数学分析2014-2015 期中考试卷及答案

上海师范大学标准试卷

2014~ 2015 学年 第一学期 考试日期 2014年 11月19 日

（考试时间：120分钟）

科目：数学分析I （期中卷）

专业 本、专科 年级 班 姓名 学号

题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 得分

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得得分

一. 判断题(对的打√, 错的打×, ''21020?=)

1. ( × ) 设a 为有理数，x 为无理数，则ax 一定是无理数.

2. ( × ) 设数列{},{}n n a b 满足：对任何自然数n , 有n n a b >, 且n n a ∞

→lim 和n n b ∞

→lim 都

存在，则lim lim n n n n a b →∞

→∞

>.

3. ( √ ) 单调数列{}n a 如果含有一个收敛的子列, 则{}n a 本身一定也收敛.

4. ( × ) 设{}n a 是无穷小数列, n ｛b ｝是无穷大数列, 则n n ｛a b ｝是无穷大数列.

5. ( × ) 任何数列都存在收敛的子列.

6. ( × ) 设{},{}n n a b 均为无界数列, 则{}n n b a 一定为无界数列.

7. ( √ ) 设函数()f x 在某00()U x 内有定义, 且()f x 在0x 点的左右极限都存在

且相等, 则()f x 在0x 极限存在.

8. ( × ) 设0

,lim ()lim ()x x x x f x g x b →→∞==, 则0

lim ()()x x f x g x →=∞.

9. ( √ ) 如果对任何以0x 为极限的递减数列00{}()n x U x +?, 都有lim ()n n f x A ∞

→=,

则有0

lim ()x x f x A +→=.

10. ( × ) 若00,0,εδ?>?> 总可找到00',''(,),x x U x δ∈使得0|(')('')|f x f x ε-≥, 则0

lim ()x x f x →不存在.

得得分

二．叙述题（''842=?）

1. 叙述极限0

lim ()x f x →存在的柯西准则.

答: 设函数()f x 在0(0,)U δ内有定义. 0

lim ()x f x →存在的充要条件是：

0ε?>,0δ?>,(2分) 使得对0),,'(0U x x δ?∈有()(')f x f x ε-<.(2分)

2. 叙述集合S 上确界的分析定义.

设S 是R 中的一个数集，若数η满足以下两条：

（1） 对一切x S ∈ 有x η≤，即η是数集S 的上界；(2分) （2） 对任何αη<存在0x S ∈使得（即η是S 的最小上界）(2分) 则称数η为数集S 的上确界. 得得分

三．计算题（本大题满分24', 每小题'4）

1. 求???? ?

?++???+?+?∞→)1(1321211lim n n n 2. 求042

lim x x x →+- 解: 111lim()1223(1)n n n →∞+++???+ 解: 00421

lim lim 4(42)x x x x x x x →→+-==++

=11111

lim(1)223(1)n n n →∞-+-++-

+ =1

lim(1)1

n n →∞

-+=1 3. 求0sin 2lim ln(1)x x x →+ 4. x

x x cos 11

1lim 20--+→

解: 00sin 22lim lim 2ln(1)x x x x

x x →→==+ 解：)

11(2

sin )2

(2)11(2sin 21

1lim

222

222

++=

++-+→x x

x x x x x

1=

5. 设82lim =??

?

??-+∞

→x

x a x a x , 求数a 的值.

解: 2ln 831lim 2lim 333=?==??

?????

???

??????-+=???

??-+--∞→∞→a e a x a a x a x a a

x ax a

a

x x x x

6. 求,a b , 使得21

lim (

)01x x ax b x

→∞++--=+. 解: 21

lim 1(1)

x x a x x ∞→++==+,（2分）

22211lim ()lim ()111x x x x x x

b x x x

∞→+→∞+++--=-==-++．(2分)

得得分

四．用分析定义证明（本大题满分'15, 每小题'5） 1. 证明：lim 1,n n a →∞

=其中(1)a >.

证明: 设1,(1)1

1n n a a nh h n

h a h -≥+?≤

-==+,(2分) 对10,[]a N εε-?>?=, 当n N >时, |1|1

n n

a a ε-≤-<.(3分) 所以lim 1,n n a →∞

=

2. 证明：2)32(lim 21

=++-→x x x

证明：()2

21232+=-++x x x （2分）．故对0ε?>，εδ=?，当δ

<+<10x 时，ε<-++2322x x ．（3分）

3. 证明：2

lim cos cos 2x x →=.

证明: 对0ε?>,δε?=,当0|2|x δ<-<时,(2分)

22

|cos cos 2|2|sin si |22|2n |x x x x ε+≤--=<-, 所以2lim cos cos 2x x →=.(3分)

五. 证明题（本大题满分18', 每小题'6）

1. 证明极限01

lim sin x x →不存在.

证明: 对012ε=(2分), 0δ?>, 设正数1n δ>, 令1

1',''222

x x n n π

ππ==

+

,(2分)

则有0011

',''(0;),|sin

sin |1'''

U x x x x δε∈-=>,(2分) 所以极限01

lim sin x x

→不存在.

2. 设{|(0,1)},S x x =为上的有理数 求S 的上下确界,并用定义验证.

解:sup 1,inf 0S S ==.(2分)

下面验证sup 1,S =对x S ?∈有1x <,对1,α?<若001

2

0,(0,1),x x αα≤?∈=

>. 当01α<<时, 根据实数的稠密性,存在有理数r 使得1r α<<. 所以sup 1;S =(2分) 下面验证inf 0,S =对x S ?∈有0x >,对0,α?>若001

2

1,(0,1),x x αα≥?∈=

<. 当01α<<时, 根据实数的稠密性,存在有理数r 使得0r α<<. 所以inf 1.S =(2分)

3. 设0a >, )1(211a a a +=

，???=+=+,2,1),1(211n a a a n

n n 。判断数列{}n a 的收敛性，若收敛, 并求其极限.

解:因为0a >,111111

(),(),1,2,2211,n

n n a a a a n a a +≥≥=+=+= (2分)

12

1111()0()22n n n n n n n a a a a a a a +--=+-=≤,,1,2n = (2分)

所以数列n ｛a ｝是单调递减且有下界, 则数列n ｛a ｝的收敛,(1分) 设lim 1,1n n a a a a →∞

=?==-(舍去). 所以数列n ｛a ｝

收敛, lim 1n n a →∞

=.(1分)

六. 证明题（本大题满分10'）用分析定义证明归结原则：设f 在);(00δx U 上有定义，A x f x x =→)(lim 0

的充要条件是：对于任何含于);(00δx U 且以0x 为极限的数列

{}n x ，都有A x f n n =∞

→)(lim

. 证明：必要性 设A x f x x =→)(lim 0

，则对0ε?>，存在正数)('δδ≤，使得当

'00δ<-

（2分） 另一方面，设数列{}n x 含于);(00δx U 且0lim x x n n =∞

→，则对上述的'δ，0>?N ，当

n N >时有'00δ<-

→)(lim ．（3分）

充分性 设对任何含于);(00δx U 且以0x 为极限的数列{}n x ，都有A x f n n =∞

→)(lim .

用反证法，若当0x x →时f 不以A 为极限，则00>?ε，0>?δ，x ?使得

'00δ<-

取δδ='，2δ，3δ，．．．，n

δ

，．．．，则得到数列{}n x 使得n

x x n δ

<-<0，而0|)(|ε≥-A x f n ．（3分）

数列{}),(00δx U x n ?且0lim x x n n =∞

→，但当∞→n 时)(n x f 不趋于A ，与假设矛

盾．所以必有A x f n n =∞

→)(lim ．（2分）

得得分

七. 证明题（本大题满分5'）设10<

N n r c x x n n n ∈?<-+,||1。用柯西收敛准则证明：n n x ∞

→lim 存在。

证明：0>?ε，不妨设r

c

-<

1ε和n m > n n m m m m n m x x x x x x x x -++-+-=-+++-1211

n n m m m m x x x x x x -++-+-≤+++-1211

ε<-<+++=+++≤----r

cr r r cr cr cr cr n

n m n n m m 11

)1(121 ．(3分) 故取=N r

c r ln ))1(ln(

ε

-，当N n m >>时有ε<-n m x x ．由柯西收敛准则可知n n x ∞→lim 存

在．（2分）