2009年全国高中数学联合竞赛一试试题及答案

2009年全国高中数学联合竞赛一试

试题参考答案及评分标准

说明：

1．评阅试卷时，请依据本评分标准，填空题只设7分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．

2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中至少4分为一个档次，不要增加其他中间档次． 一、填空（共8小题，每小题7分，共56分）

1． 若函数()f x =且()()()n n

f x f f f f x ??=?????? ，则()()991f = ． 【答案】 1

10

【解析】 ()()()1

f x f x ==

， (

)

()()2f x f f x ==

????

……

(

)

()99f x =

．

故()()991

110f =．

2． 已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，

C 为圆M 上两点，在ABC ?中，45BAC ∠=?，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为 ．

【答案】 []36， 【解析】 设()9A a a -，，则圆心M 到直线AC 的距离sin 45d AM =?，由直线AC 与圆M 相

交，得d 解得36a ≤≤．

3． 在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y x y x ??

??-?

≥≤≤，N 是随t 变化的区域，它由

不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ．

【答案】 212

t t -++

【解析】 由题意知

()f t S =阴影部分面积 A O B O C D B

S S S ???=-- ()2

2111122

t t =---

212

t t =-++

4． 使不等式

1111200712213

a n n n +++<-+++ 对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为 ． 【答案】

2009 【解析】 设()111

1221

f n n n n =+++

+++ ．显然()f n 单调递减，则由()f n 的最大值()1

120073

f a <-，可得2009a =．

5． 椭圆22

221x y a b

+=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，则乘积OP OQ ?的

最小值为 ． 【答案】 22

22

2a b a b +

【解析】 设()cos sin P OP OP θθ，， ππcos sin 22Q OQ OQ θθ?????

?±± ? ? ??????

?，．

由P ，Q 在椭圆上，有

2222

21

cos sin a b OP θθ

=+ ① 222

221

sin cos a b OQ θθ

=+ ② ①+②得

22

221111

a b OP OQ

+=+．

于是当OP OQ =时，OP OQ 达到最小值22

22

2a b a b +．

6． 若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是 ． 【答案】

0k <或4k = 【解析】 ()

2010

1kx x kx x ?>??

+>??=+?? 当且仅当 0kx > ① 10x +> ② ()2210x k x +-+=

③

对③由求根公式得

1x

，21

22x k ?=-? ④

2400k k k ?=-?≥≤或4k ≥．

(ⅰ)当0k <时，由③得 1212

20

10x x k x x +=-

=>? 所以1x ，2x 同为负根． 又由④知12

1010x x +>??+

所以原方程有一个解1x ．

(ⅱ)当4k =时，原方程有一个解112

k

x =

-=． (ⅲ)当4k >时，由③得121220

10x x k x x +=->??=>?

所以1x ，2x 同为正根，且12x x ≠，不合题意，舍去． 综上可得0k <或4k =为所求．

7． 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个

数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示） 【答案】

981012? 【解析】 易知：

(ⅰ)该数表共有100行； (ⅱ)每一行构成一个等差数列，且公差依次为

11d =，22d =，232d =，…，98992d =

(ⅲ)100a 为所求．

设第()2n n ≥行的第一个数为n a ，则 ()

22111222n n n n n n a a a a -----=++=+

32

22222n n n a ---??=++??

2422

3222222n n n n a ----??=++?+??

323232n n a --=+?

……

()121212n n a n --=+-?

()212n n -=+

故981001012a =?．

8． 某车站每天8

00~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随

一旅客820∶到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）．

【答案】 27 【解析】 旅

候车时间的数学期望为

11111

10305070902723361218

?+?+?+?+?=

二、解答题

1． （本小题满分14分）设直线:l y kx m =+（其中k ，m 为整数）与椭圆22

1

1612

x y +=交于不同两点A ，B ，与双曲线22

1412

x y -=交于不同两点C ，D ，问是否存在直

线l ，使得向量0AC BD +=

，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由． 【解析】 由2211612

y kx m x y =+??

?+=?

?消去y 化简整理得

()2

2

23484480k x

kmx m +++-=

设()11A x y ，，()22B x y ，，则122

834km

x x k +=-

+

()()()2

22184344480

km k m ?=-+->

① ………………………………………………4分 由221412

y kx m x y =+??

?-=?

?消去y 化简整理得

()2

2

232120k x

kmx m ----=

设()34C x y ，，()44D x y ，，则342

23km

x x k +=

- ()()()2

222243120

km k m ?=-+-+>

② ………………………………………………8分

因为0AC BD +=

，所以()()42310x x x x -+-=，此时()()42310y y y y -+-=．由1234x x

x x +=

+得

22

82343km km

k k -

=

+-． 所以20km =或22

41

343k k -=

+-

．由上式解得0k =或0

m =．当0k =时，由①和②得m -<．因m 是整数，所以m 的值为3-，2-，1-，0，1，2，3．当0m =，由①和②得k k 是整数，所以1k =-，0，1．于是满足条件的直线共有9条．………14分

2． （本小题15分）已知p ，()0q q ≠是实数，方程20x px q -+=有两个实根α，β，

数列{}n a 满足1a p =，22a p q =-，()1234n n n a pa qa n --=-= ，

， (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式（用α，β表示）；

(Ⅱ)若1p =，1

4

q =，求{}n a 的前n 项和．

【解析】 方法一：

(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ?=≠，又p αβ+=，所以

()1212n n n n n a px qx a a αβαβ------=+-，()345n = ，，，

整理得()112n n n n a a a a βαβ----=-

令1n n n b a a β+=-，则()112n n b b n α+== ，，．所以{}n b 是公比为α的等比数列． 数列{}n b 的首项为：

()()2

22121b a a p q p ββαβαββαβα=-=--=+--+=．

所以21

n n n b ααα-+

=?=，即11n n n a a βα++-=()12n = ，

，．所以

11n n n a a βα++=+()12n = ，

，． ①当240p q ?=-=时

，

0αβ=≠，

12a p ααα

==+=，

11n n n a a βα++=+()12n = ，

，变为11n n n a a αα++=+()12n = ，，．整理得，1

1

1n n

n n

a a αα++-=，()12n = ，，．所以，数列n n a α??

????

成公差为1的等差数列，其首项为122a α

αα

==．所以

()2111n

n

a n n α=+-=+．

于是数列{}n a 的通项公式为

()1n n a n α=+；……………………………………………………………………………5分 ②当240p q ?=->时，αβ≠，

11n n n a a βα++=+

1

n n a βαβαβα+-=+-

11n n n a βα

βααβαβα

++=+---()12n = ，，．

整理得

211n n n n a a ααββαβα+++??

+=+ ?--??

，()12n = ，

，． 所以，数列1n n a αβα+??

+??-??

成公比为β的等比数列，其首项为

2221a ααβαββαβαβα+=++=---．所以12

1n n n a αβββαβα+-+

=--． 于是数列{}

n a 的通项公式为

11n n n a βαβα

++-=-．………………………………………………10分

(Ⅱ)若1p =，14q =，则240p q ?=-=，此时1

2

αβ==．由第(Ⅰ)步的结果得，数

列{}n a 的通项公式为()11

122n

n n n a n +??=+= ???

，所以，{}n a 的前n 项和为

231234122222n n n n n s -+=+++++

2341

12341

222222n n n n s n ++=+++++

以上两式相减，整理得1133

222

n n n s ++=-

所以

3

32

n n n s +=-．………………………………………………………………………

……15分 方法二： (Ⅰ)由韦达定理知0q αβ?=≠，又p αβ+=，所以

1a αβ=+，222a αβαβ=++．

特征方程20p q λλ-+=的两个根为α，β．

①当0αβ=≠时，通项()()1212n n a A A n n α=+= ，，由12a α=，223a α=得

()()1222

12223A A A A αα

αα+=???+=?? 解得

121

A A ==．故

()1n n a n α=+．……………………………………………………5分

②当αβ≠时，通项()1212n n n a A A n αβ=+= ，，．由1a αβ=+，222a αβαβ=++得

122222

12

A A A A αβαβαβαβαβ+=+???+=++?? 解得1A αβα-=-，2A β

βα=-．故

1111

n n n n n a αββαβαβαβα

++++--=+=---．…………………………………………………

………10分 (Ⅱ)同方法一．

3． （本小题满分15

分）求函数y = 【解析】 函数的定义域为[]013，

.因为

y =

= 当0x =时等号成立

．故y 的最

小值为

．……………………………………………5分

又由柯西不等式得

2

2y =

()()()1

112273131212

3x x x ??+++++-= ???≤

所以

11y ≤． ………………………………………………………………………………10分

由柯西不等式等号成立的条件，得()491327x x x =-=+，解得9x =．故当9x =时等号成立．因此y 的最大值为11．………………………………………………

2009年全国高中数学联合竞赛加试 试题参考答案及评分标准（A 卷）

说明：

1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．

2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次． 一、填空（共4小题，每小题50分，共200分）

9． 如图，M ，N 分别为锐角三角形ABC ?（A B ∠<∠）的外接圆Γ上弧 BC

、 AC 的中点．过点C 作PC MN ∥交圆Γ于P 点，I 为ABC ?的内心，连接PI 并延长交圆Γ于T ．

⑴求证：MP MT NP NT ?=?；

⑵在弧

AB （不含点C ）上任取一点Q （Q A ≠，T ，B ），记AQC ?，QCB △的内心分别为1I ，2I ，

B

求证：Q ，1I ，2I ，T 四点共圆．

【解析】 ⑴连NI ，MI ．由于PC MN ∥，P ，C ，M ，N 共圆，故PCMN 是等腰梯形．因

此NP MC =，PM NC =．

A

B

C

M

N

P

T

I

连AM ，CI ，则AM 与CI 交于I ，因为

MIC MAC ACI MCB BCI MCI ∠=∠+∠=∠+∠=∠， 所以MC MI =．同理 NC NI =．

于是

NP MI =，PM NI =．

故四边形MPNI 为平行四边形．因此PMT PNT S S =△△（同底，等高）． 又P ，N ，T ，M 四点共圆，故180TNP PMT ∠+∠=?，由三角形面积公式

1

sin 2

PMT S PM MT PMT =?∠△

1

s i n 2

PNT S PN NT PNT ==?∠△

1

s i n 2

P N N T P M

T =?∠ 于是PM MT PN NT ?=?． ⑵因为1111NCI NCA ACI NQC QCI CI N ∠=∠+∠=∠+∠=∠，

B

所以1NC NI =，同理2MC MI =．由MP MT NP NT ?=?得NT MT

MP NP

=

． 由⑴所证MP NC =，NP MC =，故 12

NT MT

NI MI =． 又因

12I NT QNT QMT I MT ∠=∠=∠=∠， 有

12I NT I MT ??∽． 故12NTI MTI ∠=∠，从而

1212I QI NQM NTM I TI ∠=∠=∠=∠．

因此Q ，1I ，2I ，T 四点共圆． 10． 求证不等式：

2111ln 12n k k n k =??

-<- ?+??

∑≤，1n =，2，… 【解析】 证明：首先证明一个不等式：

⑴ln(1)1x x x x

<+<+，0x >． 事实上，令

()ln(1)h x x x =-+，()ln(1)1x

g x x x

=+-+．

则对0x >，

1

()101h x x

'=->+，2

211()01(1)(1)x g x x x x '=-=>+++． 于是

()(0)0h x h >=，()(0)0g x g >=．

在⑴中取1x n

=

得 ⑵111ln 11n n n

??<+< ?+??． 令2

1ln 1n

n k k x n k ==-+∑，则11

2x =， 121ln 111n n n x x n n -?

?-=

-+ ?+-?? 21

1n n n

<-+

2

1

0(1)n n

=-<+ 因此1112

n n x x x -<<<= ． 又因为

1

1

1ln (ln ln(1))(ln(1)ln(2))(ln 2ln1)ln1ln 1n k n n n n n k -=??

=--+---++-+=+ ???∑ ．

从而

1

211

1ln 11n

n n k k k x k k -==??

=-+ ?+??∑∑

1

2

211ln 11

1n k k n k k n -=??

??=-++ ? ?++????∑1

2111n k k k k -=??>- ?+??∑ 1211(1)n k k k -==-+∑1

11

(1)n k k k -=-+∑≥

1

11n

=-+>-．

11． 设k ，l 是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数m k ≥，使得C k m 与l 互素．

【解析】 证法一：对任意正整数t ，令(!)m k t l k =+??．我们证明()

C 1k m l =，

． 设p 是l 的任一素因子，只要证明：C k m p ?．

若!p k ?

，则由 1!C ()k

k m

i k m k i ==-+∏

1[(

(!)]k i i t l k =≡+∏ 1

k

i i =≡∏

()

1!m o d k p α+≡．

及|!p k α，且1!p k α+?，知|!C k m p k α且1

!C k m p k α+?．从而C k m p ?．

证法二：对任意正整数t ，令2(!)m k t l k =+??，我们证明()

C 1k m l =，． 设p 是l 的任一素因子，只要证明：C k m p ?．

若!p k ?

，则由 1!C ()k

k m

i k m k i ==-+∏

21[(

(!)]k

i i t l k =≡+∏ 1

k

i i =≡∏

()!m o d k p ≡．

即p 不整除上式，故C k m p ?．

若|!p k ，设1α≥使|!p k α，但1!p k α+?．12|(!)p k α+．故由

1

1!C ()k k

m

i k m k i -==-+∏

21[(

(!)]k i i t l k =≡+∏ 1

k

i i =≡∏

()

1!mod k p α+≡

及|!p k α，且1!p k α+?，知|!C k m p k α且1

!C k m p k α+?．从而C k m p ?． 12． 在非负数构成的39?数表

111213141516171

212223242526272829

313233343536373839

x x x x x x x x x P x x x x x x x x x x x x x x x x x x

?? ?

= ? ??? 中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，1728390x x x ===，27x ，37x ，

18x ，38x ，19x ，29x 均大于．如果P 的前三列构成的数表

111213

21

2223313233x x x S x x x x x x ?? ?

= ? ?

??

满足下面的性质()O ：对于数表P 中的任意一列123k k k x x x ??

?

? ???

（1k =，2，…，9）均存

在某个{}123i ∈，，

使得

⑶{}123min ik i i i i x u x x x =≤，，．

求证：

（ⅰ）最小值{}123min i i i i u x x x =，

，，1i =，2，3一定自数表S 的不同列． （ⅱ）存在数表P 中唯一的一列***123k k k x x x ??

?

? ? ???

，*1k ≠，2，3使得33?数表

***111212122231323k k k x x x S x x x x x x ?? ?'= ? ? ?

?

? 仍然具有性质()O ．

【解析】 （ⅰ）假设最小值{}123min i i i i u x x x =，，，1i =，2，3不是取自数表S 的不同列．则

存在一列不含任何i u ．不妨设2i i u x ≠，1i =，2，3．由于数表P 中同一行中的任

何两个元素都不等，于是2i i u x <，1i =，2，3．另一方面，由于数表S 具有性质()O ，

在⑶中取2k =，则存在某个{}0123i ∈，，使得002i i x u ≤．矛盾．

（ⅱ）由抽届原理知

{}1112min x x ，，{}2122min x x ，，{}3132min x x ， 中至少有两个值取在同一列．不妨设

{}212222min x x x =，，{}313232min x x x =，．

由前面的结论知数表S 的第一列一定含有某个i u ，所以只能是111x u =．同样，

第二列中也必含某个i u ，1i =，2．不妨设222x u =．于是333u x =，即i u 是数表S 中的对角线上数字． 111213212223313233x x x S x x x x x x ?? ?

= ? ???

记{}129M = ，，，，令集合

{}{}12|min 13ik i i I k M x x x i =∈>=，，，．

显然{}111332|k k I k M x x x x =∈>>，且1，23I ?．因为18x ，38111x x >≥，32x ，所以8I ∈．

故I ?≠．于是存在*k I ∈使得{}*22max |k k x x k I =∈．显然，*1k ≠，2，3． 下面证明33?数表

***111212122231323k k k x x x S x x x x x x ?? ?

'= ? ? ?

?

?

具有性质()O ．

从上面的选法可知{}

{}*1212:min min i i i i i ik u x x x x x '==，，，，(13)i =，

．这说明 {}*111211min k x x x u >，≥，{}*313233min k x x x u >，≥．

又由S 满足性质()O ．在⑶中取*k k =，推得*22k x u ≤，于是

{}

**2

212222min k k u x x x x '==，，．下证对任意的k M ∈，存在某个1i =，2，3使得i ik u x '≥．假若不然，则{}12min ik i i x x x >，，1i =，3且*22k k x x >．这与*2k x 的最大性矛盾．因此，数表S '满足性质()O ．

下证唯一性．设有k M ∈使得数表

111212122231323k k k x x x S x x x x x x ?? ?= ?

???

具有性质()O ，不失一般性，我们假定 {}111121311

m i n u x x x x ==，， ⑷{}221222322min u x x x x ==，，

{}331323333

m i n u x x x

x ==，，

3231x x <．

由于3231x x <，2221x x <及（ⅰ），有 {}11112111

m i n k u x x x x ==，，．又由（ⅰ）知：或者()a {}331

32

33min k

k

u x x x x ==，，，或者 {}221

22

22()min k

k

b u x x x x ==，，．

如果()a 成立，由数表 S 具有性质()O ，则 {}111

12

1

11

m i n k u x x x x

==，，，

⑸ {}22122222min k u x x x x ==，，， {}331

32

3

3

m i n k k

u x x x x ==，，．

由数表 S 满足性质()O ，则对于3M ∈至少存在一个{}123i ∈，，使得 *i ik u x ≥．由*k I ∈及⑷和⑹式知， *1111k x x u >=， *

3323k x x u >=．于是只能有 *222k k x u x =≤．类似地，由S '满足性质()O 及k M ∈可推得*

222k k x u x '=≤．从而*k k =．

独家推荐：2009年全国高中数学联赛评点（一）

来源：高考网 文章作者：邓杨 2009-10-12 16:14:09

[标签：数学联赛 竞赛联赛 高考 不等式]高考热点资讯 免费订阅 学而思品牌教师 邓杨

众所周知，今年的全国高中数学联赛在试卷格局上进行了较大的调整，一试由原先的150分变成了100分，而二试从原先的150分变成200分，题型，分值，难度也进行了相应的调整。上半年，我对今年联赛的趋势作了一个简要的预测，昨天刚刚结束的联赛大致与我初期的预测相符，下面就昨天的联赛作一个点评，希望对在联赛上准备有所建树的同学提供一些帮助。

简单来说，今年联赛的特点是一试和二试风格差异较大，一试更为朴实地接近了高考，而二试的选拔性得到了较大的提升。因此造成的影响是一试对于高考练兵的作用更贴切，而想通过联赛获得加分或者保送的难度加大，如果没有经过竞赛的系统培训，想在二试中取得好成绩的难度大大增加。

首先来说一试，一试的题型和考点分布如下： 填空题：共8题，每题7分，总分56分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8

考点

函数

解几

函数

不等式 解几

函数 数列 概率

解答题：共三题，分数分别为14，15，15，总分44分。 题号 1 2 3 考点

解析几何

数列 函数，不等式

从考点分布上来看，一试的知识点比例与高考极为接近，函数占据了30%-40%，高考的重点和难点：数列，不等式，解析几何占据了其他的几乎所有题。从这里可以看出，联赛一试的准备和高考的准备并无矛盾之处，甚至在一定程度上可以促进对于高考的复习。可以这么说，如果平时数学基本功掌控非常好的学生，哪怕没有经过系统的竞赛培训，也应该可以解决出绝大多数问题。从这个角度来说，我们的高中学生对于联赛不应该有畏惧的心理，不应该觉得联赛高不可攀，完全可以将准备联赛看作一种阶段性的练兵，培养自己在短时间的压力下解决高考压轴难度题目的能力，这样的模拟场景是不可多得的。 另外一个值得说明的问题便是，之前在一试中一直占据一个题目的立体几何，在这次考试中没有出现，个人预测并非联赛改革的趋势，很有可能是知识点在本次联赛中的取舍，并不能因此而忽视立体几何的学习。 下面对分析几个具体的题目。

填空题的2，3，7，8在高考中大致处于中档题的难度，凭借一般的高中知识可以轻松解决。

第一题是一个函数迭代的问题，只要能找到在一层迭代中的规律，即可解决。

第四题是一个不等式问题，不等式问题在高考中很少单独考察，这道问题着眼于趋势的变化，发现这个数列的单调递减，问题也就迎刃而解了。

第五题通过解析几何的面目，考察的是基本的运算能力，系数经过一般的代数运算即可得到正确解答。

第六题需要细心，分类讨论考虑清楚所有的情况即可，但具体操作时容易忽略一些情况。

解答题的第一题是一个相对于高考层次较为复杂的解析几何问题，但是其解决的思想和方法没有本质性的技巧，对计算的要求较高。

解答题的第二题其实是本次考试中比较丢人的一个题目，用的是2008年全国高考广东理科卷的最后一道大题，在这种级别的比赛中本不应该出现陈题的现象，从一方面来说是主办省份的失误，从另一方面来说，也正说明了高考和联赛一试贴近的趋势。

解答题的最后一题略偏于竞赛，以函数面目出现的不等式，考察了代数变形的技巧，均值不等式和柯西不等式的使用，如果没有经过竞赛培训，这个问题可能较为困难，但这个题目的想法却仍然偏于陈旧，算不得较好的新题。

总而言之，这份试卷的一试部分较为朴实，益发地体现了联赛一试和高考之间密切的关系，只是在具体选择题目的时候考虑不够周详，整张试卷看起来新意上有些不足，与去年高考题重合当然是本次联赛的一大失误。

（邓杨老师简介：学而思高中数学名师，北大天才神奇老师。从小学奥数到高中数学到国际奥赛，一直没有停止过对解题能力的锻炼，难题在谈笑间灰飞烟灭，被诸多同行送上尊号“神仙”。邓杨老师的一句话概括了他对数学学习的见解：“学习，尤其是学习数学，越冷静，越有平常心，也许能够更清晰地看到其中的脉络，反而更能够得心应手。”）