市沙湾区太平镇初级中学 614901 【提要】在“绝对值”教学中,很多同学往往只掌握到会求如 “|2x-3|的最小值”这类问题的程度。把若干个绝对值放在一起求和,并求它的最小值的时候很多同学都会无从下手,本文旨在引导学生利用数轴探究得出“求|x-a1|+|x-a2|+|x-a3|+…|x-an|的最小值问题”的一般方法,激发学生的探索精神和实践能力。 中图分类号:G623.2 文献标识码:A 文章编号:ISSN1672-2051 (2018)12-073-02 “绝对值”是七年级学生进入中学以来学习到的第一个比较抽象的概念,很多同学对这个知识点掌握的不是很好,特别是把若干个绝对值放在一起求和,并求它的最小值的时候很多同学都会无从下手。比如:求|x-1|+|x- 2|+|x-3|的最小值是多少。 我们知道一个数a的绝对值表示的是在数轴上a所对应的点到原点的距离,因此|a|≥0,也就是|a|的最小值是0。部分同学能运用这点解决如:“求|2x-3|的最小值”这样问题已经算是不错的了,但对于学有余力的同学来说仅掌握到这个程度还不够,让学生进一步理解绝对值的几何意义,并运用绝对值的几何意义来解决“求|x-a1|+|x-a2|+|x-a3|+…|x-an|的最小值问题”对发展学生的数学思维有着积极的作用,为此,我引导学生从下面一些步骤由浅入深的逐步探索,最终发现其规律。 一、牢固掌握绝对值的概念 在数轴上,一个数所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。 例如: |-2|的绝对值表示的是:在数轴上-2对应的点到原点的距离,所以|-2|= 2 。 因为点到点的距离总是大于等于零的,由此,我们可以概括:|a|≥0。那么什么数的绝对值最小呢?为什么? 二、准确理解绝对值的几何意义 |a|的几何意义:在数轴上数a对应的点到原点的距离。 |a-b|的几何意义:在数轴上a、 b两数所对应的点之间的距离。 例如:数轴上1和4之间的距离可以写成:|1-4| 或|4-1|。反过来|1-4| 或|4-1|表示的都是数轴上1和4之间的距离。 那么:|a+b|几何意义又是什么呢?因为 “|a+b|”可以改写成“|a-(- b)|”,因此|a+b|几何意义是数轴上a和-b对应的两数之间的距离。在此老师一定要强调:a、b两数之间的距离一定要表示成两数之差的绝对值,也就是|a-b|,如:|2+5|的几何意义先要改写差的形式:|2-(-5)|或|5-(-2)|,所以|2+5|的几何意义是:数轴上2、-5对应的两数之间的距离或数轴上5、-2对应的两数之间的距离。 三、利用数轴探索最小值问题 探索1:求|x-1|的最小值是多少? 因为|x-1|表示的是数轴上x到1之间的距离,所以,当 x=1 时,|x-1|有最小值是:0。 在这里,老师一定要让学生实际操作,在数轴上移动数x的位置,体会x到1的距离发生怎样的变化,让学生真正理解当x=1时,|x-1|有最小值是0,这对后面的继续探索很重要。 探索2、求|x-1|+|x-2|的最小值是多少? 在经历了“|x-1|的最小值”探索后,现在我们来看“|x-1|+|x-2|的最小值是多少”这个问题。根据绝对值的几何意义,我们知道|x-1|+|x-2|表示的是数轴上x对应的这个数到1的距离与到2的距离之和,因为在“|x-1|+|x-2|”中,字母x表示的同一个数,所以“求|x-1|+|x-2|的最小值”我们翻译一下就是:在数轴上找一个点,使这个点到1和2的距离之和对小。 如图所示,我们看到1和2把数轴分成了三部分,分别是:1的左边、1和2之间、2的右边。那么x分别在这三段里面,它会不会影响|x-1|+|x-2|的结果呢?有了这样的疑问,激励同学们一起通过画图来探索当x分别在“1的左边、1和2之间、2的右边”三种不同情况时|x-1|+|x-2|的结果。 我们把x到1和2 的距离分别表示成d1,d2,通过画图我们发现: 当x<1时:d1+d2=2 d1+1>1; 当1≤x≤2时:d1+d2=1(分三种情况观察:x在1的位置时,x在1、2之间时,x在2的位置时d1+d2的值有没有变化); 当x>2时:d1+d2=2 d2+1>1. 通过上面的探索,我们得到:当1≤x≤2时:d1+d2=1是最小值。也就是说当1≤x≤2时,|x-1|+|x-2|的最小值是1。 探索3、求|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值是多少? 如图:求|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值,就是要在数轴上找一个点,使它到1、2、3之间的距离之和最短。 这里为了使探索更加便捷,我们可以利用前面探索的结论,求|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值,我们假如没有中间的|x-2|,只考虑“求|x- 1|+|x-3|的最小值”,那么x应该在1和3之间,这样我们就把x的位置从整个数轴缩小到1和3之间。所以“求|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值”其实就是要在1和3之间找到一个点使|x-2|的值最小,那么|x-1|+|x-2|+|x-3|的值就最小,在探索1中我们知道当x=2时,|x-2|的值最小,并且x=2满足在1和3之间,我们把x=2带入原式就可以求出|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值。 通过上面的分析,我们得到:当x=2时,|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值是2。 经过探索1、2、3后,组织同学们总结一下:求一个、两个绝对值的和、三个绝对值的和……最小值问题时我们分别是找到一个点,两个点之间,一个点…… 是不是可以大胆的提出猜想:求奇数个绝对值的和最小值时,找到的是一个点,求偶数个绝对值的和最小值时找到的范围是两个点之间。有了这样的猜想,我们来验证一下: 【例题1】:求|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值,并求出此时x的值? 分析:先回顾化简代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的过程 可令x+11=0,x-12=0,x+13=0 得x=-11,x=12,x=-13(-13,-11,12是本题零点值) 1)当x<-13时,x+11<0,x-12<0,x+13<0,则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12-x-13=-3x-12 2)当x=-13时,x+11=-2,x-12=-25,x+13=0,则|x+11|+|x-12|+|x+13|=2+25+13=40 3)当-13 绝对值计算化简专项练习30题(有答案)1.已知a、b、c在数轴上的位置如图所示,化简:|2a|﹣|a+c|﹣|1﹣b|+|﹣a﹣b| 2.有理数a,b,c在数轴上的对应位置如图,化简:|a﹣b|+|b﹣c|+|a﹣c|. 3.已知xy<0,x<y且|x|=1,|y|=2. (1)求x和y的值; (2)求的值. 4.计算:|﹣5|+|﹣10|÷|﹣2|. 5.当x<0时,求的值. 6.若abc<0,|a+b|=a+b,|a|<﹣c,求代数式的值. 7.若|3a+5|=|2a+10|,求a的值. 8.已知|m﹣n|=n﹣m,且|m|=4,|n|=3,求(m+n)2的值. 9.a、b在数轴上的位置如图所示,化简:|a|+|a﹣b|﹣|a+b|. 10.有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,试化简下式:|a﹣c|﹣|a﹣b|﹣|b﹣c|+|2a|. 11.若|x|=3,|y|=2,且x>y,求x﹣y的值. 12.化简:|3x+1|+|2x﹣1|. 13.已知:有理数a、b在数轴上对应的点如图,化简|a|+|a+b|﹣|1﹣a|﹣|b+1|. 14.++=1,求()2003÷(××)的值. 15.(1)|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值? (2)|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣1|的最小值? (3)|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣20|的最小值? 16.计算:|﹣|+|﹣|+|﹣|+…+|﹣| 17.若a、b、c均为整数,且|a﹣b|3+|c﹣a|2=1,求|a﹣c|+|c﹣b|+|b﹣a|的值. 18.已知a、b、c三个数在数轴上对应点如图,其中O为原点,化简|b﹣a|﹣|2a﹣b|+|a﹣c|﹣|c|. ①试求|x+0.3|+|x-0.3|+|x|的最小值。 答案:0.6 解析:|x|的几何意义是x到原点的距离。 本题相当于求在数轴上与-0.3,0,0.3这三个点距离和最小的点。 选正中间的点x=0,代入可得|0+0.3|+|0-0.3|+|0|=0.6 ②一条笔直的公路有A、B、C、D四个村庄,其中A还通过小路连接着A1、A2、A3三个村庄, 如果在公路上建一个公交站,使它距离7个村庄的距离之和最短,那么应该选在( )。A: 只能在A B: 只能在B C: 只能在A与B之间(包含A,B) D: 以上都不对 答案:A 解析:A1,A2,A3到A的距离固定,且只计算一次,不影响总的距离和。所以可以当做有4个A点。相当于共7个点:A、A、A、A、B、C、D。最中间的是A,所以只能选在A处。 ③试求|4x+1|+|x-2|+|x-3|的最小值。 答案:5.5 解析:原式=4|x+0.25|+|x-2|+|x-3| 求在数轴上与-0.25,-0.25,-0.25,-0.25,2,3距离和最小的点,x=-0.25即可 代入得4|-0.25+0.25|+|-0.25-2|+|-0.25-3|=5.5 ④试求|x+1|+|x+2|+…+|x+99|+|x+100|的最小值。 答案:2500 解析:根据绝对值的几何意义,相当于求在数轴上与-100,-99,…,-2,-1距离和最小的点, x在-51,-50之间即可(-51≤x≤-50) 把x=-50代入得|-50+1|+|-50+2|+…+|-50+99|+|-50+100|=2500 ⑤一条笔直的公路连接着城市P和三个村庄A、B、C(距离P的距离分别是4千米,6千米,10千米)。在公路上建一个汽车站使三个村庄到这个汽车站的距离和最短,那么最短的距离和是多少千米。 答案:6千米 解析:距离A,B,C三点的距离和最短,这个点应该取在B点。 所以最短距离就是AC的长度:10-4=6千米。 ⑥试求|x-9|+|x-3|+|3x+6|+|2x-6|的最小值。 答案:21 解析:原式=|x-9|+3|x-3|+3|x+2| 共7个点即-2,-2,-2,3,3,3,9(按大小顺序),所以选正中间的x=3。 代入得|3-9|+3|3-3|+3|3+2|=21 《函数的最大值和最小值与导数》教学设计 【课本教材内容分析】 本节教材知识间的前后联系,以及在课堂教学中的地位与作用: 导数(导函数的简称)是一个特殊函数,它的引出和定义始终贯穿着函数思想。 新课程增加了导数的内容,随着课改的不断深入,导数知识考查的要求逐渐加强,而且导数已经由前几年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的不可缺少的工具。众所周知,函数又是中学数学研究导数的一个重要载体,因此函数问题涉及高中数学比较多的知识点和数学思想方法。 导数作为研究函数的一种重要工具,在宁夏高考进入新课标实验区之后,不但成为宁夏高考文理科数学的必考题,而且也逐渐成为高考试卷中起到拔高作用的热点难题。在学习时应引起我们教师和学生的充分重视。 本节主要研究闭区间上的连续函数最大值和最小值的求法与函数导数之间的关系及其简单的应用问题,分两课时,这里是第一课时,它是在学生已经会求可导函数的极值之后进行学习的,学好这一节,学生将会求更多的函数的最值,并且以本节知识为基础,可以解决科技、经济、社会中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实际问题.为下一节“生活中的优化问题”的教学打下坚实的基础。这节课集中体现了数形结合、理论联系实际等重要的数学思想方法,学好本节,对于进一步完善学生的知识结构,培养学生用数学的意识都具有重要的理论价值和现实价值. 高中阶段对用导数求可导函数在闭区间上的最值的方法不要求作严密的理论推导,这一方法完全可以由学生通过对函数图象的观察、归纳得到,所以本节教材还有一个重要的教育功能,那就是培养学生的探索精神,体验自主学习的成功愉悦. 【课堂教学三维目标】 根据本节教材特点,结合学生已有的认知水平,制定本节如下的三维教学目标: 1.知识和技能目标 (1).使学生理解函数的最大值和最小值的概念,掌握可导函数在闭区间上所有点(包括端点)处的函数中的最大(或最小)值必有的充分条件;并且能理解函数最值与极值的区别和联系 (2)理解可导函数的最值存在的可能位置. (3)掌握用导数法求上述函数的最大值与最小值的方法和步骤. 2.过程和方法目标 (1)通过函数图象的直观,让学生发现函数极值与最值的关系,掌握利用导数求函数最值的方法。 (2) 在学习过程中,观察、归纳、表述、交流、合作,最终形成认识. (3) 培养学生的数学能力,能够自己发现问题,分析问题并最终解决问题. 3.情感态度和价值观目标 (1) 渗透数形结合的思想,体会导数在求函数最值中的优越性,优化学生的思维品质。 (2) 认识事物之间的的区别和联系,体会事物的变化是有规律的唯物主义思想. 绝对值试题(经典)100道 ————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期: 2 绝对值综合练习题 1、有理数的绝对值一定是_________。 2、绝对值等于它本身的数有________个。 3、下列说法正确的是() A、—|a|一定是负数 B、只有两个数相等时它们的绝对值才相等 C、若|a|=|b|,则a与b互为相反数 D、若一个数小于它的绝对值,则这个数为负数 4.若有理数在数轴上的对应点如下图所示,则下列结论中正 确的是() b a A、a>|b| B、a|b| D、|a|<|b| 5、相反数等于-5的数是______,绝对值等于5的数是________。 6、-4的倒数的相反数是______。 7、绝对值小于2的整数有________。 8、若|-x|=2,则x=____;若|x-3|=0,则x=______; 若|x-3|=1,则x=_______。 3 10、已知|a|+|b|=9,且|a|=2,求b的值。 11、已知|a|=3,|b|=2,|c|=1,且a0, n<0, m<|n|,那么m,n,-m, -n的大小关系_________________. 13、如果,则 的取值范围是() 4 A.>O B.≥O 5 C.≤O D.<O 14、绝对值不大于11.1的整数有() A.11个B.12个C.22个D.23个 15、│a│= -a,a一定是() A、正数 B、负数 C、非正数 D、非负数6 函数中的max min (m in),(m ax )问题 1.记{}???<≥=q p q q p p q p ,max ,设{} 1,1max ),(22+-++=x y y x y x M ,其中R y x ∈,, 则),(y x M 的最小值为 43 2.定义{}???<≥=y x y y x x y x M ,,设()R y x y xy y b x xy x a ∈++=++=,,24,22 则{}b a M ,的最小值为 61- ,此时=x 31- ,=y 6 1- 。 3.若y x ,为正实数,? ?????+=22,min y x y x a ,则a 的最大值为 22 此时=x 22 ,=y 22 。 4.设{}???<≥=y x x y x y y x ,min ,若定义域为R 的函数)(),(x g x f 满足8 2)()(2+=+x x x g x f 则{})(),(m in x g x f 的最大值为 8 2 5.设{}???<≥=y x x y x y y x ,min ,若定义域为)2,0(π 的函数)(),(x g x f 满足1sin 22sin )()(2+= +x x x g x f 则{})(),(m in x g x f 的最大值为 63 6.已知[]1,0,,∈?∈x R b a 恒有1≤+b ax 成立,则b a b a 710710-++的最大值为 40 7.已知存在[]9,1∈x ,对任意的R b a ∈,,使得kx bx ax x ≥--+2 29恒成立,则k 的最大值为 2 8.若存在R b a ∈,,使不等式[]t x b ax x ,1,12∈?≤--都成立,则实数t 的最大值为 122+ 9.设b ax x x f ++=2)(,若R b a ∈?,,总存在[]3,10∈x 使得M x f ≥)(0, 则实数M 的最大值为 3324- 10.已知?? ????∈∈--+=2,21),,(,1)(x R b a b ax x x x f 时,)(x f 的最大值为),(b a M , 例谈绝对值与最值 山西耿京娟 对绝对值概念有几何、代数两种描述方法.其中几何方法的描述是:|x|是在数轴上表示数x的点与原点的距离.据此,我们可以略加推广:|x-a|指在数轴上表示数x的点与表示数a的点的距离.下面举例说明其应用. 一.利用几何方法求最值 例1已知y=|x-2|-|x-5|,求y的最大值与最小值. 分析此题常见的方法是根据x的取值范围,去绝对值,然后分别讨论求出最大值、最小值.但根据绝对值几何意义解,那就容易多了. 解设数轴上表示数2、5、x的点分别为A、B、C.C可在数轴上移动,那么 y=|x-2|-|x-5|=AC-BC,如图1,当C点在B点右边时,AC-BC=AB=5-2=3; 图1 当C点在A点左边时(如C1处), AC-BC=-AB=-3; 当C点在线段AB上(包括A、B点)(如在C2处)时,-3≤AC-BC≤3. 综上所述,y的最大值为3,最小值为-3. 例2已知y=|x-2|+|x-1|,求y的最小值. 图2 解设数轴上表示数2、1和的点分别为A、B、C,则y=|x-2|+|x-1|=AC+BC(如图2),当C点在A点右边时,AC+BC>AB,即y>1.当C点在B点左边时(如在C1处),AC+BC>AB,即y>1.当C点在线段AB上(包括A、B点)(如在C2处)时, y=AC+BC=AB=1, 综上所述y≥1,y的最小值为1. 通过上述两题,我们知道,利用绝对值几何意义解决此类问题,显得直观又简单,同时 我们还能得出一些有用的结论: 如果y=|x-a|-|x-b|,那么y有最大值|a-b|,最小值-|a-b|. 如果y=|x-a|+|x-b|,那么y有最小值|a-b|,无最大值. 并且还求出最大值,最小值时对应的x值的范围. 二.利用界点分段法求最值 例3.求代数式∣x-1│+∣x-2│+∣x-3│的最小值 分析:根据上题很容易找到三个分界点是x=1、2、3,这样将数轴分成四部分,112233 ,,,,然后分段讨论。 ≤<≤<≤> x x x x ∣ 解:这里有三个分界点:1、2、3 《 绝对值综合练习题一 1、有理数的绝对值一定是() 2、绝对值等于它本身的数有()个 3、下列说法正确的是() A、—|a|一定是负数 B只有两个数相等时它们的绝对值才相等 C、若|a|=|b|,则a与b互为相反数 D、若一个数小于它的绝对值,则这个数为负数 4.若有理数在数轴上的对应点如下图所示,则下列结论中正确的是() 【 A、a>|b| B、a|b| D、|a|<|b| 5、相反数等于-5的数是______,绝对值等于5的数是________。 6、-4的倒数的相反数是______。 7、绝对值小于2的整数有________。 8、若|-x|=2,则x=____;若|x-3|=0,则x=_ __;若|x-3|=1,则x=_______。 9、实数a、b在数轴上位置如图所示,则|a|、|b|的大小关系是_______。 10、已知|a|+|b|=9,且|a|=2,求b的值。 11、> |a|=3,|b|=2,|c|=1,且a0, n<0, m<|n|,那么m,n,-m, -n的大小关系() 13、如果,则的取值范围是() A.>O B.≥O C.≤O D.<O 14、绝对值不大于的整数有() $ A.11个B.12个C.22个D.23个 15、│a│= -a,a一定是() A、正数 B、负数 C、非正数 D、非负数 16、有理数m,n在数轴上的位置如图, 17、若|x-1| =0,则x=__________,若|1-x |=1,则x=_______. 18、如果,则,. 、 19、已知│x+y+3│=0, 求│x+y│的值。 20、│a-2│+│b-3│+│c-4│=0,则a+2b+3c= 21、如果a,b互为相反数,c,d互为倒数,x的绝对值是1, 求代数式 x b a +x2+cd的值。 22、" 23、已知│ a│=3,│b│=5,a与b异号,求│a-b│的值。绝对值大全(零点分段法、化简、最值)
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