2011届高考总复习天津101中学精品教学案：三角函数单元(教师版全套)

三角函数

1．了解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；理解任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切．

2．掌握三角函数的公式（同角三角函数基本关系式、诱导公式、和、差角及倍角公式）及运用．

3．能正确运用三角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和条件等式及恒等式的证明．

4．掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质；会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图象、并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象．会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数和)(sin ?ω+=x A y 的简图，理解?ω、A 、的物理意义．

5．会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx ，arccosx ，arctanx 表示角．

6．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题．

三角部分的知识是每年高考中必考的内容，近几年的高考对这部分知识的命题有如下特点：1．降低了对三角函数恒等变形的要求，加强了对三角函数图象和性质的考查．尤其是三角函数的最大值与最小值、周期．

2．以小题为主．一般以选择题、填空题的形式出现，多数为基础题，难度属中档偏易．其次在解答题中多数是三角函数式的恒等变形，如运用三角公式进行化简、求值解决简单的综合题等．

3．更加强调三角函数的工具性，加强了三角函数与其它知识的综合，如在解三角形、立体几何、平面解析几何中考查三角函数的知识．

第1课时任意角的三角函数

一、角的概念的推广

1．与角α终边相同的角的集合为．

2．与角α终边互为反向延长线的角的集合为．3．轴线角（终边在坐标轴上的角）

终边在x 轴上的角的集合为

，终边在y 轴上的角的集合为，终边在坐标轴上的角的集合为．

4．象限角是指：．

5．区间角是指：．

6．弧度制的意义：圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为1弧度的角，它将任

意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系．7．弧度与角度互化：180o＝弧度，1o＝弧度，1弧度＝ ≈ o．8．弧长公式：l ＝；扇形面积公式：S ＝ .二、任意角的三角函数

9．定义：设P(x, y)是角α终边上任意一点，且 |PO| ＝r ，则sin α＝； cos α＝；tan α＝；

10．三角函数的符号与角所在象限的关系：

1213．三角函数线：在图中作出角α的正弦线、余弦线、正切线．

－＋－

cos x ,

＋＋－－ sin x ,

－＋＋－ tan x ,

x y

O x

O x y O

α2α,2

的终边所在位置.

解： ∵α是第二象限的角，

∴k·360°+90°＜α＜k·360°+180°（k ∈Z ）.

（1）∵2k·360°+180°＜2α＜2k·360°+360°（k ∈Z ），

∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上.

（2）∵k·180°+45°＜

＜k·180°+90°（k ∈Z ），

当k=2n （n ∈Z ）时，n·360°+45°＜

＜n·360°+90°；

当k=2n+1（n ∈Z ）时，n·360°+225°＜2

＜n·360°+270°.

∴

是第一或第三象限的角.

（3）∵k·120°+30°＜3

＜k·120°+60°（k ∈Z ），

当k=3n （n ∈Z ）时，n·360°+30°＜

＜n·360°+60°；

当k=3n+1（n ∈Z ）时，n·360°+150°＜

＜n·360°+180°；

当k=3n+2（n ∈Z ）时，n·360°+270°＜3

＜n·360°+300°.

∴

是第一或第二或第四象限的角.

变式训练1：已知α是第三象限角，问

是哪个象限的角？

解： ∵α是第三象限角，∴180°+k·360°＜α＜270°+k·360°（k ∈Z ），60°+k·120°＜

＜90°+k·120°.

①当k=3m(m ∈Z )时，可得60°+m·360°＜3

＜90°+m·360°（m ∈Z ）.

故

的终边在第一象限.

②当k=3m+1 (m ∈Z )时，可得180°+m·360°＜

＜210°+m·360°（m ∈Z ).

故

的终边在第三象限.

③当k=3m+2 （m ∈Z ）时，可得300°+m·360°＜3

＜330°+m·360°（m ∈Z ）.

故

的终边在第四象限.

综上可知，3

是第一、第三或第四象限的角.

例2. 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合:(1)sin α≥

3;(2)cos α≤2

解：（1）作直线y=2

3交单位圆于A 、B 两点，连结OA 、OB ，

则OA 与OB 围成的区

域即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为

|2k π+

≤α≤2k π+

2π

，k ∈Z .

（2）作直线x=2

1-交单位圆于C 、D 两点，连结OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域（图

中阴影部分）

即为角α终边的范围.故满足条件的角α的集合为

?∈+≤≤+Z k k k ,342322|ππαππα.变式训练2：求下列函数的定义域：

（1）y=

cos 2-x ；（2）y=lg(3-4sin 2x ）.

解：（1）∵2cosx-1≥0，∴cosx≥2

由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影所示).∴x ∈?

????

32,3

2ππππ

k k （k ∈Z ）.

（2）∵3-4sin 2

x ＞0,∴sin 2

x ＜4

3,∴-2

3＜sinx ＜

利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如右图阴影),∴x ∈（k π-3

,k π+

）（k ∈Z ).

例3. 已知角α的终边在直线3x+4y=0上，求sin α,cos α,tan α的值.

解：∵角α的终边在直线3x+4y=0上，∴在角α的终边上任取一点P(4t,-3t) (t≠0),

则x=4t,y=-3t, r=

)

3()4(2

=-+=+t t y

x |t|,

当t ＞0时，r=5t, sin α=5353-

=-=t t r y ,cos α=5

454=

t r

x ,

tan α=

343-

=-=t

t x y ;

当t ＜0时，r=-5t,sin α=5

353=

--=

t r

y ,

cos α=5

454-

=-=

t t r x ,

tan α=

343-

=-=t

t x y .

综上可知，t ＞0时，sin α=5

,cos α=54,tan α=4

;

t ＜0时，sin α=5

,cos α=-5

,tan α=4

变式训练3：已知角θ的终边经过点P ()(0),sin 4

m m m θ≠=且，试判断角θ所在

的象限，并求cos tan θθ和的值．

解：由题意，得

0,4

r m m =

∴

≠∴=

故角θ是第二或第三象限角．

当m =

,r =P 的坐标为(，

cos tan 4

x y r

θθ∴===-===-

当m =,r =P 的坐标为(，

cos tan 4

x y r

θθ∴===-===例4. 已知一扇形中心角为α，所在圆半径为R ． (1) 若α3

，R ＝2cm ，求扇形的弧长及该弧所在弓形面积；

(2) 若扇形周长为一定值C(C>0)，当α为何值时，该扇形面积最大，并求此最大值．解：（1）设弧长为l ，弓形面积为S 弓。

)(32cm l π=

S S S -=扇弓△＝3

sin

123

π??-

＝)

π（cm 2

）

扇形周长R R l R C 222+=+= ∴2

2+=C R

∴2

)

1+?=

C R S αα扇

4241

441

≤+

++?

=α

αα

当且仅当22

＝4，即α＝2时扇形面积最大为

．

变式训练4：扇形OAB 的面积是1cm 2

，它的周长是4cm ，求中心角的弧度数和弦长AB ．解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，中心角的弧度数为α 则有

?????==+12

42lr l r ∴??

?==2

1l r

由|α|＝r

l 得α＝2 ∴|AB|＝2·sin 1( cm )

1．本节内容是三角函数的基础内容，也是后续结论的根源所在，要求掌握好：如角度的范

围、函数的定义、函数值的符号、函数值的大小关系及它们之间的相互转化关系． 2．在计算或化简三角函数的关系式时，常常要对角的范围以及相应的三角函数值的正负情况进行讨论，因此，在解答这类题时首先要弄清：①角的范围是什么？②对应的三角函数值是正还是负？③与此相关的定义、性质或公式有哪些?

第2课时同角三角函数的基本关系及诱导公式

1．同角公式：

(1) 平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1，1＋tan 2α＝，1＋cot 2α＝ (2) 商数关系：tanα＝，cotα＝

(3) 倒数关系：tanα ＝1，sinα ＝1，c otα ＝1 2．诱导公式：

规律：奇变偶不变，符号看象限

3．同角三角函数的关系式的基本用途：

根据一个角的某一个三角函数值，求出该角的其他三角函数值；化简同角三角函数式；证明

同角的三角恒等式．

4．诱导公式的作用：

0°~90o角的三角函数值．例1. 已知f(α)=)

sin()t an()

t an()2cos()sin(αππαπααπαπ-----+---;

（1）化简f(α);

（2）若α是第三象限角，且cos 5

23=??? ?

πα

，求f(α)的值.

解：（1）f （α）=α

ααααsin tan )

tan (cos sin -??=-cos α.

（2）∵cos ??

??-

23πα

=-sin α,

∴sin α=-5

,cos α=-6

152

=-,

∴f(α)=

变式训练1：已知A ＝)

(cos )

cos(sin )

sin(Z k k k ∈++

+α

απα

απ则A 构成的集合是 ( )

A ．{－1, 1, －2, 2}

B ．{1, －1}

C ．{2, －2}

D ．{－2, －1, 01, 2}

解：C

例2．求值：(1) 已知5

3)7cos(,2-

=-<<παπαπ，求)

cos(

απ

+的值．

2) 已知

tan tan -=-αα，求下列各式的值．①

αααcos sin cos 3sin +-；②2

cos sin sin 2++ααα

解：（1）54)22

cos(=

+π

；（2）

5cos sin cos 3sin -

=+-α

ααα

变式训练2：化简：① )

4sin()8cos(tan )5sin(πθθπθπθ---?

?-， ②

)

cos()4

sin(π

απ

α+

解：①原式＝sin θ ② 原式＝0 例3. 已知－

，sin x ＋cos x ＝5

．

（1）求sin x －cos x 的值．（2）求

x x

x tan 1sin

22sin 2

-+的值．

解：( 1 ) －5

，( 2 ) －

175

变式训练3：已知sin θ +cos θ=5

,θ∈(0,π).求值：

（1）tan θ;（2）sin θ-cos θ;（3）sin 3θ+cos 3θ.

解方法一 ∵sin θ+cos θ=5

,θ∈(0,π),

∴(sin θ+cos θ)2=25

1=1+2sin θcos θ，

∴sin θcos θ=-25

12＜0.

由根与系数的关系知， sin θ,cos θ是方程x 2-51

x-25

12=0的两根，

解方程得x 1=5

4,x 2=-5

∵sin θ＞0,cos θ＜0,∴sin θ=5

4,cos θ =-5

∴（1）tan θ=-3

（2）sin θ-cos θ=5

（3）sin

+cos

125

37.

方法二（1）同方法一. （2）（sin θ-cos θ）2=1-2sin θ·cos θ =1-2×??

2512=

49.

∵sin θ＞0,cos θ＜0,∴sin θ-cos θ＞0, ∴sin θ-cos θ=57

（3）sin 3θ+cos 3θ=(sin θ+cos θ)(sin 2θ-sin θcos θ+cos 2θ) =51

×??

? ??+

25121=

125

37.

例4．已知tan α=2,求下列各式的值：（1）α

αααcos 9sin 4cos 3sin 2--;

（2）

ααα2

2cos 9sin

4cos 3sin 2--;

（3）4sin 2α-3sin αcos α-5cos 2α. 解：（1）原式=1

243229

tan 43tan 2-=-?-?=

--αα.

（2）

243229

tan 43tan 2cos 9sin

4cos 3sin 22

-?-?=

--=

--ααα

ααα.

（3）∵sin 2

α+cos 2

α=1,

∴4sin 2α-3sin αcos α-5cos 2α =

ααααα2

cos sin

cos 5cos sin 3sin

4+--

23441

tan 5

tan 3tan 42

=+-?-?=

+--ααα.

变式训练4：已知sin(θ+k π)=-2cos(θ+k π) (k ∈Z ). 求:（1）

θθθsin 3cos 5cos 2sin 4+-;

（2）4

sin 2θ+5

cos 2θ.

解：由已知得cos(θ+k π)≠0,

∴tan(θ+k π)=-2(k ∈Z ),即tan θ=-2. （1）

tan 352tan 4sin 3cos 5cos 2sin 4=+-=

+-θ

θθ

θθθ.

（2）4

1sin 2θ+5

cos 2θ=

θθ

θ22

2cos sin

cos 52sin 4

tan 52tan 4

=++θθ.

．求函数的定义域一般有三类问题：一是给出解释式（如例1），应抓住使整个解式有意义的自变量的集合；二是未给出解析式（如例2），就应抓住内函数的值域就是外函数的定义域；三是实际问题，此时函数的定义域除使解析式有意义外，还应使实际问题或几何问题有意义.

2．求函数的值域没有通用方法和固定模式，除了掌握常用方法（如直接法、单调性法、有界性法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、图象法）外，应根据问题的不同特点，综合而灵活地选择方法.

第3课时两角和与差的三角函数

1．两角和的余弦公式的推导方法： 2．基本公式

sin(α±β)＝sinα cosβ±cosα sinβ cos(α±β)＝ ; tan(α±β)＝ . 3．公式的变式

tanα＋tanβ＝tan (α＋β)(1－tanα tanβ) 1－tanα tanβ＝

)

tan(tan tan βαβα++

4．常见的角的变换： 2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝2

α+＋

α-

α＝(α＋β)－β ＝(α－β)＋β

α+＝(α－

)－(

－β)；

(

x x ++-π

＝

例1．求［2sin50°+sin10°(1+3tan10°)］· 80sin 22的值. 解：原式=?

????

??+

??+?80sin 210cos 10sin 3110sin 50sin 2

=??

+??

?+?80sin 2)10cos 10sin 310cos 10sin 50sin 2(

???

?????

????+???+?10cos 210cos 10sin 23

10cos 2110sin 250sin 2

???

?????+

?10cos 210cos 40sin 10sin 250sin 2

=??

?60sin 2210cos 210cos 60sin 2

=.62

322

变式训练1：(1)已知α∈(2

,π)，sin α=

3,则tan(4

α+

)等于（）

1 B.7 C.－ 7

1 D.－7

(2) sin163°sin223°+sin253°sin313°等于（） A.－

1 B.

1 C.－

3 D.

解：(1)A (2)B 例2. 已知α∈(4

π，

3π)，β∈(0，

),cos (α－

)＝5

3，sin(

3π＋β)＝

5，求sin(α＋β)的值．

解：∵α－4

π＋4

3π＋β＝α＋β＋

α∈(

3,4ππ) β∈(0,1sin 3

11≤-≤

-x )

∴α－

∈(0,

) β＋

3π∈(

3π,π)

∴sin(α－4

)＝5

cos(

π+4

3)＝－13

∴sin(α＋β)＝－cos[2

π＋(α＋β)]

＝－cos[(α－

)＋(

π+4

3)]＝

变式训练2：设cos （α－2

β）=－

1，sin （

α－β）=

2，且

π＜α＜π，0＜β＜

π，

求cos （α+β）. 解：∵

π＜α＜π，0＜β＜

π，∴

π＜α－

β＜π，－

π＜

α－β＜

π.

故由cos （α－2

β）=－

1，得sin （α－

β）=

54.

由sin （

α－β）=3

2，得cos （2

α－β）=

.∴cos 2

βα+=cos ［（α－

β）－（

α－β）］

=cos ()cos(

)sin ()sin()2

αβαβ--+--=129

?+?

27=

∴cos （α+β）=2cos 22β

α+－1=2

227?? ?

-1=－729239

. 例3. 若sinA=

5,sinB=

10,且A,B 均为钝角,求A+B 的值.

解 ∵A 、B 均为钝角且sinA=5

5,sinB=

10，

∴cosA=-A

sin 1-=-5

2=-

52， cosB=-B

sin 1-=-10

3=-

103，

∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB =?

? ??

552×?

? ?

10103-

5×

10=

2 ①

又∵

＜A ＜π,

＜B ＜π,

∴π＜A+B ＜2π ②

由①②知，A+B=

7π.

变式训练3：在△ABC 中，角A 、B 、C 满足4sin 22

C A +-cos2B=2

,求角B 的度数.

解在△ABC 中，A+B+C=180°, 由4sin 22

A +-cos2B=2

得4·

cos(1C A +--2cos 2B+1=2

所以4cos 2

B-4cosB+1=0. 于是cosB=2

,B=60°.

例4．化简sin 2α·sin 2β+cos 2αcos 2β-

1cos2α·cos2β.

解方法一（复角→单角，从“角”入手）原式=sin 2α·sin 2β+cos 2α·cos 2β-2

1·(2cos 2α-1)·(2cos 2β-1)

=sin 2α·sin 2β+cos 2α·cos 2β-2

1(4cos 2α·cos 2β-2cos 2α-2cos 2β+1)

=sin 2

α·sin 2

β-cos 2

α·cos 2

β+cos 2

α+cos 2

β-2

=sin 2

α·sin 2

β+cos 2

α·sin 2

β+cos 2

β-2

=sin 2β+cos 2β-2

1=1-

方法二（从“名”入手，异名化同名）原式=sin 2α·sin 2β+(1-sin 2α)·cos 2β-2

1cos2α·cos2β

=cos 2β-sin 2α (cos 2β-sin 2β)-2

1cos2α·cos2β

=cos 2β-sin 2α·cos2β-2

1cos2α·cos2β

=cos 2β-cos2β·??

αα

2cos 21

sin 2

=22cos 1β

+-cos2β·??

?-+

)sin

21(2

1sin 2

αα

2cos 1β

1cos2β=

方法三（从“幂”入手，利用降幂公式先降次）原式=

2cos 1α

-·

2cos 1β

2cos 1α

+·

2cos 1β

1cos2α·cos2β

(1+cos2α·cos2β-cos2α-cos2β)+

1(1+cos2α·cos2β+cos2α+cos2β)-2

1·cos2α·cos2

方法四（从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）原式=(sin α·sin β-cos α·cos β)2+2sin α·sin β·cos α·cos β-2

1cos2α·cos2β

=cos 2(α+β)+21sin2α·sin2β-2

1cos2α·cos2β

=cos 2(α+β)-2

1·cos(2α+2β)

=cos 2

(α+β)-

1·［2cos 2

(α+β)-1］=

变式训练4：化简：（1）2

sin ??

??-x 4π

cos ??

??-x 4π

;

(2）

? ??+??

??--απ

απα4sin

4tan 21cos

222

解（1）原式=2

2??

??????? ??-?+??? ??-x x 4cos 234sin 21ππ

=22???

???? ??-+??? ??-x x 4cos 6cos 4sin 6sin ππππ

cos ??

??+-

x 46

=22cos(x-

π). （2）原式=

?????? ??+-+-α

ααα

cos 1tan 1tan 12cos =

)

2sin 1(2sin 12cos 2cos αα

αα++=1.

1．三角函数式的化简、求值、证明等是三角变形常见的题型，三角函数式变形的过程就是

分析矛盾、发现差异，进而消除差异的过程。在这一过程中须仔细观察到式子中各项的角、函数名称及运算式子的差异，找出特征，从中找到解题的突破口。对于角与角之间的关系，要充分应用角的恒等变换，以整体角来处理和解决有关问题，这样可以避免一些较复杂的计算，如：2α＋β=α+ (α＋β)等．

2．在应用过程中要能灵活运用公式，并注意总结公式的应用经验。对一些公式不仅会正用，还要会逆用、变形用，如正切的和角公式的变形用，正、余弦的和、差角公式的逆用。另外还要能对形如sinx±

cosx 、sinx±cosx 的三角函数式要创造条件使用公式．

第4课时二倍角的正弦、余弦、正切

1．基本公式：

sin2α＝；

cos2α＝＝＝； tan2α＝ . 2．公式的变用：

1＋cos2α＝； 1－cos2α＝．例1. 求值：1

40cos 40cos 2)40cos 21(40sin 2

-?+??+?

解：原式＝

+??+?80cos 40cos 80sin 40sin

＝)2060cos()2060cos()

2060sin()2060sin(?+?+?-??+?+?-?＝3

变式训练1：)

sin

(cos π

-(cos

π＋sin

π)＝（）

A ．－2

3 B ．－

1 C ． 2

1 D ．2

解：D

例2．已知α为锐角，且2

1tan =

α，求

αααα2cos 2sin sin cos 2sin -的值.

解：∵α为锐角 ∴α

αααα2cos 2sin sin cos 2sin -＝

αααα2cos cos sin 2)1cos 2(sin 2

＝

cos 1＝

tan 1+＝

变式训练2：化简：

)

(

sin

tan(

cos 22

απ

α+?--

解：原式＝

)

(

cos )

cos(

sin(22cos 2

απαπαπα

-?--＝1

例3．已知x

x x x f cos sin sin 3)(2

+-=；

(1) 求)6

25(

πf 的值； (2) 设2

1)2

(

,0(-

∈α

παf ，求sinα的值．

解：（1）∵2

25cos

25sin =

∴

25cos

25sin 6

25cos

3)6

25(2

=+-=ππππf

（2）x

x x f 2sin 212

32cos 2

3)(+

∴

3sin 2

1cos 2

3)2

=-+=ααa f

16sin22－4sinα－11＝0 解得8

31sin ±=

∵0

sin )

,0(2>∴∈απ 故8

31sin +-=α

变式训练3：已知sin(α

-6)＝3

，求cos(

π232+)的值．

解：cos(3

2π＋2α)＝2cos 2(

＋α)－1

＝2sin 2(

－α) －1＝－9

例4．已知sin 2 2α＋sin 2α cosα－cos2α＝1，α∈(0，2

)，求sinα、tanα的值．

解：由已知得

sin 22α＋sin2αcosα－2cos 2α＝0 即(sin2α＋2cosα) (sin2α－cosα)＝0 cos 2α(1＋sinα) (2sinα－1)＝0 ∵α∈(0，2

π) cosα≠0 sinα≠－1

∴2sinα＝1 sinα＝2

1 ∴tanα＝

变式训练4：已知α、β、r 是公比为2的等比数列])

2,0[(πα∈，且sinα、sinβ、sinr 也成等比

数列，求α、β、r 的值．

解：∵α、β、r 成公比为2的等比数列． ∴β＝2α，r ＝4α

∵sinα、sinβ、sinr 成等比数列 ∴

12cos 2cos 2sin 4sin sin 2sin sin sin sin sin 2

-=?=?

=αα

αα

αβ

βr

即0

1cos

2cos 22=--α，解得cosα＝1或2

1cos

=α

当cosα＝1时，sinα＝0与等比数列首项不为零矛盾故cosα＝1舍去当2

1cos -

=α时，∵2∈[0,2π] ∴3

22π=

或3

22π=

∴3

8,34,3

2ππβπα

r 或3

16,3

8,3

4ππβπα

．二倍角公式是和角公式的特殊情况，在学习时要注意它们之间的联系；

2．要理解二倍角的相对性，能根据公式的特点进行灵活应用(正用、逆用、变形用)． 3．对三角函数式的变形有以下常用的方法： ① 降次（常用降次公式）

② 消元（化同名或同角的三角函数） ③ 消去常数“1”或用“1”替换 ④ 角的范围的确定

第5课时三角函数的化简和求值

1．三角函数式的化简的一般要求： ① 函数名称尽可能少； ② 项数尽可能少；

③ 尽可能不含根式；

④ 次数尽可能低、尽可能求出值．

2．常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次． 3．求值问题的基本类型及方法

① “给角求值”一般所给的角都是非特殊角，解题时应该仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，通常是将非特殊角转化为特殊角或相互抵消等方法进行求解．

② “给值求值”即给出某些角的三角函数（式）的值，求另外的一些角的三角函数值，解题

关键在于：变角，使其角相同；

③ “给值求角”关键也是：变角，把所求的角用含已知角的式子表示，由所求得的函数值结合该函数的单调区间求得角．

4．反三角函数arcsinα、arccosα、arctanα分别表示[2

,2π

π-]、[0，π]、（2

,2π

π-

）的角．

例1. （1）化简：

cos 170

sin )

10tan 31(50sin 40cos ++

（2）化简：x

x x x 4

6cos sin

1cos sin 1----

解：∵

cos 10

sin 310cos 10tan 31+=

＝

cos 50cos 210

cos )

1060cos(2=

- ∴原式

cos 220

cos 2140cos 20cos 270sin 10

cos 50

cos 50sin 240cos 2

?+=

变式训练1：已知x

x x f +-=11)(，若)

(

ππ

∈，则

)(cos αf

)cos (α-f 可化简为

．

解：

sin 2

例2. 已知0

cos 2cos sin sin 622=-+αααα，α∈[

π，π]，求sin （2α＋

）的值．

解法一：由已知得(3sinα＋2cosα) (2sinα－cosα)＝0

3sinα＋2cosα＝0或2sinα－cosα＝０

由已知条件可知cosα≠0 ∴α≠2

π即α∈(

π,π)

∴tanα＝－32

sin(2α＋

π)＝sin2αcos

＋cos2αsin

＝sinαcosα＋2

3(cos 2α－sin 2α)

＝α

ααααααα2

sin

cos

sin cos 23sin

cos

cos sin +-?+

＝α

αα

α222

tan

1tan 123tan

1tan +-+

＝26

3513

解法二：由已知条件可知cosα≠0 则α≠2

从而条件可化为 6 tan 2α＋tanα－2＝0 ∵α∈(

π,π) 解得tanα＝－3

(下同解法一)

变式训练2：在△ABC 中，2

2cos sin =

+A A ，2

=AC

，3

=AB

，求tan A 的值和△ABC 的面

积．

解：∵sinA ＋cosA ＝2

2 ①

∵2sinAcosA ＝－

从而cosA ＜0 A ∈(π

π,2

)

∴sinA －cosA ＝A

A A A cos sin 4)cos (sin 2

＝

6 ②

据①②可得 sinA ＝4

6+ cosA ＝

6+-

∴tanA ＝－2－3

S △ABC ＝4

)

26(

例3. 已知tan(α－β)＝2

1，tan β＝-

1，且α、β∈（0，π），求2α－β的值.

解：由tanβ＝－7

1 β∈(0，π)

得β∈(2

π, π) ①

由tanα＝tan[(α－β)＋β]＝3

α∈(0，π)

得0＜α＜

2π ∴ 0＜2α＜π

由tan2α＝4

＞0 ∴知0＜2α＜

π ②

∵tan(2α－β)＝

αβαtan 2tan 1tan 2tan +-＝1

由①②知 2α－β∈(－π，0) ∴2α－β＝－

3π

(或利用2α－β＝2(α－β)＋β求解)

变式训练3：已知α为第二象限角，且sinα＝4

15，求

2cos 2sin )4

sin(+++

ααπ

α的值．

解：由sinα＝4

15 α为第二象限角

∴cosα＝－41

∴)

cos (sin cos 2)

sin(12cos 2sin )4sin(αααπ

αααπ

α++

+++

＝

cos 221＝－

例4．已知

10cot tan ,4

=+<<ααπαπ．

（1）求tanα的值；

（2）求

)

sin(28

cos

112

cos

sin

πααααα-

-++的值．

解：（1）由3

10cot tan

=+αα

得0

3tan 102tan 32=++α 解得tanα＝－3或3

1tan

=α

又

απ<<4

3，所以3

1tan -

=α

为所求．

（2）原式：α

αα

cos 28

cos 111sin 42

cos 15-

-+?++-?

αααcos 2216

cos 1111sin 8cos 55--+++-=

252

26tan 8cos 22cos 66sin 8-

=-+=

-=αα

αα

变式训练4：已知k

=++α

αtan 12sin sin 22

（

π<α<

），试用k 表示sin α－cos α的值．

解：∵α

αα

αcos sin 2tan 12sin sin

=++

∴k ＝2sinαcosα ∵(sinα－cosα)2

＝1－k 又∵α∈(2

4ππ) ∴sinα－cosα＝

-1

1．三角函数的化简与求值的难点在于：众多的公式的灵活运用和解题突破口的选择，认真分析所给式子的整体结构，分析各个三角函数及角的相互关系是灵活选用公式的基础，是恰当寻找解题思维起点的关键所在;

2．要熟悉角的拆拼、变换的技巧，倍角与半角的相对性，熟悉几种常见的入手方式： ① 变换角度 ② 变换函数名

③ 变换解析式结构

3．求值常用的方法：切割化弦法、升幂降幂法、辅助元素法、“1”的代换法等．

第6课时三角函数的恒等变形

1．三角恒等式的证明实质是通过恒等变形，消除三角恒等式两端结构上的差异（如角的差异、函数名称的差异等）．

2．证三角恒等式的基本思路是“消去差异，促成同一”，即通过观察、分析，找出等式两边在角、名称、结构上的差异，再选用适当的公式，消去差异，促进同一．

3．证明三角恒等式的基本方法有：⑴ 化繁为简；⑵ 左右归一；⑶ 变更问题．二、三角条件等式的证明

1．三角条件等式的证明就是逐步将条件等价转化为结论等式的过程，须注意转化过程确保充分性成立．

2．三角条件等式的证明，关键在于仔细地找出所附加的条件和所要证明的结论之间的内在联系，其常用的方法有：

⑴ 代入法：就是将结论变形后将条件代入，从而转化为恒等式的证明． ⑵ 综合法：从条件出发逐步变形推出结论的方法．

⑶ 消去法：当已知条件中含有某些参数，而结论中不含这些参数，通过消去条件中这些参数达到证明等式的方法． ⑷ 分析法：从结论出发，逐步追溯到条件的证明方法，常在难于找到证题途径时用之．例1．求证：

sin

sin 2

cos cos 1θ

θθ

θ+++＝

θcos 1sin -

证明：左边＝

)

cos

21(2

sin

)

cos 21(2

cos 2

sin

cos

sin

cos

++=++

＝

θθ

cos 1sin 2

cot

sin

cos

=＝右边

变式训练1：求证：tan(α＋4

π)＋tan(α－

π)＝2tan2α

证明：∵(α＋4

π)＋(α－

π)＝2α

∴tan[(α＋4

π)＋(α－4

π)]＝tan2α

∴

απ

α2tan )

tan()4

tan(1)

tan()4

tan(=-

∴

απ

α2tan )

cot()4

tan(1)

tan()4

tan(=+

∴tan(α＋

π)＋tan(α－

π)＝2tan2α

例2．求证：

)3tan 5(tan 44cos 2cos 3tan 5tan ααα

ααα-=+

证明：左边＝α

αα

4cos 2cos 3cos 3sin 5cos 5sin ?+

＝

ααααααα

αααα

4cos 2cos 3cos 5cos 4cos 2cos 2sin 44cos 2cos 3cos 5cos 8sin ?????=???

＝

ααααααα

αααα

4cos 2cos 3cos 5cos 4cos 2cos 2sin 44cos 2cos 3cos 8sin ?????=???

＝

αα

3cos 5cos 2sin 4?

右边＝4(α

αα

α3cos 3sin 5cos 5sin -

)

＝4·

αα

ααα3cos 5cos 3sin 5cos 3cos 5sin ??-?＝

αα3cos 5cos 2sin 4?

∴左边＝右边即等式成立

变式训练2：已知2tanA ＝3tanB ，求证：tan(A －B)＝

B 2cos 52sin -．

证明：tan(A －B)＝

B B B

A B A 2

tan 231tan tan 2

tan tan 1tan tan +

-=?+-

＝B

B B B B

B B

22sin 3cos 2cos sin cos sin 32cos sin tan 32tan +=+

＝

B B

B B B 2cos 52sin sin

242sin sin

6cos 4cos sin 22

-=+=+?

例3．如图所示，D 是直线三角形△ABC 斜边上BC 上一点，AB ＝AD ，记∠CAD=α，∠ABC=β．（1）证明：sinα＋cos2β=0；（2）若DC

，求β的值．

解：（1）∵2

2)22(2

ββππ

=--=

∠-=

BAD ∴β

βα2cos )2

2sin(sin -=-

即sinα＋cos2β＝0

（2）在△ADC 中，由正弦定理得)

sin(sin βπα

AC DC ．

即

sin 3sin DC DC =

∴αβsin 3sin =