文科数学二轮复习必备：巧解 选择题
课题
选择题的解法技巧
班级 小组
姓名
学习目标
1． 2． 重 点 难 点
学 习 导 航
教·学 记要
完成下列问题：
一，直接法：例1(1)集合P ＝{x |x ＋1
x ≤2，x ∈Z }，Q ＝{x |x 2＋2x －3>0}，则
P ∩(? R Q )=( ) A ．[－3,0)
B ．{－3，－2，－1}
C ．{－3，－2，－1,1}
D ．{－3，－2，－1,0}
(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝3，A ＝π
3，
cos B ＝
5
5
，则b 等于( ) A.855 B.255 C.455 D.125
5
二，特例法：例2 (1)(2014·上海)设f (x )＝?????
(x －a )2
，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x >0.若f (0)是f (x )
的最小值，则a 的取值范围为( ) A ．[－1,2] B ．[－1,0] C ．[1, 2]
D ．[0, 2]
(2)已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2,3，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1等于( ) A ．n (2n －1) B ．(n ＋1)2 C ．n 2
D ．(n －1)2
三，排除法：例3 (1)(2015·课标全国Ⅱ)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)柱形图．以下结论不正确的是( )
A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
(2)函数f (x )＝???
?x －1
x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( ) 四，数形结合法：例4 设函数g (x )
＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝?
???
?
g (x )＋x ＋4，x A ．[－9 4，0]∪(1，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．[－9 4 ，＋∞) D ．[－9 4 ，0]∪(2，＋∞) 五，构造法：例5 已知函数f (x )是定义在R 上的可导函数，且对于?x ∈R ，均有f (x )>f ′(x )，则有( ) A ．e 2 016f (－2 016) B ．e 2 016f (－2 016) C ．e 2 016f (－2 016)>f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0) D ．e 2 016f (－2 016)>f (0)，f (2 016) 的根，x 2是方程x ＋10x ＝3的根，则x 1＋x 2等于( ) A ．6 B ．3 C ．2 D ．1 (2)如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝3 2，EF 与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为( ) A.92 B ．5 C ．6 D.152 学 习 记 录 1、我的疑惑、收获 2、本节课的知识结构 应 用 与 检 测 教·学 记要 1，已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第m 项满足6 A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 ,2，执行如图所示的程序框图，输出S 的值为( ) A ．－ 32 B. 32 C ．－12 D. 12 3，已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)等于( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3. 4，已知O 是锐角△ABC 的外接圆圆心，∠A ＝60°，cos B sin C ·＋cos C sin B ·＝2m ·， 则m 的值为( ) A. 32 B. 2 C ．1 D. 12 5，已知f (x )＝14x 2＋sin(π 2 ＋x )，则f ′(x )的图象是( ) 6，(2015·北京)设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是( ) A ．若a 1＋a 2＞0，则a 2＋a 3＞0 B ．若a 1＋a 3＜0，则a 1＋a 2＜0 C ．若0＜a 1＜a 2，则a 2＞a 1a 3 D ．若a 1＜0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＞0 7，函数f (x )＝????12|x －1|＋2cos πx (－2≤x ≤4)的所有零点之和等于( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 8，(2015·课标全国Ⅱ)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )＜0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(0,1) B ．(－1,0)∪(1，＋∞) C ．(－∞，－1)∪(－1,0) D ．(0,1)∪(1，＋∞) 9，若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，给出下列五个命题： ①四面体ABCD每组对棱相互垂直；②四面体ABCD每个面的面积相等； ③从四面体的每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°； ④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分； ⑤从四面体每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长． 其中正确命题的个数是()A．2 B．3 C．4 D．5 10，设a＝log23，b＝23 2，c＝3－ 4 3，则() A．b 11，(2015·课标全国Ⅱ)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB 的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B 两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为() 作业批改·纠错 （A类） （B类） 课后预习 教 · 学 反 思 第1讲选择题的解法技巧 题型概述 选择题考查基础知识、基本技能，侧重于解题的严谨性和快捷性，以“小”“巧”著称．解选择题只要结果，不看过程，更能充分体现学生灵活应用知识的能力． 解题策略：充分利用题干和选项提供的信息作出判断，先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解，一定要小题巧解，避免小题大做． 方法一 直接法 直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密地推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择．涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法． 例1 (1)集合P ＝{x |x ＋1 x ≤2，x ∈Z }，集合Q ＝{x |x 2＋2x －3>0}，则P ∩(? R Q )等于( ) A ．[－3,0) B ．{－3，－2，－1} C ．{－3，－2，－1,1} D ．{－3，－2，－1,0} (2)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝3，A ＝π3，cos B ＝5 5，则b 等于( ) A.85 5 B.25 5 C.455 D.1255 解析 (1)当x >0时，x ＋1 x ≥2； 当x <0时，x ＋1 x ≤－2，故集合P ＝{x |x <0或x ＝1，x ∈Z }．x 2＋2x －3>0，故x <－3或x >1， 故集合Q ＝{x |x <－3或x >1}，故? R Q ＝{x |－3≤x ≤1}， 故P ∩(? R Q )＝{－3，－2，－1,1}． (2)由题意可得，△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝25 5 ， 再由正弦定理可得a sin A ＝b sin B ， 即 3sin π3＝b 255 ， 解得b ＝45 5. 答案 (1)C (2)C 思维升华 涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．只要推理严谨，运算正确必能得出正确的答案．平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力，不能一味求快导致快中出错． 跟踪演练1 (1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第m 项满足6 A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 (2)(2015·四川)执行如图所示的程序框图，输出S 的值为( ) A ．－ 3 2 B. 3 2 C ．－1 2 D.12 答案 (1)A (2)D 解析 (1)因为a 1＝S 1＝－8<6，所以m ≥2，所以a m ＝S m －S m －1＝m 2－9m －(m －1)2＋9(m －1)＝2m －10，所以6 2， 又m ∈N *，所以m ＝9. (2)每次循环的结果依次为： k ＝2，k ＝3，k ＝4，k ＝5＞4， ∴S ＝sin 5π6＝1 2 .选D. 方法二 特例法 从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断．特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等． 例2 (1)(2014·上海)设f (x )＝???? ? (x －a )2 ，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x >0. 若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( ) A ．[－1,2] B ．[－1,0] C ．[1,2] D ．[0,2] (2)已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2,3，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1等于( ) A ．n (2n －1) B ．(n ＋1)2 C ．n 2 D ．(n －1)2 解析 (1)若a ＝－1，则f (x )＝???? ? (x ＋1)2 ，x ≤0，x ＋1x －1，x >0， 易知f (－1)是f (x )的最小值，排除A ，B ； 若a ＝0，则f (x )＝???? ? x 2 ，x ≤0，x ＋1x ，x >0，易知f (0)是f (x )的最小值，故排除C.D 正确． (2)因为a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)， 所以令n ＝3，代入得a 5·a 1＝26， 再令数列为常数列，得每一项为8， 则log 2a 1＋log 2a 3＋log 2a 5＝9＝32. 结合选项可知只有C 符合要求． 答案 (1)D (2)C 思维升华 特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点： 第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理； 第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解． 跟踪演练2 (1)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)等于( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 答案 C 解析 ∵f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1， ∴f (－x )－g (－x )＝－x 3＋x 2＋1. ∵f (x )是偶函数，g (x )是奇函数， ∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )． ∴f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1. ∴f (1)＋g (1)＝－1＋1＋1＝1. (2)已知O 是锐角△ABC 的外接圆圆心，∠A ＝60°，cos B sin C ·＋cos C sin B ·＝2m ·，则m 的值为( ) A.3 2 B.2 C ．1 D.12 答案 A 解析 如图，当△ABC 为正三角形时，A ＝B ＝C ＝60°，取D 为BC 的中点， ＝2 3 ，则有 13＋1 3＝2m ·， ∴13 (＋)＝2m ×2 3， ∴ 13 ·2＝43m ， ∴m ＝ 3 2 ，故选A. 方法三 排除法 排除法也叫筛选法或淘汰法，使用排除法的前提条件是答案唯一，具体的做法是采用简捷有效的手段对各个备选答案进行“筛选”，将其中与题干相矛盾的干扰项逐一排除，从而获得正确答案． 例3 (1)(2015·课标全国Ⅱ)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)柱形图．以下结论不正确的是( ) A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效 C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 (2)(2015·浙江)函数f (x )＝??? ?x －1 x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( ) 解析 (1)从2006年，将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较，得到2008年二氧化硫排放量与2007年排放量的差最大，A 选项正确； 2007年二氧化硫排放量较2006年降低了很多，B 选项正确； 虽然2011年二氧化硫排放量较2010年多一些，但自2006年以来，整体呈递减趋势，即C 选项正确；自2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，D 选项错误，故选D. (2)∵f (x )＝(x －1 x )cos x ，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数，排除A ，B ；当x →π时，f (x )＜0，排除C.故选D. 答案 (1)D (2)D 思维升华 排除法适应于定性型或不易直接求解的选择题．当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案． 跟踪演练3 (1)已知f (x )＝14x 2＋sin(π 2 ＋x )，则f ′(x )的图象是( ) (2)(2015·北京)设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是( ) A ．若a 1＋a 2＞0，则a 2＋a 3＞0 B ．若a 1＋a 3＜0，则a 1＋a 2＜0 C ．若0＜a 1＜a 2，则a 2＞a 1a 3 D ．若a 1＜0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＞0 答案 (1)A (2)C 解析 (1)f (x )＝14x 2＋sin(π2＋x )＝14x 2＋cos x ，故f ′(x )＝(14x 2＋cos x )′＝12x －sin x ，记g (x )＝f ′ (x )，其定义域为R ，且g (－x )＝12(－x )－sin(－x )＝－(1 2x －sin x )＝－g (x )，所以g (x )为奇函数， 所以排除B ，D 两项，g ′(x )＝12－cos x ，显然当x ∈(0，π3)时，g ′(x )<0，g (x )在(0，π 3)上单 调递减，故排除C.选A. (2)设等差数列{a n }的公差为d ，若a 1＋a 2>0，a 2＋a 3＝a 1＋d ＋a 2＋d ＝(a 1＋a 2)＋2d ，由于d 正负不确定，因而a 2＋a 3符号不确定，故选项A 错；若a 1＋a 3<0，a 1＋a 2＝a 1＋a 3－d ＝(a 1＋a 3)－d ，由于d 正负不确定，因而a 1＋a 2符号不确定，故选项B 错；若00， d >0，a 2>0，a 3>0，∴a 22－a 1a 3＝(a 1＋d )2－a 1(a 1＋2d )＝d 2 >0，∴a 2>a 1a 3，故选项C 正确； 若a 1<0，则(a 2－a 1)·(a 2－a 3)＝d ·(－d )＝－d 2≤0，故选项D 错． 方法四 数形结合法 在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来，通过对规范图形或示意图形的观察分析，将数的问题(如解方程、解不等式、判断单调性、求取值范围等)与某些图形结合起来，利用图象的直观性，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到 解决，这种方法称为数形结合法． 例4 设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )， f (x )＝? ???? g (x )＋x ＋4，x A ．[－9 4，0]∪(1，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．[－9 4 ，＋∞) D ．[－9 4 ，0]∪(2，＋∞) 解析 由x ∴f (x )＝? ???? x 2 ＋x ＋2，x <－1或x >2， x 2 －x －2，－1≤x ≤2. 即f (x )＝??? (x ＋12)2＋7 4 ，x <－1或x >2， (x －12)2 －9 4，－1≤x ≤2. 当x <－1时，f (x )>2；当x >2时，f (x )>8. ∴当x ∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，函数的值域为(2，＋∞)． 当－1≤x ≤2时，－9 4 ≤f (x )≤0. ∴当x ∈[－1,2]时，函数的值域为[－9 4，0]． 综上可知，f (x )的值域为[－9 4，0]∪(2，＋∞)． 答案 D 思维升华 数形结合法是依靠图形的直观性进行分析的，用这种方法解题比直接计算求解更能抓住问题的实质，并能迅速地得到结果．使用数形结合法解题时一定要准确把握图形、图象的性质，否则会因为错误的图形、图象得到错误的结论． 跟踪演练4 函数f (x )＝????12|x －1|＋2cos πx (－2≤x ≤4)的所有零点之和等于( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 答案 C 解析 由f (x )＝????12|x －1| ＋2cos πx ＝0， 得????12|x －1|＝－2cos πx ， 令g (x )＝????12|x －1|(－2≤x ≤4)， h (x )＝－2cos πx (－2≤x ≤4)， 又因为g (x )＝??? ?12|x －1|＝????? ????12x －1， 1≤x ≤4，2x －1， －2≤x <1. 在同一坐标系中分别作出函数g (x )＝????12|x －1| (－2≤x ≤4)和h (x )＝－2cos πx (－2≤x ≤4)的图象(如图)， 由图象可知，函数g (x )＝????12|x －1|关于x ＝1对称， 又x ＝1也是函数h (x )＝－2cos πx (－2≤x ≤4)的对称轴， 所以函数g (x )＝????12|x －1|(－2≤x ≤4)和h (x )＝－2cos πx (－2≤x ≤4)的交点也关于x ＝1对称，且两函数共有6个交点，所以所有零点之和为6. 方法五 构造法 构造法是一种创造性思维，是综合运用各种知识和方法，依据问题给出的条件和结论给出的信息，把问题作适当的加工处理，构造与问题相关的数学模式，揭示问题的本质，从而沟通解题思路的方法． 例5 已知函数f (x )是定义在R 上的可导函数，且对于?x ∈R ，均有f (x )>f ′(x )，则有( ) A ．e 2 016f (－2 016) x ， 则g ′(x )＝f ′(x )e x －(e x )′f (x )(e x )2＝f ′(x )－f (x ) e x ， 因为?x ∈R ，均有 f (x )>f ′(x )，并且e x >0， 所以 g ′(x )<0， 故函数g (x )＝f (x ) e x 在R 上单调递减， 所以g (－2 016)>g (0)，g (2 016) f (－2 016) e －2 016> f (0)， f (2 016) e 2 016 思维升华 构造法求解时需要分析待求问题的结构形式，特别是研究整个问题复杂时，单独摘出其中的部分进行研究或者构造新的情景进行研究． 跟踪演练5 (1)(2015·课标全国Ⅱ)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )＜0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(0,1) B ．(－1,0)∪(1，＋∞) C ．(－∞，－1)∪(－1,0) D ．(0,1)∪(1，＋∞) (2)若四面体ABCD 的三组对棱分别相等，即AB ＝CD ，AC ＝BD ，AD ＝BC ，给出下列五个命题： ①四面体ABCD 每组对棱相互垂直； ②四面体ABCD 每个面的面积相等； ③从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°； ④连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分； ⑤从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长． 其中正确命题的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 (1)A (2)C 解析 (1)因为f (x )(x ∈R )为奇函数，f (－1)＝0，所以f (1)＝－f (－1)＝0.当x ≠0时，令g (x )＝f (x ) x ，则g (x )为偶函数，且g (1)＝g (－1)＝0.则当x ＞0时，g ′(x )＝??? ?f (x )x ′＝xf ′(x )－f (x )x 2＜ 0，故g (x )在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数．所以在(0，＋∞)上，当0＜x ＜1时，g (x )＞g (1)＝0?f (x ) x ＞0?f (x )＞0；在(－∞，0)上，当x ＜－1时，g (x )＜g (－1)＝0? f (x ) x ＜0?f (x )＞0.综上，得使f (x )＞0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，选A. (2)构造长方体，使三组对棱恰好是长方体的三组平行面中异面的对角线，在此背景下，长方体的长、宽、高分别为x ，y ，z . 对于①，需要满足x ＝y ＝z ，才能成立； 因为各个面都是全等的三角形(由对棱相等易证)，则四面体的同一顶点处对应三个角之和一定恒等于180°，故②正确，③显然不成立； 对于④，由长方体相对面的中心连线相互垂直平分判断④正确； 每个顶点出发的三条棱的长恰好分别等于各个面的三角形的三边长，⑤显然成立．故正确命题有②④⑤. 方法六 估算法 由于选择题提供了唯一正确的选项，解答又无需过程，因此，有些题目不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次． 例6 (1)已知x 1是方程x ＋lg x ＝3的根，x 2是方程x ＋10x ＝3的根，则x 1＋x 2等于( ) A ．6 B ．3 C ．2 D ．1 (2)如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝3 2，EF 与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积 为( ) A.92 B ．5 C ．6 D.152 解析 (1)因为x 1是方程x ＋lg x ＝3的根， 所以2 (2)该多面体的体积比较难求，可连接BE 、CE ， 问题转化为四棱锥E －ABCD 与三棱锥E －BCF 的体积之和， 而V E －ABCD ＝13S ·h ＝1 3×9×2＝6， 所以只能选D. 答案 (1)B (2)D 思维升华 估算法是根据变量变化的趋势或极值的取值情况进行求解的方法．当题目从正面解析比较麻烦，特值法又无法确定正确的选项时(如难度稍大的函数的最值或取值范围、函数图象的变化等问题)常用此种方法确定选项． 跟踪演练6 (1)设a ＝log 23，b ＝232 ，c ＝3－4 3，则( ) A ．b 答案 B 解析 因为2>a ＝log 23>1，b ＝23 2>2，c ＝3 43 -