学而思高中数学14-集合之间的关系

目1M嵯典例分析

题型一子集与真子集

【例1】下列四个命题：①={0};②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集?其中正确的有（）

A 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

【例2】用适当的符号填空

⑴{1}{x|x2 3x 2 0}

⑵{1,2}.2

{x|x 3x 2 0}

⑶{x|x2k, k N} {x|x 6 ,N}

⑷{x R|x2 2 0}

【例3】用适当的符号填空：

⑴—{0}

⑵ 2—{(1, 2)}

⑶ 0—{x|x2 2x 5 0}

⑷{3,5} ______ {x|x 8x 15 0}

⑸{3,5} _N

⑹{x|x 2n 1, n Z}___{ x|x 4k 1, k Z}

⑺{(2, 3)}—{(3, 2)}

【例4】若集合X {x |x 1}，下列关系式中成立的为( )

A. 0 X B . 0 X C . X D . 0 X

【例5】用适当的符号填空

⑴ 73 _____ x|x< 2 , 1,2 ________ x,y |y x 1

⑵昭45_________ x| x 2 J3 ,

1 3

⑶ x|— x, x R ____________ x|x 3 x 0

x

【例6】下列说法中，正确的是（

）

A. 任何一个集合必有两个子集；

B.

若AI B ,则A,B 中至少有一个为

C. 任何集合必有一个真子集；

D. 若S 为全集，且AI B S,则A B S

【例7】已知集合A {a, a d , a 2d}, B {a, aq , aq 2}，其中a 0，且A B ，则q 等于

关系的是（

范围.

【例 13】已知集合 A = {x | x 2-2x -8< 0, x €

F}，B = {x | x 2- (2 rn n 3)x +

n n - 3m< 0, x €

R ，m€ R}，全集为R,若A ?R B,则实数m 的取值范围是 _______________________

【例8】 设 A {x| 1 x 3}, B {x|x a}，若AWB ，则a 的取值范围是

【例9】 已知A {x 5} , B {x m 1 x 2m 1}, B A ，求m 的取值范围.

【例10】设集合A {x|x

討 Z}, B

{x|x n -,n

2

Z}，则下列图形能表示 A 与B

A B A .

1

B A

B .

"一B

C.

D.

【例11】 若集合M

{x|x 2

x 2 0},

T {x|mx 1 0}，且 M T .求实数m 的取值

【例12】 若集合M

x|x 2

x 6 0 , N x | ax 1 0，且 N M ，求实数a 的值.

【例14】已知集合A= xx2 ax a 0, x R, a R , Z=整数，全集为R,若

A Z R 0，则实数a的取值范围是

4

【例15】已知a, b均为实数，设数集A x a x a — , B

5

那么集合A B的“长度”的最小值是.

【例16】已知集合A={a, a+b, a+2b}，B={ a, ax,

ax2}.

题型二子集的列举与个数

【例17】集合｛1，2，3｝的真子集共有( )

A、5个B 、6个C、7个D 、8个

【例18】已知集合A ｛x| x sin — ,n Z｝，则集合A的真子集的个数3 为_____________ .

【例19】已知集合A=｛x | ax2+ 2x+ 1 = 0, a€ R, x€ R .

(1 )若A中只有一个元素，求a的值，并求出这个元素；

(2 )若A中至多只有一个元素，求a的取值范围.

【例20】求满足条件｛1, 2｝ A^｛1, 2, 3, 4, 5｝的集合A的个数

【例21】｛a, b, c｝ WA^｛a, b, c, d , e, f｝，求满足条件的A的个数.

【例22】集合｛a,b,c｝的所有子集是______ 真子集是________ ;非空真子集是，且A、

B都是集合x0 x 1的子集?如果把n m叫做集合x m x n的“长度”，

若A=B,求实数x的值.

【例23】同时满足｛1｝氏雇｛123,4,5 ｝，且A中所有元素之和为奇数的集合A的个数()

A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

n

【例24】3、设有限集合A ｛x| x Q,i n,i N , n N+｝，贝U a叫做集合A的和，记

i 1

作S A.若集合P ｛x|x 2n 1,n N ,n 4｝，集合P的含有3个元素的全体子

k

集分别为P、F2L、P k，贝y S p = __________ ?

【例25】求集合｛a, b｝的子集的个数，真子集的个数，非空真子集的个数，并推导出｛1, 2, 3, 4, 5, L , 100｝的子集和真子集的个数.

【例26】(2010湖南文数)15.若规定E=印弓2...印0的子集a^a^-.-.a^为E的第k 个子集，其中k=2k1 2k2 1 L 2kn 1，则

(1)a1,, a3是E的第________ 个子集；

(2)E的第211个子集是 ________

【例27】求集合M ｛1, 2, 3, L , 100｝的所有子集的元素之和的和(规定空集的元素和为

零) ?

【例28】(2006上海模拟)

设S为满足下列两个条件的实数所构成的集合：①1 S，②若a S，则

1

—S ?求解下列问题：

1 a

⑴若数列｛2 ( 1)n｝中的项都在S中，求S中所含元素个数最少的集合S ；

⑵S中所含元素个数一定是3n(n N )个吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由.

【例29】集合S=｛0，1，2，3, 4，5｝，A是S的一个子集，当x€ A时，若有x-1 A且x+1 A,则称x为A的一个“孤立元素"，写出S中所有无“孤立元素"的4元子集.