江苏省11市县2014届高三上学期期中试题分类汇编：三角函数

江苏省11市县2014届高三上学期期中试题分类汇编

三角函数

一、填空题

1、（常州市武进区2014届高三上学期期中考）将函数)6

3cos(2)(π

+=x x f 的图象向左平移

4

π

个单位，再向下平移1个单位，得到函数)(x g 的图象，则)(x g 的解析式为 ▲ ． 答案：1)4

3cos(2)(-+=π

x x g

2、（海安县2014届高三上学期期中）函数()sin 3f x x π?

?=+ ??

?的最小正周期是▲

答案：Π

3、（海门市2014届高三11月诊断）已知角α的终边过点(4,3)P -，则sin 2cos αα+的值是 ▲ ． 答案：1-

4、（海门市2014届高三11月诊断）已知2sin()12

5π

α+=

，则7cos()12

πα+的值等于 ▲ ． 答案：2

5

-

5、（海门市2014届高三11月诊断）已知1

sin 3θ=-，则cos(2)πθ+的值等于 ▲ .

答案：7

9

-

6、（淮安、宿迁市2014届高三11月诊断）已知αβ，为锐角，且2tan tan 15

t

t αβ=

=，，

当10tan 3tan αβ+取得最小值时，αβ+ 的值为 ▲ .

答案：

π

4

7、（苏州市2014届高三上学期期中）已知1

sin ,3α=且(,)2

παπ∈，则tan α＝ ▲ ．

答案：-

8、（苏州市2014届高三上学期期中）函数()()2

sin cos f x x x =-的最小正周期是 ▲ ． 答案：32

9、（无锡市2014届高三上学期期中）将函数sin(2)6

y x π

=+

的图象向左平移

3

π

个单位后得到的图象对应的解析式为sin(2)y x θ=-+，则符合条件的绝对值最小的θ角是 。 答案：6

π

-

10、（兴化市2014届高三上学期期中）

在ABC ?中，已知0sin sin sin sin sin 222=---C B C B A ，则A ∠的大上为＿＿＿＿． 答案：

3

2π

11、（徐州市2014届高三上学期期中）方程sin 0x x a +=在(0,2)π内有相异两解,αβ，则αβ+= 。 答案：

3

π，37π

12、（徐州市2014届高三上学期期中）已知ABC ?中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，

45,60a A B ==?=?，那么ABC ?的面积ABC S ?= 。

答案：

4

33+ 13、（盐城市2014届高三上学期期中）函数2

cos y x =的最小正周期为 ▲ ． 答案：π

14、（扬州市2014届高三上学期期中）已知(,)2

π

απ∈，

且t a n 2α=-，则c o s 2α= ▲ ． 答案：3

5

-

15、（扬州市2014届高三上学期期中）1()sin()(0)26

f x x π

ωω=

+>的图象与直线y m =相切，相邻切点之间的距离为π． 若点00(,)A x y 是()y f x =图象的一个对称中心，且

00,2x π??

∈????， 则0x = ▲ ．

答案：512

π

16、（常州市武进区2014届高三上学期期中考）已知ABC ?中，AB =1BC =，

30A =?，则AC = ▲ ．

答案：1或2

17、（海安县2014届高三上学期期中）在△ABC 中，若TAN A 2 TA N B 3TAN C ，则COS A 的值为▲ ． 答案：36 二、解答题

1、（常州市武进区2014届高三上学期期中考）函数()2sin()f x x ω?=+(0,0)2

ω?π

><<

的部分图象如下图所示，该图象与y 轴交于点F ，与x 轴交于点,B C ，M 为

最高点，且MBC ?的面积为π．

⑴ 求函数()f x 的解析式；

⑵

若()(0,)42

f ααππ-=∈，求cos(2)4απ

+的值．

解：（1）∵1

22MBC S BC BC ?=

??==π， ∴周期2,1T ωω

2π

=π==．……………………………………3分

由(0)2sin f ?==

，得sin ?=，

∵02?π<<

，∴4

?π

=，……………………………………6分 ∴()2sin()4

f x x π

=+

．……………………………………7分 （2

）由()2sin 4f ααπ-==

sin α=，…………………………9分 ∵(0,)2απ

∈

，∴cos α==，

∴234

cos 22cos 1,sin 22sin cos 55

ααααα=-===…………………………12分

∴

cos(2)cos 2cos sin 244αααππ+=-3455=-=．…14分

2、（海安县2014届高三上学期期中）设02αβπ<<<<π，且()5

s i n 13

αβ+=，cos 2α=

． （1）求COS A 的值；

（2）证明：25

sin 26

β>．

(1)sin

2

5

α

==, sin 2sin

cos

2

2

α

α

α==

4

5

cos α

3

5

=

(2)

322π

παβ<+<

,又()5

sin 13αβ+=，所以，2

παβπ<+<

cos()αβ+＝12

13

-

sin sin[()]βαβα=+-＝53124135135?+?＝6365＝12612525

13013026

>=

3、（海门市2014届高三11月诊断）已知,(0,)2

αβπ∈，且7sin(2)5αβ+=sin α．

（1）求证：tan()6tan αββ+=； （2）若tan 3tan αβ=，求α的值． （1）证明：7sin(2)5

αβ+= sin α，

7sin[()]sin[()]5

αββαββ∴++=+-，

7sin()cos()sin [sin()cos()sin ]5

cos cos αββαββαββαββ∴+++=+-+，

sin()6cos()sin cos αββαββ∴+=+① ……4分 ,(0,),(0,)2

αβαβπ∈∴+∈π ，

若cos()0αβ+=，则由①sin()0αβ+=与(0,)αβ+∈π矛盾，

cos()0αβ∴+≠，

………5分 ∴①两边同除以cos()cos αββ+得：tan()6tan αββ+=； ………7分

（2）解：由（1）得tan()6tan αββ+=，

tan tan 6tan 1tan tan αβ

βαβ

+=-， ………10分 tan 3tan αβ= ，1tan tan 3βα∴=，24

tan 32tan 11tan 3α

αα∴

=- (0,)2απ∈ ，tan 1α∴=，从而4

π

α=． ………14分

4、（海门市2014届高三11月诊断）

设0a >，函数()sin cos sin cos ,[0,]2

f x a x x x x x π

=--∈的最大值为G (A )．

（1）设sin cos ,t x x =+[0,]2

x π

∈，求t 的取值范围，并把()f x 表示为t 的函数()m t ；

（2）求G (A )．

解：（1

）sin cos ),4

t x x π

α=+=+

3[0,],[,]2444x x ππππ

∈∴+∈ ，

sin()14

πα≤+≤

，1t ∴≤≤，即t

的取值范围为， ………3分 （另解：[0,]2

x π

∈

，sin cos t x x ∴=+=，由2[0,]x π∈得0sin 21x ≤≤

，

1t ∴≤≤

sin cos t x x =+ ，21

sin cos 2

t x x -∴=， ………5分

22111

(),222

t m t a t at t a t -∴=?-=--∈，0a >； ………7分 （2）由二次函数的图象与性质得：

①当1

a <，即1)a

>-

时，1

()2g a m a == ………10分

②当1a ≥

，

即0

1)a <≤

时，()(1)g a m == ………13分

1

1),

2()1).a a g a a ?>-?∴=??<≤-?

………14分

5、（海门市2014届高三11月诊断）

设函数()f x 和()g x 是定义在集合D 上的函数，若,(())(())x D f g x g f x ?∈=，则称函数()f x 和()g x 在集合D 上具有性质()P D .

（1）若函数()2f x x =和1

()cos 2

g x x =+在集合D 上具有性质()P D ，求集合D ；

（2）若函数()2x f x m =+和()2g x x =-+在集合D 上具有性质()P D ，求m 的取值范围．

解：（1）()2f x x = ，1

()cos 2

g x x =+，

∴由(())(())f g x g f x =得：11

2(cos )cos 222

x x +=+， ………2分

变形得：24cos 4cos 30x x --=，

1cos 2x ∴=-或3

cos 2x =（啥去）， ………5分

22,3

x k k Z π

π∴=±∈，

22,3D x x k k Z ππ??

∴==±∈????

； ………7分

（2）()2x f x m =+ ，()2g x x =-+，

∴由(())(())f g x g f x =得：22(2)2x x m m -++=-++， ………9分

变形得：4

2222x x m -=+，

D ≠? ，且4

242

x x +≥，

224m ∴-≥，1m ∴≤-，即m 的取值范围为(,1]-∞-． ………14分

6、（淮安、宿迁市2014届高三11月诊断） 已知函数()sin()(00[0))f x A x A ω?ω?=+∈π＞＞，，，的图象如图所示．

（1）求()f x 的解析式；

（2

）求函数()()(2)g x f x x =++在[13]x ∈-，上的最大值和最小值.

解：（1）由图可得3A =， ………………………………………1分

()f x 的周期为8，则24ω

π=，即4ωπ

=； ………………………………………3分

(1)(3)0

f f -==，则(1)3f =， 所以sin()14?π+=，即242k k ?ππ

+=+π∈Z ，，又[0)?∈π，

， 故4

?π=，

综上所述，()f x 的解析式为()3sin()44

f x x ππ

=+； ……………………………6分

（2

）()()(2)g x f x x =++

3sin()3sin[(2)]4444x x ππππ=++++

3sin()3cos()4444x x ππππ=+++

16[sin()cos()]24444x x ππππ=++

76sin()412x ππ

=+ ……………………………10分

当[13]x ∈-，时，74[]41233

x ππππ

+∈，，

故当74122x πππ+=即13

x =-时，7sin()412x ππ

+取得最大值为1，

则()g x 的最大值为1

()63

g -=； ……………………………12分

当74123x ππ4π+=

即3x =时，7sin()

12

x π

π

+取得最小值为 则()g x 的最小值为(3)6(

g

=?=-． ……………………………14分

7、（苏州市2014届高三上学期期中）已知函数2

()sin 21f x x

x =++(I)求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；

(第16题图)

(II)当,62x ππ??

∈????

时，若2()log f x t ≥恒成立，求t 的取值范围.

解：(I)()2sin(2)13f x x π=-+.………………………………………………………………3分

∴函数()f x 最小正周期是T π=. …………………………………………………5分 当222232k x k πππππ-≤-≤+，即5,1212

k x k k Z ππππ-≤≤+∈,

函数()f x 单调递增区间为5[,]()k k k Z ππππ-+∈.……………………………8分

(II),62x ππ??∈????

，220,33x ππ??∴-∈????，

()2sin(2)13

f x x π∴=-+的最小值为1， ………………12分

由2()log f x t ≥恒成立，得2log 1t ≤恒成立.

所以t 的取值范围为(0，2] ………………………………14分

8、（苏州市2014届高三上学期期中）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为A 、B 、C ，

且2

28cos21b C a =-．

(I)求11tan tan A C +

的值； (II)若8

tan 15

B =

，求tan A 及tan C 的值. 解：(I)∵2

28cos21b C a

=-，∴2

22

4sin b C a =．……………………………………………2分 ∵ C 为三角形内角，∴sin 0,C >∴2sin b C a

=．

∵sin sin a b A B

=，∴ sin sin b B a A

=． ∴2sin sin sin B A C =……………………………4分 ∵A B C π++=，∴sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+． ∴2sin cos 2cos sin sin sin A C A C A C +=． ∵sin sin 0A C ≠ ，∴

2

1tan 1tan 1=+C A ．……………………………………7分

(II)∵

111tan tan 2A C +=，∴2tan tan tan 2C A C =- ………………………9分 ∵A B C π++=,

∴22tan tan tan tan tan()1tan tan 2tan tan 2

A C C

B A

C A C C C +=-+=-=--+．

∴ 2

2

8tan 152tan tan 2

C C C =-+ 整理得TAN 2C －8TAN C ＋16＝0 ………12分 解得，TAN C ＝4，TAN A ＝4． ………………………………14分

9、（无锡市2014届高三上学期期中）在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，函

数()2cos sin()sin ()f x x x A A x R =-+∈在512

x π

=处取得最大值。 （1）当(0,

)2

x π

∈时，求函数()f x 的值域；

（2）若7a =且sin sin B C +=

，求ABC ?的面积。

10、（兴化市2014届高三上学期期中）在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知M ()

A A sin 3,cos 2=，N ()A A cos 2,cos -=，M·N 1-=．

（1）求A ∠的大小；

（2）若32=a ，2=c ，求△ABC 的面积．

解：（1）法一：由题意知M·N 1cos sin 32cos 22

-=-=A A A ． ∴12sin 32cos 1-=-+A A ． 即22cos 2sin 3=-A A ∴262sin 2=???

?

?

-

πA ，即162sin =??? ?

?

-πA ．

∵π<

116

26

π

π

π

<

-

<-A ∴2

6

2π

π

=

-

A ，即3

π

=

A ．

法二：由题意知M·N 1cos sin 32cos 22

-=-=A A A ． ∴0cos sin cos sin 32cos 22

2

2

=++-A A A A A ． 即0sin cos sin 32cos 32

2

=+-A A A A ．

(

)

0sin cos 32

=-A A ∴A A sin cos 3=，即3tan =A

∵π<

π

=

A ．

（2）法一：由余弦定理知A bc c b a cos 2222-+=，即b b 24122-+=， ∴0822=--b b ，解得4=b ，（2-=b 舍去） ∴△ABC 的面积为322

3

2421sin 21=???==

A bc S ． 法二：由正弦定理可知

C c A a sin sin =

，所以21sin =C ，因为??

?

??∈3

2,0π

C 所以6

π

=

C ，2

π

=

B ．∴△AB

C 的面积为322

3

2421sin 21=???==

A bc S

11、（盐城市2014届高三上学期期中） 已知函数()2sin(2)f x x ?=+，其中角?的终边

经过点P ，且0?π<<. （1）求?的值；

（2）求()f x 在[0,]π上的单调减区间．