06级《概率论与数理统计》期末考试B卷 答案与评分标准

海南师范大学 计教、资旅系系

计算机、电商、地理、城规专业《概率论与数理统计》

2007—2008学年度第一学期期末考试（B ）卷答案与评分标准

注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚 2. 所有答案请直接答在试卷上 3．考试形式：闭卷

4. 本试卷共五大题，满分100分， 考试时间100分钟

一、单项选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。

1、设A,B 为随机事件,若P(A ∪B)=P(A)+P(B),且P(A)>P(B)>0,则( D ); (A) A,B 互不相容; (B) A,B 非互不相容; (C) A,B 相互独立; (D) A,B 相互不独立;

2、?(x)(-∞

(A) 1+x 2

; (B) 211x +; (C) )1(12x +π; (D) )

1(2

2

x +π; 3、己知二维随机向量(X,Y)服从正态分布N(μ1,μ2,σ12,σ22

,ρ), 则下列不正确的是( A );

(A) cov(X,Y)=ρ; (B) D(Y)=σ22 ; (C) E(X)=μ1; (D) ρ=0时, E(XY)=μ1μ2; 4、 己知随机变量X 服从二项分布B(n,p), 则( D );

(A) E(2X-1)=2np ; (B) E(2X+1)=4np +1; (C) D(2X-1)=4np(1-p)-1 ; (D) D(2X+1)=4np(1-p) ;

5.、己知随机变量X 的期望E(X)=20, 方差D(X)=8, 则( A );; (A) P(|X-20|≥6)≤2/9 ; (B) P(|X-20|≤6)≥2/9 ; (C) P(|X-20|≤6)≤2/9 ; (D) P(|X-20|≥6)≥2/9 ;

6、设X 1, X 2, X 3是来自正总体N(μ,σ2)的简单随机样本，下列四个μ的无偏估计量中, 最有效的是( B );

(A) μ1=0.3X 1+0.4X 2+0.3X 3; (B) μ2=X 1/3+X 2/3+X 3/3 ; (C) μ3=0.4X 1+0.4X 2+0.2X 3; (D) μ4=0.2X 1+0.6X 2+0.2X 3.

二、填空题（本题共6小题，每小题 3分，共18分。将答案直接填入

栝号内）

1、设A,B 是二事件,且P(A)=0.5,P(B)=0.7,P(A ∪B)=0.8,则P(B-A)=( 0.3 )

2、若5个朋友随机地围绕圆桌就座,则指定的两个人一定坐在一起的概率=( 0.5 )

3、设X 的分布函数为

?

?

?<≥-=-0

,0,0),

1()(3x x e A x F x

则常数A=( 1 )

5、设随机变量X 与Y 相互独立, X ～P(2),Y ～E(1),则D(2X-Y)=( 9 );

6、设X 1, X 2, …, X n 是来自正总体N(μ, σ2)的简单随机样本，

∑==n 1k k X n 1X ， ∑=--=n 1

k 2k 2

)X X (1n 1S 则μ（）

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三、简单解答题（本题共3小题，每小题6分，共18分）

1、设A 与B 相互独立，且P(A)=0.5,P(B)=0.4求下列事件的概率：(1),B)P(A (2)),B P(A

解：(1) )()()()()(B P A P B P A P B A P -+=

=0.5+0.4-0.5×0.4=0.7 (3分) (2) )()()()()(B P A P B P A P B A P -+=

=0.5+(1-0.4)-0.5×(1-0.4)=0.8 (6分)

2、设随机变量X 的分布函数为

??

?

??≥<≤<=,1,1,ln ,1,

0)(e x e x x x x F

试求(1) P{2

解：(1)P{2

?????<≤='=其它，,

01,1

)()(e

x x x F x f (6分)

3、设X 的分布律为

求E(X 2),E(3X 2+5).

解: ,8.23.023.004.0)2()(2222=?+?+?-=X E (3分) ,4.135)(3)53(22=+=+X E X E (6分)

四、综合解答题(本题共4小题，每小题8分，共32分) 1、第一个盒子中有5只红球，4只白球，第二个盒子中有4只红球，5只白球。先从第一个盒子中任取2只球放入第二个盒子中

去，然后从第二个盒子中任取一球，求取到白球的概率。 解: 记A=“第二次取到白球”，

B k =“第一次取到k 只白球放入第二个盒子中”,k=0,1,2 (2分) 依全概率公式，所求概率为

∑==2

0)()()(k k k B A P B P A P (5分)

99

53117C C 116C C C 115C C 2

914291

4

152925=?+?+?=。 (8分)

2.设随机变量X 具有分布函数

0,

0,,1)(33>???

??<≥-=a a x a x x a x F 其中，

求E(X).

解: X 的概率密度为

)()(x F x f '=???

??<≥=，a x a x x a ,

0,,343

(3分)

?

?∞

+∞+∞

-==a

dx x a dx x xf X E 3

3

3)()( (6分) 2

3a

= (8分)

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3.设随机变量(X,Y)的概率密度为

??

?<<<<--=其它，,04

2,20),6()(y x y x k x f (1) 确定常数k;（2）求P{X<1.5}. 解:(1)?

?+∞∞-+∞∞-=dxdy y x f ),(1??--=20

4

2

)6(dy y x k dx (2分)

?-

-=2

04

22]2

16[dx y xy y k ?-=2

0)26(dx x k

,8]6[2

2k x x k =-= ∴,81=k (4分) (2) ??∞-+∞

∞

-=<5.1),(}5.1{dy y x f dx X P ??--=5.1042)6(81dy y x dx (6分)

?--=5.10422]21

6[81dx y xy y ?-=5.10)26(81dx x ,32

27]6[815

.10

2=-=x x (8分)

4.设总体X 具有概率密度

)0(,0,0,

0,)(>λ??

?≤λ>λ=λ-x e x f x

求λ的极大似然估计.

解:似然函数

,),()(1

1

x n n n

i x n

i i e e x f L i λ-=λ-=λ=λ=λ=λ∏∏ (2分)

,ln )(ln x n n L λ-λ=λ (4分)

,0))((ln =-λ

=λλx n n

d L d (6分) 解得θ的极大似然估计值为: x

1?=λ

θ的极大似然估计量为: X

1?=λ

(8分)

五、证明题（本题共2小题，每小题7分，14分） 1.设X ～N(0,4), Φ(x)为标准正态分布的分布函数，

试证明：P{?X ?

h

)-1

证：X ～N(0,4),

P{?X ?

=)2(

)2(h

h -Φ-Φ (4分) =)]2(1[)2(h

h Φ--Φ (6分)

=2Φ(2

h

)-1 (7分)

2、设θ

?是参数θ的无偏估计，且有0)?(D >θ，证明2

?θ不是θ2

的无偏估计。 证：θ

?是参数θ的无偏估计，θ=θ)?(E ， (2分) 且有0)?(D >θ

，所以 22)]?(E [)?(D )?(E θ+θ=θ

(4分) ,)?(D 22θ>θ+θ

= (6分) 所以2?θ

不是θ2的无偏估计。 (7分)

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