10-1-第五章-海流-第二节- 潮位特征值

潮汐类型

一、潮汐的类型 潮汐现象非常复杂。仅以海水涨落的高低来说,各地就很不一样。有的地方潮水几乎察觉不出,有的地方却高达几米。在我国台湾省基隆,涨潮时和落潮时的海面只差0.5米,而杭州湾的潮差竟达8.93米。在一个潮汐周期(约24小时50分钟,天文学上称一个太阴日,即月球连续两次经过上中天所需的时间)里,各地潮水涨落的次数、时刻、持续时间也均不相同。潮汐现象尽管很复杂,但大致说来不外三种基本类型。 半日潮型:一个太阴日内出现两次高潮和两次低潮,前一次高潮和低潮的潮差与后一次高潮和低潮的潮差大致相同,涨潮过程和落潮过程的时间也几乎相等(6小时12.5分)。我国渤海、东海、黄海的多数地点为半日潮型,如大沽、青岛、厦门等。 全日潮型:一个太阴日内只有一次高潮和一次低潮。如南海汕头、渤海秦皇岛等。南海的北部湾是世界上典型的全日潮海区。 混合潮型:一月内有些日子出现两次高潮和两次低潮,但两次高潮和低潮的潮差相差较大,涨潮过程和落潮过程的时间也不等;而另一些日子则出现一次高潮和一次低潮。我国南海多数地点属混合潮型。如榆林港,十五天出现全日潮,其余日子为不规则的半日潮,潮差较大。 从各地的潮汐观测曲线可以看出,无论是涨、落潮时,还是潮高、潮差都呈现出周期性的变化,根据潮汐涨落的周期和潮差的情况,可以把潮汐大体分为如下的4种类型: 正规半日潮:在一个太阴日(约24时50分)内,有两次高潮和两次低潮,从高潮到低潮和从低潮到高潮的潮差几乎相等,这类潮汐就叫做正规半日潮。 不正规半日潮:在一个朔望月中的大多数日子里,每个太阴日内一般可有两次高潮和两次低潮;但有少数日子(当月赤纬较大的时候),第二次高潮很小,半日潮特征就不显著,这类潮汐就叫做不正规半日潮。 正规日潮:在一个太阴日内只有一次高潮和一次低潮,像这样的一种潮汐就叫正规日潮,或称正规全日潮。 不正规日潮:这类潮汐在一个朔望月中的大多数日子里具有日潮型的特征,但有少数日子(当月赤纬接近零的时候)则具有半日潮的特征。 凡是一天之中两个潮的潮差不等,涨潮时和落潮时也不等,这种不规则现象称为潮汐的日不等现象。高潮中比较高的一个叫高高潮,比较低的叫低高潮;低潮中比较低的叫低低潮,比较高的叫高低潮。 不论那种潮汐类型,在农历每月初一、十五以后两三天内,各要发生一次潮差最大的大潮,那时潮水涨得最高,落得最低。在农历每月初八、二十三以后两三天内,各有一次潮差最小的小潮,届时潮水涨得不太高,落得也不太低。 二、潮汐要素 涨潮时潮位不断增高,达到一定的高度以后,潮位短时间内不涨也不退,称之为平潮,平潮的中间时刻称为高潮时。 平潮的持续时间各地有所不同,可从几分钟到几十分钟不等。平潮过后,潮位开始下降。 当潮位退到最低的时候,与平潮情况类似,也发生潮位不退不涨的现象,叫做停潮,其中间时刻为低潮时。 停潮过后潮位又开始上涨,如此周而复始地运动着。从低潮时到高潮时的时间间隔叫做涨潮时,从高潮时到低潮时的时间间隔则称为落潮时。

线性代数第五章(答案)

第五章 相似矩阵及二次型 一、 是非题(正确打√,错误打×) 1.若线性无关向量组r αα,,1 用施密特法正交化为r ββ,,1 则对任何),1(r k k ≤≤向量组k αα,,1 与向量组r ββ,,1 等价. ( √ ) 2. 若向量组r αα,,1 两两正交,则r αα,,1 线性无关. ( √ ) 3.n 阶正交阵A 的n 个行(列)向量构成向量空间n R 的一个规范正交基. ( √ ) 4.若A 和B 都是正交阵,则AB 也是正交阵. ( √ ) 5.若A 是正交阵, Ax y =,则x y =. ( √ ) 6.若112???=n n n n x x A ,则2是n n A ?的一个特征值. ( × ) 7.方阵A 的特征向量只能对应唯一的特征值,反之亦成立. ( × ) 8.n 阶矩阵A 在复数范围内有n 个不同的特征值. ( × ) 9. 矩阵A 有零特征值的充要条件是0=A . ( √ ) 10.若λ是A 的特征值,则)(λf 是)(A f 的特征值(其中)(λf 是λ的多项式). ( √ ) 11.设1λ和)(212λλλ≠是A 的特征值, 1x 和2x 为对应特征向量,则21x x +也是A 的特征向量. ( × ) 12. T A 与A 的特征值相同. ( √ ) 13.n 阶矩阵A 有n 个不同特征值是A 与对角矩阵相似的充分必要条件. ( × )

14.若有可逆矩阵P ,使n 阶矩阵A ,B 满足: B PAP =-1,则A 与B 有相同的特征值. ( √ ) 15.两个对角矩阵的对角元素相同,仅排列位置不同,则这两个对角矩阵相似. ( √ ) 16.设n 阶矩阵A ,B 均与对角阵相似且有相同的特征值,则A 与B 相似. ( √ ) 17.实对称矩阵A 的非零特征值的个数等于它的秩. ( √ ) 18. 若k ααα,,,21 线性无关且都是A 的特征向量,则将它们先正交化,再单位化后仍为A 的特征向量. ( √ ) 19.实对称阵A 与对角阵Λ相似Λ=-AP P 1,这里P 必须是正交阵 。 ( × ) 20.已知A 为n 阶矩阵,x 为n 维列向量,如果A 不对称,则Ax x T 不是二次型. ( √ ) 21.任一实对称矩阵合同于一对角矩阵。 ( √ ) 22.二次型 Ax x x x x f T n =),,,(21 在正交变换Py x =下一定化为 标准型. ( × ) 23.任给二次型 Ax x x x x f T n =),,,(21 ,总有正交变换Py x =,使f 化 为规范型。 ( × )

(完整版)线性代数第五章特征值、特征向量试题及答案

第五章 特征值和特征向量 一、特征值与特征向量 定义1:设A 是n 阶矩阵,λ为一个数,若存在非零向量α,使λαα=A ,则称数λ为矩阵A 的特征值,非零向量α为矩阵A 的对应于特征值λ的特征向量。 定义2:()E A f λλ-=,称为矩阵A 的特征多项式, )(λf =0E A λ-=, 称为矩阵A 的特征方程,特征方程的根称为矩阵A 的特征根 矩阵E A λ-称为矩阵A 的特征矩阵 齐次方程组(0)=-X E A λ称为矩阵A 的特征方程组。 性质1:对等式λαα=A 作恒等变形,得(0)=-αλE A ,于是特征向量α 是齐次方程组(0)=-X E A λ的非零解向量,由齐次线性方程组有非零解的充要条件知其系数行列式为零,即0=-E A λ,说明A 的特征值λ为 0E A λ-=的 根。 由此得到对特征向量和特征值的另一种认识: (1)λ是A 的特征值?0=-E A λ,即(λE -A )不可逆.(2)α是属于λ的特征向量?α是齐次方程组(0)=-X E A λ的非零解. 计算特征值和特征向量的具体步骤为: (1)计算A 的特征多项式, ()E A f λλ-=(2)求特征方程)(λf =0E A λ-=的全部根,他们就是A 的全 部特征值;(3)然后对每个特征值λ,求齐次方程组(0)=-X E A λ的非零解,即属于λ的特征向量. 性质2:n 阶矩阵A 的相异特征值m λλλΛΛ21,所对应的特征向量 21,ξξ……ξ线性无关 性质3:设λ1,λ2,…,λn 是A 的全体特征值,则从特征多项式的结构可得到: (1)λ1+λ2+…+λ n =tr(A )( A 的迹数,即主对角线上元素之和). (2)λ1λ2…λn =|A |. 性质4:如果λ是A 的特征值,则 (1)f(λ)是A 的多项式f(A )的特征值. (2)如果A 可逆,则1/λ是A -1的特征值; |A |/λ是A *的特征值. 即: 如果A 的特征值是λ1,λ2,…,λn ,则 (1)f(A )的特征值是f(λ1),f(λ2),…,f(λn ). (2)如果A 可逆,则A -1的特征值是1/λ1,1/λ2,…,1/λn ; 因为A AA =*, A *的特征值是|A |/λ1,|A |/λ2,…,|A |/λn . 性质5:如果α是A 的特征向量,特征值为λ,即λαα=A 则 (1)α也是A 的任何多项式f(A )的特征向量,特征值为f(λ); (2)如果A 可逆,则α也是A -1的特征向量,特征值为1/λ;α也是A *的特征向量,特征值为|A |/λ 。 1122 ,.m m A k kA a b aA bE A A A A A λλλλλλ-*??++????? ????是的特征值则:分别有特征值 α是A 关于λ的特征向量,则α也是上述多项式的特征向量。 推论:(1)对于数量矩阵λE ,任何非零向量都是它的特征向量,特征值都是λ. (2)上三角、下三角、对角矩阵的特征值即对角线上的各元素. (3)n 阶矩阵A 与他的转置矩阵T A 有相同的特征多项式,从而有相同的特征值,但是它们的特征向量可能不相同.

第五章 特征值与特征向量测试题

特征值与特征向量测试题 一、填空题:(每小题5分,共20分) 1、设B A ,均为3阶方阵,满足AB B I =+,且A 有特征值0,3,3-,则B 的特征值为 。 2、设A 为n 阶方阵,且0) (=+m I A ,m 为正整数,则=A 。 3、设B A ,均为n 阶方阵,且A 可逆,则AB 与BA 相似,这是因为存在可逆矩阵=P ,使得BA ABP P =-1。 4、若 ??? ? ? ??-111 是矩阵 ???? ? ??---2135212b a 的一个特征向量,则=a ,=b 。 二、选择题:(每小题5分,共20分) 1、若矩阵A 可逆,则A 的特征值( ) (A) 互不相等; (B) 全都相等; (C) 不全为零; (D) 全不为零。 2、已知A 是4阶矩阵,且2)3(=-A I r ,则3=λ是A 的( )特征值。 (A) 一重; (B) 二重; (C) 至少二重; (D) 至多二重。 3、n 阶方阵A 相似于对角阵的充分必要条件是( ) (A) A 有n 个互异的特征值; (B) A 有n 个互异的特征向量; (C) 对A 的每个i r 重特征值i λ,有i i r A I r =-)(λ; (D) 对A 的每个i r 重特征值i λ,有i r 个线性无关的特征向量。

4、下列矩阵中,不能与对角阵相似的是( ) (A) ??? ?? ??200110011; (B) ????? ??201010101; (C) ????? ??200110101; (D) ????? ??220010001。 三、解答题:(每小题20分,共60分) 1、判断矩阵 ??? ? ? ??-101121002 是否可对角化;若可以,试求出相应的可逆矩阵P 使得AP P 1-为对角矩阵。 2、设三阶实对称矩阵A 的特征值为1,1321==-=λλλ,对应于1λ的特征向 量为??? ? ? ??=1101ξ,求A 。 3、设B A ,均为n 阶方阵,且n B r A r <+)()(,证明B A ,有公共的特征向量。

潮汐简便计算法

潮汐简便计算法 人们通过长期的实践、观察,发现海水有规律的涨落,而涨落的时间和高度又有着周期性的变化,由此人们把这种海水涨落的现象叫潮汐。而随着海水的涨落、水位的升降,出现了海水的水平流动,这种海水流动的现象叫潮流。海水有周期性涨落规律,如在每日里出现两次大潮和两次小潮。通过长期实践、观察、发现每日的高潮大多出现在月亮的上、下中天(即过当地子午线时1前后。低潮时间则在月出月落前后,并且每日的高(低)潮时间逐日后程约48分钟,即每天晚48分钟(0.8小时)。每月的两次大潮是农历初一、十五附近几天,两次小潮是在农历的初七、八和甘二、廿三附近几天。人们还发现,潮汐现象同月亮、太阳、地球的相对运动有密切的关系。地球在一定轨道上绕太阳运转,月亮又在一定轨道上绕地球运转,它们之间有一定的吸引力和离心力,这种力就是产生潮汐现象的基本因素。但实际潮汐涨落的主要成因却是月球对地球(表层)的吸引力,其次是太阳对地球的吸引力,太阳的乍用较小,约为月球的2/5,因月球离 地球较近,故此月球的乍用较大。 据科学推测是:月球绕地球转,每一个月(29.5天多一点)转一圈,当月、日、地三者成一直线时,潮涨落的最大,这时是新月和望月(初一、十五)的时候,当日、月、地三者成直角三角形时潮涨落的最小,这是月上弦(初七、八)和下弦(廿二、廿三)的时候。但在实际上形成大潮和小潮的时间,并不正好是上述时间,因为地球形状很复杂,所以各地发生最大潮和最小潮的时间要比理论上拖后几天。如:山东半岛沿海每月的初三和十八潮的涨落最大,而初十和廿五前后潮的涨落又最小。由于地球本身的自转,使地球上某点与月球的相对位置随时发生变化,这种变化每天(太阳约24时48分)为一周期。每24时48分,发生两次高潮和两次低潮。由高潮到低潮约经过6时12分,由第一个高潮到第 二个高潮约经过12时24分。 潮汐的时间,在理论上应该与月球的上中天或下中天的时刻相符合,但实际上常常推迟。发生高潮和月球上中天相差的时间叫高潮间隙。但各地的高潮间隙又大不相同。如:威海是10时50分,烟台是10时25分,龙口是10时20分,足见地理位置的不同,而导致高潮间隙的差目。高潮时和低潮时的大概计算法:高潮时=(日差)0 8×(阴历日子)7-16(上半月-下半月-1,16)+高潮间隙,低潮时=高潮时-6时12分,如计算威海阴历初五的潮时如下:高潮时=0.8)×(5-1)+10:50′=3:12′+10:50′=14:02′(即为第二个高潮)14:02′-12:24′=1:38′(即为第一个高潮)低潮时=14:02′-6:12′=7:50′(即为第一个低潮)以上这样的算法固然)准确,但很繁琐,很难开口就说出来,我们经过多年的海上实践,验证,摸索出一种很有规律的简易计算法。其方法是阴历日子(上半月-3,下半月-18)x0.8,即为当日的高潮潮时。如计算威海阴历初五的潮时如下:高潮时=(5-3)×0.8=1:36′(即第一个高潮)。低潮时=1:36′+6:12′=7:48′(则则第一个低潮)。如计算威海阴历量五的潮时:高潮时=(25-18)×0.8=5:36′(则是第一个高潮)。低潮时=5:36′+6:12′=11:48′(则是第一个低潮)潮流也叫潮汐流,这是水位升降起伏的潮信现象,是由于海水受到引潮力的作用发生了水平流动后所导致的结果。因此潮流和潮汐一样具有周期性的变化规律,但海水流动受到地形条件的影响,故常呈现两种状态,一种是往复性,

线性代数第五章 课后习题及解答

第五章课后习题及解答 1. 求下列矩阵的特征值和特征向量: (1) ;1332??? ? ??-- 解:,0731332 2=--=--=-λλλλλA I 2 373,237321-=+=λλ ,00133637123712137 1??? ? ??→→???? ??=-++- A I λ 所以,0)(1=-x A I λ的基础解系为:.)371,6(T - 因此,A 的属于1λ的所有特征向量为:).0()371,6(11≠-k k T ,001336371237123712??? ? ??→→???? ??-=---+ A I λ 所以,0)(2=-x A I λ的基础解系为:.)371,6(T +

因此,A 的属于2λ的所有特征向量为:).0()371,6(22≠+k k T (2) ;211102113???? ? ??-- 解:2)2)(1(2 111211 3--==------=-λλλλ λλ A I 所以,特征值为:11=λ(单根),22=λ(二重根) ???? ? ??-→→????? ??------=-0001100011111121121 A I λ 所以,0)(1=-x A I λ的基础解系为:.)1,1,0(T 因此,A 的属于1λ的所有特征向量为:).0()1,1,0(11≠k k T ???? ? ??-→→????? ??-----=-0001000110111221112 A I λ 所以,0)(2=-x A I λ的基础解系为:.)0,1,1(T 因此,A 的属于2λ的所有特征向量为:).0()0,1,1(22≠k k T

潮汐观测作业指导书

潮汐观测作业指导书 1.观测点的选择 观测点应选择在与外海畅通,水流平稳,不易淤积,波浪影响较小的海域;应避开冲刷严重、易坍塌的海岸;在理论最低潮时,水深应大于1m;尽可能利用防波堤、码头、栈桥等海上建筑物。 2.验潮井的设置 验潮井是为观测潮汐而专门设置的建筑物。它的设计,特别是进水管道必须使井内与井外潮位差小于1cm,并具有良好的消波性能。验潮井的设置应详细记载和归档。 3.水准系统的设置与水准测量 3.1水准点的设置 观测站应在适当位置设置一个基本水准点和一至两个校核水准点。基本水准点是观测站永久性的高程控制点。校核水准点是用于引测和检查水尺零点、读数指针高程的水准点。 基本水准点和校核水准点分别按基本水准标石和普通水准标石的埋设方法埋设,并应采取严格的保护措施,使之不易受到破坏。水准标石埋设的技术设计、选点、埋设方法和要求按GB12898的规定执行,并详细记载和归档。

3.2水准点的水准测量要求 3.2.1基本水准点应按国家三等水准测量要求与国家水准高程系统连测。 3.2.2校核水准点应按国家三等水准测量要求与基本水准点连测。 3.2.3基本水准点与校核水准点启用后每年应复测一次; 两年后若没有发现高程变动,基本水准点每隔四年应复测一次,校核水准点每隔二年应复测一次。 3.2.4水准点的测量按GB 1 2 8 9 8 的有关规定执行,并将各次测量及复测情况详细记载和归档。 3.3潮高基准面的确定 3.3.1测站潮高基准面宜采用当地理论最低潮面,简称测站基面。 3.3.2在未确定潮高基准面的测站,可用开始观测时的第一根水尺零点处的水平面或设定的某一水平面临时作为潮高基准面。在观测一年后,使用所测资料通过推算,确定当地理论最低潮面作为测站潮高基准面 3.3.3测站基面一经确定不应轻易变动,测站基面的高程应记载和归档。 3.3.4 测站基面确定后,测站的潮高资料必须订正到测站基面上。 4.井内、井外水尺的设置

线性代数练习册第五章题目及答案(本)复习进程

第五章 相似矩阵与二次型 §5-1 方阵的特征值与特征向量 一、填空题 1.已知四阶方阵A 的特征值为0,1,1,2,则||A E λ-= 2(1)(2)λλλ-- 2.设0是矩阵??? ? ? ??=a 01020101A 的特征值,则=a 1 3.已知三阶方阵A 的特征值为1,-1,2,则2 32B A A =-的特征值为 1,5,8 ;||A = -2 ;A 的对角元之和为 2 . 4.若0是方阵A 的特征值,则A 不可逆。 5. A 是n 阶方阵,||A d =,则*AA 的特征值是,,,d d d ???(共n 个) 二、选择题 1.设1λ,2λ为n 阶矩阵A 的特征值,1ξ,2ξ分别是A 的属于特征值1λ,2λ的特征向量,则( D ) (A )当1λ=2λ时,1ξ,2ξ必成比例 (B )当1λ=2λ时,1ξ,2ξ必不成比例 (C )当1λ≠2λ时,1ξ,2ξ必成比例 (D )当1λ≠2λ时,1ξ,2ξ必不成比例 2.设a=2是可逆矩阵A 的一个特征值,则1 A -有一个特征值等于 ( C ) A 、2; B 、-2; C 、 12; D 、-1 2 ; 3.零为方阵A 的特征值是A 不可逆的( B ) A 、充分条件; B 、充要条件; C 、必要条件; D 、无关条件;

三、求下列矩阵的特征值和特征向量 1.1221A ?? = ??? 解:A 的特征多项式为12(3)(1)2 1A E λλλλλ --==-+- 故A 的特征值为123,1λλ==-. 当13λ=时,解方程()30A E x -=. 由221132200r A E --???? -= ? ?-???? : 得基础解系111p ?? = ??? ,故1(0)kp k ≠是13λ=的全部特征向量. 当21λ=-时,解方程()0A E x +=.由22112200r A E ???? += ? ????? : 得基础解系211p -?? = ??? ,故2(0)kP k ≠是21λ=-的全部特征向量. 2.100020012B ?? ?= ? ??? 解:B 的特征多项式为 2100020(1)(2)0 1 2B E λ λλλλλ --= -=--- 故B 的特征值为1231,2λλλ===. 当11λ=时,解方程()0B E x -=. 由000010010001011000r B E ???? ? ? -= ? ? ? ????? :

第五章 矩阵的特征值与特征向量 习题

第五章 矩阵的特征值与特征向量 习题 1. 试用施密特法把下列向量组正交化: (1)???? ? ??=931421111) , ,(321a a a ; (2)?????? ? ??---=011101110111) , ,(321a a a . 2. 设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵. 3. 求下列矩阵的特征值和特征向量: (1)???? ? ??----20133 5212; (2)???? ? ??633312321. 4. 设A 为n 阶矩阵, 证明A T 与A 的特征值相同. 5. 设λ≠0是m 阶矩阵A m ?n B n ?m 的特征值, 证明λ也是n 阶矩阵BA 的特征值. 6. 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, 3, 求|A 3-5A 2+7A |. 7. 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, -3, 求|A *+3A +2E |. 8. 设矩阵???? ? ??=50413102x A 可相似对角化, 求x . 9. 已知p =(1, 1, -1)T 是矩阵???? ? ??---=2135 212b a A 的一个特征向量.

(1)求参数a , b 及特征向量p 所对应的特征值; (2)问A 能不能相似对角化?并说明理由. 10. 试求一个正交的相似变换矩阵, 将对称阵???? ? ??----020212022化为对角阵. 11. 设矩阵????? ??------=12422421x A 与???? ? ??-=Λy 45相似, 求x , y ; 并求一个正交阵P , 使P -1AP =Λ. 12. 设3阶方阵A 的特征值为λ1=2, λ2=-2, λ3=1; 对应的特征向量依次为p 1=(0, 1, 1)T , p 2=(1, 1, 1)T , p 3=(1, 1, 0)T , 求A . 13. 设3阶对称矩阵A 的特征值λ1=6, λ2=3, λ3=3, 与特征值λ1=6对应的特征向量为p 1=(1, 1, 1)T , 求A . 14. 设???? ? ??-=340430241A , 求A 100.

12 特征值估计、广义特征值与极大极小原理

第十二讲 矩阵特征值估计 特征值计算较困难,希望找到简便的特征值界限或分布范围的估计方法。 一、 特征值界的估计 定理1. 设n n A R ?∈,λ为A 的任意特征值,则有 () Im M λ≤其中,ij ji 1i ,j n a a M m a x 2 ≤≤-= 证明:设x 为A 的属于特征值λ的单位特征向量,即A x x =λ, H x x 1=, 则 H x A x λ= → ( ) () H H H H H x A x x A x x A x λ== = () ()()H H H T 2jIm x A A x x A A x λ-λ=λ=-=- 将x 写成[] T 12n x ,,,=ξξξ ()()n n H T i ij ji j i 1 j 1 x A A x a a ==-=ξ-ξ∑∑ () ()()n n i ij ji j i 1j 1 n n i ij ji j i 1 j 1 2I m a a a a ====λ= ξ-ξ≤ ξ-ξ∑∑ ∑∑ n ' i j ij ji i ,j 1 a a == ξξ-∑ ('∑表示不含i =j ) n ' i j i ,j 1 2M =≤ξξ∑ () 2 n 2 2 ' i j i ,j 1 I m M =? ?λ≤ξξ ? ? ? ∑

() n 2 2 ' i j i ,j 1M n n 1=≤-ξξ∑ () n 2 2 2 ' i j i ,j 1M n n 1==-ξξ∑ n n n n n 2 2 2 2 4 2 4 ' i j i j i i i i ,j 1 i ,j 1 i 1 i 1 i 1 =====ξξ= ξξ- ξ≤ ξ- ξ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ( )n 2 2 i i i 11== ξ-ξ∑ 不妨写为: ( ) ( ) ( )n 2 222 2 2 1 1 2 2 i i i 3 111==ξ-ξ +ξ -ξ + ξ -ξ∑ ( )( )( )2 2 2 2 2 2 n 11 22 2 2 i i i 3 1112 2 =????ξ +-ξξ +-ξ ? ? ≤++ ξ-ξ ? ? ? ???? ? ∑ 12 ≤ 取等号的条件为2 2 1 2 12 ξ=ξ= ,但 2 x 1 =,所以其它2 i ξ= ∴ () Im M λ≤定理2. 设n n A R ?∈,λ为A 的任意特征值,则有 n λ≤ρ ()R e n λ≤τ () I m n s λ≤ 其中,ij 1i,j n m a x a ≤≤ρ =,ij ji 1i,j n m a x a a ≤≤τ =+,ij ji 1i,j n s m a x a a ≤≤=- 二、 盖尔圆法 定义:设() n n ij n n A a C ??= ∈,由方程 n ii i ij j 1 i j z a R a =≠-≤= ∑ 所确定的圆称 为A 的第i 个盖尔圆,i R 称为盖尔圆的半径。

线性代数第五章答案

第五章 相似矩阵及二次型 1. 试用施密特法把下列向量组正交化: (1)??? ? ??=931421111) , ,(321a a a ; 解 根据施密特正交化方法, ??? ? ??==11111a b , ??? ? ?? -=-=101] ,[],[1112122b b b a b a b , ? ?? ? ??-=--=12131],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b . (2)??? ? ? ??---=011101110111) , ,(321a a a . 解 根据施密特正交化方法, ??? ? ? ??-==110111a b , ? ???? ??-=-=123131],[],[1112122b b b a b a b , ? ??? ? ??-=--=433151],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b .

2. 下列矩阵是不是正交阵: (1)?????? ? ??-- -1 21312112131211; 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵. (2)???? ?? ? ??---- --979494949198949891. 解 该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵. 3. 设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵. 证明 因为 H T =(E -2xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(x T )T x T =E -2xx T , 所以H 是对称矩阵. 因为 H T H =HH =(E -2xx T )(E -2xx T ) =E -2xx T -2xx T +(2xx T )(2xx T ) =E -4xx T +4x (x T x )x T =E -4xx T +4xx T =E , 所以H 是正交矩阵. 4. 设A 与B 都是n 阶正交阵, 证明AB 也是正交阵. 证明 因为A , B 是n 阶正交阵, 故A -1=A T , B -1=B T , (AB )T (AB )=B T A T AB =B -1A -1AB =E ,

线性代数第五章作业参考答案(唐明)

第五章作业参考答案 5-2试证:()()()1231,1,0,2,1,3,3,1,2T T T ααα=-== 是3R 的一组基,并求向量()()125,0,7,9,8,13T T v v ==--- 在这组基之下的坐标。 证明:要证123,,ααα 线性无关,即证满足方程1122330k k k ααα++= 的123,,k k k 只能均是0.联立方程得 1231232 32300320k k k k k k k k ++=?? -++=??+=? 计算此方程系数的行列式123 1116003 2 -=-≠ 故该方程只有零解,即1230k k k ===,因此,123,,ααα 是3R 的一组基 设1v 在这组基下的坐标为()123,,x x x ,2v 在这组基下的坐标为()123,,y y y ,由已知得 ()()1111232 212323 3,,,,,x y v x v y x y αααααα???? ? ? == ? ? ? ? ???? 代入易解得112233233,312x y x y x y ???????? ? ? ? ?==- ? ? ? ? ? ? ? ?--????????即为1v ,2v 在这组基下的坐标。 5-5设()()()1,2,1,1,2,3,1,1,1,1,2,2T T T αβγ=-=-=--- ,求: (1 ),,,αβαγ 及,,αβγ 的范数;(2)与,,αβγ 都正交的所有向量。 解(1 ),1223111(1)6αβ=?+?-?+?-= ()()(),112112 121 αγ=?-+?--?-+?= α= = β== γ= = (2)设与,,αβγ 都正交的向量为()1234,,,T x x x x x =,则 123412341234,20 ,230,220x x x x x x x x x x x x x x x αβγ?=+-+=??=++-=??=---+=?? 解得1 43243334 4 5533x x x x x x x x x x =-?? =-+?? =??=? 令340,1x x ==得()()1234,,,5,3,0,1x x x x =- 令341,0x x ==得()()1234,,,5,3,1,0x x x x =-

《多元统计分析》第五章 主成分分析

《多元统计分析》MOOC 5.1 引言 王学民

例1(书中习题7.6)下表给出的是美国50个州每100 000个人中七种犯罪的比率数据。这七种犯罪是: 杀人罪(x 1)夜盗罪(x 5 ) 强奸罪(x 2)盗窃罪(x 6 ) 抢劫罪(x 3)汽车犯罪(x 7 ) 伤害罪(x 4 ) 希望对50个州的这些犯罪情况进行(整体的)比较分析。

州杀人罪强奸罪抢劫罪伤害罪夜盗罪盗窃罪汽车犯罪Alabama14.225.296.8278.31135.51881.9280.7 Alaska10.851.696.82841331.73369.8753.3 Arizona9.534.2138.2312.32346.14467.4439.5 Arkansas8.827.683.2203.4972.61862.1183.4 California11.549.42873582139.43499.8663.5 Colorado 6.342170.7292.91935.23903.2477.1 Connecticut 4.216.8129.5131.813462620.7593.2 Delaware624.9157194.21682.63678.4467 Florida10.239.6187.9449.11859.93840.5351.4 Georgia11.731.1140.5256.51351.12170.2297.9 Hawaii7.225.512864.11911.53920.4489.4 Idaho 5.519.439.6172.51050.82599.6237.6 Illinois9.921.8211.320910852828.5528.6 Indiana7.426.5123.2153.51086.22498.7377.4 Iowa 2.310.641.289.8812.52685.1219.9 Kansas 6.622100.7180.51270.42739.3244.3┆┆┆┆┆┆┆┆

线性代数第五章特征值与特征向量自测题

第五章《特征值与特征向量》自测题(100分钟) 一、填空题:(共18分,每小题3分) 1、设三阶矩阵A 的特征值为-1,1,2,则A -1的特征值为( );A *的特征值为 ( );(3E +A )的特征值为( )。 2、设三阶矩阵A =0,则A 的全部特征向量为( )。 3、若A ~E ,则A =( )。 4、已知A =??????????x 10100002与=B ???? ??????-10000002y 相似,则x =( ),y =( )。 5、设三阶实对称矩阵A 的特征值是1,2,3,矩阵A 的属于特征值1,2的特征向量分别是 1(1,1,1)T α=-,T )1,2,1(2---=α,则A 的属于特征值3的特征向量是( )。 6、设n 阶方阵A 有n 个特征值分别为2,3,4,…,n ,n +1,且方阵B 与A 相似,则 |B-E |=______________ 二、选择题(共18分,每小题3分) 1、已知三阶矩阵A 的特征值是0,-2,2,则下列结论中不正确的是 (A ) 矩阵A 是不可逆矩阵 (B ) 矩阵A 的主对角线元素之和为0 (C ) 特征值2和-2所对应的特征向量是正交的 (D ) AX =0的基础解系由一个向量组成 2、矩阵A ??????????=300 030000与矩阵( )相似。 (A )??????????000030300; (B )??????????300130010; (C )??????????300000003; (D )???? ??????310031000 3、下述结论正确的有( )。 (A )n 阶矩阵A 可对角化的充分必要条件是A 有n 个互不相同的特征值; (B )n 阶矩阵A 可对角化的必要条件是A 有n 个互不相同的特征值; (C )有相同特征值的两个矩阵一定相似; (D )相似的矩阵一定有相同的特征值。 4、下述结论正确的有( ),其中A 为n 阶矩阵。 (A )方程0)(0=-x A E λ的每一个解向量都是对应于特征值0λ的特征向量; (B )若21,αα为方程0)(0=-x A E λ的一个基础解系,则2211ααC C +(21,C C 为非 零常数)是A 的属于特征值0λ的全部的特征向量;

线性代数学习指导第五章矩阵的特征值与特征向量

第五章 矩阵的特征值与特征向量 一.内容提要 1 . 特征值和特征向量 定义1 设() ij n n A a ?=是数域P 上的n 阶矩阵,若对于数域P 中的数λ,存在数域P 上 的非零n 维列向量X ,使得 X AX λ= 则称λ为矩阵A 的特征值,称X 为矩阵A 属于(或对应于)特征值λ的特征向量 注意:1)() ij n n A a ?=是方阵; 2)特征向量 X 是非零列向量; 3)方阵 () ij n n A a ?= 与特征值 λ 对应的特征向量不唯一 4)一个特征向量只能属于一个特征值. 2.特征值和特征向量的计算 计算矩阵A 的特征值与特征向量的步骤为: (1) 计算n 阶矩阵A 的特征多项式|λE -A |; (2) 求出特征方程|λE -A |=0的全部根,它们就是矩阵A 的全部特征值; (3) 设λ1 ,λ2 ,… ,λs 是A 的全部互异特征值。 对于每一个λi ,解齐次线性方程组()i E A X λ-=0,求出它的一个基础解系,该基础解系的向量就是A 属于特征值λi 的线性无关的特征向量,方程组的全体非零解向量就是A 属于特征值λi 的全体特征向量. 3. 特征值和特征向量的性质 性质1 (1)若X 是矩阵A 属于特征值λ的特征向量,则kX (0k ≠)也是A 属于λ的特 征向量; (2)若12,, ,s X X X 是矩阵A 属于特征值λ的特征向量,则它们的非零线性组合 1122s s k X k X k X +++也是A 属于λ的特征向量; (3)若A 是可逆矩阵,λ是A 的一个特征值,则 λ 1是A — 1的一个特征值,λ||A 是 A *的一个特征值; (4)设λ是n 阶矩阵A 的一个特征值,f (x )= a m x m + a m-1x m -1 + … + a 1x + a 0 为一个多项式,则()f λ是f (A )的一个特征值。 性质2(1) nn n a a a +???++=+???++221121λλλ (2) || 21A n =???λλλ

并行计算-矩阵特征值计算 -

9 矩阵特征值计算 在实际的工程计算中,经常会遇到求n 阶方阵 A 的特征值(Eigenvalue)与特征向量(Eigenvector)的问题。对于一个方阵A,如果数值λ使方程组 Ax=λx 即(A-λI n )x=0 有非零解向量(Solution Vector)x,则称λ为方阵A的特征值,而非零向量x为特征值λ所对应的特征向量,其中I n 为n阶单位矩阵。 由于根据定义直接求矩阵特征值的过程比较复杂,因此在实际计算中,往往采取一些数值方法。本章主要介绍求一般方阵绝对值最大的特征值的乘幂(Power)法、求对称方阵特征值的雅可比法和单侧旋转(One-side Rotation)法以及求一般矩阵全部特征值的QR 方法及一些相关的并行算法。 1.1 求解矩阵最大特征值的乘幂法 1.1.1 乘幂法及其串行算法 在许多实际问题中,只需要计算绝对值最大的特征值,而并不需要求矩阵的全部特征值。乘幂法是一种求矩阵绝对值最大的特征值的方法。记实方阵A的n个特征值为λi i=(1,2, …,n),且满足: │λ1 │≥│λ2 │≥│λ3 │≥…≥│λn │ 特征值λi 对应的特征向量为x i 。乘幂法的做法是:①取n维非零向量v0 作为初始向量;②对于 k=1,2, …,做如下迭代: 直至u k+1 ∞ - u k u k =Av k-1 v k = u k /║u k ║∞ <ε为止,这时v k+1 就是A的绝对值最大的特征值λ1 所对应的特征向∞ 量x1 。若v k-1 与v k 的各个分量同号且成比例,则λ1 =║u k ║∞;若v k-1 与v k 的各个分量异号且成比例,则λ1 = -║u k ║∞。若各取一次乘法和加法运算时间、一次除法运算时间、一次比较运算时间为一个单位时间,则因为一轮计算要做一次矩阵向量相乘、一次求最大元操作和一次规格化操作,所以下述乘幂法串行算法21.1 的一轮计算时间为n2+2n=O(n2 )。 算法21.1 单处理器上乘幂法求解矩阵最大特征值的算法 输入:系数矩阵A n×n ,初始向量v n×1 ,ε 输出:最大的特征值m ax Begin while (│diff│>ε) do (1)for i=1 to n do (1.1)sum=0 (1.2)for j= 1 to n do sum=sum+a[i,j]*x[j] end for

水深测量中多站潮位的数据处理程序设计

水深测量中多站潮位的数据处理程序设计 1 前言 在沿海工程的施工测量工作中,潮位的控制及改正是非常重要的环节。以往采用传统的人工分带进行潮位改正,不但计算方法繁琐,工作量大,费时费力,处理精度也较低,严重限制了成图工期,影响作业进度,最新的HYPACK MAX软件进行潮位处理技术也只能同时处 理最多三个潮位站且只能为同一天的数据,现有的潮位处理技术已不能适应测绘技术发展的需求。为提高水深测量数据处理的自动化程度,减少测绘人员工作量,加快出图速度,本文结合实际生产的工程实例进行了软件的开发,针对潮位改正中的潮位插值计算方法、潮位分区区域的划分等几个方面进行了探讨,并编制出相应软件,使之能适应各种复杂的测区潮位控制情况,操作方便,处理结果可靠,具有重要的实用价值。 2 潮位数据处理方法 在进行多站潮位内插改正时,不论图解还是由软件自动改正都必须遵循如下的潮位分带假设。假定潮位站间潮波以一定速度匀速传播,潮波整个潮波匀速传播意味着相邻站潮波周期相似,潮高相关。也就是潮位站间的潮位的潮时、潮高变化与其距离成比例。 软件实现多站潮位内插改正的原理:采用现有的计算机技术,借助AUTO CAD平台,通过潮位记录文件绘制各站潮位过程曲线,使用 水深原始记录文件中水深定位点的时间,在图上内插各潮位站潮位,使用水深定位点的位置信息,不再沿用传统潮位每0.1m为一分带的

潮位分带方法,消除了传统的分带改正方法存在潮位人工分带的人为造成的水位台阶式跳跃,而与实际潮位面是一个连续的曲面情况不相符的情况。在CAD平面图中,根据水深点与潮位站的几何关系,根据潮位站分布、潮位改正方案划分测区分区,内插瞬时潮位,此方法较以往通过数学计算内插法相比,克服潮位改正不直观,准备数据复杂,不容易发现错误的弱点。 2.1单站潮位改正方法 在单站潮位站能够控制的测区范围内,在Auto CAD中,以潮高为纵轴,时间为横轴,绘制该站的潮位过程曲线,根据水深原始文件中的水深点的时间,在潮位过程曲线上内插潮位值,将每点的潮位数据添加到水深原始文件中。 2.2 双站潮位改正方法 在双站潮位能够控制测区水位的范围内,进行线型内插潮位。 图1 潮位站与测点关系图 图1中a、b是水深点D在潮波传播路径(图中红线)上投影长度,线段长度是潮位计算的重要数据;如果没有潮波传播路径,程序将两站连线自动作为潮波传播路径。 要获取水深点D的实时改正潮位,可根据水深定位点的位置、时间,利用软件在CAD中绘制的潮位曲线上进行潮位内插实时潮位,

潮汐自动观测系统技术参数

潮汐自动观测系统技术参数 1、仪器设备名称: 潮汐自动观测系统 2、技术指标: ★潮汐自动观测系统要求与国家海洋局宁波海洋环境监测中心站现有的水文气象自动观测系统完全兼容;环境性能符合海洋行业标准《海洋仪器基本环境试验方法》(HY016—1992);数据记录及传输格式符合GB/T14914—2004《海滨观测规范》的规定。 配置要求: (1)水文数据采集器(浮子式水位计): 1.1测量范围:水位(0~1000)cm; 1.2准确度:水位±1cm; 1.3数据传输:可通过RS485、RS232、GSM或GPRS/CDMA等方式传输数据; 1.4工作方式:连续工作; 1.5工作温度:(-10~45) ℃; 1.6供电电源:DC12V; 1.7必须提供检定证书。 (2)温盐传感器: 2.1温度测量范围:-5~45℃;精度:±0.01℃(0~35℃);

2.2盐度测量范围:2~70mS/cm,精度:±0.01mS/cm(2~65mS/cm); 2.3电源电压:12V DC;工作电流≤60mA; 2.4使用水深: ≥50m; 2.5信号输出RS232接口; 2.6信号电缆:五芯水密电缆线。 2.7 要求传感器为国产。 2.8必须提供检定证书。 (3)数据接收机 3.1处理器:Intel I5-9500 3.2内存:8G 3.3存储:1T硬盘 3.4鼠标键盘:罗技光电键盘、鼠标套装 3.5显示器: 19寸液晶显示器 (4)多功能通讯控制箱 4.1实现前端采集器与数据处理计算机之间的网络、3G双通讯,预留第三种通讯(北斗)接口。 4.2单独直流供电(9-28V)。 (5)相关配件 码盘、电源供电系统、相关配件应与国家海洋局宁波海洋环境监测中心站现有型号的水文气象自动观测系统完全兼容。 3、数量(台/套) 如上,见表格。 4、到货地点: 浙江省宁波市象山县丹河东路878号水利和渔业局 收货人:包希伟 安装地点等具体事宜由采购方指定。 5、到货时间: 交货期:合同生效后30天内到货。 安装时间:合同生效后45天以内完成安装。 资金结算:合同生效后,全部设备到货由供应商负责安装调试正常后,经采购方组织现场验收,确认合格后采购方向供货商支付合同款95%的货款,质保期满后付清5%余款。 6、售后服务: (1)保修维修:卖方须对所提供的设备提供至少12个月的质保期,时间从设备验收合格、买方接受使用之日算起。并提供终身免费技术支持,如有必要,须提供现场免费维护和维修,零部件更换费用由买方承担。质保期内的工作应包括终身免费技术支持以及必要的设备免费维修和保养等工作,卖方须负责修理和替换任何由于设备自身的质量问题造成的损坏及故障,所发生的费用由卖方承担。具体的内容须在投标时说明。 (2)安装调试:由卖方派人负责完成自动观测系统的安装、调试,安装地点由买方指

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