2009年高考数学二轮复习数列专题讲座

2009年高考数学二轮复习数列专题讲座
2009年高考数学二轮复习数列专题讲座

2009年高考数学二轮复习数列专题讲座

一、试题特点

1、近四年高考各试卷数列解答题考查情况统计

2005年高考各地的16套试卷中,每套试卷均有1道数列解答题试题,处于压轴位置的有6道.数列解答题属于中档题或难题.其中,涉及等差数列和等比数列的试题有11道,有关递推数列的有8道,关于不等式证明的有6道.另外,等比求和的错位相减法,广东卷的概率和数列的交汇,湖北卷的不等式型的递推数列关系都是高考试题中展现的亮点.

2006年高考各地的18套试卷中,有18道数列解答试题.其中与函数综合的有6道,涉及数列不等式证明的有8道,北京还命制了新颖的“绝对差数列”,值得一提的是,其中有8道属于递推数列问题,这在高考中是一个重点.2007年高考各地的各套试卷中都有数列题,有7套试卷是在压轴题的位置,有9套是在倒数第二道的位置,其它的一般在第二、三的位置,几乎每道题涉及到递推数列,有9道涉及到数列、不等式或函数的综合问题,安徽省还出现了一道数列应用题.

2008年高考各地的各套试卷中都有数列题,也都是几乎每道题涉及到递推数列, 数列、不等式或函数的综合问题.

综上可知,数列解答题是高考命题的一个每年必考且难度较大的题型,其命题热点是与不等式交汇、呈现递推关系的综合性试题.当中,以函数迭代、解析几何中曲线上的点列为命题载体,有着高等数学背景的数列解答题仍将是未来高考命题的亮点,而以考查学生归纳、猜想、数学试验等能力研究性试题也将成为高考命题的一个新亮点.2、主要特点

数列是高中代数的重要内容之一,也是与大学衔接的内容,由于在测试学生逻辑推理能力和理性思维水平,以及考查学生创新意识和创新能力等方面有不可替代的作用,所以在历年高考中占有重要地位,近几年更是有所加强.数列解答题大多以数列为考查平台,综合运用函数、方程、不等式等知识,通过运用递推思想、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类整合等各种数学思想方法,考查学生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力,其难度属于中、高档难度.

高考对本章的考查比较全面,等差数列、等比数列的考查每年都不会遗漏.一般情况下都是一个客观题和一个综合解答题,数列的综合题难度都很大,甚至很多都是试卷的压轴题,它不仅考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想,还涉及了配方法、换元法、待定系数法、放缩法等基本数学方法.其中的高考热点——探索性问题也出现在近年高考的数列解答题中.

3、考查知识

(1)考查数列、等差数列、等比数列等基本知识、基本技能.

(2)常与函数、方程、不等式、解析几何等知识相结合,考查学生在数学学习和研究过程中知识的迁移、组合、融会,进而考查学生的学习潜能和数学素养.

(3)常以应用题或探索题的形式出现,为考生展现其创新意识和发挥创造能力提供广阔的空间.

二、教学要求

1、了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式),了解数列是一种特殊函数.理解数列的通项公式的意义.

2、理解等差数列的概念;掌握等差数列的通项公式、前n项和公式,能运用公式解决一些简单问题.

能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题.了解等差数列与一次函数的关系.

3、理解等比数列的概念;掌握等比数列的通项公式、前n 项和公式,能运用公式解决一些简单问题.

能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.了解等比数列与指数函数的关系.

探索等差、等比数列的通项公式和前n 项和公式.

4、数列教学,要注意的问题:

(1)教学中,应使学生了解数列是一种特殊函数.

(2)会根据简单数列的前几项写出数列的一个通项公式.

(3)教学中,要掌握数列中各量之间的基本关系.但训练要控制难度和复杂程度,避免繁琐的计算、人为技巧化的难题.

(4)等差数列和等比数列有着广泛的应用,教学中应重视在具体的问题情境中,发现数列的等差关系或等比关系.这样做,即突出了问题意识,也有助于学生理解数列的本质.

三、考试要求:

四、2008年高考数列试题类型

类型一:考查等差、等比数列的基本问题

等差、等比数列是两类最基本的数列,它们是数列部分的重点,也是高考考查的热点.等差、等比数列的定义、通项公式、前n 项的和等基本知识一直是高考考查的重点,这方面考题的解法灵活多样,技巧性强,考查的目的在于测试考生灵活运用知识的能力,这个“灵活”就集中在“转化”的水平上.

1.(全国数学Ⅰ文科19)在数列{}n a 中,11a =,122n n n a a +=+.

(Ⅰ)设12

n n n a b -=.证明:数列{}n b 是等差数列;(Ⅱ)求数列{}n a 的前n 项和n S . (全国数学Ⅱ文科18)等差数列{}n a 中,410a =且3610a a a ,,成等比数列,求数列{}n a 前20项的和20S . 类型二:考查递推数列的通项公式问题

对于由递推式所确定的数列的通项公式问题,通常可对递推式进行变形,从而转化为等差、等比数列问题来解决.这类问题一直是高考久考不衰的题型,尤其以2007年高考试题最为明显。

全国卷近三年理科所考查六个解答题中有四道(2006年全国Ⅰ理科第22题、2007年全国Ⅰ理科第22题 、2007年全国Ⅱ理科第21题 、2008年全国Ⅱ理科第20题)(占了三分之二)都是形如:1n n a ca d +=+

(0,1,0)c c d ≠≠≠或者1(0,1,0,)n n n a c a d b c c d b c -=+≠≠≠≠ 的递推数列求其通项公式的问题.

2.(全国数学Ⅰ理科22)设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a <<,1()n n a f a +=.

(Ⅰ)证明:函数()f x 在区间(01),是增函数;(Ⅱ)证明:11n n a a +<<;

(Ⅲ)设1(1)b a ∈,,整数11ln a b k a b

-≥.证明:1k a b +>. 3.(全国数学Ⅱ理科20)设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知1a a =,13n n n a S +=+,*n ∈N .

(Ⅰ)设3n n n b S =-,求数列{}n b 的通项公式;(Ⅱ)若1n n a a +≥,*

n ∈N ,求a 的取值范围. 类型三:考查数列与不等式的综合问题

数列与不等式都是高中数学重要内容,一些常见的解题技巧和思想方法在数列与不等式的综合问题中都得到了比较充分的体现.以两者的交汇处为主干,构筑成知识网络型代数推理题,在高考中出现的频率相当高,占据着令人瞩目的地位.

4.(陕西卷理科数学22)已知数列{}n a 的首项135a =,1321

n n n a a a +=+,12n = ,,. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式;(Ⅱ)证明:对任意的0x >,21121(1)3n n a x x x ??-- ?++??

≥,12n = ,,; (Ⅲ)证明:2

121

n n a a a n +++>+ . 类型四:考查考察存在性和探索性问题

课程改革突出强调培养学生的探究、发现和创造能力,2008年江苏卷对此考查全面且达到了一定的深度,特别是第19题数列题使这样的考查达到了相当的水平,体现了研究性学习思想.

5.(08江苏卷19)(Ⅰ)设12,,,n a a a 是各项均不为零的等差数列(4n ≥),且公差0d ≠,若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列:

①当n =4时,求1a d

的数值;②求n 的所有可能值; (Ⅱ)求证:对于一个给定的正整数n(n ≥4),存在一个各项及公差都不为零的等差数列12,,,n b b b ,其中任意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列.

6.(2007年江苏卷)已知 {}n a 是等差数列,{}n b 是公比为q 的等比数列,11221,a b a b a ==≠,记n S 为数列{}n b 的前n 项和. (1)若(,k m b a m k =是大于2的正整数),求证:11(1)k S m a -=-;

(2)若3(i b a i =是某一正整数),求证:q 是整数,且数列{}n b 中每一项都是数列{}n a 中的项;

(3)是否存在这样的正数q ,使等比数列{}n b 中有三项成等差数列?若存在,写出一个q 的值,并加以说明;若不存在,请说明理由.

五、二轮复习建议:

1、填充题力争确保

(1)填充题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n 项和等内容,对基本的计算技能要求不是很高,建议要强化方程思想在解题中的作用(基本量),知道前n 项和与通项的关系,对中等及偏下的学生不必介绍过多解题技巧,对基础较好的学生,可适当介绍.

(2)填充题有可能出现与归纳推理有关的问题,此类题的难度不大,但对阅读问题及思路要求很高,情境也可能相对比较新颖.

2、解答题要有所为有所不为

(1)从江苏近几年的试题来看,数列题在最后两题中出现的可能性较大.

(2)对试卷中放在最后的压轴数列题,重点应放在前二问,基础较好的应冲刺最后一问,要加强1~2问的训练,不能刻意求全,能做到分步得分就好.同时不能放弃数列常规题的复习教学,这仍是一个重点,这是一项“根深叶茂”的基础工程,至关重要.

3、数列是考查学生自主探索、自主发现、数学试验、归纳猜想等直觉思维的良好载体,复习中建议多让学生猜猜、算算、证证,反朴归真,回归数学的本源.

4、对于递推数列问题,生源好的学校可以适当加强,生源一般的学校无须舍本求末得不偿失.

5、培养学生主动学习数学的习惯

让学生想一想做一做尝试尝试,不要题目一出来就分析,那是教师在分析,学生很难分析起来.不要用教师过早的“引导”限制、代替学生的思维,一旦学生养成了等待的习惯,学生离开了你该这么办,可以师生共做.要让学生首先熟悉题意,重视思维过程的指导,暴露如何想?怎么做?谈来龙去脉,重视通性通法的运用.题目一出来,学生就立即做立即画,这是主动学习表现;若学生抬着头等你讲,那是思维懒惰的表现.

多让学生感到自然,与你共鸣.少让学生感到突然,强加给学生.努力使学生觉得,你老师想到的,我也差不多能够想到.少让学生感到,只有你老师自己能够想到,我怎么想也想不到.学生总觉得“老师你真聪明”不是一件好事.

6、评讲试卷建议

(1)教师自己亲自做一遍,与学生交流思维过程;

(2)请学生讲.不是简单的说答案,讲怎么想的,这不论对学生本人还是其他人都有教育意义.还可以讲“一题多解”,表扬一些学生的独特解法;

(3)不必面面俱到.分类归纳,集中讲评.抓住主要的、带有普遍的问题;

(4)抓大放小,居高临下;

(5)抓学生的解题规范.

上海市2019届高三数学理一轮复习专题突破训练:数列

上海市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练 数列 一、填空、选择题 1、(2016年上海高考)无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成,n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ,{}3,2∈n S ,则k 的最大值为________. 2、(2015年上海高考)记方程①:x 2+a 1x+1=0,方程②:x 2+a 2x+2=0,方程③:x 2+a 3x+4=0,其中a 1,a 2,a 3是正实数.当a 1,a 2,a 3成等比数列时,下列选项中,能推出方程③无实根的是( ) A .方程①有实根,且②有实根 B . 方程①有实根,且②无实根 C .方程①无实根,且②有实根 D . 方程①无实根,且②无实根 3、(2014年上海高考)设无穷等比数列{}n a 的公比为q ,若()134lim n n a a a a →∞ =++ +,则q = . 4、(虹口区2016届高三三模)若等比数列{}n a 的公比1q q <满足,且24 344,3,a a a a =+=则12lim()n n a a a →∞ ++ +=___________. 5、(浦东新区2016届高三三模)已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若 533S S =,则53 a a = 6、(杨浦区2016届高三三模)若两整数a 、 b 除以同一个整数m ,所得余数相同,即 a b k m -=()k Z ∈,则称a 、b 对模m 同余,用符号(mod )a b m ≡表示,若10(mod 6)a ≡(10)a >,满足条件的a 由小到大依 次记为12,,,,n a a a ??????,则数列{}n a 的前16项和为 7、(黄浦区2016届高三二模) 已知数列{}n a 中,若10a =,2i a k =*1 (,22,1,2,3, )k k i N i k +∈≤<=,则满足2100i i a a +≥的i 的最小值 为 8、(静安区2016届高三二模)已知数列{}n a 满足181a =,1 311log ,2, (*)3, 21n n n a a n k a k N n k ---+=?=∈?=+?,则数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值为 . 9、(闵行区2016届高三二模)设数列{}n a 的前n 项和为n S , 2 2|2016|n S n a n (0a >),则使得1 n n a a +≤(n ∈* N )恒成立的a 的最大值为 . 10、(浦东新区2016届高三二模)已知数列{}n a 的通项公式为(1)2n n n a n =-?+,* n N ∈,则这个数列的前 n 项和n S =___________. 11、(徐汇、金山、松江区2016届高三二模)在等差数列{}n a 中,首项13,a =公差2,d =若某学生对其中连

高考文科数学数列经典大题训练(附答案)

1.(本题满分14分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34-=n n a S (1,2,)n =, (1)证明:数列{}n a 是等比数列; (2)若数列{}n b 满足1(1,2,)n n n b a b n +=+=,12b =,求数列{}n b 的通项公式. ; 2.(本小题满分12分) 等比数列{}n a 的各项均为正数,且212326231,9.a a a a a +== 1.求数列{}n a 的通项公式. 2.设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ???? 的前项和. … 3.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= (1) 求数列{}n a 的通项公式; (2) 令n n b na =,求数列的前n 项和n S 。

~ 4.已知等差数列{a n}的前3项和为6,前8项和为﹣4. (Ⅰ)求数列{a n}的通项公式; (Ⅱ)设b n=(4﹣a n)q n﹣1(q≠0,n∈N*),求数列{b n}的前n项和S n. % 5.已知数列{a n}满足,,n∈N×. (1)令b n=a n+1﹣a n,证明:{b n}是等比数列; (2)求{a n}的通项公式. {

、 ~

、 1.解:(1)证:因为34-=n n a S (1,2,)n =,则3411-=--n n a S (2,3,)n =, 所以当2n ≥时,1144n n n n n a S S a a --=-=-, 整理得14 3 n n a a -=. 5分 由34-=n n a S ,令1n =,得3411-=a a ,解得11=a . 所以{}n a 是首项为1,公比为4 3 的等比数列. 7分 (2)解:因为14 ()3 n n a -=, ' 由1(1,2,)n n n b a b n +=+=,得114 ()3 n n n b b -+-=. 9 分 由累加得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b

高考数学《数列》大题训练50题含答案解析

一.解答题(共30小题) 1.(2012?上海)已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足.(1)设c n=3n+6,{a n}是公差为3的等差数列.当b1=1时,求b2、b3的值; (2)设,.求正整数k,使得对一切n∈N*,均有b n≥b k; (3)设,.当b1=1时,求数列{b n}的通项公式. 2.(2011?重庆)设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2,a3=a2+4. (Ⅰ)求{a n}的通项公式; ( (Ⅱ)设{b n}是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{a n+b n}的前n项和S n. 3.(2011?重庆)设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n(n∈N*). (Ⅰ)若a1,S2,﹣2a2成等比数列,求S2和a3. (Ⅱ)求证:对k≥3有0≤a k≤. 4.(2011?浙江)已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a(a∈R)设数列的前n 项和为S n,且,,成等比数列. (Ⅰ)求数列{a n}的通项公式及S n; ` (Ⅱ)记A n=+++…+,B n=++…+,当a≥2时,试比较A n与B n的大小. 5.(2011?上海)已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6,b n=2n+7(n∈N*).将集合{x|x=a n,n∈N*}∪{x|x=b n,n∈N*}中的元素从小到大依次排列,构成数列c1,c2,

(1)写出c1,c2,c3,c4; (2)求证:在数列{c n}中,但不在数列{b n}中的项恰为a2,a4,…,a2n,…; (3)求数列{c n}的通项公式. 6.(2011?辽宁)已知等差数列{a n}满足a2=0,a6+a8=﹣10 * (I)求数列{a n}的通项公式; (II)求数列{}的前n项和. 7.(2011?江西)(1)已知两个等比数列{a n},{b n},满足a1=a(a>0),b1﹣a1=1,b2﹣a2=2,b3﹣a3=3,若数列{a n}唯一,求a的值; (2)是否存在两个等比数列{a n},{b n},使得b1﹣a1,b2﹣a2,b3﹣a3.b4﹣a4成公差不为0的等差数列若存在,求{a n},{b n}的通项公式;若不存在,说明理由. 8.(2011?湖北)成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5. (I)求数列{b n}的通项公式; ] (II)数列{b n}的前n项和为S n,求证:数列{S n+}是等比数列. 9.(2011?广东)设b>0,数列{a n}满足a1=b,a n=(n≥2) (1)求数列{a n}的通项公式; (4)证明:对于一切正整数n,2a n≤b n+1+1.

高考数学数列题型专题汇总

高考数学数列题型专题 汇总 公司内部档案编码:[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

高考数学数列题型专题汇总 一、选择题 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和为n S ,且S S n n =∞ →lim .下列 条件中,使得()*∈q a (B )6.07.0,01-<<-q a (D )7.08.0,01-<<-

A .{}n S 是等差数列 B .2{}n S 是等差数列 C .{}n d 是等差数列 D .2{}n d 是等差数列 【答案】A 二、填空题 1、已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和,若16a =,350a a +=,则 6=S _______.. 【答案】6 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成,n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 *∈N n ,{}3,2∈n S ,则k 的最大值为________. 【答案】4 3、设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2a n 的最大值 为 . 【答案】64 4、设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4,a n +1=2S n +1,n ∈N *,则 a 1= ,S 5= . 【答案】1 121

高考数学等差数列习题及答案 百度文库

一、等差数列选择题 1.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足() 12n n n S +=,则数列11n n a a +?????? 的前10项的和为( ) A . 89 B . 910 C .10 11 D . 1112 2.南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中,提出垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差不相等,但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别1,7,15,27,45,71,107,则该数列的第8项为( ) A .161 B .155 C .141 D .139 3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ,若S 2=8,38522a a a +=+,则a 1等于( ) A .1 B .2 C .3 D .4 4.等差数列{}n a 中,22a =,公差2d =,则10S =( ) A .200 B .100 C .90 D .80 5.中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤,长五尺,一头粗一头细.在粗的一端截下一尺,重四斤;在细的一端截下一尺,重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件,若金箠由粗到细是均匀变化的,中间三尺的重量为( ) A .3斤 B .6斤 C .9斤 D .12斤 6.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,15a =,且满足 122527 n n a a n n +-=--,若p ,*q ∈N ,p q >,则p q S S -的最小值为( ) A .6- B .2- C .1- D .0 7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差1d =,且62 10S S ,则34a a +=( ) A .2 B .3 C .4 D .5 8.定义 12n n p p p ++ +为n 个正数12,, ,n p p p 的“均倒数”,若已知数列{}n a 的前 n 项的“均倒数”为 12n ,又2n n a b =,则1223 910 111 b b b b b b +++ =( ) A . 8 17 B . 1021 C . 1123 D . 9 19 9.题目文件丢失! 10.为了参加学校的长跑比赛,省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.

高考数学数列大题训练答案版

高考数学数列大题训练 1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项,且1,641≠=q a 公比 (Ⅰ)求n a ;(Ⅱ)设n n a b 2log =,求数列.|}{|n n T n b 项和的前 解析: (1)设该等差数列为{}n c ,则25a c =,33a c =,42a c =Q 533222()c c d c c -==- ∴2334()2()a a a a -=-即:223111122a q a q a q a q -=- ∴12(1)q q q -=-,Q 1q ≠, ∴121, 2q q ==,∴1164()2n a -=g (2)121log [64()]6(1)72n n b n n -==--=-g ,{}n b 的前n 项和(13)2n n n S -= ∴当17n ≤≤时,0n b ≥,∴(13)2 n n n n T S -== (8分) 当8n ≥时,0n b <,12789n n T b b b b b b =+++----L L 789777()()2n n n S b b b S S S S S =-+++=--=-L (13)422 n n -=- ∴(13)(17,)2(13)42(8,)2 n n n n n T n n n n -?≤≤∈??=?-?-≥∈??**N N 2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ,其中.154=a (Ⅰ)求321,,a a a ; (Ⅱ)求数列}{n a 的通项公式; (Ⅲ)求数列}{n a 的前n 项和n S 解:(1)由151241=+=-a a a n n 及知,1234+=a a 解得:,73=a 同理得.1,312==a a (2)由121+=-n n a a 知2211+=+-n n a a

2018高考数学专题---数列大题训练(附答案)

2018高考数学专题---数列大题训练(附答案) 1 .数列{n a }的前n 项和为n S ,且满足11a =,2(1)n n S n a =+. (1)求{n a }的通项公式; (2)求和T n = 12 111 23(1)n a a n a +++ +. 2 .已知数列}{n a ,a 1=1,点*))(2,(1N n a a P n n ∈+在直线012 1 =+- y x 上. (1)求数列}{n a 的通项公式; (2)函数)2*,(1 111)(321≥∈++++++++= n N n a n a n a n a n n f n 且 ,求函数)(n f 最小值. 3 .已知函数x ab x f =)( (a ,b 为常数)的图象经过点P (1,8 1)和Q (4,8) (1) 求函数)(x f 的解析式; (2) 记a n =log 2)(n f ,n 是正整数,n S 是数列{a n }的前n 项和,求n S 的最小值。 4 .已知y =f (x )为一次函数,且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列,f (8)=15. 求n S =f (1)+f (2)+…+f (n )的表达式. 5 .设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1n n S c ca =+-,其中c 是不等于1-和0的实常数. (1)求证: {}n a 为等比数列; (2)设数列{}n a 的公比()q f c =,数列{}n b 满足()()111,,23 n n b b f b n N n -==∈≥,试写出1n b ?? ???? 的通项公式,并求12231n n b b b b b b -++ +的结果. 6 .在平面直角坐标系中,已知A n (n,a n )、B n (n,b n )、C n (n -1,0)(n ∈N *),满足向量1+n n A A 与向量n n C B 共线, 且点B n (n,b n ) (n ∈N *)都在斜率为6的同一条直线上. (1)试用a 1,b 1与n 来表示a n ; (2)设a 1=a ,b 1=-a ,且12

2022年高考数学总复习:等差数列及其前n项和

第 1 页 共 13 页 2022年高考数学总复习:等差数列及其前n 项和 1.等差数列的定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d 表示. 2.等差数列的通项公式 如果等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,那么它的通项公式是a n =a 1+(n -1)d . 3.等差中项 由三个数a ,A ,b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时,A 叫做a 与b 的等差中项. 4.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广:a n =a m +(n -m )d (n ,m ∈N *). (2)若{a n }为等差数列,且k +l =m +n (k ,l ,m ,n ∈N *),则a k +a l =a m +a n . (3)若{a n }是等差数列,公差为d ,则{a 2n }也是等差数列,公差为2d . (4)若{a n },{b n }是等差数列,则{pa n +qb n }也是等差数列. (5)若{a n }是等差数列,公差为d ,则a k ,a k +m ,a k +2m ,…(k ,m ∈N *)是公差为md 的等差数列. (6)数列S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…构成等差数列. 5.等差数列的前n 项和公式 设等差数列{a n }的公差为d ,其前n 项和S n =n (a 1+a n )2 或S n =na 1+n (n -1)2 d . 6.等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n =d 2 n 2+????a 1-d 2n . 数列{a n }是等差数列?S n =An 2+Bn (A ,B 为常数). 7.等差数列的前n 项和的最值 在等差数列{a n }中,a 1>0,d <0,则S n 存在最大值;若a 1<0,d >0,则S n 存在最小值. 知识拓展 等差数列的四种判断方法 (1)定义法:a n +1-a n =d (d 是常数)?{a n }是等差数列. (2)等差中项法:2a n +1=a n +a n +2 (n ∈N *)?{a n }是等差数列. (3)通项公式:a n =pn +q (p ,q 为常数)?{a n }是等差数列. (4)前n 项和公式:S n =An 2+Bn (A ,B 为常数)?{a n }是等差数列.

【高考数学专题突破】《专题三第讲数列求和及综合应用学案》(解析版)

第2讲 数列求和及综合应用 数列求和问题(综合型) [典型例题] 命题角度一 公式法求和 等差、等比数列的前n 项和 (1)等差数列:S n =na 1+ n (n -1)2 d (d 为公差)或S n =n (a 1+a n ) 2 . (2)等比数列:S n =???? ?na 1,q =1,a 1(1-q n )1-q =a 1-a n q 1-q ,q ≠1其中(q 为公比). 4类特殊数列的前n 项和 (1)1+2+3+…+n =1 2n (n +1). (2)1+3+5+…+(2n -1)=n 2 . (3)12+22+32+…+n 2 =16n (n +1)(2n +1). (4)13+23+33+…+n 3=14 n 2(n +1)2 . 已知数列{a n }满足a 1=1,a n +1=3a n 2a n +3 ,n ∈N * .

(1)求证:数列???? ?? 1a n 为等差数列; (2)设T 2n = 1 a 1a 2- 1 a 2a 3+ 1 a 3a 4- 1 a 4a 5 +…+ 1 a 2n -1a 2n - 1 a 2n a 2n +1 ,求T 2n . 【解】 (1)证明:由a n +1=3a n 2a n +3,得1a n +1=2a n +33a n =1a n +2 3 , 所以 1 a n +1-1a n =23. 又a 1=1,则1a 1=1,所以数列???? ??1a n 是首项为1,公差为2 3的等差数列. (2)设b n = 1 a 2n -1a 2n - 1 a 2n a 2n +1 =? ??? ?1a 2n -1-1a 2n +11a 2n , 由(1)得,数列???? ??1a n 是公差为2 3的等差数列, 所以 1 a 2n -1 - 1 a 2n +1=-43,即 b n =? ????1a 2n -1-1a 2n +11a 2n =-43×1a 2n , 所以b n +1-b n =-43? ????1a 2n +2-1a 2n =-43×43=-16 9. 又b 1=-43×1a 2=-43×? ????1a 1+23=-20 9 , 所以数列{b n }是首项为-209,公差为-16 9的等差数列, 所以T 2n =b 1+b 2+…+b n =- 209n +n (n -1)2×? ?? ??-169=-49(2n 2 +3n ). 求解此类题需过“三关”:第一关,定义关,即会利用等差数列或等比数列的定义,判断所给的数列是等差数列还是等比数列;第二关,应用关,即会应用等差(比)数列的前n 项和公式来求解,需掌握等差数列{a n }的前n 项和公式:S n = n (a 1+a n ) 2 或S n =na 1+ n (n -1) 2d ;等比数列{a n }的前n 项和公式:S n =?????na 1,q =1,a 1(1-q n )1-q ,q ≠1;第三关,运算关,认真运算,此类题将迎刃而解. 命题角度二 分组转化法求和 将一个数列分成若干个简单数列(如等差数列、等比数列、常数列等),然后分别求和.也可先根据通项公式的特征,将其分解为可以直接求和的一些数列的和,再分组求和,即把一个通项拆成几个通项求和的形式,方便求和. 已知等差数列{a n }的首项为a ,公差为d ,n ∈N * ,且不等式ax 2 -3x +2<0的解集为(1,

高考数学大题题型解答技巧

高考数学大题题型解答技巧 六月,有一份期待,年轻绘就畅想的星海,思想的热血随考卷涌动,灵魂的脉搏应分 数澎湃,扶犁黑土地上耕耘,总希冀有一眼金黄黄的未来。下面就是小编给大家带来 的高考数学大题题型解答技巧,希望大家喜欢! 高考数学大题必考题型(一) 排列组合篇 1.掌握分类计数原理与分步计数原理,并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。 2.理解排列的意义,掌握排列数计算公式,并能用它解决一些简单的应用问题。 3.理解组合的意义,掌握组合数计算公式和组合数的性质,并能用它们解决一些简单 的应用问题。 4.掌握二项式定理和二项展开式的性质,并能用它们计算和证明一些简单的问题。 5.了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义。 6.了解等可能性事件的概率的意义,会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件 的概率。 7.了解互斥事件、相互独立事件的意义,会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事 件的概率乘法公式计算一些事件的概率。 8.会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率. 立体几何篇 高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道,解答题1道),共计总分27分左右,考查的知识点在20个以内。选择填空题考核立几中的计算型问题,而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题,当然,二者均应以正确的空间想象为前提。随着新的 课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着“多一点思考,少一点计算”的发展。从 历年的考题变化看,以简单几何体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探求是 常考常新的热门话题。 知识整合 1.有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题,是在解决立体几何问题的过程中,大量的、反复遇到的,而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺 少的内容,因此在主体几何的总复习中,首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手,通过较为基本问题,熟悉公理、定理的内容和功能,通过对问题的分析与概括,掌握

全国卷数列高考题汇总附答案

数列专题 高考真题 (2014·I) 17. (本小题满分12分) 已知数列{}的前项和为,=1, , ,其中为常数. (Ⅰ)证明:; (Ⅱ)是否存在,使得{}为等差数列并说明理由. (2014·II) 17.(本小题满分12分) 已知数列 满足=1, . (Ⅰ)证明是等比数列,并求 的通项公式; (Ⅱ)证明: . (2015·I)(17)(本小题满分12分) 为数列的前项和.已知, (Ⅰ)求的通项公式: (Ⅱ)设 ,求数列 的前项和。 (2015·I I)(4)等比数列 满足 ,135a a a ++ =21,则357a a a ++= ( )

(A )21 (B )42 (C )63 (D )84 (2015·I I)(16)设n S 是数列{}n a 的前n 项和,且11a =-,11n n n a S S ++=,则n S =________. (2016·I)(3)已知等差数列 前9项的和为27, ,则 (A )100 (B )99 (C )98 (D )97 (2016·I)(15)设等比数列满足 的最大值为 __________。 (2016·II)(17)(本题满分12分) S n 为等差数列的前项和,且=1 ,=28 记 ,其中表示不超过的最大整数, 如 . (I )求,, ; (II )求数列的前1 000项和. (2016·III)(12)定义“规范01数列” 如下: 共有项,其中项为0,项为1,且对任意, 中0的个数不少于1的个数.若 ,则不同的“规范01数列”共有 (A )18个 (B )16个 (C )14个 (D )12个 (2016·III)(17)(本小题满分12分) 已知数列的前项和 ,其中 (I )证明是等比数列,并求其通项公式; (II )若 ,求. (2017·I)4.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=,648S =,则{}n a 的公差为 A .1 B .2 C .4 D .8 (2017·I)12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列

高考数学等差数列专题复习(专题训练) 百度文库

一、等差数列选择题 1.《张丘建算经》卷上第22题为:“今有女善织,日益功疾(注:从第2天开始,每天比前一天多织相同量的布),第一天织5尺布,现一月(按30天计)共织390尺”,则从第2天起每天比前一天多织( ) A . 1 2 尺布 B . 5 18 尺布 C . 16 31 尺布 D . 16 29 尺布 2.定义 12n n p p p ++ +为n 个正数12,, ,n p p p 的“均倒数”,若已知数列{}n a 的前 n 项的“均倒数”为 12n ,又2n n a b =,则 1223910 111 b b b b b b +++ =( ) A . 8 17 B . 1021 C . 1123 D . 919 3.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,3518a S +=,633a a =+,则n a =( ) A .1n - B .n C .21n - D .2n 4.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,则下列判断错误的是( ) A .S 5,S 10-S 5,S 15-S 10必成等差数列 B .S 2,S 4-S 2,S 6-S 4必成等差数列 C .S 5,S 10,S 15+S 10有可能是等差数列 D .S 2,S 4+S 2,S 6+S 4必成等差数列 5.等差数列{}n a 中,12318192024,78a a a a a a ++=-++=,则此数列的前20项和等于( ) A .160 B .180 C .200 D .220 6.已知数列{}n a 的前n 项和2 21n S n n =+-,则13525a a a a +++ +=( ) A .350 B .351 C .674 D .675 7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,10a <且11101921 a a =,则当n S 取最小值时,n 的值为( ) A .21 B .20 C .19 D .19或20 8.设a ,0b ≠,数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n n n S a b n =---?+,*n N ∈,则 存在数列{}n b 和{}n c 使得( ) A .n n n a b c =+,其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 B .n n n a b c =+,其中{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列 C .· n n n a b c =,其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D .· n n n a b c =,其中{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列 9.南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中,提出垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差不相等,但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别1,7,15,

最新高考数学数列题型专题汇总

1. 高考数学数列题型专题汇总 1 一、选择题 2 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和为n S ,且S S n n =∞ →lim .下列 3 条件中,使得()*∈q a (B )6.07.0,01-<<-q a (D )7.08.0,01-<<-

2. 4、如图,点列{A n },{B n }分别在某锐角的两边上,且 19 1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈*N , 20 1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ,(P Q P Q ≠表示点与不重合). 21 若1n n n n n n n d A B S A B B +=,为△的面积,则 22 23 A .{}n S 是等差数列 B .2{}n S 是等差数列 24 C .{}n d 是等差数列 D .2{}n d 是等差数列 25 【答案】A 26 27 28 29 30 二、填空题 31 1、已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和,若16a =,350a a +=,则 32 6=S _______.. 33 【答案】6 34 35 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成,n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 36

三年高考(2016-2018)数学(理)真题分类解析:专题14-与数列相关的综合问题

专题14 与数列相关的综合问题 考纲解读明方向 分析解读 1.会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和.2.能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题.3.数列递推关系、非等差、等比数列的求和是高考热点,特别是错位相减法和裂项相消法求和.分值约为12分,难度中等. 2018年高考全景展示 1.【2018年浙江卷】已知成等比数列,且 .若 , 则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析:先证不等式,再确定公比的取值范围,进而作出判断. 详解:令则 ,令 得,所以当时, ,当 时, ,因此 , 若公比 ,则 ,不合题意;若公比 ,则

但,即 ,不合题意;因此, ,选B. 点睛:构造函数对不等式进行放缩,进而限制参数取值范围,是一个有效方法.如 2.【2018年浙江卷】已知集合,.将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列.记为数列的前n项和,则使得成立的n的最小值为________. 【答案】27 【解析】分析:先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围,再列不等式求满足条件的项数的最小值. 点睛:本题采用分组转化法求和,将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型(如),符号型(如),周期型(如). 3.【2018年理数天津卷】设是等比数列,公比大于0,其前n项和为,是等差数列.已知,,,.

(I)求和的通项公式; (II)设数列的前n项和为, (i)求; (ii)证明. 【答案】(Ⅰ),;(Ⅱ)(i).(ii)证明见解析. 【解析】分析:(I)由题意得到关于q的方程,解方程可得,则.结合等差数列通项公式可得(II)(i)由(I),有,则. (ii)因为,裂项求和可得. 详解:(I)设等比数列的公比为q.由可得.因为,可得,故.设等差数列的公差为d,由,可得由,可得 从而故所以数列的通项公式为,数列的通项公式为 (II)(i)由(I),有,故 . (ii)因为, 所以. 点睛:本题主要考查数列通项公式的求解,数列求和的方法,数列中的指数裂项方法等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

2017高考模拟卷 数列专题一

2017全国模拟卷解析(数列汇总) 一、选择题 1、(徽.文)《九章算术》有这样一个问题:今有织女善织,日増等尺。七日织二十一尺,第二日、第五日、第八日所织之和为一十五尺,问第十日所织尺数为(D ) A 、6 B 、9 C 、12 D 、15 2、(广东.理)等比数列 {}n a 的前n 项和为n s ,若032=+s a ,则公比q=(A ) A 、-1 B 、1 C 、-2 D 、2 3、已知数列 {}n a 满足01 =a ,且1121+++=+n n n a a a ,则13a =(C ) A 、142 B 、156 C 、168 D 、195 (贵州.理) 解 析 : 由 1 121+++=+n n n a a a 可得 2 1)11(1++=++n n a a , 1111++=++n n a a ,且01=a 。 {}1+n a 是以1为首项公差为1的等差数列,求 得12-=n a n ,16813=a 4、在正项等比数列 {}n a 中,存在两项m a 、n a 使得 14a a a n m =,且 4562a a a +=,则 n m 4 1+的最小值是(A ) (贵州.文) A 、3/2 B 、2 C 、7/3 D 、25/6 解析:由4562a a a +=得44242a q a q a +=,解得q=2或q=-1(舍去),14a a a n m = 得4222=-+n m ,即m+n=6, 16 6=+n m 成立;所以 2 366426566465664141=?+≥++=??? ??+??? ??+=+m n n m m n n m n m n m n m 5、(河北.文)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n s ,且201 -=a 。在区间(3,5) 内任取一个数作为数列 {}n a 的公差,则n s 的最小值为6s 的概率为( D )

浙江专版2018年高考数学第1部分重点强化专题专题2数列突破点5数列求和及其综合应用教学案

突破点5 数列求和及其综合应用 (对应学生用书第19页) [核心知识提炼] 提炼1 a n 和S n 的关系 若a n 为数列{a n }的通项,S n 为其前n 项和,则有a n =??? ? ? S 1,n =1,S n -S n -1,n ≥2. 在使用这个关系 式时,一定要注意区分n =1,n ≥2两种情况,求出结果后,判断这两种情况能否整合在一起. 提炼2求数列通项常用的方法 (1)定义法:①形如a n +1=a n +c (c 为常数),直接利用定义判断其为等差数列.②形如 a n +1=ka n (k 为非零常数)且首项不为零,直接利用定义判断其为等比数列. (2)叠加法:形如a n +1=a n +f (n ),利用a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n -1),求其通项公式. (3)叠乘法:形如 a n +1a n =f (n )≠0,利用a n =a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n -1 ,求其通项公式. (4)待定系数法:形如a n +1=pa n +q (其中p ,q 均为常数,pq (p -1)≠0),先用待定系数法把原递推公式转化为a n +1-t =p (a n -t ),其中t =q 1-p ,再转化为等比数列求解. (5)构造法:形如a n +1=pa n +q n (其中p ,q 均为常数,pq (p -1)≠0),先在原递推公式两边同除以q n +1 ,得 a n +1q n +1=p q ·a n q n +1q ,构造新数列{ b n }? ? ???其中b n =a n q n ,得b n +1=p q ·b n +1q ,接下来用待定系数法求解. (6)取对数法:形如a n +1=pa m n (p >0,a n >0),先在原递推公式两边同时取对数,再利用待定系数法求解. 提炼3数列求和 数列求和的关键是分析其通项,数列的基本求和方法有公式法、裂(拆)项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法和并项法等,而裂项相消法,错位相减法是常用的两种方法. 提炼4数列的综合问题 数列综合问题的考查方式主要有三种: (1)判断数列问题中的一些不等关系,可以利用数列的单调性比较大小,或者是借助数列对应函数的单调性比较大小. (2)以数列为载体,考查不等式的恒成立问题,此类问题可转化为函数的最值问题.

高考理科数学试题汇编(含答案)数列大题

(重庆)22.(本小题满分12分,(1)小问4分,(2)小问8分) 在数列{}n a 中,()2 1113,0n n n n a a a a a n N λμ+++=++=∈ (1)若0,2,λμ==-求数列{}n a 的通项公式; (2)若()0 001,2,1,k N k k λμ+= ∈≥=-证明:01 0011 223121 k a k k ++<<+++ 【答案】(1)132n n a -=?;(2)证明见解析. 试题分析:(1)由02λμ==-,,有212,(n N )n n n a a a ++=∈

若存在某个0n N +∈,使得0n 0a =,则由上述递推公式易得0n 10a +=,重复上述过程可得 10a =,此与13a =矛盾,所以对任意N n +∈,0n a ≠. 从而12n n a a +=()N n +∈,即{}n a 是一个公比q 2=的等比数列. 故11132n n n a a q --==?. (2)由0 1 1k λμ= =-,,数列{}n a 的递推关系式变为 21101 0,n n n n a a a a k +++ -=变形为2101n n n a a a k +??+= ?? ?()N n +∈. 由上式及13a =,归纳可得 12130n n a a a a +=>>>>>>L L 因为22220010000 11111 1 11n n n n n n n a a k k a a k k k a a a k k +-+= = =-+? ++ +,所以对01,2n k =L 求和得() () 00011211k k k a a a a a a ++=+-++-L 01000010200000011111 111111112231313131 k a k k k k a k a k a k k k k k ??=-?+?+++ ? ?+++????>+?+++=+ ? ++++??L L 另一方面,由上已证的不等式知001212k k a a a a +>>>>>L 得 00110000102011111 111k k a a k k k k a k a k a +??=-?+?+++ ? ?+++?? L 0000011111 2221212121 k k k k k ??<+ ?+++=+ ?++++??L 综上:01001 12231 21 k a k k ++ <<+ ++ 考点:等比数列的通项公式,数列的递推公式,不等式的证明,放缩法.

高考数学二轮考点专题突破检测 数列专题

专题达标检测 一、选择题 1.在等差数列{a n }中,若a 2+2a 6+a 10=120,则a 3+a 9等于 ( ) A .30 B .40 C .60 D .80 解析:由等差数列性质:若m +n =p +q ,则a m +a n =a p +a q ,故a 2+2a 6+a 10=4a 6 =120,故a 6=30,a 3+a 9=2a 6=2×30=60. 答案:C 2.(2009·宁夏、海南理)等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且4a 1,2a 2,a 3成等差数列,若 a 1=1,则S 4等于 ( ) A .7 B .8 C .15 D .16 解析:设等比数列的公比为q ,则由4a 1,2a 2,a 3成等差数列.得4a 2=4a 1+a 3.∴4a 1q =4a 1+a 1q 2.∴q 2-4q +4=0 ∴q =2,∴S 4=a 1(1-q 4)1-q =15. 答案:C 3.等比数列{a n }中,a 1=512,公比q =-1 2,用Πn 表示它的前n 项之积:Πn =a 1·a 2·…·a n , 则Πn 中最大的是 ( ) A .Π11 B .Π10 C .Π9 D .Π8 解析:Πn =a 1a 2…a n =a n 1· q 1+2+… +n -1=29n ????-12(n -1)n 2=(-1)n (n -1)22-n 2 +19n 2 ,∴ 当 n =9时,Πn 最大.故选C 答案:C 4.设函数f (x )=x m +ax 的导函数f ′(x )=2x +1,则数列?? ?? ?? 1f (n )(n ∈N *)的前n 项和是( ) A.n n +1 B.n +2n +1 C.n n -1 D.n +1n 解析:∵f ′(x )=m x m -1+a =2x +1, ∴m =2,a =1, ∴f (x )=x 2+x =x (x +1),

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