巧用柯西不等式证不等式竞赛题

柯西不等式的应用(整理篇)

柯西不等式的证明及相关应用 摘要：柯西不等式是高中数学新课程的一个新增内容，也是高中数学的一个重要知识点，它不仅历史悠久，形式优美，结构巧妙，也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具。 关键词：柯西不等式 柯西不等式变形式 最值 一、柯西（Cauchy ）不等式： ()2 2211n n b a b a b a +++Λ()()2 222122221n n b b b a a a ++++++≤ΛΛ()n i R b a i i Λ2,1,,=∈ 等号当且仅当021====n a a a Λ或i i ka b =时成立（k 为常数，n i Λ2,1=） 现将它的证明介绍如下： 方法1 证明：构造二次函数 ()()()2 2 222 11)(n n b x a b x a b x a x f ++++++=Λ =()()() 2 222122112222212n n n n b b b x b a b a b a x a a a +++++++++++ΛΛΛ 由构造知 ()0≥x f 恒成立 又22120n n a a a +++≥Q L ()()() 0442 2221222212 2211≤++++++-+++=?∴n n n n b b b a a a b a b a b a ΛΛΛ 即()()() 22221222212 2211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ 当且仅当()n i b x a i i Λ2,10==+ 即12 12n n a a a b b b ===L 时等号成立 方法2 证明:数学归纳法 （1） 当1n =时 左式=()211a b 右式=()2 11a b 显然 左式=右式 当2=n 时 右式 ( )()()()2 2 22 22222212 1211222112a a b b a b a b a b a b =++=+++ ()()()2 22 1122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=左式 故1,2n =时 不等式成立 （2）假设n k =(),2k k ∈N ≥时，不等式成立 即 ()()() 22 221222212 2211k k k k b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ 当 i i ma b =，m 为常数，k i Λ2,1= 或120k a a a ====L 时等号成立 设A=22221k a a a +++Λ B=2 2221k b b b +++Λ 1122k k C a b a b a b =+++L 2 C AB ≥∴

高中数学教学论文 柯西不等式的证明与应用

柯西不等式的证明及其应用 摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用六种不同的方法证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用，最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。 关键词：柯西不等式，证明，应用 Summar y： Cauchy's inequality is a very important inequality, this article use six different methods to prove the Cauchy inequality, and gives some Cauchy inequality in inequality, solving the most value, solving equations, trigonometry and geometry problems in the areas of application, the last used it proved that point to the straight line distance formula, better explains the Cauchy inequality. Keywords ：Cauchy inequality, proof application 不等式是数学的重要组成部分，它遍及数学的每一个分支。本文主要介绍著名不等式——柯西不等式的证明方法及其在初等数学解体中 的应用。柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用几种不同的方法证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用。

如何进行柯西不等式的教学(含答案)

如何进行柯西不等式的教学 柯西不等式是基本而重要的不等式，是推证其他许多不等式的基础，有着广泛的应用，教科书首先介绍二维形式的柯西不等式，再从向量的角度来认识柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，再介绍一般形式的柯西不等式，以及柯西不等式在证明不等式和求某些特殊类型的函数极值中的应用. 在介绍了二维形式的柯西不等式的基础上，教科书引导学生在平面直角坐标系中，根据两点间的距离公式以及三角形的边长关系，从几何意义上发现二维形式的三角不等式接着借助二维形式的柯西不等式证明了三角不等式，在一般形式的柯西不等式的基础上，教科书安排了—个探究栏目，让学生通过探究得出一般形式的三角不等式. 由上可见，教材编写者对这部分内容的要求以便让学生在大学学习打下坚实的基础，但这部分教与学的难度是显而易见的. 柯西不等式∑∑∑===≥n i i i n i i n i i b a b a 1 21 2 1 2 )(是柯西在1931年研究数学分析中的“留数” 问题时得到的.表面上看，这一不等式并不难理解，也很容易验证它的正确性，特别是它的二阶形式22222)())((bd ac d c b a +≥++，几乎是不证自明的.但是，我们能看出这一平凡无奇的不等式成立，是因为事先已经知道两边是什么式子，而最先发现这样的不等关系，则是一个创造的过程，并不是那么容易的.柯西不等式不失为至善至美的重要不等式,以它的对称和谐的结构,简洁明快的解题方法等特点,深受人们的喜爱.而且和物理学中的矢量、高等数学中的内积空间等内在地联系在一起.柯西不等式的几种形式都有较为深刻的背景和广泛的应用，向量形式αβαβ≥?不仅直观地反映了这一不等式的本质，一般形式

(完整word版)柯西不等式各种形式的证明及其应用

柯西不等式各种形式的证明及其应用 柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等 式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为， 正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。 一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式 在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式 ()() ()2 2222 bd ac d c b a +≥++ 等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：( )()()2 2222 2222123123112233n n n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++???++++???+≥+++???+ 等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==?? ==???= ?=????? 当或时，和都等于，不考虑 二维形式的证明： ()()() ()()() 2 22222222222 222222222 2 2,,,220=a b c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立 三角形式 ad bc =等号成立条件： 三角形式的证明： 222111n n n k k k k k k k a b a b ===?? ≥ ??? ∑∑∑

柯西不等式常见题型解法例说

上海中学数学2014年第3期 柯西不等式常见题型解法例说315500浙江省奉化中学陈晴应向明 柯西不等式≥：d；≥：研≥f≥]ni．6。1‘是基本 百鬲、百7 而重要的不等式，是推证其他许多不等式的基础，不仅形式优美，而且还具有非常重要的应用价值．它原先只在数学竞赛中出现，但在2003年颁布的高中数学课程标准选修系列(4—5)《不等式选讲》里，已经加进了柯西不等式，也就是说它将成为选修学生的日常教学要求．用柯西不等式解决某些不等关系问题时往往比较简捷明了，但求解时灵活性较大，技巧性较强．其中一些常见的问题，其解决策略往往与其呈现方式直接相关．笔者就以其在近几年高考中的常见三维类型进行分类，例析对应的解决策略．三维的柯西不等式(盘；+丑；+口；)(躇+6；+鹾)≥(n。6，+口：6：+a。63)2揭示了任意两组数组即(n。，n。，n。)、(6，，6。，63)的平方和之积与实数积之和的平方的大小关系．应用时要解决的核心问题就是如何通过变换不等式，向柯西不等式“逼近”，构造出不等式所需要的两组数组(乜，，乜。，以。)、(6。，6：，6。)，这也是运用柯西不等式解题的基本策略． 1一次与二次 例1(2013湖南高考)已知口、6、c∈R，盘+26 +3c一6，则n2+462+9c2的最小值为——．解：n+26+3c一6，由柯西不等式得(n2+462 +9c2)(12+12+12)≥(n+26+3c)2， 可知n。+462+9c。≥婺一12，即最小值为12． 例2设．r，y，z∈R，且满足T2+y2+z2—5，则Lr+2y+3z之最大值为——． 解：(．f r+2y+32)2≤(L z’2+y2+z2)(12+22+ 32)一70，．‘．Ir+2y+3z最大值为√而． 例3如啪2∈R且与≯+≮型+竖j翌一1，求T+y+z的最大值、最小值．解：与竽+≮型+半一，，由柯西不等式得 [4z+渺+22]『c孚)2+c警)2+c字，2]≥…孚)惭(害)+z．(字)]2 号25×1≥b+y+z一2)2≥5≥l L r+y+z一2 ≥一5≤z+y+z一2≤5． ．‘．一3≤T+y+z≤7． 故T+y+z之最大值为7，最小值为一3． 评注：这类题型的最大特征就是条件与结论中分别出现了一次式与两次式，而要实现一次与两次不等关系的关键就是根据柯西不等式的形态进行构造，让其中一个数组为常数组，这样问题往往可以奏效． 2整式与分式 2．1两组数组对应的数分别为倒数型 例4(2012福建高考)已知函数厂(T)一m—z一2I，m∈R且，(z+2)≥o的解集为[一1，1]． (1)求m的值； (2)若口，6，c∈R，且丢+去+去一m，求证：n+26+3c≥9． 解：(1)厂(．r+2)一m—f．r}，／(T+2)≥o等价于I T l≤m， 由I T l≤m有解，得m≥O，且其解集为{丁l —m≤z≤m1)， 又，(z+2)≥o的解集为[一1，1]，故m一1． (2)由(1)知丢+去+去一1，又＆，6，c∈R， 由柯西不等式得 Ⅱ+26+3c一(n+26+3c)f丢+去+去)≥F‘去+何‘去+厄’去)2姐 评注：这类题型从结构来讲，两组数组分别是整式类型(口，，n z，n。)与分式类型(署，昙，去)(其中夕，q，，一为常数)，其实属于对勾函数的范畴，运用均值不等式也能完成，但不如柯西不等式简洁、方便．2．2分式中分子的次数高于分母型 例5(2009浙江高考)已知正数T，y，2，z+y 忙1．掘彘+毫+彘≥专． V十Z Z z十Z．r．r十二V0证法1：利用柯西不等式 (惫+矗+南)№他川z+ 2．十r)+(z+2v)]≥(．r+v+z)2．

柯西不等式各种形式的证明及其应用

柯西不等式各种形式的证 明及其应用 Prepared on 22 November 2020

柯西不等式各种形式的证明及其应用 柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角 度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。 一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式 在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式 等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()2 2222 2222123123112233n n n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++???++++???+≥+++???+ 等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==?? ==???= ?=?????当或时，和都等于，不考虑 二维形式的证明： 三角形式 三角形式的证明： 向量形式 向量形式的证明： 一般形式 一般形式的证明： 2 2 2 111n n n k k k k k k k a b a b ===?? ≥ ??? ∑∑∑

证明： 推广形式(卡尔松不等式)： 卡尔松不等式表述为：在m*n 矩阵中，各行元素之和的几何平均数不小于各列元素 之积的几何平均之和。 或者： 或者 推广形式的证明： 推广形式证法一： 或者 推广形式证法二： 事实上涉及平均值不等式都可以用均值不等式来证， 这个不等式并不难，可以简单证明如下： 付：柯西（Cauchy ）不等式相关证明方法： 等号当且仅当021====n a a a 或i i ka b =时成立（k 为常数，n i 2,1=）现将它的证明介绍如下： 证明1：构造二次函数 ()()()2 2 222 11)(n n b x a b x a b x a x f ++++++= =()()()22 222 121122122n n n n n n a a a x a b a b a b x b b b ++ ++++ ++++ + ()0f x ∴≥恒成立 即()()()2 22 2211221212n n n n n n a b a b a b a a a b b b ++ +≤++ +++ + 当且仅当()01,2i i a x b x i n +== 即 12 12 n n a a a b b b === 时等号成立 证明（2）数学归纳法

柯西不等式的应用(整理篇).doc

柯西不等式的证明及相关应用 摘要 ：柯西不等式是高中数学新课程的一个新增容， 也是高中数学的一个重要知识点， 它不仅历史悠久， 形式优美， 结构巧妙，也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具。 关键词 ：柯西不等式 柯西不等式变形式 最值 一、柯西（ Cauchy ）不等式： a 1 b 1 a 2 b 2 a n b n 2 a 12 a 22 a n 2 b 12 b 22 b n 2 a i ,b i R, i 1,2 n 等号当且仅当 a 1 a 2 a n 0 或 b i ka i 时成立（ k 为常数， i 1,2 n ） 现将它的证明介绍如下： 方法 1 证明：构造二次函数 f ( x) a x b 2 a x b 2 a x b 2 1 1 2 2 n n = a 12 a 22 a n 2 x 2 2 a 1 b 1 a 2 b 2 a n b n x b 12 b 22 b n 2 由构造知 f x 0 恒成立 又 Q a 12 a 22 L a n n 4 a 1b 1 a 2 b 2 a n b n 2 4 a 12 a 22 a n 2 b 12 b 22 b n 2 即 a 1b 1 a 2 b 2 a n b n 2 a 12 a 22 a n 2 b 12 b 22 b n 2 当且仅当 a i x b i 0 i 1,2 n 即 a 1 a 2 L a n 时等号成立 b 1 b 2 b n 方法 2 证明 :数学归纳法 （ 1） 当 n 1 时 左式 = a 1b 1 2 2 右式 = a 1 b 1 显然 左式 =右式 当 n 2 时 a 12 a 22 b 12 b 22 a 1 b 1 2 a 2 b 2 2 a 12 b 22 右式 a 22 b 12 2 2 2a a bb 2 左式 a b a b 2 a b a b 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 故 n 1,2时 不等式成立 （ 2）假设 n k k, k 2 时，不等式成立 即 a 1b 1 a 2 b 2 a k b k 2 a 12 a 22 a k 2 b 12 b 22 b k 2 当 b i ma i ， m 为常数， i 1,2 k 或 a 1 a 2 L a k 0 时等号成立 设 A= a 12 a 22 a k 2 B= b 12 b 22 b k 2 C a 1b 1 a 2b 2 L a k b k AB C 2

柯西不等式的证明及其应用

柯西不等式的证明及其应用 赵增林 （青海民族大学，数学学院，青海，西宁，810007） 摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用五种不同的方法证明了柯西不等式，并 给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用，最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。 关键词：柯西不等式，证明，应用 柯西不等式 定理：如果1212,,,;,,,n n a a a b b b …………为两组实数，则 2222222 11221212()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++……………… （*） 当且仅当12211331110n n a b a b a b a b a b a b -=-==-=……时等号成立。 若120,0,,0n b b b ≠≠≠……，则不等式的等号成立的条件是 12 12n n a a a b b b ===……。 我们称不等式（*）为柯西不等式。 柯西不等式的证明： 一）两个实数的柯西不等式的证明： 对于实数1212,,,a a b b ，恒有22222 11221212()()()a b a b a a b b +≤++，当且仅当 12210a b a b -=时等号成立。如果120,0b b ≠≠则等式成立的条件是12 12 a a b b =。 证明：对于任意实数1212,,,a a b b ，恒有 2222 22121211221221()()()()a a b b a b a b a b a b ++=++-，而21221()0a b a b -≥， 故2222211221212()()()a b a b a a b b +≤++。 当且仅当12210a b a b -=时等号成立。 不等式的几何意义如图1所示，在直角坐标系中有 异于原点O 的两点12(,)P a a ，12(,)Q b b ，由距离公式 得：|OP |=，|OQ |=

Cauchy不等式的等价形式及其应用【开题报告】

毕业论文开题报告 数学与应用数学 Cauchy 不等式的等价形式及其应用 一、选题的背景、意义（所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势） 柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。柯西不等式在数学的各个分支里都有极其广泛的应用，它在不同的领域就有着不同的表现形式，对它的应用可谓灵活多样，无论是初等数学还是高等数学都有着极其不菲的价值，主要都充分体现了数学各领域间的内通性、渗透性和统一性。 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。 从收集到的文献中发现国内外对柯西不等式的研究进展主要有对柯西不等式的证明，推广，以及对柯西不等式的应用举例。 二、相关研究的最新成果及动态 柯西不等式的证明主要可以从配方法、数学归纳法、?判别法、向量内积法等一些常规的方法加以证明。下面就用其中一种方法加以简单地证明。 柯西不等式：设n n b b b a a a ,,,,,,,2121ΛΛΛΛ均为实数则 ()()()22221222212332211b n n n b b b a a a b a b a b a b a ++++++≤++++ΛΛΛΛΛΛ 当且仅当i i kb a =时（其中k 为常数，n i Λ3,2,1=）等号成立。 证明：利用配方法证明 ,,,A 11212∑∑∑======n i i i n i i n i i b a C b B a 只需证明.2 B C A ≥由均值不等式有 .2;;2;22222222222221121222 1 n n n n b a B C b B C a b a B C B B C a b a B C b B C a ≥+≥+≥+Λn 个式子相加得

归纳柯西不等式的典型应用

归纳柯西不等式的典型应用

归纳柯西不等式的典型应用 【摘要】：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用五种不同的 方法证明了柯西不等式，介绍了如何利用柯西不等式技巧性解题，在证明不等式或等式，解方程，解三角形相关问题，求函数最值等问题的应用方面给出几个典型例子。最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。 【关键词】：柯西不等式 ；证明；应用 【引言】：本人通过老师在中教法课上学习柯西不等式时，老师给出 了一些有关的例题并讲解，由于柯西不等式是一个非常重要的不等式，如果巧妙利用它，在高考可以节省很多宝贵时间，而且得分率高。因此，本文介绍归纳了柯西不等式的典型应用，经过收集及整理资料，得到四类的典型题。 【正文】： 1.柯西不等式的一般形式为： 对任意的实数 n n b b b a a a ,,,,,,2121?????? ()( ) 222112 22212 222 1 )(n n n n b a b a b a b b b a a a ??????++≥+??????+++??????++

其中等号当且仅当λ=== n n b a b a b a 2211时成立,其中R ∈λ 变式：()()222112121)(n n n n y x y x y x y y y x x x ??????++≥+??????+++??????++ 2. 柯西不等式的证明： 证明柯西不等式的方法总共有6 种，下面我们将给出常用的2种证明柯西不等式的方法： 1）配方法： 作差：因为22211 1 ()()()n n n i j i i i j i a b a b ===-∑∑∑ 221 1 1 1 ()()()()n n n n i j i i j j i j i j a b a b a b =====-∑∑∑∑ 2211 11 n n n n i j i i j j i j i j a b a b a b =====-∑∑∑∑ 2222 111111 1(2)2n n n n n n i j j i i j j i i j i j i j a b a b a b a b =======+-∑∑∑∑∑∑ 2222 11 1(2)2n n i j i j j i j i i j a b a b a b a b ===-+∑∑ 211 1()02n n i j j i i j a b a b ===-≥∑∑ 所以222 1 1 1 ()()()n n n i j i i i j i a b a b ===-∑∑∑0≥，即2221 1 1 ()()()n n n i j i i i j i a b a b ===≥∑∑∑ 即222222*********()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++……………… 当且仅当0(,1,2,,)i j j i a b a b i j n -==…… 即(1,2,,;1,2,,;0)j i j i j a a i n j n b b b ===≠…………时等号成立。 2）用数学归纳法证明 i ）当1n =时，有2221112()a b a b =，不等式成立。

柯西不等式的证明

柯西不等式的证明

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柯西不等式的证明及应用 （河西学院数学系０1（２)班 甘肃张掖 ７３４000) 摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解。本文在证明不等式,解三角形相关问题，求函数最值，解方程等问题的应用方面给出几个例子。 关键词：柯西不等式 证明 应用 中图分类号： Ｏ178 Ident ｉficatio ｎ a ｎd ap ｐli ｃation ｏｆ Cau ｃｈy ine ｑuali ｔy Ch ｅn B ｏ (dep ａｒｔment of ｍａt ｈem ａtics , Hexi ｕni ｖersi ｔｙ ｚhangye ga ｎsu 7３4000） A ｂstract : Cauchy-ine ｑuali ｔy is ａ v ｅｒｙ imp ｏrtant in equ ａti ｏn, flex ｉb ｌe ｉnge ｎi ｏus ａpplication ｉt, can ｍａke some compar ａtively difficul ｔ p ｒobl ｅｍs ｅasily sol ｖed . This ｔｅxt p ｒo ｖｅ inequality ， s ｏlv ｅ ｔｒiangle ｒｅｌｅv ａnt pro ｂlem, ｉs it ｗorth most to ａsk, t ｈe ａｐp ｌica ｔio ｎ whi ｃh ｓｏlve ｓ ｓuch ｑuestio ｎs as the eq ｕat ｉon ,ｅtc. ｐrov ｉｄes severa ｌ ｅxamp ｌes. K ｅｙw ｏrd :inequat ｉｏn p ｒove ap ｐlication 柯西(Ｃａuc ｈy ）不等式 [][]12 ()22211n n b a b a b a +++ ()()222221222221n n b b b a a a ++++++≤ ()n i R b a i i 2,1,=∈ 等号当且仅当021====n a a a 或i i ka b =时成立（k 为常数，n i 2,1=）现将它的证明介绍如下: 证明1：构造二次函数 ()()()2 222211)(n n b x a b x a b x a x f ++++++= =()()()22222121122122n n n n n n a a a x a b a b a b x b b b ++ +++++++++ 22120n n a a a +++≥ ()0f x ∴≥恒成立 ()()()2222211221212440n n n n n n a b a b a b a a a b b b ?=++ +-++++++≤ 即()()()2222211221212n n n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++ 当且仅当()01,2 i i a x b x i n +== 即1212n n a a a b b b ===时等号成立 证明(2)数学归纳法 （1)当1n =时 左式=()211a b 右式=()2 11a b

柯西不等式的证明

柯西不等式的证明及应用 （河西学院数学系01（2）班 甘肃张掖 734000） 摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。本文在证明不等式，解三角形相关问题，求函数最值，解方程等问题的应用方面给出几个例子。 关键词：柯西不等式 证明 应用 中图分类号： O178 Identification and application of Cauchy inequality Chen Bo （department of mathematics , Hexi university zhangye gansu 734000） Abstract : Cauchy-inequality is a very important in equation, flexible ingenious application it, can make some comparatively difficult problems easily solved . This text prove inequality, solve triangle relevant problem, is it worth most to ask, the application which solves such questions as the equation ,etc. provides several examples. Keyword ：inequation prove application 柯西（Cauchy ）不等式[][]12 ()22211n n b a b a b a +++ ()()222221222221n n b b b a a a ++++++≤ ()n i R b a i i 2,1,=∈ 等号当且仅当021====n a a a 或i i ka b =时成立（k 为常数，n i 2,1=）现将它的证 明介绍如下： 证明1：构造二次函数 ()()()2 222211)(n n b x a b x a b x a x f ++++++= =()()()22222121122122n n n n n n a a a x a b a b a b x b b b +++++++++++ 22120n n a a a +++≥ ()0f x ∴≥恒成立 ()()()2222211221212440n n n n n n a b a b a b a a a b b b ?=+++-++++++≤ 即()()()2222211221212n n n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++ 当且仅当()01,2i i a x b x i n +== 即 1212n n a a a b b b === 时等号成立 证明（2）数学归纳法 （1）当1n =时 左式=()211a b 右式=()2 11a b 显然 左式=右式

柯西不等式的应用篇

柯西不等式的应用篇 The following text is amended on 12 November 2020.

柯西不等式的证明及相关应用 摘要：柯西不等式是高中数学新课程的一个新增内容，也是高中数学的一个重要知识点，它不仅历史悠久，形式优美，结构巧妙，也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具。 关键词：柯西不等式 柯西不等式变形式 最值 一、柯西（Cauchy ）不等式： 等号当且仅当021====n a a a 或i i ka b =时成立（k 为常数，n i 2,1=） 现将它的证明介绍如下： 方法1 证明：构造二次函数 =()()()22221221122 22 212n n n n b b b x b a b a b a x a a a +++++++++++ 由构造知 ()0≥x f 恒成立 又22 12 0n n a a a +++≥ 即()()() 2 2221222212 2211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ 当且仅当()n i b x a i i 2,10==+ 即12 12 n n a a a b b b === 时等号成立 方法2 证明:数学归纳法 （1） 当1n =时 左式=()211a b 右式=()2 11a b 显然 左式=右式 当2=n 时 右式 ()()()()2 2 22 222222121211222112a a b b a b a b a b a b =++=+++ ()()()222 1122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=左式 故1,2n =时 不等式成立 （2）假设n k =(),2k k ∈N ≥时，不等式成立 即 ()()() 22221222212 2211k k k k b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ 当 i i ma b =，m 为常数，k i 2,1= 或120k a a a ====时等号成立 设A=2 2221k a a a +++ B=22221k b b b +++ 1122k k C a b a b a b =++ + 则()()2 12121212121+++++++++=++k k k k k k b a Ba Ab AB b B a A 当 i i ma b =，m 为常数，12,1+=k i 或121+===k a a a 时等号成立 即 1n k =+时不等式成立 综合（1）（2）可知不等式成立

柯西施瓦茨不等式证明

柯西不等式的证明 数学上，柯西-施瓦茨不等式，又称施瓦茨不等式或柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式，是一条很多场合都用得上的不等式；例如线性代数的矢量，数学分析的无穷级数和乘积的积分，和概率论的方差和协方差。不等式以奥古斯丁·路易·柯西（Augustin Louis Cauchy），赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨（Hermann Amandus Schwarz），和维克托·雅科夫列维奇·布尼亚科夫斯基（Виктор Яковлевич Буняковский）命名。柯西不等式(Cauchy inequality)：对任意的实数a1,a2,?,a n,b1,b2,?,b n,都有 (a21+a22+?+a2n)(b21+b22+?+b2n)≥(a1b1+a2b2+?+a n b n)2 证明一:(数学归纳法)当n=2时,(a21+a22)(b21+b22)?(a1b1+a2b2)2=(a1b2?b1a2)2≥0 所以n=2时,(a21+a22)(b21+b22)≥(a1b1+a2b2)2 假设n时命题成立,则n+1时 (a21+a22+?+a2n+a2n+1)(b21+b22+?+b2n+b2n+1)≥((a21+a22+?+a2n)(b21+b22+?+b2n)????????????????????????????????√+|a n+1b n+1|)2 又由条件假设 (a21+a22+?+a2n)(b21+b22+?+b2n)≥(a1b1+a2b2+?+a n b n)2 所以 ((a21+a22+?+a2n)(b21+b22+?+b2n)????????????????????????????????√+|a n+1b n+1|)2 ≥(|a1b1+a2b2+?+a n b n|+|a n+1b n+1|)2 很明显有 (|a1b1+a2b2+?+a n b n|+|a n+1b n+1|)2≥(a1b1+a2b2+?+a n b n+a n+1b n+1)2 因此n+1时命题也成立,由数学归纳法,命题得证. 证明二:(构造二次函数)如果a1,a2,?,a n都为0,那么此时不等式明显成立. 如果a1,a2,?,a n不全为0,那么a21+a22+?+a2n>0 构造二次函数f(x)=(a21+a22+?+a2n)x2+2(a1b1+a2b2+?+a n b n)x+(b21+b22+?+b2n)那么此时f(x)=(a1x+b1)2+?+(a n x+b n)2≥0对任意的实数x都成立,所以这个二次函数的判别式应该是不大于0的,也就是 Δ=4(a1b1+a2b2+?+a n b n)2?4(a21+a22+?+a2n)(b21+b22+?+b2n)≤0 从而不等式得证.

柯西不等式的几种证明方法

龙源期刊网 https://www.360docs.net/doc/625150278.html, 柯西不等式的几种证明方法 作者：王照泉;李丽 来源：《价值工程》2010年第11期 摘要: 如果某一知识跟很多学科或者一个学科的很多分支有着密切联系,那么这个知识肯定是很重要的,而二次型、欧式空间内积、詹森不等式都是高等数学中代数、实函、微积分的基 本内容。本文运用二次型理论、欧式空间中内积性质和詹森(Jensen)不等式三种方法证明柯西不等式,并简要说明柯西不等式与高等数学之间的联系。 Abstract: If the knowledge was closely related the many disciplines or many branches of a discipline,then this knowledge is certainly important,but the quadratic form,european space inner product,Jensen inequality are basic content of algebra,real letters,calculus in higher mathematics. In this paper,quadratic form theory,the European space inner product nature and Jensen (Jensen) inequality are three ways to prove cauchy inequality,and bthe relation between Cauchy inequality and higher mathematics was illustrated briefly. 关键词: 柯西不等式;二次型;内积;詹森不等式 Key words: Cauchy inequality; quadratic form; inner product; Jensen inequality 中图分类号:O13文献标识码:A文章编号:1006-4311(2010)11-0210-01 1 柯西不等式的内容 设a1,a2,…,an及b1,b2,…,bn为任意实数,则不等式abab成立。当且仅当ai=kbi(i=1,2,…,n)取等号,这就是著名的柯西(Cauchy)不等式。这个不等式结构对称,在数学的许多方面都可以应用。现给出几种证明方法,以资参考。 2柯西不等式的证明 2.1 利用二次型理论证明 证明:记f(x1,x2)=(a1x1+b1x2)2+(a2x1+b2x2)2+…+(anx1+bnx2)2 =(a+a+…+a)x+2(a1b1+a2b2+…+anbn)x1x2+(b+b+…+b)x =X′AX 其中X=xx,A=a abab b

柯西不等式的证明

柯西不等式的证明 二维形式的证明 (a^2+b^2)(c^2+d^2)（a,b,c,d∈R) =a^2·c^2 +b^2·d^2+a^2·d^2+b^2·c^2 =a^2·c^2 +2abcd+b^2·d^2+a^2·d^2－2abcd+b^2·c^2 =(ac+bd)^2+(ad－bc)^2 ≥(ac+bd)^2，等号在且仅在ad－bc=0即ad=bc时成立。 三角形式的证明 √(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a-c)^2+(b-d)^2] 证明：[√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)]^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2*√(a^2+b^2)*√(c^2+d^2) ≥a^2+b^2+c^2+d^2+2*|a*c+b*d| 注：| |表示绝对值。*表示乘 ≥a^2+b^2+c^2+d^2-2（a*c+b*d） =a^2-2*a*c+c^2+b^2-2bd+d^2 =(a-c)^2+(b-d)^2 两边开根号即得√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a-c)^2+(b-d)^2] 一般形式的证明 求证：(∑ai^2)(∑bi^2) ≥ (∑ai·bi)^2 证明： 当a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0时，一般形式显然成立 令A=∑ai^2B=∑ai·bi C=∑bi^2 当a1，a2，…，an中至少有一个不为零时，可知A>0 构造二次函数f(x)=Ax^2+2Bx+C，（请注意，一次项系数是2B，不是B）展开得：f(x)=∑(ai^2·x^2+2ai·bi·x+bi^2)=∑ (ai·x+bi)^2≥0 故f(x)的判别式△=4B^2－4AC≤0， （请大家注意：一元二次方程ax^2+bx+c=0的判别式确实是△=b^2-4ac，但是这里的方程Ax^2+2Bx+C = 0已经发生如下替换a = A，b = 2B，c = C，这里面b已经换成了2B，因而导致很多网友的误解。此步若错，柯西不等式就无法证明了！）移项得AC≥B^2，欲证不等式已得证。 向量形式的证明

关于柯西不等式的证明

关于柯西不等式的证明 王念 数学与信息学院 数学与应用数学专业 07 级 指导老师：吴明忠 摘要：研究柯西不等式的多种证明方法，得到一些有用的结论，并简单介绍一些它的应用。 关键词：柯西不等式、数学归纳法、二次型正定、欧式空间向量内积、詹森不等式，二维随机变量的数学期望。 Cauchy inequality is an important inequality. It has aroused people’s interest and its widespread application. In this paper 、quadratic form 、European space inner product 、and the relation between Cauchy inequality. Wang Ni an Xxxxxxxxxxx Grade 07 Instructor: Wu Ming Zhong Abstract: The paper discusses the certifying ways of Cauchy inequality then gets some useful conduction and introduces some appliances. Key words: Cauchy inequality; quadratic form; inner product; Jensen inequality; mathematic Expectation. 柯西不等式是大家熟知的一个重要不等式，它的结构和谐对称、以及广泛的运用引起了人们的兴趣和讨论。本文运用高等代数、微积分的基本内容来证明柯西不等式。 1 柯西不等式的内容 1.1 22222222211221212(....)(....)(....)(,1,2......) n n n n i i a b a b a b a a a b b b a b R i n +++≤+++++∈= 等号当且仅当12.....0n a a a ====或i i b ka =时成立（k 为常数，i=1,2…..n ）. 1.2 设12,,.....n a a a 及12,,.....n b b b 为任意实数则不等式2 221 1 1 1 ()()()n n n i i i i i i a b a b ===≤∑∑∑成 立，当且仅当i i b ka = （i=1,2…..n ）取等号。1,2这两种形式就是著名的柯西不