高数答案(下)习题册答案 第六版 下册 同济大学数学系 编
高数答案(下)习题册答案第六版下册同济大学数学系编
第八章多元函数的微分法及其应用
§ 1 多元函数概念
一、设求答案：
二、求下列函数的定义域：
、
y2、
三、求下列极限：
x2siny 1、lim （0）
2、
x2y四、证明极限lim不存在
证明：当沿着x轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着趋于（0，0）时，极限为二者不相等，所以极限不存在21, 2
五、证明函数在整个xoy面上连续。
证明：当时，f(x,y)为初等函数，连续。当时，
，所以函数在（0，0）也连续。所以函数
在整个xoy面上连续。
六、设且当y=0时，求f(x)及z的表达式. 解：，
§ 2 偏导数
、设验证
，证明：
、求空间曲线在点（,,1）处切线与y轴正向夹角
x23、设求fx(x,1) ( 1) y
4、设求
，，解：，
、设，证明
6、判断下面的函数在(0,0) 处是否连续？是否可导（偏导）？说明理由222
连续；不存在，
7、设函数f(x,y)在点（a,b）处的偏导数存在，求
（2fx(a,b)）§ 3 全微分
1、单选题
（1）二元函数f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的
__________
(A) 必要条件而非充分条件（B）充分条件而非必要条件
（C）充分必要条件
（2）对于二元函数f(x,y)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的是___
(A) 偏导数不连续，则全微分必不存在
（C）全微分存在，则偏导数必连续（D）全微分存在，而偏导数不一定存在
2、求下列函数的全微分：
yyy11）
22 2）解：
11y 3）解：
3、设，求
解：
2dy
4、设
求：
、讨论函数f(x,y
在（0，0）点处
的连续性、偏导数、可微性所以f(x,y)在（0，0）点处连续。解：
，所以可微。
§4 多元复合函数的求导法则
dzvt1、设，求dt
解：=cost.(sint)dt
，求, 2、设
、设，f 可微，证明
、设)，其中f具有二阶连续偏导数，求，，
解：
2
2
4yf111122222
5、设，其中f具有二阶连续偏导数、g具有二阶连续导数，求
解：，
du
6、设，，，求
dx
)。解：dx
化为，7、设，且变换可把方程
其中z具有二阶连续偏导数，求常数a的值
证明：
2
得：
8、设函数f(x,y)具有连续的一阶偏导数，又，
求和
(a+ab+ab2+b3)
§ 5 隐函数的求导公式
dy
1、设yln，求
dx
解：令，
z222
2、设由方程确定，其中f可微，证明
y
3、设由方程所确定，其中f可微，求
z4、设，求，( ，
、设由方程所确定，F可微，求
解：令，则
6、设由方程所确定，求
7、设z=z(x,y)由方程所确定，求
§ 6 微分法在几何中的应用
1、求螺旋线在对应于
4处的切线及法平面方程
解：切线方程为
法平面方程
、求曲线在（3，4，5）处的切线及法平面方程
解：切线方程为，法平面方程：
2223、求曲面在（1，-1，2）处的切平面及法线方程
解：切平面方程为
及法线方程
4、设f(u,v)可微，证明由方程所确定的曲面在任一点处的切平面与一定
向量平行
证明：令，则
，所以在（x0,y0,z0）处的切平面与定向量（b,b,a）平行。
5、证明曲面x
和为上任意一点处的切平面在三个坐标轴上的截距的平方0）23
证明：令，则
333
在任一点处的切平面方程为x0 在在三个坐标轴上的截距分别为x0证明曲面z
1
3
23
13
23232323
111
13
13
23
13
13
a,y0a,z0a,在三个坐标轴上的截距的平方和为a2
23
y
上任意一点M(x0,y0,z0)处的切平面都通过原点
x
7、设F(x,y,z)具有连续偏导数，且对任意实数t, 总有为自然数，试证：曲面F(x,y,z)=0上任意一点的切平面都相交于一定点证明：
两边对t 求导，并令
设是曲面上任意一点，则过这点的切平面为：
此平面过
原点（0，0，0）
§ 7 方向导数与梯度
1、设函数
，1）求该函数在点（1，3）处的梯度。
2）在点（1，3）处沿着方向l的方向导数，并求方向导数达到最大和最小的方向
解：梯度为grad
到
最小值的方向为。2、求函数u
(1,3)
, 方向导数达到最大值的方向为，方向导数达
在（1，2，-1）处沿方向角为的方
向导数，并求在该点处方向导数达到最大值的方向及最大方向导数的值。
3，该点处方向导数达到最大值的方向即为梯度的方向
2
，此时最大值为
解：：方向导数为3、求函数u
在（1，1，-1）处沿曲线在（1，1，1）处的切线正方
向（对应于t增大的方向）的方向导数。
，，该函数在点（1，1，-1）处的方
向导数为，
4、求函数在（1，1，-1）处的梯度。
解：：，
解：：
§ 8 多元函数的极值及求法
1、求函数的极值。
11 答案：（，）极小值点33
2．求函数的极值
答案：极小值
3. 函数在点（1，1）处取得极值，求常数a (-5)
4、求函数在条件下的条件极值
解：
，极小值为
5、欲造一个无盖的长方体容器，已知底部造价为3元/平方，侧面造价均为1元/ 平方，现想用36元造一个容积最大的容器，求它的尺寸。
（长和宽2米，高3米）
6、在球面（）上求一点，使函数
达到极大值，并求此时的极大值。利用此极大值证明有
2222证明：令，
解得驻点。所以函数令
在处达到极大值。极大值为ln(3r5)。
5即，令5
得。535222325
x2y2
被平面x+y+z=0截得的椭圆的长半轴与短半轴的7、求椭球面32 长度
x2y2解：
，，
长半轴，短半轴
第八章自测题
一、选择题：（每题2分，共14分）
1、设有二元函数则[ ]
A、存在；
不存在；
C、存在，且f(x,y)在(0,0)处不连续；
D、存在，且f(x,y)在(0,0)处连续。
2、函数f(x,y)在P0(x0,y0)各一阶偏导数存在且连续是f(x,y)在P0(x0,y0)连续的[
A、必要条件；
C、充要条件；
D、既非必要也非充分条件。
3、函数在(0,0)点处[ ]
A、极限值为1；
B、极限值为-1；
C、连续；、无极限。
4、在P0(x0,y0)处fx(x,y)，fy(x,y)存在是函数在该点可微分的[ ] （A）必要条件；（B）充分条件；
（C）充要条件；（D）既非必要亦非充分条件。
5、点O(0,0)是函数的[ ]
（A）极小值点；（B）驻点但非极值点；
（C）极大值点；（D）最大值点。
6、曲面在点P(2,1,0)处的切平面方程是[ ] （A）；（B）；
（C）；（D）
7、已知函数均有一阶连续偏导数，那么
二、填空题：（每题３分，共18分）
x2siny1、（0 ）
（exyz２、设，则）
３、设则
x４、设，则在点(1,0)处的全微分
５、曲线在点P0(1,1,1)处的切线方程为
６、曲线在点(1,1,1)处的切线方程为( )
三、计算题（每题6分）
1、设，求f(x,y)的一阶偏导数22
，。
，求此函数在点P0(1,1)处的全微分。并求该函数在该点处沿着从
P0到P方向的方向导数( ，３、
设具有各二阶连续偏导数，求、设
解：
４、设求fx(x,y)和fy(x,y)。
不存在，故f(0,0)不存在，同理，f(0,0)也不存在。lim
当时，有
５、设由方程所确定，求dz
６、设，f具有连续的二阶偏导数，可导，求
７、设确定函数，求。
，式中f二阶可导，求８、设
解：记，则
，
类似地，有
四、（１０分）试分解正数a为三个正数之和，而使它们的倒数和为最小。
111设三个正数为x,y,z，则，记，令xyz
则由
解出。
五、证明题：（１０分）
试证：曲面上任一点处的切平面都平行于一条直线，式中f连续可导。
证明：曲面在任一点M(x,y,z)处的切平面的法向量为
定直线L的方向向量若为，则
，即
则曲面上任一点的切平面平行于以(1,1,1)为方向的定直线。
第九章重积分
§ 1 二重积分的概念与性质
1、由二重积分的几何意义求二重积分的值其中D为：
2、设D为圆域若积分，求a的值。222
解：
3、设D由圆围成,求
D
解：由于D的面积为故
D
4、设D：，
，比较I1, 与I2的大小关系
DD
解：在D上，故
5、设f(t)连续，则由平面z=0，柱面和曲面所围的
立体的体积，可用二重积分表示为
2
dxdy
6、根据二重积分的性质估计下列积分的值
D
D
7、设f(x,y)为有界闭区域D：上的连续函数，求lim解：利用积分中值定理及连续性有lim
D8
(x,y)dxdy
D
f(0,0)
§ 2 二重积分的计算法
x
dxdy，其中D是由抛物线与直线y=2x，x=0所围成的区
域，则I=（）
7191
A ：：
8282
9191
C ：：
8482
2、设D是由不等式所确定的有界区域，则二重积分为
1、设
D
（）
12
A ：0 B： C ：D：1
33
3、设D是由曲线xy=1与直线x=1,x=2及y=2所围成的区域，则二重积分
为（）
D
1111
A：：
2222
111
C ：e
222
1
4、设f(x,y)是连续函数，则二次积分
f(x,y)dy为（）
1
2
f(x,y)dx
2
f(x,y)dx
5、设有界闭域D1、D2关于oy轴对称，f是域D=D1+D2上的连续函数，则二重积分为（）
D
D1
D2
D1
12
6、设D1是由ox轴、oy轴及直线x+y=1所围成的有界闭域，f是域D:|x|+|y|≤1
上的连续函数，则二重积分为（）
D
D1
D1
22
D1
122
y
7、.设f(x,y)为连续函数，则为( )
ax
y
aaa
0a
ayax
8、求
D
3
x29
dxdy ，其中由x=2,y=x,xy=1所围成. () D:2 4y
lnx
9、设
1
1
3
lnx
f(x,y)dy,交换积分次序后I为：
ln3
3
e
2
x
4
20
10、改变二次积分的次序：
1x
2
x
1y
2
dx
11、设D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1} ,求的值
D
解：
D
1l111
0000
1
12设其中D是由x2+y2=Rx所围城的区域，求
3D
13、计算二重积分，其中D是圆域
D
解：
D
22
2
0002
2
14、计算二重积分
D
max{x2,y2}
dxdy，其中D={(x,y)| 0≤x≤1,0≤y≤1}
x
x2
1
y
y2
解：
D
max{x2,y2}
1
15、计算二重积分
D
，D：dxdy22
1解：
§ 3 三重积分
1、设是由x=0，y=0，z=0及x+2y+z=1所围成的空间有界域，则为
( )
01
1
1
xdy
01
2
2
111
2、设是由曲面x+y=2z,及z=2所围成的空间有界域，在柱面坐标系下将三重积分
表示为累次积分，I=（）
2
00
2
000
3、设是由所确定的有界闭域，求三重积分
解：
1
z2
1
4、设是由曲面z=xy, y=x, x=1 及z=0所围成的空间区域，求
(1/364)
dxdydz (0) 5、设是球域：，求
2
2
2
6、计算其中为：平面z=2与曲面所围成的Q
区域(
64
7、计算其中是由平面z=0,z=y,y=1以及y=x所围成的闭区域
2
Q
(2/27))
8、设函数f(u)有连续导数，且f(0)=0,求lim
1222
解：lim4
=lim
§4 重积分的应用
1、(1)、由面积所围成的图形面积为（）
113
424
(2) 、位于两圆与之间，质量分布均匀的薄板重心坐标是( )
5867
A (0,)
B (0,)
C (0,)
D (0,)
3333
(3)、由抛物面和平面x=2所围成的质量分布均匀的物体的重心坐标是（）4557
A (,0,0)
B (,0,0)
C (,0,0)
D (,0,0)
3443
(4)、质量分布均匀(密度为的立方体所占有空间区
域该立方体到oz轴的转动惯量IZ=( )
124
333
2、求均匀上半球体(半径为R)的质心
13R8
解：显然质心在z轴上，故故质心为(0,0,R)
、曲面将球面分割成三部分，由上至下依次记这三部分曲面的面积为s1, s2, s3, 求s1:s2:s3
55
解：
t
t
4
5、求曲面包含在圆柱解：
2
R3
6、求圆柱体包含在抛物面和xoy平面之间那部分立体的体积
解：
第九章自测题
一、选择题: （40分）
1、
1101
D 2、设D为当时
A 1
B 3331
C 3
D 3 242
3、设其中D由所围成,则I=( B ).
D
2
4、设是由三个坐标面与平面所围成的空间区域,则
222zxy 5 、设是锥面与平面所围成的cab xydxdydz=( ). 空间区域在第一卦限的部分,则
1111 Aa2b2c B a2b2b C b2c2a D cab. 36363636
6、计算为围成的立体,则正确的为( )和（） A
7、曲面包含在圆柱
8、由直线所围成的质量分布均匀(设面密度为的平面薄板,关于x轴的转动惯量Ix=( ).
二、计算下列二重积分:（20分）
1、其中D是闭区域
D40) 9
2、其中D是由直线及圆周所围
Dyx
成的在第一象限、其中D是闭区域
三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序: （15分）4、其中
、
2、
a 3、
四、计算下列三重积分:（15分）
1、抛物柱面及平面
所围
成的区域
2、其中是由xoy平面上曲线绕x轴旋转而成的曲面与
xyz五、（5分）求平面被三坐标面所割出的有限部分的面积. abc
11y11六、（5分）设f(x)在[0,1]上连续,试证
0xx60 平面所围(
F(x)则
且
1
1
第十章曲线积分与曲面积分
§ 1 对弧长的曲线积分
1设L关于x轴对称，L1表示L在x轴上侧的部分，当关于y是偶函数时，
L
都不对
L1L1
2、设L是以点为顶点的正方形边界,
则
42 D. 22
t2t33、有物质沿曲线L：分布，其线密度为，则它
23
1
4．求其中L为由所围区域的整个边界L
1
解：
5．其中L为双纽线
L
解：原积分
6．其中L为
L
2
原积分
7．其中L为球面与平面的交线
L
解：将代入方程得于是
L的参数方程：
，又原积分
8、求均匀弧的重心坐标
，，
§2 对坐标的曲线积分
一、选择题
1.设L关于x轴对称，L1表示L在x轴上侧的部分，当关于y是偶函数时，
都不对
LL1L1
2．设L为的正向，则L
．L为的正向，
二、计算
1．，其中L由曲线从
到方向
解：
2．其中L是正向圆周曲线
解：由奇偶对称性
，L：
3．其中为从点到的有向线段
1
解：方程：，
三、过和的曲线族，求曲线L使沿该曲线从到
的积分的值最小
3解：
。最小，此时
高等数学下试题及参考答案
高等数学下试题及参考 答案 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
华南农业大学期末考试试卷（A 卷 ） 2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。 2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11 (1)n p n n ∞ =-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是 （ ） A ．2x y Ce = B ．22x y Ce = C ．22y y e Cx = D ．2y e Cxy =
2 ．求极限(,)(0,0)lim x y →= （ ） A ．14 B ．12- C ．14- D ．12 3．直线:3 27 x y z L = =-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是 （ ） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上 C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交 4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤ ，则D σ= （ ） A ．33()2 b a π- B ．332()3 b a π- C ．334()3 b a π - D ． 3 33()2 b a π- 5．下列级数收敛的是 （ ） A ．11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1 1 21n n ∞ =-∑ D ．n ∞ = 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特 解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ，其中22 {(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。
高等数学下册试题及答案解析word版本
高等数学（下册）试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ；
高等数学[下册]期末考试试题和答案解析
高等数学A(下册)期末考试试题 一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?= ．
2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=?? ． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? ． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积． 3、判定级数 1 1 (1)ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2, z z x x y ?????． 5、计算曲面积分 ,dS z ∑ ??其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 三、（本题满分9分） 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离 的最大值与最小值． （本题满分10分） 计算曲线积分 (sin )(cos )x x L e y m dx e y mx dy -+-? ， 其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周2 2 (0)x y ax a +=>． 四、（本题满分10分） 求幂级数1 3n n n x n ∞ =?∑的收敛域及和函数．
最新高等数学下考试题库(附答案)
《高等数学》试卷1（下） 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（ ）. A.a ∥b B.a ⊥b C.3,π=b a D.4 ,π=b a 3.函数11 22222-++--=y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+
A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 23+--=xy xy y x z ，则=???y x z 2_____________________________. 4. x +21的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求.,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,y z x z ???? 3.计算σd y x D ??+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 四.应用题（10分?2） 1.要用铁板做一个体积为23 m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ . 试卷1参考答案 一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题 1.0622=+--z y x . 2.()()xdy ydx xy +cos . 3.1962 2--y y x . 4. ()n n n n x ∑∞=+-01 21.
大学高等数学下考试题库(及答案)
一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρ ρρ??+=++-=2,2，则有（ ）. A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,22<+
10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则 =???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程052422 2 2 =-+-+-z x z y x 确定，求 .,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ?? +2 2sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题（10分?2）
高数下试题及答案
第二学期期末考试试卷 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量()1,1,4r a =-,()3,4,0r b =,则以r a ,r b 为边的平行四边形的面积等于. 2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ?? ??? 处 的切平面方程是. 3. 交换积分次序()22 0,x dx f x y dy = ??. 4. 对于级数11 n n a ∞ =∑（a ＞0），当a 满足条件 时收敛. 5. 函数1 2y x =-展开成x 的幂级数为 . 二、 单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面20x z -=的位置是 （ ） （A ）通过y 轴 （B ）通过x 轴 （C ）垂直于y 轴 （D ）平行于xoz 平面 2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数 ()00,x f x y '，()00,y f x y ',是函数在该点可微分的 （ ） （A ）充要条件 （B ）充分但非必要条件 （C ）必要但非充分条件 （D ）既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+，则10 x y dz ===（ ） （A ）e （B ）()e dx dy +
（C ）1()e dx dy -+ （D ）()x e dx dy + 4. 若级数()11n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛， 则此级数在2x =处（ ） （A ）敛散性不确定 （B ）发散 （C ）条件收敛 （D ）绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是（ ） （A ）212 1x y e =- （B ）212 1x y e -=- （C ）212 x y Ce -= （D ）212 1x y Ce =- 三、(本题满分8分) 设平面通过点()3,1,2-，而且通过直线43521 x y z -+==， 求该平面方程． 四、(本题满分8分) 设(),z f xy x y =+，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数， 试求z x ??和2z x y ???． 五、(本题满分8分) 计算三重积分y zdxdydz Ω =???， 其中 (){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤． 六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分L ?，
高等数学下册试题及参考答案
高等数学下册试题 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9 解 ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}， |AB |= 5)1(20222=-++. 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ） A ）{-1,1,5}. B ） {-1,-1,5}. C ） {1,-1,5}. D ）{-1,-1,6}. 解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; （ A ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k 解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k . 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（C ） A ）2π B ）4π C ）3 π D ）π 解 由公式（6-21）有 2 1112)1(211)1(1221cos 2222222 121= ++?-++?-+?+?= ??= n n n n α， 因此，所求夹角 32 1 arccos π α= =． 5. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）01=-+y x ． 解 由于平面平行于z 轴，因此可设这平面的方程为 0=++D By Ax 因为平面过1M 、2M 两点，所以有 ?? ?=+-=+020D B A D A 解得D B D A -=-=,，以此代入所设方程并约去)0(≠D D ，便得到所求的 平面方程 01=-+y x 6．微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。
高等数学(下册)期末复习试题及答案演示教学
高等数学(下册)期末复习试题及答案
一、填空题（共21分 每小题3分） 1．曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为12 2++=y x z ． 2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ? ??+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为 2π． 3．设函数2 2232),,(z y x z y x f ++=，则= )1,1,1(grad f }6,4,2{． 4．设级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，则=∞ →n n u lim 0 ． 5．设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10 ,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处 收敛于 2 1π+． 6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =． 7．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式 x axe y =*． 二、解答题（共18分 每小题6分） 1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线? ??=+-+=-+-020 32z y x z y x 的平面方程． 解：设所求平面的法向量为n ，则{ }3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分 ???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面 )(22 2y x z +-=及22y x z +=所围成的区域． 解： πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分)
??? Ω v z y x f d ),,(? ??-=2 210 20 d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分) 3．计算二重积分??+-= D y x y x e I d d ) (22，其中闭区域.4:22≤+y x D 解 ??-= 20 20 d d 2 r r e I r π θ??--=-202 20)(d d 212 r e r πθ?-?-=202 d 22 1r e π)1(4--=e π 三、解答题（共35分 每题7分） 1．设v ue z =，而2 2y x u +=，xy v =，求z d ． 解： )2(232y y x x e y ue x e x v v z x u u z x z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (3分) )2(223xy x y e x ue y e y v v z y u u z y z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分) 2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z 所确定，求 y z x z ????,． 解：令xyz e z y x F z -=),,(， (2分) 则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F z z -= (5分) xy e yz F F x z z z x -=-=??， xy e xz F F y z z z y -=-=??． (7分) 3．计算曲线积分?+-L y x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有 向弧段． 解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格 林公式 ????+--=+-OA D L y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分)
高等数学下册试卷及答案
高等数学（下册）考试试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2 >+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ）
高等数学下册期末考试试题及答案
考试日期：2012年 院（系）别 班级 学号 姓名 成绩 一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?= ． 2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=?? ． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? ． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积． 3、判定级数 1 1 (1)ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y ?????． 5、计算曲面积分 ,dS z ∑ ??其中∑是球面2222 x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 三、（本题满分9分）
抛物面22 z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值． 四、 （本题满分10分） 计算曲线积分 (sin )(cos )x x L e y m dx e y mx dy -+-? ， 其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周2 2 (0)x y ax a +=>． 五、（本题满分10分） 求幂级数13n n n x n ∞ =?∑的收敛域及和函数． 六、（本题满分10分） 计算曲面积分332223(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑ = ++-??， 其中∑为曲面2 2 1(0)z x y z =--≥的上侧． 七、（本题满分6分） 设()f x 为连续函数，(0)f a =，2 22()[()]t F t z f x y z dv Ω= +++???，其中t Ω 是由曲面z = 与z = 3 () lim t F t t + →． ------------------------------------- 备注：①考试时间为2小时； ②考试结束时，请每位考生按卷面→答题纸→草稿纸由表及里依序对折上交； 不得带走试卷。 高等数学A(下册)期末考试试题【A 卷】
高等数学(下册)期末复习试题及答案
一、填空题（共21分 每小题3分） 1．曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为12 2++=y x z ． 2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ? ??+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为 2π． 3．设函数2 2232),,(z y x z y x f ++=，则= )1,1,1(grad f }6,4,2{． 4．设级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，则=∞ →n n u lim 0 ． 5．设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10 ,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处 收敛于 2 1π+． 6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =． 7．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式 x axe y =*． 二、解答题（共18分 每小题6分） 1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线???=+-+=-+-0 20 32z y x z y x 的平面方程． 解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分 ???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面 )(22 2y x z +-=及22y x z += 所围成的区域． 解： πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分) ??? Ω v z y x f d ),,(? ??-=2 210 20 d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分)
《高等数学(下册)》第八章练习题及答案(最新整理)
x 一、填空题 《高等数学(下册)》第八章练习题 1.设z sin( x y)，则dz 2.设z cos( x2y ), ，则 (1, ) 2 3.函数z 6( x y) x 2y 2的极值点为 4.设z e xy ，则dz 5.设 x ln z ，则 z y zx 二、选择题 1、、 f ( 、y) x 3y 3 3 x2 3 y 2、( ) A. (2、2) B. (0、0) C. (2、0) D. (0 、2) 2、f ( x, y) 在点(x ,y )处偏导数f x( x 0 , y0 )、 的( ). f y( x0 , y0 ) 存在是f ( x, y) 在该点连续 (a)充分条件，(b)必要条件，(c)充要条件，(d)既非充分条件又非必要条件。 3、设f ( x, y) ln( x y ) ，则f 2 x (1,1 、. （A） 1、 3 三、计算题 y 2 x 2 （B）1、 3 （C） 5、 6 （D） 5 . 6 、、 z x 3 、( 、、1 、、 2、设z z( x, y) 是由方程F ( x z, y z) 0 确定的隐函数，F 具有一阶连续偏导数，且F F 0, 其中u x z, v y z, 求z,z. u v x y 3、求曲面x2y2xz z2 3 在点(1,2,1) 处的切平面及法线方程。 4、设u e x2y2z2,而z x2sin y,求 u . x 5、求曲线x e t, y e t, z t ,对应于t 0 点处的切线和法平面方程。 6、求函数z x 2y(4 x y) 在闭域x 0, y 0, x y 4 上的最大值及最小值。 x
高等数学下册期末考试试题及答案
高等数学A(下册)期末考试试题【A 卷】 考试日期：2009年 1、求曲线222222239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及226z x y =--所围成的立体体积． 3、判定级数 1 1 (1) ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4．设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2, z z x x y ?????． 5. 计算曲面积分 ,dS z ∑ ??其中∑是球面2 222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 6. 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值． 7. 计算曲面积分332223(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑ =++-??，其中∑为曲面221(0)z x y z =--≥的上侧 8. 设 () f x 为连续函数， (0)f a =， 222()[()]t F t z f x y z dv Ω=+++???，其中 t Ω是由曲 面 z = 与 z =所围成的闭区域，求 3 () lim t F t t + →． 高等数学A(下册)期末考试试题【A 卷】 参考解答与评分标准 2009年6月 1、解：方程两边对x 求导，得323dy dz y z x dx dx dy dz y z x dx dx ?+=-????-=-??， 从而54dy x dx y =- ， 74dz x dx z = …………..【4】 该曲线在 ()1,1,2-处的切向量为571 (1, ,)(8,10,7).488 T ==…………..【5】 故所求的切线方程为 112 8107 x y z -+-== ………………..【6】 法平面方程为 ()()()81101720x y z -+++-= 即 810712x y z ++= (7)
高等数学下试题及答案
高等数学（II ）试题（A ） 一 填空 （每小题3分 共15分 ） 1 曲面 221z x y =+- 在点 (2,1,4)的切平面的方程为___________。 2 设隐函数 (,) z z x y =是由方程 2 z y e x z e ++=确定的，则 _________0,0 z x y x ?===?。 3 设∑是平面 1x y z + +=在第一卦限部分， 则 ()__________x y z dS ∑ ++=??。 4 设 ()f x 周期为2π，且 ,0(),0 x e x f x x x π π?≤<=? -≤
高等数学下册期末复习试题及答案
高等数学下册期末复习 试题及答案 Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998
一、填空题（共21分 每小题3分） 1．曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为12 2++=y x z ． 2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ? ??+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为 2π． 3．设函数2 2232),,(z y x z y x f ++=，则= )1,1,1(grad f }6,4,2{． 4．设级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，则=∞ →n n u lim 0 ． 5．设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10 ,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处 收敛于 2 1π+． 6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =． 7．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式 x axe y =*． 二、解答题（共18分 每小题6分） 1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线???=+-+=-+-0 20 32z y x z y x 的平面方程． 解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分 ???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面 )(22 2y x z +-=及22y x z +=所围成的区域． 解： πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分)
高等数学下册试题(题库)及参考答案知识分享
高等数学下册试题库 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9 解 ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}， |AB |= 5)1(20222=-++. 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ） A ）{-1,1,5}. B ） {-1,-1,5}. C ） {1,-1,5}. D ）{-1,-1,6}. 解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; （ A ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k 解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k . 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（C ） A ）2π B ）4π C ）3 π D ）π 解 由公式（6-21）有 2 1112)1(211)1(1221cos 2222222 121= ++?-++?-+?+?= ??= n n n n α， 因此，所求夹角 32 1 arccos π α= =． 5. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）01=-+y x ． 解 由于平面平行于z 轴，因此可设这平面的方程为 0=++D By Ax 因为平面过1M 、2M 两点，所以有 ?? ?=+-=+020D B A D A 解得D B D A -=-=,，以此代入所设方程并约去)0(≠D D ，便得到所求的 平面方程 01=-+y x 6．微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。 A ．3 B ．4 C ．5 D ． 2
大学高等数学下考试题库附答案
大学高等数学下考试题 库附答案 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. .4 C 2.向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（ ）. A.a ∥b B.a ⊥b C.3,π=b a D.4,π =b a 3.函数1 122 2 22-++ --=y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,22<+
10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则 =???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,y z x z ???? 3.计算σd y x D ??+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题（10分?2） 1.要用铁板做一个体积为23m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省 2..曲线()x f y =上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍，且曲线过 点?? ? ??31,1，求此曲线方程 试卷1参考答案
大学高等数学下考试题库(及答案)
?选择题（3分10） 1.点M12,3,1 到点M 2 2,7,4 的距离M1M2 A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量a i 2j k,b 2i j ,则有（ B.a 丄b C. a,b D. 3屈数y 1 x2y2 1 的定义域是 A. x, y 1 B. x,y 1 C. x, y 1 x2 D x, y 1 x2 4.两个向量a与b垂直的充要条件是（ A. a b 0 B. a b 0 C. a b D. a ). a,b 4 ( ). 2 2 b 0 3 5屈数z x 3xy的极小值是（ A.2 B. C. 1 D. 6.设z xsin y ，则=( 2 A. 2 B. C. - 2 D. - 2 7若p级数 1 —收敛, n 1 n 则（ A. p 1 B. p 1 C. p D. p 1 8.幕级数 n —的收敛域为（ A. 1,1 1, 1 C. 1,1 D. 1, 1 9.幕级数n 在收敛域内的和函数是 1 A.- B. 2 C.- 1 x 1 D.- 2 x 1 x
10.微分方程xy yin y 0的通解为（ ） x x x cx A. y ce B. y e C. y cxe D. y e 二填空题（4分5） 2?函数z sin xy 的全微分是 2 3 2 3 Z 3?设 z x y 3xy xy 1，贝y ---------------------- -------------------- x y 1 4.^^的麦克劳林级数是 ___________________________________ 2 x 5.微分方程y 4y 4y 0的通解为 三.计算题（5分6） z z 1.设 z e sin v ，而 u xy, v x y ，求一, x y 2.已知隐函数z z x, y 2 由方程x c 2 2 2y z 4x 2z 5 0确定，求— x y 3.计算 sin 、x 2 y 2 d ，其中D 2 2 x 2 y 4 2. D 1?一平面过点A 0,0,3且垂直于直线 AB ，其中点B 2, 1,1，则此平面方程为 _________________________ 4?如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（ R 为半 径） x 0 0条件下的特解