环球雅思中小学-北京市朝阳区2015届九年级上学期期末考试数学试题

北京市朝阳区2014～2015学年度第一学期期末检测

九年级数学试卷（选用）

2015.1

（考试时间120分钟满分120分）成绩

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.

1.一元二次方程x2-2x=0的解为

A．x = 2 B．x1 = 0，x2 = 2 C．x1 = 0，x2 = -2 D．x1 = 1，x2 = 2 2. 抛物线2

(1)2

y x

=-+的顶点坐标是

A．（1，2）B．（1，-2）C．（-1， 2）D．（-1，-2）3.下列图形是中心对称图形的是

A B C D

4. 如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠C＝35°，则∠AOB的度数为

A．35°B．55°

C．65°D．70°

5. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点

均在格点上，则tan∠ABC的值为

A．

3

B．

3

4

C

5

D．1

6.下列事件是随机事件的是

A．

明天太阳从东方升起

B．任意画一个三角形，其内角和是360°

B

C ．通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰

D ．射击运动员射击一次，命中靶心

7.一个矩形的长比宽相多3cm ，面积是25cm 2，求这个矩形的长和宽．设矩形的宽为x cm ， 则所列方程正确的是

A ．x 2-3x +25=0

B ．x 2-3x -25=0

C ．x 2+3x -25=0

D ．x 2+3x -50=0

8.如图，点C 是以点O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点（点C 不与 点A ，B 重合），AB =4．设弦AC 的长为x ，△ABC 的面积为y ，则 下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是

A B C D

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

9.如图，A 是反比例函数(0)k

y x x

=

＞图象上的一点，AB 垂直于x 轴，垂足为B ，AC 垂直于 y 轴，垂足为C ，若矩形ABOC 的面积为5，则k 的值为 ．

10.一枚质地均匀的骰子，六个面分别刻有1到6的点数，掷这个骰子一次，则向上一面的 点数大3的概率是 ．

11. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点O 是边长为2的正方形ABCD 的中心．写出一个

A

B

（第9题图） （第11题图）

（第12题图）

函数2y x c =+，使它的图象与正方形ABCD 有公共点，这个函数的表达式为 ． 12.如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝90°，OA ＝3，将扇形OAB 绕点A 逆时针旋转n °（0＜n

＜180）后得到扇形O ′AB′ ，当点O 在弧AB'上时，n 为 ，图中阴影部分的面积为 ．

三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13.计算：cos30sin602sin 45tan 45??+???－ .

14. 用配方法解方程： x 2-4x -1=0．

15. 如图，△ABC 中，点D 在AB 上，∠ACD =∠ABC ，若AD =2，AB =6，求AC 的长．

16. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以点A （2，3）为圆心的⊙A 交 x 轴于点B ，C ，BC =8，

求⊙A 的半径．

17. 如图，正方形ABCD 的边长为2，E 是BC 的中点，以点

A 为中心，把△ABE 逆时针旋转90°， 设点E 的对应点为F ．

（1）画出旋转后的三角形． （2）在（1）的条件下，

①求EF 的长；

A

②求点E 经过的路径弧EF 的长．

18．如图，甲船在港口P 的南偏东60°方向，距港口30海里的A 处，沿AP 方向以每小时

5海里的速度驶向港口P ；乙船从港口P 出发，沿南偏西45°方向驶离港口P ．现两船 同时出发，2小时后甲船到达B 处，乙船到达C 处，此时乙船恰好在甲船的正西方向， 求乙船的航行距离

1.41

1.73，结果保留整数)．

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19.已知关于x 的一元二次方程mx 2-(m +1)x +1=0． （1）求证：此方程总有两个实数根；

（2）若m 为整数，当此方程的两个实数根都是整数时，求m 的值.

20. 如图，直线2y x =-+与反比例函数k

y =x

的图象相交于点A （a ，3），且与x 轴相交于

点B ． （1）求该反比例函数的表达式；

（2）若P 为y 轴上的点，且△AOP 的面积是△AOB 的面积的

23

, 请直接写出点P 的坐标.

C

21. 随着“节能减排、绿色出行”的健康生活意识的普及，新能源汽车越来越多地走进百姓的

生活. 某汽车租赁公司拥有40辆电动汽车，据统计，当每辆车的日租金为120元时， 可全部租出；当每辆车的日租金每增加5元时，未租出的车将增加1辆；该公司平均每日

的各项支出共2100元．

(1) 若某日共有x 辆车未租出，则当日每辆车的日租金为 元；

(2) 当每辆车的日租金为多少时，该汽车租赁公司日收益最大？最大日收益是多少？

22.如图，在△ABC 中，BA =BC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC ，BC 于点D ，E ，BC 的延长线

与⊙O 的切线AF 交于点F ． （1）求证：∠ABC =2∠CAF ；

（2）若AC

=CE ：EB =1：4，求CE ，AF 的长．

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 已知二次函数y =kx 2-(k +3)x +3在x =0和x =4时的函数值相等． （1）求该二次函数的表达式；

（2）画出该函数的图象，并结合图象直接写出当y ＜0时，自变量x 的取值范围； （3）已知关于x 的一元二次方程2220k x m m +-=，当-1≤m ≤3 时，判断此方

程根的情况．

A

24. △ABC 和△ADE 中，AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE = α (0°＜α ≤90°) ，点F ，G ，P

分别

是DE ，BC ，CD 的中点，连接PF ，PG ．

(1)如图①，α=90°，点D 在AB 上，则∠FPG = °；

(2)如图②，α=60°，点D 不在AB 上，判断∠FPG 的度数，并证明你的结论； (3)连接FG ，若AB =5， AD =2，固定△ABC ，将△ADE 绕点A 旋转，当PF 的长最大

时，

FG 的长为 （用含α的式子表示）．

图①

B

图②

B

备用图 B

25. 在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝2x ＋2与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，抛物线

y ＝ax 2＋bx －

3

2

经过点A 和点C (4,0) ． （1）求该抛物线的表达式． （2）连接CB ，并延长CB 至点D ，使DB =CB ，请判断点D 是否在该抛物线上，并说明

理由． （3）在（2）的条件下，过点C 作x 轴的垂线EC 与直线y ＝2x ＋2交于点E ，以DE 为

直径

画⊙M ，

①求圆心M 的坐标；

②若直线AP 与⊙M 相切，P 为切点，直接写出点P 的坐标．

北京市朝阳区2014~2015学年度第一学期期末检测

九年级数学试卷参考答案及评分标准 2015.1

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

9．5 10．1

2

11．答案不惟一，如2y x =（说明：写成2y x c =+的形式时，c 的取值范围是－2≤c ≤1） 12．60，3π 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解：

原式

21=

+ ……………………………………………………………………4分

= …………………………………………………………………………

……………5分 14.

解

：

x 2-4x =1. ……………………………………………………………………………………………… 1分

x 2-4x +4=1+4 ，

(x -2)2=5 .…………………………………………………………………………………

………… 3分

x -2=，

∴

12x =+，

22x =……………………………………………………………………… 5分

15.解：∵∠ACD =∠ABC ，∠A=∠A , …………………………………………………………………… 2分 ∴△ACD ∽△ABC . ……………………………………………………………………………… 3分

∴

AD AC

AC AB =. …………………………………………………………………………………… 4分

∵AD =2，AB =6，

∴

26

AC AC

=

.

∴2

12AC =.

∴

AC =. ………………………………………………………………………………………

…5分

16.解：如图，作AD ⊥BC 于点D ．………………………………… 1分 连接AB ． ∴1

42

BD BC =

=． ………………………………………… 3分 ∵点A 的坐标是（2，3），

∴AD =3．……………………………………………………… 4分 在Rt △ABD 中，

∴5AB = ……………………………………… 5分 ∴⊙A 的半径为5．

17.解：（1）如图1．

………………………… 1分

（说明：点F 在CD 的延长线上） ∴△ADF 为所求．

（2）①如图2，依题意，AE =AF ，∠EAF =90°．…………… 2分

在Rt △ABE 中，

∵AB =2，1

12

BE BC ==，

∴AE …………………………………………… 3分 在Rt △AEF 中，

EF ……………………………… 4分

② l =

=．……………………………… 5分

图1

图2

∴弧EF

．

18．解：如图，作PD ⊥BC 于点D ． ………………………1分

根据题意， 得 ∠BPD =60°，∠CPD =45°．

PB =AP - AB =20． ………………………………… 2分

在Rt △BPD 中，

∴cos60=10PD PB =??．……………………………3分 在Rt △CPD 中，

∴cos45PD

PC =?

…………………………… 4分

∴14PC ≈． …………………………………………5分 答：乙船的航行距离约是14海里．

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19.解：（1）证明：?=

〔-(m +1)]2-4m =(m -1)2．…………………………………………………………………………………… 1分 ∵（m -1）2≥0， ∴?≥0． ∴该方程总有两

个实数

根． ………………………………………………………………… 2分

（2）解：

x ．

当m 为整数1或-1时，x 2为整数，即该方程的两个实数根都是整数， ∴m 的值为1

或

-1．…………………………………………………………………………… 5分

20.解：（1）∵点A （a ，3）在直线2y x =-+ 上，

∴ 3=-a +2． ∴ a

=-1．………………………………………………………………………………………… 1分

∴A （-1，3）．

∵点A （-1，3）在反比例函数k

y

=x

的图象上，

C

∴31

k =－．

∴

k

=

-3． ………………………………………………………………………………………… 2分

∴3

y =x -． ……………………………………………………………………………………

… 3分 （2）（0， 4 ）或（0，-4 ）．……………………………………………………………………………5分

21.解：（1）

120+5x ；……………………………………………………………………………………………………………………………… 1分

（2）设有x 辆车未租出时，该汽车租赁公司日收益为y 元．

根据题意，有

()()4012052100y x x =-+-．…………………………………………………………………… 3分

即 25802700y x x =-++． ∵05<-， ∴当80

82(5)

x =-

=?-时，y 有最大值.

y 有最大值是

3020. ……………………………………………………………………………………………………………………… 4分

∴120+5x =120+5×

8=160. …………………………………………………………………………………………………………… 5分

答：当每辆车的日租金为160元时，该汽车租赁公司日收益最大，最大日收益为3020元.

22. （1）证明：如图，连接BD ．

∵AB 为⊙O 的直径，

∴∠ADB =90°．…………………………………… 1分

∴∠DAB +∠ABD =90°． ∵AF 是⊙O 的切线， ∴∠FAB =90°．…………………………………… 2分 即∠DAB +∠CAF =90°． ∴∠CAF =∠ABD ． ∵BA =BC ，∠ADB =90°， ∴∠ABC =2∠ABD ．

∴∠ABC =2∠CAF ．………………………………… 3分

（2）解：如图，连接AE ．

∴∠

AEB =90°．

B

A

设CE = x ，

∵CE ：EB =1：4，

∴EB =4x ，BA =BC =5x ，AE =3x ． 在Rt △ACE 中，AC 2=CE 2+AE 2． 即

(2= x 2+(3x ) 2． ∴x =2．

∴CE =2．………………………………………………………………………………

…………… 4分

∴EB =8，BA =BC =10，AE =6．

∵tan AE AF

EB BA

ABF ==∠. ∴6810AF =. ∴AF =15

2

. ……………………………………………………………………………………… 5分

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）

23.解： (1) 由题意可知，此二次函数图象的对称轴为2x =，

即()322k k

-+-=.

∴

1k =. ………………………………………………………………………………

…………1分 ∴y

=x 2-4x +3. ……………………………………………………………………………………2分

（2）如图1

…………………………………………3分

1＜x ＜

3. …………………………………………………………………………………………………………………………… 4分

（3）由（1

）得此方程为220x m m +-=.

图1

2

2=4m m ?--（）（）

=-m 2+4m . …………………………………………………………………………………… 5分

∴Δ是m 的二次函数.

由图2可知，当-1≤m ＜0时，Δ＜0； 当m =0时，Δ=0；当0＜m ≤3时，Δ＞0. ∴当-1≤m ＜0时，原方程没有实数根；当m =0时， 原方程有两个相等的实数根 ；当0＜m ≤3时，原方程有 两个不相等的实数根. ………………………………7分

24.（1）90；………………………………………………………1分 （2）∠FPG =120°；……………………………………………2分

证明：如图，连接BD ，CE ． ∵∠BAC =∠DAE ， ∴∠BAD =∠CAE ． ∵AB =AC ，AD =AE ，

∴△BAD ≌△CAE ……………………………………3分

∴∠1=∠2．

∵点F ，G ，P 分别是DE ，BC ，CD 的中点， ∴

PF

∥

CE

，

PG

∥

BD ．……………………………………………………………………………4分

∴∠FPD=∠ECD =∠2+∠3，∠4=∠5． ∴∠DPG =∠4+∠6=∠5+∠6．

∴∠FPG=∠FPD +∠DPG =∠2+∠3 +∠5+∠6=∠1+∠3 +∠5+∠6． 即

∠

FPG=

∠

ABC +

∠

ACB =180°-

∠BAC =120°．…………………………………………………5分

（

3）

7sin(90)2

α

?－． …………………………………………………………………………………

…7分

（说明：也可以写成7cos

2

α） 25.解：（1）依题意，可知 A （-1， 0），B （0，2）．

抛物线y ＝ax 2＋bx －

3

2

经过点A ，C (4,0) 所以有

B

图2

203

216+40.3a b a b ?--=???

?-=??

， ………………………………………………………………………1分 解得 16

1.2

a b ?

=????=-??，

∴

2112

623

y x x =

--．………………………………………………………………………………2分

（2）点D 在该抛物线

上．………………………………………………………………………………3分

依题意，可得BO =2，CO =4． 过点D 作DF 垂直x 轴于点F , ∴△CDF ∽△CBO ． ∴

2

===1

DC DF CF BC BO CO ． ∴DF =4，OF = CF - OC = 4．

∴ D （-4，4）．……………………………………4分

∵()()2

1124623

?-?-=-4-4，

∴点D 在该抛物线上．

（3）①由题意可知E （4，10）． 设DE 与y 轴的交点为M ′， ∵M ′B ∥EC ，

∴

'1'DM DB

EM CB

==． ∴D M ′=EM ′．

∴M ′ 即⊙M 的圆心M ． ∴1

52

BM EC ==． ∴M

（

0，7）．…………………………………………………………………………………6分

②（

-4

，

4

）

或

（

3

，

3）．………………………………………………………………………8分

说明：各解答题的其他正确解法请参照以上标准给分.