2012高中数学复习讲义(通用版全套)第二章 函数B
2012高中数学复习讲义 第二章 函数B
第6课 二次函数
【考点导读】
1.理解二次函数的概念，掌握二次函数的图像和性质；
2.能结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系．
【基础练习】
1. 已知二次函数232y x x =-+,则其图像的开口向__上__；对称轴方程为3
2x =
；顶点坐标为 31
(,)24
-，与x 轴的交点坐标为(1,0),(2,0)，最小值为14
-
．
2. 二次函数2223y x m x m =-+-+的图像的对称轴为20x +=,则m =__－2___，顶点坐标为(2,3)-，
递增区间为(,2]-∞-，递减区间为[2,)-+∞． 3. 函数221y x x =--的零点为11,2
-
．
4. 实系数方程20(0)a x b x c a ++=≠两实根异号的充要条件为0ac <；有两正根的充要条件为
0,0,0
b
c a a ?≥-
>>；有两负根的充要条件为0,0,0b c
a a
?≥-<>． 5. 已知函数2()23f x x x =-+在区间[0,]m 上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是__________．
【范例解析】
例1.设a 为实数，函数1||)(2
+-+=a x x x f ，R x ∈．
（1）讨论)(x f 的奇偶性；
（2）若2a =时，求)(x f 的最小值． 分析：去绝对值．
解：（1）当0=a 时，函数)(1||)()(2
x f x x x f =+-+-=-
此时，)(x f 为偶函数．
当0≠a 时，1)(2+=a a f ，1||2)(2
++=-a a a f ，
)()(a f a f -≠，)()(a f a f --≠．
此时)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数．
[1,2]
（2）?????<+-≥-+=2
12
3)(22x x x x x x x f
由于)(x f 在),2[+∞上的最小值为3)2(=f ，在)2,(-∞内的最小值为4
3)2
1(=
f ．
故函数)(x f 在),(∞-∞内的最小值为
4
3．
点评：注意分类讨论；分段函数求最值，先求每个区间上的函数最值，再确定最值中的最值． 例2.函数()f x 2
12ax x a =
+-()a R ∈
在区间2]的最大值记为)(a g ，求)(a g 的表达式．
分析：二次函数在给定区间上求最值，重点研究其在所给区间上的单调性情况． 解：∵直线1x a
=-
是抛物线()f x 2
12
ax x a =
+-的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：
（1）当0>a 时，函数()y f x =
，2]x ∈的图象是开口向上的抛物线的一段， 由10x a
=-
<知()f x
在2]x ∈上单调递增，故)(a g (2)f =2+=a ；
（2）当0=a 时，()f x x =
，2]x ∈，有)(a g =2；
（3）当0 ，2]x ∈的图象是开口向下的抛物线的一段， 若1x a =-]2, 0(∈即22- ≤a 时，)(a g f == 若1x a =- ]2,2(∈即]2 1 ,22 (-- ∈a 时，)(a g 1 1()2f a a a =- =-- ， 若1x a =-),2(+∞∈即)0,2 1 (-∈a 时，)(a g (2)f =2+=a ． 综上所述，有)(a g =?? ? ? ? ? ??? - ≤- ≤<- - -- >+)2 2(2)212 2(,21)2 1(2a a a a a a ． 点评：解答本题应注意两点：一是对0a =时不能遗漏；二是对0a ≠时的分类讨论中应同时考察抛物线的开口方向，对称轴的位置及()y f x = 在区间2]上的单调性． 【反馈演练】 1．函数[)()+∞∈++=,02 x c bx x y 是单调函数的充要条件是0b ≥． 2．已知二次函数的图像顶点为(1,16)A ，且图像在x 轴上截得的线段长为8，则此二次函数的解析式为2 215y x x =-++． 3. 设0>b ，二次函数12 2-++=a bx ax y 的图象为下列四图之一： 则a 的值为 （ B ） A ．1 B ．－1 C ． 2 5 1- - D ． 2 5 1+ - 4．若不等式210x ax ++≥对于一切1 (0,)2 x ∈成立，则a 的取值范围是5[,)2 - +∞． 5.若关于x 的方程240x mx -+=在[1,1]-有解，则实数m 的取值范围是(,5][5,)-∞-?+∞． 6.已知函数2()223f x x ax =-+在[1,1]-有最小值，记作()g a ． （1）求()g a 的表达式； （2）求()g a 的最大值． 解：（1）由2()223f x x ax =-+知对称轴方程为2 a x =， 当 12 a ≤-时，即2a ≤-时，()(1)25g a f a =-=+； 当112 a -<<，即22a -<<时，2 ()()32 2 a a g a f =- =- ； 当 12 a ≥，即2a ≥时，()(1)52g a f a ==-； 综上，2 25,(2) ()3,(22)252,(2)a a a g a a a a +≤-??? =--< -≥?? ． （2）当2a ≤-时，()1g a ≤；当22a -<<时，()3g a ≤；当2a ≥时，()1g a ≤．故当0a =时，()g a 的最大值为3． 7. 分别根据下列条件,求实数a 的值： （1）函数2 ()21f x x ax a =-++-在在[0,1]上有最大值2； （2）函数2()21f x ax ax =++在在[3,2]-上有最大值4． 解：（1）当0a <时，m ax ()(0)f x f =，令12a -=，则1a =-； 当01a ≤≤时，max ()()f x f a =，令()2f a = ，2a ∴=（舍）； 当1a >时，m ax ()(1)f x f =，即2a =． 综上，可得1a =-或2a =． （2）当0a >时，m ax ()(2)f x f =，即814a +=，则38 a =； 当0a <时，max ()(1)f x f =-，即14a -=，则3a =-． 综上，38 a = 或3a =-． 8. 已知函数2(),()f x x a x R =+∈． （1）对任意12,x x R ∈，比较121 [()()]2f x f x +与12 ( )2 x x f +的大小； （2）若[1,1]x ∈-时，有()1f x ≤，求实数a 的取值范围． 解：（1）对任意1x ，2x R ∈，2 12 12121 1[()()]( )()022 4 x x f x f x f x x ++-= -≥ 故 12 121[()()]( )2 2 x x f x f x f ++≥． （2）又()1f x ≤，得1()1f x -≤≤，即211x a -≤+≤， 得2 m ax 2 m in (1),[1,1](1),[1,1] a x x a x x ?≥--∈-??≤-+∈-??，解得10a -≤≤． 第7课 指数式与对数式 【考点导读】 1.理解分数指数幂的概念，掌握分数指数幂的运算性质； 2.理解对数的概念，掌握对数的运算性质； 3.能运用指数，对数的运算性质进行化简，求值，证明，并注意公式成立的前提条件； 4.通过指数式与对数式的互化以及不同底的对数运算化为同底对数运算． 【基础练习】 1.写出下列各式的值：(0,1)a a >≠ =3π-； 2 3 8=____4____； 34 81 -= 127 ； log 1a =___0_____； l o g a a =____1____； l o g 4=__－4__． 2.化简下列各式：(0,0)a b >> （1）2 11133 3 3 24()3 a b a b -- - ÷- =6a -； （2）2222 (2)()a a a a ---+÷-=2 2 11 a a -+． 3.求值：（1）35 log (84)?=___－38____； （2）3 3 (lg 2)3lg 2lg 5(lg 5)+?+=____1____； （3）234567log 3log 4log 5log 6log 7log 8?????=_____3____． 【范例解析】 例1. 化简求值： （1）若1 3a a -+=，求1 12 2 a a - -及 442 2 48 a a a a --+-+-的值； （2）若3log 41x =，求332 2 22 x x x x --++的值． 分析：先化简再求值． 解：（1）由1 3a a -+=，得1 12 2 2 ()1a a - -=，故1 12 2 1a a - -=±； 又12 ()9a a -+=，2 2 7a a -+=；44 47a a -∴+=，故 4 42 2 4438 a a a a --+-=-+-． （2）由3log 41x =得43x =；则 332 2 7414 22 3 x x x x x x ---+=-+= +． 点评：解条件求值问题：（1）将已知条件适当变形后使用；（2）先化简再代入求值． 例2.（1）求值： 11lg 9lg 2402 12361lg 27lg 3 5+ -+- +； （2）已知2log 3m =，3log 7n =，求42log 56． 分析：化为同底． 解：（1）原式= lg 10lg 3lg 240136lg 10lg 9lg 5+-+-+1 lg 810lg 8 = +=； （2）由2log 3m =，得31log 2m =；所以33342333log 563log 2log 73log 56log 42 13log 2log 7 1m n m m n ++= = = ++++． 点评：在对数的求值过程中，应注意将对数化为同底的对数． 例3. 已知35a b c ==，且 112a b +=，求c 的值． 分析：将a ，b 都用c 表示． 解：由35a b c ==，得 1log 3c a =， 1log 5c b =；又 112a b +=，则log 3log 52c c +=， 得215c =．0c > ，c ∴= 点评：三个方程三个未知数，消元法求解． 【反馈演练】 1．若210 25x =，则10 x -= 15 ． 2．设lg 321a =，则lg 0.321=3a -． 3．已知函数1()lg 1x f x x -=+，若()f a b =，则()f a -=－b ． 4．设函数??? ??>≤-=-0,0,12)(,21x x x x f x 若1)(0>x f ，则x 0的取值范围是（－∞，－1）∪（1，+∞）． 5．设已知f (x 6) = log 2x ，那么f (8)等于 12 ． 6．若618.03=a ，)1,[+∈k k a ，则k =__－1__． 7．已知函数21(0) ()2 1(1) x c cx x c f x c x -+?? =??+≤?＜＜＜，且8 9)(2= c f ． （1）求实数c 的值； （2）解不等式182)(+＞ x f ． 解：（1）因为01c <<，所以2c c <， 由2 9()8 f c = ，即3 918 c += ，12 c = ． （2）由（1）得：4111022()12112x x x f x x -?? ?+<< ?? ?? ?=??? ?+< ????? ≤ 由()18 f x >+得，当102 x << 时，解得 14 2 x << ． 当 112 x <≤时，解得152 8 x <≤， 所以()18f x >+ 的解集为58x ??? ?< ?． 第8课 幂函数、指数函数及其性质 【考点导读】 1.了解幂函数的概念，结合函数y x =，2 y x =，3 y x =，1y x = ，1 2y x =的图像了解它们的变化情况； 2.理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性； 3.在解决实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型． 【基础练习】 1.指数函数()(1)x f x a =-是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围是(1,2)． 2.把函数()f x 的图像分别沿x 轴方向向左，沿y 轴方向向下平移2个单位，得到()2x f x =的图像，则 ()f x =2 2 2x -+． 3.函数2 20.3 x x y --=的定义域为___R __；单调递增区间1 (,]2 -∞-；值域1 4(0,0.3]． 4.已知函数1()41 x f x a =+ +是奇函数，则实数a 的取值12 - ． 5.要使1 1 () 2 x y m -=+的图像不经过第一象限，则实数m 的取值范围2m ≤-． 6.已知函数21()1x f x a -=-(0,1)a a >≠过定点，则此定点坐标为1 (,0)2 ． 【范例解析】 例1.比较各组值的大小： （1）0.20.4，0.20.2，0.22， 1.62； （2）b a -， b a ，a a ，其中01a b <<<； （3）1 3 1 ()2，1 21 ()3 ． 分析：同指不同底利用幂函数的单调性，同底不同指利用指数函数的单调性． 解：（1）0.2 0.2 00.2 0.4 0.41<<= ，而0.2 1.6 12 2 <<， 0.2 0.2 0.2 1.6 0.2 0.4 2 2∴<<<． （2）01a << 且b a b -<<，b a b a a a -∴>>． （3）1 1 1 322111 ()()()223 >>． 点评：比较同指不同底可利用幂函数的单调性，同底不同指可利用指数函数的单调性；另注意通过0，1等数进行间接分类． 例2.已知定义域为R 的函数12()2 x x b f x a +-+= +是奇函数,求,a b 的值； 解：因为()f x 是奇函数，所以(0)f =0，即 1 11201()22 x x b b f x a a +--=?=∴= ++ 又由f （1）= －f （－1）知1 1122 2.4 1 a a a --=- ?=++ 例3.已知函数2()(1)1 x x f x a a x -=+ >+，求证： （1）函数()f x 在(1,)-+∞上是增函数； （2）方程()0f x =没有负根． 分析：注意反证法的运用． 证明：（1）设121x x -<<，1 2 2112123()()()(1)(1) x x x x f x f x a a x x --=-+ ++， 1a > ，210x x a a ∴->， 又121x x -<<，所以210x x ->，110x +>，210x +>，则12()()0f x f x -< 故函数()f x 在(1,)-+∞上是增函数． （2）设存在00x <0(1)x ≠-，满足0()0f x =，则0 0021 x x a x -=-+．又0 01x a <<，002011 x x -∴<-<+ 即 0122 x <<，与假设00x <矛盾，故方程()0f x =没有负根． 点评：本题主要考察指数函数的单调性，函数和方程的内在联系． 【反馈演练】 1．函数)10()(≠>=a a a x f x 且对于任意的实数y x ,都有（ C ） A ．)()()(y f x f xy f = B ．)()()(y f x f xy f += C ．)()()(y f x f y x f =+ D ．)()()(y f x f y x f +=+ 2．设7 13=x ，则（ A ） A ．－2 B ．－3 C ．－1 D ．0 3．将y =2x 的图像 ( D ) 再作关于直线y =x 对称的图像，可得到函数2log (1)y x =+的图像． A ．先向左平行移动1个单位 B ．先向右平行移动1个单位 C ．先向上平行移动1个单位 D ． 先向下平行移动1个单位 4．函数b x a x f -=)(的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（ C ） A ．0,1<>b a B ．0,1>>b a C ．0,10>< D ．0,10<< 5．函数x a y =在[]1,0上的最大值与最小值的和为3，则a 的值为___2__． 6．若关于x 的方程4220x x m ++-=有实数根，求实数m 的取值范围． 解：由4220x x m ++-=得，2 19422(2)22 4 x x x m =--+=-++ <，(,2)m ∴∈-∞ 7．已知函数2 ()()(0,1)2 x x a f x a a a a a -= ->≠-． （1）判断()f x 的奇偶性； （2）若()f x 在R 上是单调递增函数，求实数a 的取值范围． 解：（1）定义域为R ，则2 ()()()2 x x a f x a a f x a --= -=--，故()f x 是奇函数． （2）设12x x R <∈，1 2 12 122 1()()()(1)2 x x x x a f x f x a a a a -+-= -+ -， 当01a <<时，得220a -<，即01a <<； 当1a >时，得220a -> ，即a > 综上，实数a 的取值范围是(0,1))?+∞． 第9课 对数函数及其性质 【考点导读】 1.理解对数函数的概念和意义，能画出具体对数函数的图像，探索并理解对数函数的单调性； 2.在解决实际问题的过程中，体会对数函数是一类重要的函数模型； 3.熟练运用分类讨论思想解决指数函数，对数函数的单调性问题． 【基础练习】 1. 函数)26(log 2 1 .0x x y -+=的单调递增区间是1[ ,2)4 ． 2. 函数2()log 21f x x =-的单调减区间是1 (,)2 -∞． 【范例解析】 例1. （1）已知log (2)a y ax =-在[0,1]是减函数，则实数a 的取值范围是_________． （2）设函数2()lg()f x x ax a =+-，给出下列命题： ①)(x f 有最小值； ②当0=a 时，)(x f 的值域为R ； ③当40a -<<时，)(x f 的定义域为R ； ④若)(x f 在区间),2[+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是4-≥a ． 则其中正确命题的序号是_____________． 分析：注意定义域，真数大于零． 解：（1）0,1a a >≠ ，2ax ∴-在[0,1]上递减，要使log (2)a y ax =-在[0,1]是减函数，则1a >；又 2ax -在[0,1]上要大于零，即20a ->，即2a <；综上，12a <<． （2）①)(x f 有无最小值与a 的取值有关；②当0=a 时，2 ()lg f x x R =∈，成立； ③当40a -<<时，若)(x f 的定义域为R ，则20x ax a +->恒成立，即2 40a a +<，即40a -<<成 立；④若)(x f 在区间),2[+∞上单调递增，则2, 2420.a a a ?-≤???+->? 解得a ∈?，不成立． 点评：解决对数函数有关问题首先要考虑定义域，并能结合对数函数图像分析解决． 例3.已知函数x x x x f -+-= 11log 1)(2 ，求函数)(x f 的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性. 分析：利用定义证明复合函数的单调性． 解：x 须满足,11011,0110 <<->-+? ?? ??>-+≠x x x x x x 得由所以函数)(x f 的定义域为（－1，0）∪（0，1）. 因为函数)(x f 的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x ，有 )()11log 1( 11log 1)(2 2 x f x x x x x x x f -=-+--=+--- =-，所以)(x f 是奇函数. 研究)(x f 在（0，1）内的单调性，任取x 1、x 2∈（0，1），且设x 1 , 0)112 ( log )112(log ,011)],112(log )112 ([log )11( 11log 111log 1)()(1 22 22 1 1 22 2 21 2 2 2 21 1 2 121>----->------+-=-++--+-= -x x x x x x x x x x x x x x x f x f 由 得)()(21x f x f ->0，即)(x f 在（0，1）内单调递减， 由于)(x f 是奇函数，所以)(x f 在（－1，0）内单调递减. 点评：本题重点考察复合函数单调性的判断及证明，运用函数性质解决问题的能力． 【反馈演练】 1．给出下列四个数：①2(ln 2)；②ln(ln 2) ；③ln ；④ln 2.其中值最大的序号是___④___. 2．设函数()log ()(0,1)a f x x b a a =+>≠的图像过点(2,1)，(8,2)，则a b +等于___5_ _． 3．函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠的图象恒过定点A ，则定点A 的坐标是(2,1)--． 4．函数]1,0[)1(log )(在++=x a x f a x 上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为 12 ． 5．函数()? ??>+-≤-=1,341 ,442x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2 log =的图象的交点个数有___3___个. 6．下列四个函数：①lg y x x =+； ②lg y x x =-；③lg y x x =-+； ④lg y x x =--.其中，函数图像只能是如图所示的序号为___②___. 第6题 7．求函数22()log 2log 4 x f x x =?,1 [,4]2 x ∈的最大值和最小值． 解：22 22()log 2log (log 1)(log 2)4 x f x x x x =?=+-2 22log log 2x x =-- 令2log t x =， 1 [,4]2 x ∈，则[1,2]t ∈-， 即求函数22y t t =--在[1,2]-上的最大值和最小值． 故函数()f x 的最大值为0，最小值为94 -． 8．已知函数()log a x b f x x b +=-(0,1,0)a a b >≠>． （1）求()f x 的定义域；（2）判断()f x 的奇偶性；（3）讨论()f x 的单调性，并证明． 解：（1）解：由 0x b x b +>-，故的定义域为()(,)b b -∞-?+∞． （2）()log ( )()a x b f x f x x b -+-==--- ，故()f x 为奇函数． （3）证明：设12b x x <<，则121221()()()()log ()() a x b x b f x f x x b x b +--=+-， 12212121()()2()10()() ()() x b x b b x x x b x b x b x b +---= >+-+-． 当1a >时，12()()0f x f x ∴->，故)(x f 在(,)b +∞上为减函数；同理)(x f 在(,)b -∞-上也为减函数； 当01a <<时，12()()0f x f x ∴-<，故)(x f 在(,)b +∞，(,)b -∞-上为增函数． 第10课 函数与方程 【考点导读】 1.能利用二次函数的图像与判别式的正负，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数零点与方程根的联系． 2.能借助计算器用二分法求方程的近似解，并理解二分法的实质． 3.体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法． 【基础练习】 1.函数2()44f x x x =++在区间[4,1]--有_____1 ___个零点． 2.已知函数()f x 的图像是连续的，且x 与()f x 有如下的对应值表： 则()f x 在区间[1,6]上的零点至少有___3__个． 【范例解析】 例1.()f x 是定义在区间[－c ，c ]上的奇函数，其图象如图所示：令()()g x af x b =+， 则下列关于函数()g x 的结论： ①若a <0，则函数()g x 的图象关于原点对称； ②若a =－1，－2 解：当0a <且0b ≠时，()()g x a f x b =+是非奇非偶函数，①不正确；当2a =-，0b =时，()2() g x f x =-是奇函数，关于原点对称，③不正确；当0a ≠，2b =时，2()f x a =-，由图知，当 222a -<- <时，2()f x a =- 才有三个实数根，故④不正确；故选②． 点评：本题重点考察函数与方程思想，突出考察分析和观察能力；题中只给了图像特征，因此，应用其图，察其形，舍其次，抓其本． 例2.设2()32f x ax bx c =++，若0a b c ++=，(0)0f >，(1)0f >． 求证：（1）0a >且12-<< -a b ； （2）方程()0f x =在(0,1)内有两个实根． 分析：利用0a b c ++=，(0)0f >，(1)0f >进行消元代换． 证明：（1）(0)0f c => ，(1)320f a b c =++>，由0a b c ++=，得b a c =--，代入(1)f 得： 0a c ->，即0a c >>，且01c a < <，即 1(2,1)b c a a =-- ∈--，即证． （2）11()02 4 f a =- < ，又(0)0f >，(1)0f >．则两根分别在区间1(0, )2，1( ,1)2内，得证． 点评：在证明第（2）问时，应充分运用二分法求方程解的方法，选取(0,1)的中点12 来考察1 ()2 f 的正负 是首选目标，如不能实现1 ()02f <，则应在区间内选取其它的值．本题也可选3b a - ，也可利用根的分布 来做． 【反馈演练】 1．设123)(+-=a ax x f ，a 为常数．若存在)1,0(0∈x ，使得0)(0=x f ，则实数a 的取值范围是 1(,1)( ,)2 -∞-?+∞ ． 2．设函数2,0, ()2,0. x bx c x f x x ?++≤=?>?若(4)(0)f f -=，(2)2f -=-，则关于x 的方程()f x x =解的个 数为 （ C ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．已知2 ()(0)f x ax bx c a =++≠，且方程()f x x =无实数根，下列命题： ①方程[()]f f x x =也一定没有实数根；②若0a >，则不等式[()]f f x x >对一切实数x 都成立； ③若0a <，则必存在实数0x ，使00 [()]f f x x > ④若0a b c ++=，则不等式[()]f f x x <对一切实数x 都成立． 其中正确命题的序号是 ①②④ ． 4．设二次函数2 ()f x x ax a =++，方程()0f x x -=的两根1x 和2x 满足1201x x <<<．求实数a 的取 值范围． 解：令2()()(1)g x f x x x a x a =-=+-+， 则由题意可得01012 (1)0(0)0a g g ?>?? -?< ?>??，，， ， 01133a a a a ?>? ?-< <->+?， ， 或 03a ?<<- 故所求实数a 的取值范围是(03-，． 5．已知函数2()log (41)()x f x kx k R =++∈是偶函数,求k 的值； 解： ()f x 是偶函数，()()f x f x ∴-= 22log (4 1)log (41)x x kx kx -∴+-=++220x kx ∴+= 由于此式对于一切x R ∈恒成立，1k ∴=- 6．已知二次函数c bx ax x f ++=2)(．若a>b >c ， 且f （1）=0，证明f （x ）的图象与x 轴有2个交点. 证明： 2(1)0,00,40,f a b c a b c a c b ac =++=>>∴><∴?=-> 且且 ()f x ∴的图象与x 轴有两个交点. 第11课 函数模型及其应用 【考点导读】 1.能根据实际问题的情境建立函数模型，结合对函数性质的研究，给出问题的解答． 2.理解数据拟合是用来对事物的发展规律进行估计的一种方法，会根据条件借助计算工具解决一些简单的实际问题． 3.培养学生数学地分析问题，探索问题，解决问题的能力． 【基础练习】 1今有一组实验数据如下： 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律， ①2log v t = ②12 log v t = ③2 12 t v -= ④22v t =- 其中最接近的一个的序号是______③_______． 2.某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x (0 < x < 1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x .已知年利润 = (出厂价－投入成本)×年销售量. (Ⅰ)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式； (Ⅱ)为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？ 解：（Ⅰ）由题意得y = [ 1.2×(1+0.75x )－1×(1 + x ) ] ×1000×( 1+0.6x )（0 < x < 1） 整理得 y = －60x 2 + 20x + 200（0 < x < 1）. （Ⅱ）要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当?? ?<<>?--. 10,01000)12.1(x y 即???<<>+-. 10,020602x x x 解不等式得31 0< 答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x 应满足0 < x < 0.33. 【范例解析】 例. 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示． (Ⅰ)写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式p =f (t )；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q =g (t )； (Ⅱ)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？ (注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg ，时间单位：天) 解：(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为 ()? ??≤<-≤≤-=.3002003002, 2000300t t t t t f ，， 由图二可得种植成本与时间的函数关系为 g (t )= 200 1(t －150)2 +100，0≤t ≤300． (Ⅱ)设t 时刻的纯收益为h (t )，则由题意得 h (t )=f (t )－g (t )， 即()???????≤<-+-≤≤++-=.3002002102527200 1,20002 175********t t t t t t t h ，， 当0≤t ≤200时，配方整理得 h (t )=－ 200 1(t －50)2+100， 所以，当t =50时，h (t )取得区间[0，200]上的最大值100； 当200 200 1(t －350)2+100， 所以，当t =300时，h (t )取得区间（200，300]上的最大值87.5． 综上:由100>87.5可知，h (t )在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t =50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大 【反馈演练】 1．把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，则这两个正三角形面积之和的最小值是 2 cm． 2．某地高山上温度从山脚起每升高100m降低0.7℃，已知山顶的温度是14.1℃，山脚的温度是26℃，则此山的高度为_____17_____m． 3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L1=5.06x－0.15x 2和L2=2x，其中x 为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为____45.6___万元．4．某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm2. 问x、y分别为多少时用料最省? 解：由题意得xy+ 4 1 x2=8，∴y= x x 4 8 2 - = 4 8x x -(0 则框架用料长度为l=2x+2y+2(x 2 2 )=( 2 3 +2)x+ x 16 ≥42 4 6+. 当( 2 3 +2)x= x 16 ,即x=8－42时等号成立. 此时，x=8－42，y=， 故当x为8－42m，y为时，用料最省. 第4题 函数的基本性质练习题 、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内。 1. (2010 浙江理)设函数的集合 P = < f (x) =log 2(x+a)+b a =- 丄0 1 1； y = _10l ］，则在同一直角坐标系中， P 中函数f(x)的图象恰好 经过 Q 中两个点的函数的个数是 A.关于原点对称 B. 关于直线y=x 对称 C.关于x 轴对称 D.关于y 轴对称 3. (2010广东理)3 .若函数f (x ) =3x +3-x 与g (x ) =3x -3-x 的定义域均为 R ,则 (4)设f(x)为定义在R 上的奇函数，当 x > 0时，f(x)= 2x +2x+b(b 为常数)，则f(-1)= (A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3 1 5. (2010湖南理)8.用min ：a,bf 表示a, b 两数中的最小值。若函数f x = min x x ? t 的图像关于直线x=- 2 对称，则t 的值为 A. -2 B . 2 C . -1 D . 1 6??若f(x)是R 上周期为5的奇函数，且满足 f(1)=1 , f(2)=2，则f(3)-f(4)= (A ) -1 (B) 1 (C) -2 (D) 2 7. (2009全国卷I 理)函数 f (x)的定义域为R ,若f(x ，1)与f(X-1)都是奇函数，则( ) A. f (x)是偶函数 Y-(X 2 -x j ：： f (X 2) -f (xj ：： ：(X 2 -x j ，下列结论正确的是 (A) 若 f(x) M ：1,g(xr M -2,则f(x) g(x) M ：2 1 1 2,0Rb7U ， 平面上点的集合 Q=g(x, y) (A ) 4 (B ) 6 (C ) 8 (D ) 10 2. (2010重庆理) 4x 1 2x 的图象 A. f (x)与g(x)与均为偶函数 B. f (x)为奇函数，g(x)为偶函数 C. f (x)与g(x)与均为奇函数 D. f (x)为偶函数，g(x)为奇函数 4. (2010山东理) B. f (x)是奇函数 C. f (x^f (x ■ 2) D. f (x ■ 3)是奇函数 8.对于正实数〉，记 M :.为满足下述条件的函数f ( x )构成的集合 一 X 1, x 2 ? R 且 X 2 > X 1 ,有 必修1第二章基本初等函数(Ⅰ)知识点整理 〖2.1〗指数函数 2.1.1指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 表示；当n 是偶数时，正数a 的正的n n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数 a 没有n 次方根． n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥． ③根式的性质：n a =；当n a =；当n 为偶数时， (0) || (0) a a a a a ≥?==? -∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数 指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底 数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r a b a b a b r R =>>∈ 2.1.2指数函数及其性质 （4）指数函数 〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算 （1）对数的定义 ①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数． ②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式: log 10a =，log 1a a =，log b a a b =． （3）常用对数与自然对数：常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…） ． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N -= ③数乘： log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N = ⑤log log (0,)b n a a n M M b n R b =≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a = >≠且 【2.2.2】对数函数及其性质 （5）对数函数 复习指南 1．注重基础和通性通法 在平时的学习中，应立足教材，学好用好教材，深入地钻研教材，挖掘教材的潜力，注意避免眼高手低，偏重难题，搞题海战术，轻视基础知识和基本方法的不良倾向，当然注重基础和通性通法的同时，应注重一题多解的探索，经常利用变式训练和变式引申来提高自己的分析问题、解决问题的能力。 2.注重思维的严谨性 平时学习过程中应避免只停留在“懂”上，因为听懂了不一定会，会了不一定对，对了不一定美。即数学学习的五种境界：听——懂——会——对——美。 我们今后要在第五种境界上下功夫，每年的高考结束，结果下来都可以发现我们宿迁市的考生与南方的差距较大，这就是其中的一个原因。 另外我们的学生的解题的素养不够，比如仅仅一点“规范答题”问题，我们老师也强调很多遍，但作为学生的你们又有几人能够听进去！ 希望大家还是能够做到我经常所讲的做题的“三观”： 1. 审题观 2. 思想方法观 3. 步骤清晰、层次分明观 3. 注重应用意识的培养 注重培养用数学的眼光观察和分析实际问题，提高数学的兴趣，增强学好数学的信心，达到培养创新精神和实践能力的目的。 4.培养学习与反思的整合 建构主义学习观认为知识并不是简单的由教师或者其他人传授给学生的，而只能由学生依据自身已有的知识、经验，主动地加以建构。学习是一个创造的过程，一个批判、选择、和存疑的过程，一个充满想象、探索和体验的过程。你不想学，老师强行的逼迫是不容易的或者说是作用不大，俗话说“强扭的瓜不甜”嘛！数学学习不但要对概念、结论和技能进行记忆，积累和模仿，而且还要动手实践，自主探索，并且在获得知识的基础上进行反思和修正。（这也就是我们经常将让大家一定要好好预习，养成自学的好习惯。）记得有一位中科院的教授曾经给“科学”下了一个定义：科学就是以怀疑和接纳新知识作为进步的标准的一门学问，仔细想来确实很有道理！ 所以我们在平时学习中要注意反思，只有这样才能使内容得到巩固，知识的得到拓展，能力得到提高，思维得到优化，创新能力得到真正的发展，希望大能够让数学反思成为我们的自然的习惯！ 5.注重平时的听课效率 听课效率高不仅可以让自己深刻的理解知识，而且事半功倍，可以省好多的时间。而有些同学则认为上课时听不到什么，索性就不听，抓紧课堂上的每一点时间做题，多做几道题心里就踏实。这种认识是不科学的，想象如果上课没有用的话，国家还开办学校干嘛？只要印刷课本就足够了，学生买了书就可以自己学习到时候参加考试就行了。 想想好多东西还是在课堂上聆听的，听听老师对问题的分析和解题技巧，老师是如何想到的，与自己预习时的想法比较。课堂上记下比较重要的东西，更重要的是跟着老师的思路，注重老师对题目的分析过程。课后宁愿花时间去整理笔记，因为整理笔记实际上是一种知识的整合和再创造！回忆课堂上老师是怎样讲的，自己在整理时有比较好的想法， 学而思高中完整讲义：统计.板块一.随机抽样.学生版 题型一：数学归纳法基础 【例1】已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1111111 12()234 124 2n n n n -+-+ +=+++ -++时，若已假设2(≥=k k n 为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证 （ ） A ．1+=k n 时等式成立 B ．2+=k n 时等式成立 C ．22+=k n 时等式成立 D ．)2(2+=k n 时等式成立 【例2】已知n 是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k （2≥k 且为偶数）时命题 为真，，则还需证明（ ） A.n=k+1时命题成立 B. n=k+2时命题成立 C. n=2k+2时命题成立 D. n=2（k+2）时命题成立 【例3】某个命题与正整数n 有关，如果当)(+∈=N k k n 时命题成立，那么可推得当 1+=k n 时命题也成立. 现已知当7=n 时该命题不成立，那么可推得 （ ） A ．当n=6时该命题不成立 B ．当n=6时该命题成立 C ．当n=8时该命题不成立 D ．当n=8时该命题成立 【例4】利用数学归纳法证明 “* ),12(312)()2)(1(N n n n n n n n ∈-???????=+???++ ”时，从“k n =”变到“1+=k n ”时，左边应增乘的因式是 （ ） A 12+k B 112++k k C 1)22)(12(+++k k k D 1 3 2++k k 【例5】用数学归纳法证明),1(1112 2 *+∈≠--= ++++N n a a a a a a n n ，在验证n=1时，左边计算所得的式子是（ ） A. 1 B.a +1 C.2 1a a ++ D. 4 2 1a a a +++ 【例6】用数学归纳法证明n n n n n 2)()2)(1(=+++ ))(12(31*∈+????N n n ，从“k 到k+1”左端需乘的代数式是（ ） 典例分析 第二章 函数单元检测题 说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共50分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1.下列各式中,表示y 是x 的函数的有 ①y =x -(x -3);②y =2-x +x -1;③y =???≥+<-);0(1), 0(1x x x x ④y =???). (1),(0为实数为有理数x x A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 解析:①③表示y 是x 的函数;在②中由???≥-≥-0 1, 02x x 知x ∈?,因为函数定义域不能是空集， 所以②不表示y 是x 的函数;在④中若x =0,则对应的y 的值不唯一，所以④不表示y 是x 的函数. 答案:C 2.函数f (x )=2x 2-mx +3,当x ∈［-2,+∞)时是增函数，当x ∈(-∞,-2］时是减函数，则f (1)等于 A.-3 B.13 C.7 D.由m 而定的常数 解析:由题意可知，x =-2是f (x )=2x 2-mx +3的对称轴，即- 4 m -=-2, ∴m =-8.∴f (x )=2x 2+8x +3. ∴f (1)=13. 答案:B 3.已知f (x )=3x +1(x ∈R),若|f (x )-4|0),则a 、b 之间的关系为 A.a ≤3b B.b ≤3a C.b >3 a D.a >3b 解析:|f (x )-4| 第二章 基本初等函数知识点 一、指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N * ． ◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，???<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m ， )1,,,0(1 1*>∈>= = -n N n m a a a a n m n m n m ◆ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += （2）rs s r a a =)( （3）s r r a a ab =)( （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a ，b]上， )1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○ 2 x N N a a x =?=log ； ○ 3 注意对数的书写格式． 两个重要对数： ○ 1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化 幂值 真数 （二）对数的运算性质 如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○ 2 =N M a log M a log －N a log ； 2020年中考数学总复习二十个专题知识复习讲 义（精华版） 中考总复习1 有理数 知识要点 1、有理数的基本概念 (1)正数和负数 定义：大于0的数叫做正数。在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数。 0既不是正数，也不是负数。 (2)有理数 正整数、0、负整数统称整数。正分数、负分数统称分数。整数和分数统称为有理数。 2、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 3、相反数 代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 几何定义：在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。 一般地，a和-a互为相反数。0的相反数是0。 a =-a所表示的意义是：一个数和它的相反数相等。很显然，a =0。 4、绝对值 定义：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a |。 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 即：如果a >0，那么|a |=a ； 如果a =0，那么|a |=0； 如果a <0，那么|a |=-a 。 a =|a |所表示的意义是：一个数和它的绝对值相等。很显然，a ≥0。 5、倒数 定义：乘积是1的两个数互为倒数。 1a a =所表示的意义是：一个数和它的倒数相等。很显然，a =±1。 6、数的比较大小 法则：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。 7、乘方 定义：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方。乘方的结果叫做幂。 如：43421Λa n n a a a a 个???=读作a 的n 次方（幂），在a n 中，a 叫做底数，n 叫 做指数。 性质：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0的任何正整数次幂都是0。 8、科学记数法 定义：把一个大于10的数表示成a ×10n 的形式(其中a 大于或等于1且 高一数学复习讲义09年版 函数部分(1) 重点：1把握函数基本知识（定义域、值域） x（a>0、<0) 主要是指数函数y=a x（a>0、<0),对数函数y=log a 2二次函数（重点）基本概念（思维方式）对称轴、 开口方向、判别式 考点1：单调函数的考查 2：函数的最值 3：函数恒成立问题一般函数恒成立问题(重点讲) 4：个数问题（结合函数图象） 3反函数（原函数与对应反函数的关系）特殊值的取舍 4单调函数的证明(注意一般解法） 简易逻辑(较容易) 1. 2. 3. 4. 启示：对此部分重点把握第3题、第4题的解法（与集合的关系） 问题1：恒成立问题解法及题型总结(必考) 一般有5类：1、一次函数型：形如：给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m, n]内恒有f(x)>0(<0) 练习：对于满足0 第二章基本初等函数知识点整理 〖2.1〗指数函数 （1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 表示；当n 是偶数时，正数a 的正的n n 次方根用符号表示；0的n 次方根是0；负数 a 没有n 次方根． n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥． ③根式的性质：n a =；当n a =；当n 为偶数时， (0) || (0) a a a a a ≥?==?-∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数 指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底 数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r a b a b a b r R =>>∈ （4）指数函数 【 （1）对数的定义 ①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数． ②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式: log 10a =，log 1a a =，log b a a b =． （3）常用对数与自然对数：常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N -= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N = ⑤log log (0,)b n a a n M M b n R b =≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且 【 （5）对数函数 (6)反函数的概念 题型一：复数的概念 【例1】若复数()()2321a a a i -++-是纯虚数,则实数a 的值为( ） Ａ．1?? B ．2???C.1或2?? D ．1- 【例2】若复数为纯虚数,则实数的值为( ） A ． B. C. D ．或 【例3】已知02a <<,复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是（ ） A.()15，? B ．()13，??C.() 15， D.() 13， 【例4】若复数(2)i bi ?+是纯虚数，则实数b = . 【例5】设1z 是复数,211z z iz =-（其中1z 表示1z 的共轭复数）,已知2z 的实部是1-,则2z 的虚部 为 . 【例6】复数3 2 1i +=（ ） Ａ.12i + ? ?B.12i - ???C ．1- ? Ｄ．3 【例7】计算：0!1!2!100!i +i +i + +i = （i 表示虚数单位） 2 (1)(1)z x x i =-+-x 1-011-1典例分析 复数 【例8】设22(253)(22)i z t t t t =+-+-+,t ∈R ，则下列命题中一定正确的是( ) A ．z 的对应点Z 在第一象限 B.z 的对应点Z 在第四象限 Ｃ．z 不是纯虚数 D ．z 是虚数 【例9】在下列命题中，正确命题的个数为( ） ①两个复数不能比较大小； ①若22(1)(32)i x x x -+++是纯虚数，则实数1x =±; ①z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ； ①若a b ，是两个相等的实数，则()()i a b a b -++是纯虚数； ①z ∈R 的一个充要条件是z z =． ①1z =的充要条件是1 z z =． A ．１ Ｂ.２? C ．３? D.4 题型二:复数的几何意义 【例10】复数i i z -+=1)2(2 （i 是虚数单位)在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限? B.第二象限 ?C.第三象限 D.第四象限 【例11】复数13i z =+,21i z =-,则复数 1 2 z z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限? B ．第二象限 C.第三象限?? D ．第四象限 【例12】在复平面内，复数2009 2 1i (1i)+-对应的点位于（ ） A ．第一象限 ? B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【例13】在复平面内,复数sin2cos2z i =+对应的点位于( ） A ．第一象限?? B.第二象限?? Ｃ．第三象限? ?D ．第四象限 函数的基本性质练习题 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内。 1．（2010浙江理）设函数的集合211()log (),0,,1;1,0,122 P f x x a b a b ??==++=-=-??? ? ， 平面上点的集合1 1(,),0,,1;1,0,122 Q x y x y ??==-=-??? ? ，则在同一直角坐标系中，P 中函数()f x 的图象恰好．． 经过Q 中两个点的函数的个数是 （A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）10 2. （2010重庆理）(5) 函数()41 2 x x f x +=的图象 A. 关于原点对称 B. 关于直线y=x 对称 C. 关于x 轴对称 D. 关于y 轴对称 3. （2010广东理）3．若函数f （x ）=3x +3-x 与 g （x ）=3x -3-x 的定义域均为R ，则 A. )(x f 与)(x g 与均为偶函数 B.)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数 C. )(x f 与)(x g 与均为奇函数 D.)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数 4. （2010山东理）（4）设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=2x +2x+b(b 为常数)，则f(-1)= (A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3 5. （2010湖南理）8.用{}min ,a b 表示a ，b 两数中的最小值。若函数(){}min ||,||f x x x t =+的图像关于直线x=1 2 -对称，则t 的值为 A ．-2 B ．2 C ．-1 D ．1 6. .若f(x)是R 上周期为5的奇函数，且满足f(1)=1，f(2)=2，则f(3)-f(4)= （A ）-1 (B) 1 (C) -2 (D) 2 7. （2009全国卷Ⅰ理）函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则( ) A.()f x 是偶函数 B.()f x 是奇函数 C.()(2)f x f x =+ D.(3)f x +是奇函数 人教版高中数学必修一第二章基本初等函 数知识点总结 第二章 基本初等函数 一、指数函数 (一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念: 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0,=0。 注意:(１)n a = (２)当 a = ，当 n 是偶数时,0 ||,0 a a a a a ≥?==?-∈>且 正数的正分数指数幂的意义：_1(0,,,1)m n m n a a m n N n a *= >∈>且 0的正分数指数幂等于０,0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 (1)(0,,)r s r s a a a a r s R +=>∈ （2）()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ (3）(b)(0,0,)r r r a a b a b r R =>>∈ 注意：在化简过程中，偶数不能轻易约分;如122 [(1]11-≠ (二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数x y a = 叫做指数函数,其中x 是自变量，函数的定义域为Ｒ. 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1.即 a>0且a ≠１ 2a>1 注意： 指数增长模型：ｙ=N(1+p ）指数型函数： y=k ａ３ 考点：(１)ａb ＝N, 当ｂ>0时，a,N 在1的同侧；当b<0时，ａ，N 在1的 异侧。 （2)指数函数的单调性由底数决定的,底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比较 幂的大小，同底找对应的指数函数，底数不同指数也不同插进1（=a 0)进行传递或者利用（１）的知识。 （3）求指数型函数的定义域可将底数去掉只看指数的式子，值域求法用单调性。 (4)分辨不同底的指数函数图象利用a 1=ａ，用ｘ=1去截图象得到对应的底数。 (5)指数型函数:ｙ=Ｎ(１＋p)x 简写：y=ka x 二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地，如果x a N = ,那么数ｘ 叫做以ａ 为底N 的对数，记作：log a x N = （ ａ— 底数， N — 真数，log a N — 对数式） 说明：1. 注意底数的限制,a>0且ａ≠1;2. 真数N>０ 3． 注意对数的书写格式. 2、两个重要对数： （1）常用对数：以1０为底的对数， 10log lg N N 记为 ; (2)自然对数：以无理数e 为底的对数的对数 , log ln e N N 记为． 3、对数式与指数式的互化 log x a x N a N =?= 对数式 指数式 对数底数← a → 幂底数 对数← x → 指数 真数← N → 幂 结论:（1)负数和零没有对数 高中数学讲义 题型一：复数的概念 【例1】若复数()()2321a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．1- 【例2】若复数为纯虚数，则实数的值为（ ） A ． B ． C ． D ．或 【例3】已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是（ ） A ．()15， B ．()13， C ．(1 D ．(1 【例4】若复数(2)i bi ?+是纯虚数，则实数b = ． 【例5】设1z 是复数，211z z iz =-（其中1z 表示1z 的共轭复数），已知2z 的实部是1-，则2z 的虚部 为 ． 【例6】复数3 2 1i +=（ ） A ．12i + B ．12i - C ．1- D ．3 【例7】计算：0!1!2! 100!i +i +i + +i = （i 表示虚数单位） 2(1)(1)z x x i =-+-x 1-011-1典例分析 复数 高中数学讲义 【例8】设22(253)(22)i z t t t t =+-+-+，t ∈R ，则下列命题中一定正确的是（ ） A ．z 的对应点Z 在第一象限 B ．z 的对应点Z 在第四象限 C ．z 不是纯虚数 D ．z 是虚数 【例9】在下列命题中，正确命题的个数为（ ） ①两个复数不能比较大小； ②若22(1)(32)i x x x -+++是纯虚数，则实数1x =±； ③z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ； ④若a b ， 是两个相等的实数，则()()i a b a b -++是纯虚数； ⑤z ∈R 的一个充要条件是z z =． ⑥1z =的充要条件是1 z z =． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 题型二：复数的几何意义 【例10】复数i i z -+=1)2(2 （i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【例11】复数13i z =+，21i z =-，则复数 1 2 z z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【例12】在复平面内，复数2009 2 1i (1i)+-对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【例13】在复平面内，复数sin 2cos 2z i =+对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 第二章 函数概念与基本初等函数 专题2 函数的基本性质（理科） 【三年高考】 1. 【2017课标1，理5】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]- B ．[1,1]- C ．[0,4] D ．[1,3] 【答案】D 2.【2017北京，理5】已知函数1 ()3()3 x x f x =-，则()f x （A ）是奇函数，且在R 上是增函数 （B ）是偶函数，且在R 上是增函数 （C ）是奇函数，且在R 上是减函数 （D ）是偶函数，且在R 上是减函数 【答案】A 【解析】()()113333x x x x f x f x --????-=-=-=- ? ?????，所以函数是奇函数，并且3x 是增函数，13x ?? ??? 是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选A. 3.【2017山东，理15】若函数()x e f x （ 2.71828e = 是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 . ①()2x f x -= ②()3x f x -= ③()3f x x = ④()22f x x =+ 【答案】①④ 【解析】①()22x x x x e e f x e -??=?= ???在R 上单调递增，故()2x f x -=具有M 性质； ②()33x x x x e e f x e -??=?= ???在R 上单调递减，故()3x f x -=不具有M 性质； ③()3x x e f x e x =?，令()3x g x e x =?，则()()32232x x x g x e x e x x e x '=?+?=+，∴当2x >-时， 第一章 集合与简易逻辑 第1课时 集合的概念及运算 【考点导读】 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用． 2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义． 3. 理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给定集合中一个子集补集的含义，会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用． 4. 集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等式要复杂一些，综合性较强，往往渗透数形思想和分类讨论思想． 【基础知识部分】 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表 示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集. B {x A A = ?=? B A ? B B ? B {x A A = A ?= B A ? B B ? ()U A =e 2()U A A U =e 【范例解析】 例.已知R 为实数集，集合2{320}A x x x =-+≤.若R B C A R ?=， {01R B C A x x ?=<<或23}x <<，求集合B . 【基础练习】 1.集合{(,)02,02,,}x y x y x y Z ≤≤≤<∈用列举法表示 ． 2.设集合{21,}A x x k k Z ==-∈，{2,}B x x k k Z ==∈，则A B ?= ． 3.已知集合{0,1,2}M =，{2,}N x x a a M ==∈，则集合M N ?=_______． 4.设全集{1,3,5,7,9}I =，集合{1,5,9}A a =-，{5,7}I C A =，则实数a 的值为_______． 【反馈演练】 1．设集合{ }2,1=A ，{}3,2,1=B ，{}4,3,2=C ，则()C B A U ?=_________． 2．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合 P +Q =},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q ，则P +Q 中元素的个数是_______个． )()()U U B A B =?)()() U U B A B =? 复数 一、知识点梳理： 1、 i 的周期性： 4 4n+1 4n+2 4n+3 4n i =1 ，所以， i =i, i =-1, i =-i, i =1 n Z 4n 4n 1 4n 2 4n 3 i i i i C a bi |a,b R 叫做复数集。 N Z Q R C. 3、复数相等： a bi c di a c 且b=d ； a bi 0 a 0且b=0 实数 (b=0) 4、复数的分类： 复数 Z a bi 一般虚数 (b 0,a 0) 虚数 (b 0) 纯虚数 (b 0,a 0) 虚数不能比较大小，只有等与不等。即使是 3 i,6 2i 也没有大小。 uur uur 5、复数的模：若向量 OZ 表示复数 z ，则称 OZ 的模 r 为复数 z 的模， z |a bi| a 2 b 2 ； 8、复数代数形式的加减运算 复数 z 1与 z 2的和： z 1+z 2=( a +bi )+( c +di )=( a +c )+( b +d )i . a, b, c, d R 复数 z 1与 z 2的差： z 1- z 2=( a +bi )-( c +di )=( a - c )+( b -d )i . a, b, c, d R 复数的加法运算满足交换律和结合律 数加法的几何意义： 复数 z 1=a +bi ，z 2=c +di a, b,c, d R ；OZ = OZ 1 +OZ 2 =( a ，b )+( c ， d )=( a +c ，b +d ) ＝( a +c )+( b +d )i uurur uuuur uuuur 复数减法的几何意义：复数 z 1- z 2的差( a － c )+( b －d )i 对应 由于 Z 2Z 1 OZ 1 OZ 2 ，两个 复数的差 z －z 1 与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应 . 9. 特别地， z u A u B ur z B － z A. ， z u A u B ur AB z B z A 为两点间的距离。 |z z 1 | |z z 2 |z 对应的点的轨迹是线段 Z 1Z 2的垂直平分线； |z z 0| r ， z 对应 的点的 2 、复数的代数形式： a bi a,b R ， a 叫实部， b 叫虚部，实部和虚部都是实数。 积或商的模可利用模的性质( 1) z 1 L z n z 1 z 2 L z n ，(2) z 1 z 1 z 2 z 2 z 2 6、复数的几何意义： 复数 z a bi a,b R 一一对应 复平面内的点 Z(a,b) 一一对应 uur 复数 Z a bi a,b R 平面向量 OZ ， 7、复平面： 这个建立了直角坐标系来表示复数的坐标平面叫其中 x 轴叫做实轴， y 轴叫做虚轴 ，实轴上的点都表示实数； 除了原点外， 虚轴上的点都表示纯虚数 高中数学必修一第二章函数单元测试题 一、选择题： 1 、若()f x =(3)f = （ ） A 、2 B 、4 C 、 D 、10 2、对于函数()y f x =，以下说法正确的有 （ ） ①y 是x 的函数；②对于不同的,x y 的值也不同；③()f a 表示当x a =时函数()f x 的值，是一个常量；④()f x 一定可以用一个具体的式子表示出来。 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 3、下列各组函数是同一函数的是（ ） ①()f x = ()g x =；②()f x x = 与2 ()g x =；③0()f x x =与0 1()g x x = ；④2()21f x x x =--与2()21g t t t =--。 A 、①② B 、①③ C 、③④ D 、①④ 4、二次函数245y x mx =-+的对称轴为2x =-，则当1x =时，y 的值为 （ ） A 、7- B 、1 C 、17 D 、25 5 、函数y =的值域为 （ ） A 、[]0,2 B 、[]0,4 C 、(],4-∞ D 、[)0,+∞ 6、下列四个图像中，是函数图像的是 （ ） A 、（1） B 、（1）、（3）、（4） C 、（1）、（2）、（3） D 、（3）、（4） 7、若:f A B →能构成映射，下列说法正确的有 （ ） （1）A 中的任一元素在B 中必须有像且唯一；（2）B 中的多个元素可以在A 中有相同的原像；（3）B 中的元素可以在A 中无原像；（4）像的集合就是集合B 。 A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个 8、)(x f 是定义在R 上的奇函数，下列结论中，不正确．．． 的是( ) A 、()()0f x f x -+= B 、()()2()f x f x f x --=- C 、()()0f x f x - ≤ D 、 () 1() f x f x =-- （1） （2） （3） （4） 版块一：事件及样本空间 1．必然现象与随机现象 必然现象是在一定条件下必然发生某种结果的现象； 随机现象是在相同条件下，很难预料哪一种结果会出现的现象． 2．试验：我们把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验，把观察结果或实验的结果称为试验的结果． 一次试验是指事件的条件实现一次． 在同样的条件下重复进行试验时，始终不会发生的结果，称为不可能事件； 在每次试验中一定会发生的结果，称为必然事件； 在试验中可能发生，也可能不发生的结果称为随机事件． 通常用大写英文字母A B C L ，，，来表示随机事件，简称为事件． 3．基本事件：在一次试验中，可以用来描绘其它事件的，不能再分的最简单的随机事件，称为基本事件．它包含所有可能发生的基本结果． 所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用Ω表示． 版块二：随机事件的概率计算 1．如果事件A B ，同时发生，我们记作A B I ，简记为AB ； 2．一般地，对于两个事件A B ，，如果有()()()P AB P A P B =，就称事件A 与B 相互独立，简称A 与B 独立．当事件A 与B 独立时，事件A 与B ，A 与B ，A 与B 都是相互独立的． 3．概率的统计定义 一般地，在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率 m n ，当n 很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n 的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记为()P A ． 从概率的定义中，我们可以看出随机事件的概率()P A 满足：0()1P A ≤≤． 当A 是必然事件时，()1P A =，当A 是不可能事件时，()0P A =． 4．互斥事件与事件的并 互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，或称互不相容事件． 由事件A 和事件B 至少有一个发生（即A 发生，或B 发生，或A B ， 都发生）所构成的事件C ，称为事件A 与B 的并（或和），记作C A B =U ． 若C A B =U ，则若C 发生，则A 、B 中至少有一个发生，事件A B U 是由事件A 或B 所包含的基本事 知识内容 板块一.事件及样本空间人教版高中必修一数学第二章函数的基本性质综合练习题
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第二章函数单元检测题
第二章 基本初等函数知识点
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