第5-7讲枚举法和反证法(一)
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知识点拨 名人名言
肖凯
过去常说数学是一种语言，在这种意义上，可以说现代数学是一种美丽的、
精确的语言．
“语言是人类所特有的用来表达意思、交流思想的工具．”由此定义看，数学符合语言的要求．事实上，数学是一种能用语言，而且就其结构和内容而言，它是现实中优于任何普通语言的语言，因为它为每一个人所理解．20世纪以来数学呈现指数式的飞速发展，特别是计算机的出现及其与数学的结合，使得数学在研究领域、研究方式和应用范围等方面都得到空前的拓展．数学在帮助人们更好地探求客观世界规律的同时，也为人与人之间的交流提供了一种更为有效、简捷的手段．1960年左右，人们首次尝试自动翻译问题．它的本质就是将人类的语言或文字首先转换成计算机语言，然后进行运算处理，再转换成所要求的另一种语言或文字，而这种转换依赖的正是数学．因此可以说，数学是人类语言的另外一种表达形式，得到长足发展的现代数学如肖凯（G.Choquet ，1915～2006，法国数学家）所说则是一种“美丽的、精确的语言”．
当然关于计算机的语言翻译有时也有一定的误差．
有个广为流传的故事说，一个工程师为计算机编了一个程序，能将任何一种语言翻译成另一种语言．在一次技术会上，工程师为了演示他的程序，请一个观众说一句话让机器来翻译．观众说了句“眼不见，心不烦”．他把句子输入计算机，然后请另一个观众说翻译成哪
第二讲
枚举法和反证法（一）
1．应用枚举法解题时的书写原则
2．反证法技巧：寻找矛盾
3．反证法技巧：抓住问题核心
4．反证法技巧：构造
例题精讲
【例1】,a b均为正无理数，b a是否一定是正无理数？
【例2】今有男女各20人，围成内外两圈跳交谊舞，每圈20人，有男有女，外圈人向内，内圈人向外．跳舞规则如下：每当音乐响起，若面对者为一男一女，则一起跳舞；若不然，则鼓掌助兴．曲终时，外圈所有人顺时针一起走一步，如此进行下去，直至外圈人移动一周．
证明：在整个跳舞过程中至少有一次跳舞的人不少于10对．
【例3】在八边形的8个顶点上是否可以分别记上数1,2,,8，使得任意三个相邻的顶点上的数的和大于13？
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【例4】 有一个1000位的数，它由888个1和112个0组成，这个数是否可能是一个平方数？
【例5】 五条线段长度分别为12345,,,,a a a a a ，12345a a a a a ≤≤≤≤，其中任意三条线段都能组成三
角形．证明这样组成的三角形中必有锐角三角形．
【例6】 平面上有10个点，已知过其中任意两点的直线必过第三点，求证：这10个点在一条直线上．
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【例7】 100个正数123100a a a a ≥≥≥
≥，满足： 123100300a a a a ++++=及222212310010000a a a a ++++≥
求证：123100a a a ++≥．
【例8】 一个三位数被11除余数为其各位数字平方和，求这个三位数．
1． 证明：对一切整数n ，2212n n ++不是121的倍数．
大显身手
2．把1600粒花生分给100只猴子，请你说明不管怎样分，至少有4只猴子分的花生一样多．10| 高一·数学·第2讲·联赛班·学生版 |
常用算法枚举法
实验五常用算法：枚举法递推法迭代法 一、实验目的 掌握枚举法，递推法、迭代法这3种常用算法。 二、实验内容 1.编程求和： [提示] 令各项为b0,b1,b2,…bn 则b0 = a b1 = b0×10+a b2 = b1×10+a… 即每一项由前一项乘以10加a递推得到，然后求和。 2.编程求出所有的“水仙花数”，所谓“水仙花数”是指一个三位数，其 各位数字的立方和等于该数本身，例如153是一个“水仙花数”，因为153＝ 13+53+33。要求采用枚举法。 3. 范例：设函数f(x)定义在区间[a,b]上，f(x)连续且满足f(a) ×f(b)<0,求f(x)在[a,b]上的根。采用割线法，迭代公式为： x i+1= x i+( x i-1- x i)/(f(x i)-f(x i-1))*f(x i) 其代换规律为：首先用两端点函数值的绝对值较大者的对应点作为x i-1，较小者 作为x i，即如果|f(a)|<|f(b)|，则将a赋给x i-1，将b赋给x i。用迭代公式得出x i+1， f(x i+1)。 误差定义为： ⊿x =( x i-1- x i)/(f(x i)-f(x i-1))*f(x i) 当⊿x<ε或f(x i+1)==0则结束运算。否则用(x i,f(x i))代替(x i-1,f(x i-1))，(x i+1,f(x i+1))代替(x i,f(x i))，继续迭代。 求解方程：x*lg(x)=1的实根的近似值，误差不超过0.001。 [提示]令 f(x)=xlgx-1,则f(2)≈-0.398<0,而f(3)≈0.431>0，由此可知根 在2与3之间。 #include 第七讲枚举法（一） 学习内容：用枚举法一一列举可能的情况 学习目标：1、做到不重补漏，把复杂的问题简单化 2、按照一定的规律，特点去枚举 3、从思想上认识到枚举的重要性 课题引入 枚举法是一种常见的分析问题、解决问题的方法。一般地，根据问题要求，一一枚举问题的解答，或者为了解决问题的方便，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情况，一一枚举各种情况，并加以解决，最终达到解决整个问题的目的。这种分析问题、解决问题的方法，称之为枚举法。枚举法是一种常见的数学方法，当然枚举法也存在一些问题，那就是容易遗漏掉一些情况，所以应用枚举法的时候选择什么样的标准尤其重要。 运用枚举法解题的关键是要正确分类，要注意一下两点：一是分类要全，不能造成遗漏；二是枚举要清，要将每一个符合条件的对象都列举出来。 知识点拨 在数学问题中，有些需要计算总数或种类的趣题，因其数量关系比较隐蔽，很难找到“正统”的方式解答，让人感到无从下手。对此，我们可以先初步估计其数目的大小。若数目不是太大，就按照一定的顺序，一一列举问题的可能情况；若数目过大，并且问题繁杂，我们就抓住对象的特征，选择恰当的标准，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情形，通过一一列举或计数，最终达到解决目的。 这就是枚举法，也叫做列举法或穷举法。 例题精讲 例1、用数字1、3、4可以组成多少个不同的三位数？ 例2、用0，2，5，9可以组成多少个能被5整除的三位数？ 例3、从1数到100，一共数了多少个3？ 例4、有8张卡片，上面分别写着自然数1至8。从中取出3张，要使这3张卡片上的数字之和为9。问有多少种不同的取法？ 例5、现在1分、2分和5分的硬币各4枚，用其中的一些硬币支付2角3分钱，一共有多少种不同的支付方法？ 共有几条路？ 有一天，小兔去小猴家找小猴一起去图书馆看书，而从小兔家到小猴家不能直接到达，必须要经过公园或小田鼠家(如下图)，小朋友们找一找，从小兔家到小猴家共有几条路可以走？ 枚举法（一） 用3、6、9三个数字可以组成多少个不同的三位数？(不能重复使用) 【拓展】(★★★) 用3、6、9、0四个数字可以组成多少个不同的四位数？(不能重复使用) 请问：从“1”写到“50”一共写了多少个数字“1”呢？ 【拓展】(★★★) 乐乐在家做寒假作业，其中有一道题是要从1写到100，你知道当她写完时一共写了多少个数字“9”吗？ 1、2、3、4、…、98、99、100 把16个同样大小的正方形拼成1个长方形，可以拼成几个不同的长方形。 露露最近迷上了集邮，一天她收集到了3张3角邮票和2张5角邮票，请你帮她算一算，她用这些邮票可以组成多少种不同的邮资？ (★★) (★★★) (★★★) (★★★★) 小蜜蜂家门前共有5级台阶。她发现每天上楼梯的方法都不相同，小蜜蜂很想研究一下这个问题。如果规定一步只能登上一级或两级台阶，小朋友帮她算一算上这个台阶共有多少种不同的走法？ 艾伦给4个好朋友写信。由于粗心，在把信纸装入信封时都给装错了。4个好朋友收到的都是给别人的信。问艾伦装错的情况共有多少种可能 ? 【拓展】(★★★★★) 威尔喜欢吃披萨、汉堡和薯条三种快餐。他在相邻的两天不会吃同一种。现在他第一天吃的是披萨，第五天也是吃的披萨，那么在这五天里他的食谱有多少种安排方案？ (★★★★) (★★★★★) 在线测试题 温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节！ 1．用分别写着0、5、6、9的四张卡片，可以组成多少个不同的三位数？（不能重复使用） A．15 B．16 C．17 D．18 2．安迪、乐乐、威尔、琳达、艾伦五个小朋友握手，每两个小朋友握一次，每个人都要握到，他们一共要握几次手？ A．6 B．10 C．15 D．21 3．从甲地到乙地有乘飞机、坐火车两种不同的方法，从乙地到丙地有乘飞机、坐火车和乘船三种不同的方法。问：从甲地经过乙地到丙地共有多少种不同的方法？ A．4 B．5 C．6 D．10 4．商店有围巾3种，每种价钱依次是14元、12元和10元。帽子有5种，每种价钱依次是13元、11元、9元、7元、和5元。如果一顶帽子和一条围巾配成一套，每套可以有多少种不同价钱？ A．7 B．8 C．9 D．10 计数枚举法经典例题讲解 例1一本书共100页，在排页码时要用多少个数字是6的铅字？（适于三年级程度） 解：把个位是6和十位是6的数一个一个地列举出来，数一数。 个位是6的数字有：6、16、26、36、46、56、66、76、86、96，共10个。 十位是6的数字有：60、61、62、63、64、65、66、67、68、69，共10个。 10+10=20（个） 答：在排页码时要用20个数字是6的铅字。 例2 从A市到B市有3条路，从B市到C市有两条路。从A市经过B市到C市有几种走法？（适于三年级程度） 解：作图3-1，然后把每一种走法一一列举出来。 第一种走法：A ① B ④ C 第二种走法：A ① B ⑤ C 第三种走法：A ② B ④ C 第四种走法：A ② B ⑤ C 第五种走法：A ③ B ④ C 第六种走法：A ③ B ⑤ C 答：从A市经过B市到C市共有6种走法 例3 9○13○7=100 14○2○5=□ 把+、-、×、÷四种运算符号分别填在适当的圆圈中（每种运算符号只能用一次），并在长方形中填上适当的整数，使上面的两个等式都成立。这时长方形中的数是几？（适于四年级程度） 解：把+、-、×、÷四种运算符号填在四个圆圈里，有许多不同的填法，要是逐一讨论怎样填会特别麻烦。如果用些简单的推理，排除不可能的填法，就能使问题得到简捷的解答。 先看第一个式子：9○13○7=100 如果在两个圆圈内填上"÷"号，等式右端就要出现小于100的分数；如果在两个圆圈内仅填"+"、"-"号，等式右端得出的数也小于100，所以在两个圆圈内不能同时填"÷"号，也不能同时填"+"、"-"号。 要是在等式的一个圆圈中填入"×"号，另一个圆圈中填入适当的符号就容易使等式右端得出100。9×13-7=117-7=110，未凑出100。如果在两个圈中分别填入"+"和"×"号，就会凑出100了。 9+13×7=100 再看第二个式子：14○2○5=□ 上面已经用过四个运算符号中的两个，只剩下"÷"号和"-"号了。如果在第一个圆圈内填上"÷"号，14÷2得到整数，所以： 14÷2-5=2 即长方形中的数是2。 例4 印刷工人在排印一本书的页码时共用1890个数码，这本书有多少页？（适于四年级程度）解：（1）数码一共有10个：0、1、2……8、9。0不能用于表示页码，所以页码是一位数的页有9页，用数码9个。 （2）页码是两位数的从第10页到第99页。因为99-9=90，所以，页码是两位数的页有90页，用数码： 2×90=180（个） 《动态数学思维》教案 教材版精英版. 学校：. 课时2 课时课题第1 讲—用分类枚举法解决数学问题 第一课时 答：共有7 种不同的买法。 （3）小结师：这种列举的方法叫做图表法。师进一步提问：我们是按怎样的顺序一一列举的？生：先从5 元的开始，由多到少，再从2元由多到少，最后考虑1 元。（二）出示例题2 例2：把24 个边长是1 厘米的小正方形拼成一个大长方形，一共可以拼成多少种不同形状的长方形？ （1）学生小组合作 （2）汇报交流师：你能摆出多少种？试着摆一摆，并做好记录。 答案：给出拼成的这4 种图形。 答：一共可以拼成4 种不同形状的长方形。也可列表如下： 按一定规律排不易漏掉 （三）出示例题3 例3：用0 ，4 ，7 ，3 四个数字组成一个三位数，可以组成多少个数字不重复的偶数？师：要组成的是偶数，它的个位应是什么？生：个位是应该是4或0，当个位上是4时，把能组成的三位数一一列举出来，个位上是0 的方法同上。答案： 组成个位上是4 的偶数有：734，374，704，304； 组成个位上是0 的偶数有：470，740，430，340，370，730。所以共有：4+6=10（个） 答：可以组成10 个不同的偶数。三、运用、体验（一）拓展问题1 1．用2、3、4、5 四张数字卡片，每次取两张组成一个两位数，可以组成多少个不同的奇数？ （1）学生独立完成（2）汇报交流师：本题应注意什么？生：应注意组成的是两位数。答案： 组成个位上是3 的两位奇数有：23,43,53 ；组成个位上是5 的两位奇数有：25,35,45 。所以共有：3+3=6（个） 答：可以组成6 个不同的两位奇数。 （二）拓展问题2 2．刘阿姨家买了60 块边长1 分米的正方形瓷砖。她要把这些瓷砖在墙上贴成一个长方形图案，一共有多少种不同的贴法？ （1）学生独立完成（2）汇报交流答案：一共有6 种不同的贴法。 五年级思维训练7 枚举法 1. 今年是2002年，把2002年这样的年份称为“对称年”（年份的个位数字和千位数字相同，百位数字和十位数字相同），从2000年～2999年之间共有个“对称年”。 2. 在所有的三位数中，满足其数字和等于12的共有个。 3. 下边的加法运算，答案824正好和上面的加数428数字顺序相反，如果选出另外一个三位数加上396后，答案也正好和所选的三位数的数字顺序相反的话，可以选出若干个这样的三位数，这样的三位数还有（除去428）个。 428 +396 824 4. 从1、2、3、4、5、6、7、8、9中选出7个数，使得它们的和是3的倍数，共有种不同选法。 5. 一次，齐王与大将田忌赛马。每人有四匹马，分为四等。田忌知道齐王这次比赛马的出场顺序依次为一等、二等、三等、四等，而且还知道这八匹马跑得最快的是齐王的一等马，接着依次为自己的一等，齐王的二等，自己的二等，齐王的三等，自己的三等，齐王的四等，自己的四等。田忌有种方法安排自己的马的出场顺序，保证自己至少能赢两场比赛。 6. 小珊到邮局购买5张邮票，并要求这些邮票的式样都要相同且全部都要互相连接在一起（两张邮票之间只有顶点与顶点相连不算相连在一起）。现在邮局只存最后的9张邮票。如下图所示，为满足小珊的要求，请问邮局的职员有多少种不同的撕邮票的办法？ 7. 给定三种重量的砝码（每种数量都有足够多个）3kg、11kg、17kg，将它们组合凑成100kg 有种不同的方案（每种砝码至少有一块）。 8. 将下图中20张扑克牌分成10对，每对红心和黑桃各一张。问：你能分出几对这样的牌，使两张牌上的数的乘积除以10的余数是1？（将A看成1） 9. 有五种价格分别为2元、5元、8元、11元、14元的礼品以及五种价格分别为1元、3元、 2019年小学奥数计数专题——枚举法1．如图，有8张卡片，上面分别写着自然数l至8．从中取出3张，要使这3张卡片上的数字之和为9．问有多少种不同的取法? 2．从l至8这8个自然数中，每次取出两个不同的数相加，要使它们的和大于10，共有多少种不同的取法? 3．现有1分、2分和5分的硬币各4枚，用其中的一些硬币支付2角3分钱，一共有多少种不同的支付方法? 4．妈妈买来7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止，有多少种不同的吃法？ 5．有3个工厂共订300份《吉林日报》，每个工厂最少订99份，最多101份．问：共有多少种不同的订？ 6．在所有四位数中，各个数位上的数字之和等于34的数有多少个? 7．有25本书，分成6份．如果每份至少一本，且每份的本数都不相同，有多少种分法? 8．小明用70元钱买了甲、乙、丙、丁4种书，共10册．已知甲、乙、丙、丁这4种书每本价格分别为3元、5元、7元、11元，而且每种书至少买了一本．那么，共有多少种不同的购买方法? 9．甲、乙、丙、丁4名同学排成一行．从左到右数，如果甲不排在第一个位置上，乙不排在第二个位置上，丙不排在第三个位置上，丁不排在第四个位置上，那么不同的排法共有多少种? 10．abcd代表一个四位数，其中a，b，c，d均为l，2，3，4中的某个数字，但彼此不同，例如2134．请写出所有满足关系a 第八讲 枚举法初步 新年到了，爸爸要给小昊买一个四阶魔方作为圣诞礼物，这个魔方的价格是28元8角。 小昊发现，可以有多种付钱方法： （1）2张10元，1张5元，3张1元，1张5角，3张1角； （2）1张10元，3张5元，3张1元，1张5角，1张2角，1张1角； （3）1张20元，4张2元，8张1角； （4）3张10元，收30元找回1元2角； 等等。 一般的，根据问题要求，一一列举问题的解答，或者为了解决问题的方便把问题分成不遗漏不重复的优先种情况，并加以解决，最终达到解决整个问题的目的。这种分析问题解决问题的方法，称之为枚举法。 注意：运用枚举法解决问题时，必须注意无重复，无遗漏。为此必须要求有次序有规律的进行枚举。 把一个整数表示成若干个小于它的自然数值和，叫做整数的拆分。整数4有多少种 不同的拆分方法？ 解：分拆时，将自然数按从达到小的顺序出现，一共有4种不同的分拆方法：4=3+1，4=2+2，4=2+1+1，4=1+1+1+1。 用一台天平和重1克、3克、9克的砝码各一个（不再用其他物品当砝码） ，当砝码只能放在同一个盘内时，可以称出的重量有多少种？ 分析：共有三个重量不同的砝码，可以取出其中的一个，两个，三个来称量。一一来列举这三种情况 解：取一个砝码可称：1克、3克、9克。有3种。 取两个砝码可称：1+3=4（克）、1+9=10（克）、3+9=12 （克），3种。 取三个砝码可称：1+3+9=13（克），有1种。 注意到1、3、9、4、10、12、13各不相同，所以可以称出： 3+3+1=7（种） 来，然后每次余下的人中第一个开始站出来，隔一人站出来一个人，到第几次这些人全部站出来？最后站出的人应该是第几号？ 分析：根据题目的特点，先用排列法把题中的条件问题列出来，再用枚举法完成题目要求。 排好队的人依次是1，2，3，4，5，．．．．．．28，29，30 解： 从上面的列表中我们毫无遗漏的排列，得出到第五次这些人全部站出来，最后在个人是16号。 用1、2、3这三个数一共可以组成多少个不同的三位数？分别为哪几个？ 分析：根据百位上的数字不同，我们可以将它们分成三类 第一类：百位上数字为1，有123、132 第二类；百位上数字为2，有213、231 第三类：百位上数字为3，有312、321 解：可以组成123、132、213、231、312、321共6个不同数字 如图所示，数字1处有一颗棋子，现移动这颗棋子到数字5处。规定每次只能移动 到邻近一格，且总是向右移动，例如1→2→4→5就是一条路线。问有多少种不同 的移动路线？ 解：从1要移到5，从结果想，要移到5只有从4、3向右移动一格到邻近一格5，即5←4或5←3；要移到4，只有从3、2向右移动一格到邻近的4，即 4←3或4←2；．．．．．．用树形图填写如下 基础算法（一）枚举（穷举）法 无论什么类型的试题，只要能归纳出数学模型，我们尽量用解析方法求解，因为一个好的数学模型建立了客观事物间准确的运算关系。 在一时找不出解决问题的更好途径时，可以根据问题中的约束条件，将所有可能的解全部列举出来，然后逐一验证是否符合整个问题的求解要求。 一、枚举法的基本思想: 从可能的解集合中一一穷举各元素，用题目给定的检验条件判定哪些是有用的，哪些是无用的，能使命题成立的，即为其解。 这种思维方法主要是基于计算机运算速度快的特点。 二、枚举法解题思路： 1、对命题建立正确的数学模型； 2、根据命题确定数学模型中各变量的变化范围（即可能解的范围）； 3、利用循环语句、条件判断语句逐步求解或证明。 三、枚举法的特点： 算法简单，但运算量大。 对于可能确定解的范围，又一时找不到更好的算法时，可以采用枚举法。 1、求满足表达式A+B=C的所有整数解，其中A、B、C为1～3之间的整数。 2、鸡兔同笼问题（在同一个笼子里有鸡和兔子若干只，从上面看，能看到 20个头，从下面看，能看到60只脚，问鸡兔各有多少只？） 3、百钱百鸡问题（一百块钱要买一百只鸡，这一百只鸡必须包含母鸡、公 鸡和小鸡，其中，公鸡5元一只，母鸡3元一只，小鸡1元三只，问有哪些购买方案？） 4、水仙花数问题（ABC=A3+B3+C3,列出所有的整数ABC） 5、一根29厘米长的尺子，只允许在上面刻7个刻度，要能用它量出1～29 厘米的各种长度，试问刻度应该怎样选择？ 6、猴子选大王：有M个猴子围成一圈，每个有一个编号，编号从1到M。 打算从中选出一个大王。经过协商，决定选大王的规则如下：从第一个开始，每隔N个，数到的猴子出圈，最后剩下来的就是大王。 要求：从键盘输入M，N，编程计算哪一个编号的猴子成为大王。 参考程序： 第十三讲数学问题常用方法（二） ——枚举法我们在课堂上遇到的数学问题，一般都可以列出算式，然后求出结果。但在数学竞赛或生活中却经常会遇到一些有趣的题目，由于找不到计算它们的算式，似乎无从下手。但是，如果题目所述的情况或满足题目要求的对象能够被一一列举出来，或能被分类列举出来，那么问题就可以通过枚举法获得解决。所谓枚举法，就是根据题目要求，将符合要求的结果不重复、不遗漏地一一列举出来，从而解决问题的方法。 例1 小明和小红玩掷骰子的游戏，共有两枚骰子，一起掷出。若两枚骰子的点数和为7，则小明胜；若点数和为8，则小红胜。试判断他们两人谁获胜的可能性大。 【分析与解】：将两枚骰子的点数和分别为7 与8 的各种情况都列举出来，就可得到问题的结论。用a＋b 表示第一枚骰子的点数为a，第二枚骰子的点数是b 的情况。出现7 的情况共有6 种，它们是：1＋6，2＋5，3＋4，4＋3，5＋2，6＋1。出现8 的情况共有5 种，它们是：2＋6，3＋5，4＋4，5＋3，6＋2。所以，小明获胜的可能性大。注意，本题中若认为出现7 的情况有1＋6，2＋5，3＋4 三种，出现 8 的情况有2＋6，3＋5，4＋4 也是三种，从而得“两人获胜的可能性一样大”，那就错了。 练习1 1.将6 拆成两个或两个以上的自然数之和，共有多少种不同拆法？ 【分析与解】：10 种。6=1＋5=2＋4=3＋3=1＋1＋4=1＋2＋3=2+2+2=1+1+1+3＝1+1+2+2 ＝1+1+1+1+2=1+1+1+1+1+1。 2.小明有10 块糖，如果每天至少吃3 块，吃完为止，那么共有多少种不同的吃法？ 【分析与解】：9 种。一天吃完有1 种：（10）。两天吃完有5 种：（3，7），（4，6），（5，5），（6，4），（7，3）。三天吃完有3 种：（3，3，4），（3，4，3），（4，3，3）。共1+5+3=9（种）。 例2 数一数，右图中有多少个三角形。 【分析与解】：图中的三角形形状、大小都不相同，位置也很凌乱，不好数 清楚。为了避免数数过程中的遗漏或重复，我们将图形的各部分编上号（见 右图），然后按照图形的组成规律，把三角形分成单个的、由两部分组成的、 由3 部分组成的……再一类一类地列举出来。单个的三角形有6 个：1 ，2， 3，5，6，8。由两部分组成的三角形有4 个：（1，2），（2，6），（4，6）， （5，7）。由三部分组成的三角形有1 个：（5，7，8）。由四部分组成的 三角形有2 个：（1，3，4，5），（2，6，7，8）。由八部分组成的三角形 有1 个：（1，2，3，4，5，6，7，8）。总共有6＋4＋1＋2＋1=14（个）。 练习2 1.数数右图中共有多少个三角形？ 【分析与解】：10 个。由一块、两块、三块、四块组成的三角形依次有4， 3，2，1个，共有4＋3＋2＋1＝10（个）。 课题：枚举法（一） 上课班级：高一（13）班 执教者：许骏 教材分析 枚举法求解问题是现实生活中经常用到的一种方法，是华师大版教材《算法与程序设计》（必修模块）算法实例中重要的知识点。课程标准要求学生能概括枚举算法的基本思想，分析其特征及关键步骤，运用该算法解决实际问题。因此枚举法的学习重点是如何判定某一问题是否适用枚举算法，如果适用再建立适当的数学模型、构造枚举的框架，使学生能真正灵活运用枚举法来解决实际问题。最终将所学知识转化为自己的信息处理能力，体现了本次的主题“把握科技本质，发展学生思维”中“致理”和“致用”的要求。本课就通过微视频进行课前导学及课前自测让学生了解枚举算法的基本概念、基本特征以及枚举法的适用情况；通过对简单枚举法的算法设计，学会归纳枚举法的基本实现方法。鼓励学生例举用枚举法解决实际问题的生活实例激发学生进一步探索的欲望。 学情分析 随着2017届高考改革政策的出炉，我校的课程改革也不断深入。本学期起采用学程制开展教学。信息科技学科在高一开设3个学程，每个学程10~11周，第一学程每周3课时，其余两个学程每周2课时。因此我校将“算法与程序设计”模块安排在课时最多的第一学程开设。 学生学习本节课之前已经完成了第一单元算法基础的学习，明确了算法设计的基本要求，能设计一些简单算法来解决实际问题，并能熟练运用三种执行流程设计算法。本学年学校积极开展翻转课堂的教学实践，我校学生已经养成了课前自主学习、自主测试，发现问题、提出问题；课知识内化，巩固探究的学习习惯。因此学生有较强的自主学习和探究的能力。 同时学生在学习本堂课时可能会遇到以下障碍和困难。 ①学生课前自学不充分，对枚举法的基本概念、枚举法的基本特征及枚举法 的适用情况掌握不牢固。 ②学生课前自学后未提出质疑，没有发现学习中存在的问题。 ③学生由于紧张，课堂气氛不够活跃，学习任务不能按时完成。 2015年小学奥数计数专题——枚举法 1．如图，有8卡片，上面分别写着自然数l至8．从中取出3，要使这3卡片上的数字之和为9．问有多少种不同的取法? 2．从l至8这8个自然数中，每次取出两个不同的数相加，要使它们的和大于10，共有多少种不同的取法? 3．现有1分、2分和5分的硬币各4枚，用其中的一些硬币支付2角3分钱，一共有多少种不同的支付方法? 4．妈妈买来7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止，有多少种不同的吃法？ 5．有3个工厂共订300份《日报》，每个工厂最少订99份，最多101份．问：共有多少种不同的订？ 6．在所有四位数中，各个数位上的数字之和等于34的数有多少个? 7．有25本书，分成6份．如果每份至少一本，且每份的本数都不相同，有多少种分法? 8．小明用70元钱买了甲、乙、丙、丁4种书，共10册．已知甲、乙、丙、丁这4种书每本价格分别为3元、5元、7元、11元，而且每种书至少买了一本．那么，共有多少种不同的购买方法? 9．甲、乙、丙、丁4名同学排成一行．从左到右数，如果甲不排在第一个位置上，乙不排在第二个位置上，丙不排在第三个位置上，丁不排在第四个位置上，那么不同的排法共有多少种? 10．abcd代表一个四位数，其中a，b，c，d均为l，2，3，4中的某个数字，但彼此不同，例如2134．请写出所有满足关系a 本讲地位： 枚举法是学习计数知识的基础。而计数在竞赛中的地位是不言而喻的。学习好枚举法，能够锻炼有序思考的能力，对于培养思维的严谨性和逻辑性是很有帮助的。 有一天，金儿去摩比家找摩比一起去图书馆看书，而从金儿家到摩比家不能直接到达，必须要经过公园或阿宽家(如下图)，小朋友们找一找，从金儿家到摩比家共有几条路可以走？ 如下图，用小鸡身上的数字组成不同的两个三位数，使它们的和最小。注意每笔只能用一次哦！每个数字也只能用一次。 枚举法（一） (★★★) (★★★) 用分别写着7、8、9、0的四张卡片，可以组成多少个不同的四位数？(数字不能重复使用哦！ ) 把4颗算珠放在计数器上，可以组成多少个数？ 图中有多少个正方形？ 博士家门前共有5级台阶。他发现每天上楼梯的方法都不相同，博士很想研究一下这个问题。如果规定一步只能登上一级或两级台阶，电脑前的小朋友帮他算一算上这个台阶共有多少种不同的走法？ 【梧桐总结】 1．一一列举的枚举方法 2．图形计数的枚举方法 3．数字拆分的枚举方法 4．字典枚举的思考方法 5．“兔子”数列的枚举方法 (★★★) (★★★★) (★★★★★) (★★★★★) 【梧桐小讲堂】 在数学问题中，有一些需要计算总数或种类的趣题。因其数量关系比较隐蔽，很难找到“正统” 的方式解答 。对此，我们可以先初步估计其数目的大小。若数目不是太大，就按照一定的顺序一一列举问题的可能情况；若数目过大，并且问题繁杂。我们就抓住对象的特征，选择恰当的标准，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情形，通过一一列举或计数，最终达到解决的目的。这就是枚举法，也叫做列举法或穷举法。枚举法的特点是有条理，不重复或不遗漏，使人一目了然。适用于所求的对象为有限个数学计数问题。 二年级提高班第五讲 枚举法的妙用 【例1】艾迪在路上碰到一个小朋友，他要从3片一样的枫树叶和2片一样的杨树叶中挑出一些拍照片，请你帮他算一算，他有多少种同的挑选方法？ 【分析】这道题的情况非常多，我们可以把挑选的情况一一枚 举出来． ⑴只挑选枫树叶有3种不同的方法：1片，2片，3片． ⑵只挑选杨树叶有2种不同的方 法：1片，2片． ⑶两种树叶搭配挑选可以有6种不同的方法： ①1片枫树叶和1片杨树叶 ②2片枫树叶和1片杨树叶 ③3片枫树叶和1片杨树叶 ④1片枫树叶和2片杨树叶 ⑤2片枫树叶和2片杨树叶 ⑥3片枫树叶和2片杨树叶 所以，共有32611 ++=（种）不同的挑选方法．另外这道题我们也可以通过表格的方法进行枚举．【例2】把12个同样大小的正方形拼成1个长方形，可以拼成几 个不同的长方形？ 【分析】本题可以按行分类，121122634 =×=×=×．如图所示，共3种拼法： 【例3】用分别写着0,5,6的三张卡片，可以组成多少个不同的三位数？ 【分析】0不能在百位，那么百位的数只能是5，6．百位上是5的三位数有：506，560；百位上 是6的三位数有605，650；这样 用0，5，6三张卡片，可以组成×=（个）不同的三位数．因224 为是卡片，所以可以旋转，如果 6当9用，又可以组成4个三位 数，所以一共有448 +=（个）不同的三位数． 【例4】天梯的一段有5级台阶， 规定一步只能登上一级或两级 台阶，武西走完这个台阶共有多 少种不同的走法？ 【分析】如下图，我们可以按顺 序把这些方法用数组比较出来， 具体分析如下： 见上图⑴，用数组表示不同的走法．（1，1，1，1，1）表示每步只上一级，只有1种上法．见上图⑵，①（2，1，1，1）②（1，2，1，1）③（1，1，2，1）④（1，1，1，2）表示有一步上两个台阶，其他几步都各上一个台阶，共有4种走法． 见上图⑶，①（2，2，1）②（1，2，2）③（2，1，2）表示有两步各上两个台阶，有一步上一个 计数枚举法例题讲解 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】 计数枚举法经典例题讲解 例1一本书共100页，在排页码时要用多少个数字是6的铅字（适于三年级程度）解：把个位是6和十位是6的数一个一个地列举出来，数一数。 个位是6的数字有：6、16、26、36、46、56、66、76、86、96，共10个。 十位是6的数字有：60、61、62、63、64、65、66、67、68、69，共10个。 10+10=20（个） 答：在排页码时要用20个数字是6的铅字。 例2 从A市到B市有3条路，从B市到C市有两条路。从A市经过B市到C市有几种走法（适于三年级程度） 解：作图3-1，然后把每一种走法一一列举出来。 第一种走法：A ① B ④ C 第二种走法：A ① B ⑤ C 第三种走法：A ② B ④ C 第四种走法：A ② B ⑤ C 第五种走法：A ③ B ④ C 第六种走法：A ③ B ⑤ C 答：从A市经过B市到C市共有6种走法 例3 9○13○7=100 14○2○5=□ 把+、-、×、÷四种运算符号分别填在适当的圆圈中（每种运算符号只能用一次），并在长方形中填上适当的整数，使上面的两个等式都成立。这时长方形中的数是几（适于四年级程度） 解：把+、-、×、÷四种运算符号填在四个圆圈里，有许多不同的填法，要是逐一讨论怎样填会特别麻烦。如果用些简单的推理，排除不可能的填法，就能使问题得到简捷的解答。 先看第一个式子：9○13○7=100 如果在两个圆圈内填上"÷"号，等式右端就要出现小于100的分数；如果在两个圆圈内仅填"+"、"-"号，等式右端得出的数也小于100，所以在两个圆圈内不能同时填"÷"号，也不能同时填"+"、"-"号。 要是在等式的一个圆圈中填入"×"号，另一个圆圈中填入适当的符号就容易使等式右端得出100。9×13-7=117-7=110，未凑出100。如果在两个圈中分别填入"+"和"×"号，就会凑出100了。 9+13×7=100 再看第二个式子：14○2○5=□ 上面已经用过四个运算符号中的两个，只剩下"÷"号和"-"号了。如果在第一个圆圈内填上"÷"号，14÷2得到整数，所以： 14÷2-5=2 即长方形中的数是2。 例4 印刷工人在排印一本书的页码时共用1890个数码，这本书有多少页（适于四年级程度）解：（1）数码一共有10个：0、1、2……8、9。0不能用于表示页码，所以页码是一位数的页有9页，用数码9个。 小学奥数枚举法题及答案【三篇】 导读：本文小学奥数枚举法题及答案【三篇】，仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。 【篇一】枚举法问题 在一个圆周上放了1个红球和1994个黄球。一个同学从红球开始，按顺时针方向，每隔一个球，取走一个球；每隔一个球，取走一个球；……他一直这样操作下去，当他取到红球时就停止。你知道这时圆周上还剩下多少个黄球吗？ 答案与解析： 根据题中所说的操作方法，他在第一圈的操作中，取走的是排在黄球中第2、4、6、……1994位置上的黄球，这时圆周上除了一个红球外，还剩下1994÷2=997个黄球。 在第二圈操作时，他取走了这997个黄球中，排在第1、3、5、7、……995、997位置上的黄球，这时圆周上除了一个红球外，还剩下997—(997+1)÷2=498个黄球。 他又要继续第三圈操作了，他隔过红球，又取走了这498个黄球中，排在第1、3、5、……495、497的位置上的黄球，这时圆周上除了一个红球外，还剩下498÷2=249个黄球。 因为在上一圈操作时，排在这498个黄球中最后一个位置上的黄球没有被取走，所以他再进行操作时，第一个被取走的就是那个红球，这时，他的操作停止，圆周上剩下249个黄球。【篇二】 在一个圆周上放了1个红球和1994个黄球。一个同学从红球开始，按顺时针方向，每隔一个球，取走一个球;每隔一个球，取走一个球;……他一直这样操作下去，当他取到红球时就停止。你知道这时圆周上还剩下多少个黄球吗? 答案与解析： 根据题中所说的操作方法，他在第一圈的操作中，取走的是排在黄球中第2、4、6、……1994位置上的黄球，这时圆周上除了一个红球外，还剩下1994÷2=997个黄球。 在第二圈操作时，他取走了这997个黄球中，排在第1、3、5、7、……995、997位置上的黄球，这时圆周上除了一个红球外，还剩下997—(997+1)÷2=498个黄球。 他又要继续第三圈操作了，他隔过红球，又取走了这498个黄球中，排在第1、3、5、……495、497的位置上的黄球，这时圆周上除了一个红球外，还剩下498÷2=249个黄球。 因为在上一圈操作时，排在这498个黄球中最后一个位置上的黄球没有被取走，所以他再进行操作时，第一个被取走的就是那个红球，这时，他的操作停止，圆周上剩下249个黄球。【篇三】 计数枚举法经典例题 讲解 计数枚举法经典例题讲解 例1一本书共100页，在排页码时要用多少个数字是6的铅字？（适于三年级程度）解：把个位是6和十位是6的数一个一个地列举出来，数一数。 个位是6的数字有：6、16、26、36、46、56、66、76、86、96，共10个。 十位是6的数字有：60、61、62、63、64、65、66、67、68、69，共10个。 10+10=20（个） 答：在排页码时要用20个数字是6的铅字。 例2 从A市到B市有3条路，从B市到C市有两条路。从A市经过B市到C市有几种走法？（适于三年级程度） 解：作图3-1，然后把每一种走法一一列举出来。 第一种走法：A ① B ④ C 第二种走法：A ① B ⑤ C 第三种走法：A ② B ④ C 第四种走法：A ② B ⑤ C 第五种走法：A ③ B ④ C 第六种走法：A ③ B ⑤ C 答：从A市经过B市到C市共有6种走法 例3 9○13○7=100 14○2○5=□ 把+、-、×、÷四种运算符号分别填在适当的圆圈中（每种运算符号只能用一次），并在长方形中填上适当的整数，使上面的两个等式都成立。这时长方形中的数是几？（适于四年级程度）解：把+、-、×、÷四种运算符号填在四个圆圈里，有许多不同的填法，要是逐一讨论怎样填会特别麻烦。如果用些简单的推理，排除不可能的填法，就能使问题得到简捷的解答。 先看第一个式子：9○13○7=100 如果在两个圆圈内填上"÷"号，等式右端就要出现小于100的分数；如果在两个圆圈内仅填"+"、"-"号，等式右端得出的数也小于100，所以在两个圆圈内不能同时填"÷"号，也不能同时填"+"、"-"号。 要是在等式的一个圆圈中填入"×"号，另一个圆圈中填入适当的符号就容易使等式右端得出100。9×13-7=117-7=110，未凑出100。如果在两个圈中分别填入"+"和"×"号，就会凑出100了。 9+13×7=100 再看第二个式子：14○2○5=□ 上面已经用过四个运算符号中的两个，只剩下"÷"号和"-"号了。如果在第一个圆圈内填上"÷"号，14÷2得到整数，所以： 14÷2-5=2 即长方形中的数是2。 例4 印刷工人在排印一本书的页码时共用1890个数码，这本书有多少页？（适于四年级程度）解：（1）数码一共有10个：0、1、2……8、9。0不能用于表示页码，所以页码是一位数的页有9页，用数码9个。 （2）页码是两位数的从第10页到第99页。因为99-9=90，所以，页码是两位数的页有90页，用数码： 2×90=180（个） （3）还剩下的数码： 1890-9-180=1701（个） 第四讲枚举法一 内容概述 掌握枚举的一般方法。学会按照一定顺序，有规律地进行枚举，做到“不重不漏”；应用字典排列法解决整数分拆的问题。学会分辨“计次序”与“不计次序”的情形。 兴趣篇 1.冬冬在一张纸上画了一些图形，如图所示，每个图形都是由若干条线段连接组成的，请 你数一数，纸上一共有多少条线段？（最外面的大长方形的边框，不算在内） 分析：24条 2.要沿着如图所示的道路西欧那个A点走到B点，并且每段路最多只能经过一次，一共有 多少种不同的走法？ 分析：4种 3.小明决定去香山、颐和园、圆明园这三个景点旅游。要走遍这三个景点，他一共有多少 种不同的游览顺序？ 分析：6种 4.小王准备从青岛、三亚、桂林、杭州这4个地方种选2个去旅游，小王又多少种不同的 选择方式？如果小王想去其中的3个地方，又有多少种选择方式？ 分析：6种；4种 5.小烧饼每个5角钱，大烧饼每个2元钱。冬冬一共有6元钱，如果把这些钱全部用来买 烧饼，一共有多少种不同的买法？ 分析：4种 6.在一次知识抢答比赛中，小悦和冬冬两个人一共答对了10道题，并且每人都有答对的 题目。如果每道题1分，那么小悦和冬冬分别可能得多少分？请把所有的可能填写到下面的表格里： 分析：10=1+9=2+8=3+7=4+6=5+5=6+4=7+3=8+2=9+1 7.两个海盗分20枚金币，请问： （1）如果每个海盗最少分到5枚金币，一共有多少种不同的分法？ （2）如果每个海盗最多分到16枚金币，一共有多少种不同的分法？ 分析：（1）11种；（2）13种 8.有15个玻璃杯，要把它们分成两堆，一共有几种不同的分法？这两堆球的个数可能相 差几个？ 分析：7种；可能相差13，11，9，7，5，3，1个 9.张奶奶去超市买了12盒光明牛奶，发现这些牛奶需要装在2个相同的袋子里，并且每 个袋子最多只能装10盒。张奶奶一共有几种不同的装法？ 分析：5种 第三讲枚举法解决问题 【例题】 例1、如下图所示，已知长方形的周长为20厘米，长和宽都是整厘米数，这个长方形有多少种可能形状？哪种形状的长方形面积最大？（注意:正方形可以说成是长与宽相等的长方形） 解：由于长方形的周长是20厘米，可知它的一条长与一条宽之和为（）cm。下面列举出符合这个条件的各种长方形。其中面积最大的是（）cm2 例2、如下图所示，ABCD是一个正方形，边长为1厘米，沿着图中线段从A到D的最短长度为4厘米。问这样的最短路线共有（）条。请一一画出来。 例3、强强的爸爸是做售后服务工作的，最近业务繁忙，经常要根据客户的需求在在杭州、金华、宁波这三个城市来回跑。他今天在这个城市，明天就到另一个城市。10月22日（周一）在杭州市，10月26日（周五）又回到了杭州市，这几天中，强强爸爸在这三个城市之间可能有几种不同的行程，请你一一写下来。 例4、哥哥和弟弟两人玩一种跳棋游戏，两人商定游戏规则：谁先连胜头两盘谁赢；如果两人都不能连胜头两盘，谁先累计胜三盘谁赢，请问两兄弟玩，共有多少种可能？（备注：不产生和棋）长（cm） 宽（cm） 面积（cm2） 例5、1995各个数位上的数之和为1+9+9+5=24，那么在小于2000的四位数中有多少个数的数字之和为24？ 例6、一条直线把一个圆分成两部分，两条直线最多把这个圆分为4部分，10条直线最多把这个圆分为几部分？ 【池中戏水】 1．两个自然数的积是96，它们的和是20，这两个自然数分别是（）和（）； 两个自然数之积为144，差为10，这两个数是（）和（）。 2．有红、黄、蓝色的小旗各一面，从中选用1面、2面或3面升上旗杆，都可以代表不同的信号，那么，用这三面小旗共可以作出（）种不同的信号。 3．如图，一只小甲虫从A点出发沿着线段爬到B点。要求任何点和线段都不重复经过，问这只小甲虫有多少种不同的走法？ 4．100条直线最多可以把一个平面分成几个部分？小学三年级奥数--第七讲--枚举法(一)(学生版)
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