实验二-时域采样和频域采样

实验二：时域采样与频域采样

一、实验目的

时域采样理论与频域采样理论是数字信号处理中的重要理论。要求掌握模拟信号采样前后频谱的变化，以及如何选择采样频率才能使采样后的信号不丢失信息；要求掌握频率域采样会引起时域周期化的概念，以及频率域采样定理及其对频域采样点数选择的指导作用。

二、实验原理及方法

1、时域采样定理的要点：

a)对模拟信号)(t x a 以间隔T 进行时域等间隔理想采样，形成的采样信号的频

谱)(?Ωj X 是原模拟信号频谱()a X j Ω以采样角频率s Ω（T s

/2π=Ω）为周期进

行周期延拓。公式为：

)](?[)(?t x FT j X a a

=Ω )(1∑∞

-∞

=Ω-Ω=n s a jn j X T b)采样频率s Ω必须大于等于模拟信号最高频率的两倍以上，才能使采样信号的频谱不产生频谱混叠。利用计算机计算上式并不方便，下面我们导出另外一个公式，以便用计算机上进行实验。

理想采样信号)(?t x

a 和模拟信号)(t x a 之间的关系为： ∑∞

-∞=-=n a a nT t t x t x

)()()(?δ 对上式进行傅立叶变换，得到：

dt e nT t t x j X t j n a a Ω-∞

∞

-∞

-∞

=?∑

-=Ω])()([)(?δ dt e nT t t x t j n a Ω-∞

-∞

=∞

∞

-∑

?

-)()( δ＝

在上式的积分号内只有当nT t =时，才有非零值，因此：

∑∞

-∞

=Ω-=Ωn nT j a

a

e nT x

j X )()(?

上式中，在数值上)(nT x a ＝)(n x ，再将T Ω=ω代入，得到：

∑∞

-∞

=-=Ωn n

j a

e

n x j X ω)()(?

上式的右边就是序列的傅立叶变换)(ωj e X ，即 T j a e X j X Ω==Ωωω)()(? 上式说明理想采样信号的傅立叶变换可用相应的采样序列的傅立叶变换得到，只

要将自变量ω用T Ω代替即可。

2、频域采样定理的要点：

a)对信号x(n)的频谱函数X(ej ω)在[0，2π]上等间隔采样N 点，得到

2()()

, 0,1,2,,1

j N k N

X k X e k N ωπω===-

则N 点IDFT[()N X k ]得到的序列就是原序列x(n)以N 为周期进行周期延拓后的主值区序列，公式为：

()IDFT[()][()]()

N N N N i x n X k x n iN R n ∞

=-∞==+∑

b)由上式可知，频域采样点数N 必须大于等于时域离散信号的长度M(即N ≥M)，才能使时域不产生混叠，则N 点IDFT[()N X k ]得到的序列()N x n 就是原序列x(n),即()N x n =x(n)。如果N>M ，()N x n 比原序列尾部多N-M 个零点；如果N

在数字信号处理的应用中，只要涉及时域或者频域采样，都必须服从这两个采样理论的要点。

对比上面叙述的时域采样原理和频域采样原理，得到一个有用的结论，这两个采样理论具有对偶性：“时域采样频谱周期延拓，频域采样时域信号周期延拓”。因此放在一起进行实验。

三、实验内容及步骤 1、时域采样理论的验证

给定模拟信号，

)()sin()(0t u t Ae t x t

a Ω=-α 式中A=444.128，α=502π，0Ω=502πrad/s ，它的幅频特性曲线如图2.1

图2.1 )(t x a 的幅频特性曲线

现用DFT(FFT)求该模拟信号的幅频特性，以验证时域采样理论。

按照)(t x a 的幅频特性曲线，选取三种采样频率，即s F =1kHz ，300Hz ，200Hz 。观测时间选

ms

T p 50=。

为使用DFT ，首先用下面公式产生时域离散信号，对三种采样频率，采样序列按顺序用)(1n x ，)(2n x ，)(3n x 表示。

)()sin()()(0nT u nT Ae nT x n x nT

a Ω==-α 因为采样频率不同，得到的)(1n x ，)(2n x ，)(3n x 的长度不同， 长度（点数）用公式

s

p F T N ?=计算。选FFT 的变换点数为M=64，序列长度不够64的尾部加

零。

X(k)=FFT[x(n)] ， k=0,1,2,3,-----,M-1

式中k 代表的频率为

k M k πω2=

。

要求： 编写实验程序，计算)(1n x 、)(2n x 和)(3n x 的幅度特性，并绘图显示 析频谱混叠失真。

Matlab 源代码：

A=444.128;a=50*sqrt(2)*pi;w0=50*sqrt(2)*pi;

Tp=50/1000;F1=1000;F2=300;F3=200; %观察时间Tp=50ms T1=1/F1;T2=1/F2;T3=1/F3; %不同的采样频率

n1=0:Tp*F1-1;n2=0:Tp*F2-1;n3=0:Tp*F3-1; %产生不同的长度区间n1,n2,n3 x1=A*exp(-a*n1*T1).*sin(w0*n1*T1); %产生采样序列x1(n) x2=A*exp(-a*n2*T2).*sin(w0*n2*T2); %产生采样序列x2(n) x3=A*exp(-a*n3*T3).*sin(w0*n3*T3); %产生采样序列x3(n)

f1=fft(x1,length(n1)); %采样序列x1(n)的FFT 变换 f2=fft(x2,length(n2)); %采样序列x2(n)的FFT 变换 f3=fft(x3,length(n3)); %采样序列x3(n)的FFT 变换 k1=0:length(f1)-1;

fk1=k1/Tp; %x1(n)的频谱的横坐标的取值 k2=0:length(f2)-1;

fk2=k2/Tp; %x2(n)的频谱的横坐标的取值 k3=0:length(f3)-1;

fk3=k3/Tp; %x3(n)的频谱的横坐标的取值 subplot(3,2,1)

stem(n1,x1,'.')

title('(a)Fs=1000Hz');

xlabel('n');ylabel('x1(n)'); subplot(3,2,3) stem(n2,x2,'.')

title('(b)Fs=300Hz');

xlabel('n');ylabel('x2(n)'); subplot(3,2,5) stem(n3,x3,'.')

title('(c)Fs=200Hz');

xlabel('n');ylabel('x3(n)'); subplot(3,2,2) plot(fk1,abs(f1))

title('(a) FT[xa(nT)],Fs=1000Hz'); xlabel('f(Hz)');ylabel('幅度') subplot(3,2,4) plot(fk2,abs(f2))

title('(b) FT[xa(nT)],Fs=300Hz'); xlabel('f(Hz)');ylabel('幅度') subplot(3,2,6) plot(fk3,abs(f3))

title('(c) FT[xa(nT)],Fs=200Hz'); xlabel('f(Hz)');ylabel('幅度')

实验图像：

20

40

60

-200

200

(a)Fs=1000Hz

n

x 1(n )

5

10

15

-200

200

(b)Fs=300Hz

n

x 2(n )

5

10

-200

0200

(c)Fs=200Hz

n

x 3(n

)

500100005001000

(a) FT[xa(nT)],Fs=1000Hz

f(Hz)

幅度

100

200

300

0200400

(b) FT[xa(nT)],Fs=300Hz

f(Hz)

幅度

50

100150

200

0100200

(c) FT[xa(nT)],Fs=200Hz

f(Hz)

幅度

结果分析：

由图2.2可见，采样序列的频谱的确是以采样频率为周期对模拟信号频谱的周期延拓。当采样频率为1000Hz 时频谱混叠很小；当采样频率为300Hz 时，在折叠频率150Hz 附近频谱混叠很严重；当采样频率为200Hz 时，在折叠频率110Hz 附近频谱混叠更很严重。 由实验图像可以看出，时域非周期对应着频域连续。对连续时间函数对采样使其离散化处理时，必须满足时域采样定理的要求，否则，必将引起频域的混叠。要满足要求信号的最高频率Fc 不能采样频率的一半（Fs/2），不满足时域采样定理，频率将会在ω=π附近，或者f=Fs/2混叠而且混叠得最严重。

2、频域采样理论的验证

给定信号如下：

??

?

??≤≤-≤≤+=其它026

14271301)(n n n n n x

编写程序分别对频谱函数

()FT[()]j X e x n ω

=在区间]2,0[π上等间隔采样32 和16点，得到)()(1632k X k X 和：

32232

()() , 0,1,2,31

j k X k X e k ωπ

ω=

==

16216

()()

, 0,1,2,15

j k X k X e k ωπω=

==

再分别对)()(1632k X k X 和进行32点和16点IFFT ，得到)()(1632n x n x 和：

323232()IFFT[()] , 0,1,2,,31x n X k n == 161616()IFFT[()] , 0,1,2,,15x n X k n ==

分别画出()j X e ω

、)()(1632k X k X 和的幅度谱，并绘图显示x(n)、

)()(1632n x n x 和的波形，进行对比和分析，验证总结频域采样理论。

提示：频域采样用以下方法容易变程序实现。

① 直接调用MATLAB 函数fft 计算3232()FFT[()]X k x n =就得到

()j X e ω

在]2,0[π的32点频率域采样

② 抽取32()X k 的偶数点即可得到

()j X e ω

在]2,0[π的16点频率域采样16()X k ，即1632()(2) , 0,1,2,,15X k X k k == 。

○3 当然也可以按照频域采样理论，先将信号x(n)以16为周期进行周期延

拓，取其主值区（16点），再对其进行16点DFT(FFT),得到的就是

()j X e ω在]2,0[π的16点频率域采样16()X k 。

Matlab 源代码：

M=27;N=32;n=0:M;

%产生M 长三角波序列x(n)

xa=0:floor(M/2); xb= ceil(M/2)-1:-1:0; xn=[xa,xb];

Xk=fft(xn,1024); %1024点FFT[x(n)], 用于近似序列x(n)的TF X32k=fft(xn,32) ;%32点FFT[x(n)]

x32n=ifft(X32k); %32点IFFT[X32(k)]得到x32(n) X16k=X32k(1:2:N); %隔点抽取X32k 得到X16(K) x16n=ifft(X16k,N/2); %16点IFFT[X16(k)]得到x16(n) subplot(3,2,2);stem(n,xn,'.');box on

title('(b) 三角波序列x(n)');xlabel('n');ylabel('x(n)');axis([0,32,0,20]) k=0:1023;wk=2*k/1024; %

subplot(3,2,1);plot(wk,abs(Xk));title('(a)FT[x(n)]');

xlabel('\omega/\pi');ylabel('|X(e^j^\omega)|');axis([0,1,0,200]) k=0:N/2-1;

subplot(3,2,3);stem(k,abs(X16k),'.');box on

title('(c) 16点频域采样');xlabel('k');ylabel('|X_1_6(k)|');axis([0,8,0,200]) n1=0:N/2-1;

subplot(3,2,4);stem(n1,x16n,'.');box on

title('(d) 16点IDFT[X_1_6(k)]');xlabel('n');ylabel('x_1_6(n)');axis([0,32,0,20]) k=0:N-1;

subplot(3,2,5);stem(k,abs(X32k),'.');box on

title('(e) 32点频域采样');xlabel('k');ylabel('|X_3_2(k)|');axis([0,16,0,200]) n1=0:N-1;

subplot(3,2,6);stem(n1,x32n,'.');box on

title('(f) 32点IDFT[X_3_2(k)]');xlabel('n');ylabel('x_3_2(n)');axis([0,32,0,20])

实验图像

10

20

30

010

20

(b) 三角波序列x(n)

n

x (n )

0.51

0100200

(a)FT[x(n)]

ω/

π

|X (e j ω)|

2

46

8

0100200

(c) 16点频域采样

k

|X 16(k )

|

10

20

30

01020

(d) 16点IDFT[X 16(k)]

n

x 16(n

)

5

10

15

0100200

(e) 32点频域采样

k

|X 32(k )|

10

20

30

01020

(f) 32点IDFT[X 32(k)]

n

x 32(n )

结果分析：

该图验证了频域采样理论和频域采样定理。对信号x(n)的频谱函数X(ej ω)在[0，2π]上等间隔采样N=16时， N 点IDFT[()N X k ]得到的序列正是原序列x(n)以16为周期进行周期延拓后的主值区序列：

()IDFT[()][()]()

N N N N i x n X k x n iN R n ∞

=-∞==+∑

由于NM ，频域采样定理，所以不存在时域混叠失真，因此，()N x n 与x(n)相同。由实验内容2的结果可知，对一个信号的频谱进行采样处理时，必须严格遵守频域采样定理，否则，用采样的离散频谱恢复原序列信号时，所得的时域离散序列是混叠失真，得不到原序列

四、实验思考及解答

如果序列x(n)的长度为M ，希望得到其频谱

()j X e ω

在]2,0[π上的N 点等间隔采样，当N

答：由实验内容2的结果可得：对于求频域采样点数N 小于原时域序列长度M 的N 点离散频谱时，可先对原序列x(n)以N 为周期进行周期延拓后取主值区序列

()[()]()

N N i x n x n iN R n ∞

=-∞=+∑

再计算N 点DFT 则得到N 点频域采样：

2()DFT[()] =()

, 0,1,2,,1

j N N N k N

X k x n X e k N ωπω=

==-

但是，所求的N 点离散频谱对应的时域离散序列是原序列x(n)以N 为周期进行周期延拓后取主值区序列，而不是原序列x(n)

五、实验小结

通过此次实验，对时域采样和频域采样的理论、定理的理解更加深入。采样是模/数中最重要的一步，采样方法的正确与否，关系到信号处理过程的成功与否。所以，无论是在时域还是频域，对信号采样必须仔细考虑采样的参数：采样频谱、采样周期、采样点数。对一个域进行采样，必将引起另一个域的周期延拓，所以，我们要做，就是选取好采样的参数，避免另一个域周期延拓时发生混叠，否则，我们采样所得的数据肯定丢失一部分原信号的信息，我们便无法对原信号对原信号进行恢复和正确分析。

此次实验所遇到的问题：主要是时域非周期对应频域连续，频域周期对应着时域离散（DFT 隐含周期性），频域非周期对应时域连续。对时域与频域的关系，还没彻底弄懂，stem 和plot 绘图函数有时会用错。