高中数学抛物线两个结论的推导

龙源期刊网 https://www.360docs.net/doc/677280616.html,

高中数学抛物线两个结论的推导

作者：毋晓迪李东王换

来源：《学园》2015年第12期

【摘要】笔者在研究抛物线时发现了抛物线的两个结论，抛物线上的切线有很多性质，

它能和许多角联系起来，解决一些角与角的转换问题，通过参考文献，笔者现将之整理成文，现与大家共同探讨。

【关键词】抛物线切线角平分线重要结论

【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2015）12-0128-02

一两个结论

结论1：如图1，F是抛物线的焦点，M是抛物线上任意一点，MT是抛物线在M的切线，MN是法线，ME是平行于坐标轴的直线，则法线MN必平分∠FME，即φ1=φ2。

结论2：如图2，M、N、P三点在抛物线的准线上，M、N在P点异侧，F是抛物线的焦点，过P向抛物线引两条切线PA、PB，则PA、PB平分∠FPM，∠FPN。

上述两个结论主要考查直线、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识。

二通性通法分析

比较这两个结论可以看出它们的共同特征：（1）条件：抛物线上的切线问题，给定抛物线C：y2=2px。结论1是在抛物线上任取一点M做一条切线MT，结论2是从抛物线准线上任取一点P向抛物线上引两条切线PA、PB。切点为A、B；（2）研究的问题相近：切线平分角的问题，涉及直线与焦点有关。查阅高考试题及有关高中的数学资料，可以找到诸多与此相似的问题，由于抛物线方程可以看作为函数的表达式，因而研究的思路更加宽阔、活跃，在高考试题中频频出现。

求抛物线切点弦所在直线方程的常见通法是：设出切点坐标，用导数表示切线的斜率写出切线方程，利用已知点在切线上展开思路。（2）联立方程研究位置关系。利用已知设出切线方程，联立切线方程与抛物线方程，利用判别式为0展开思路。（3）待定所求直线方程，通常用斜截式。联立直线方程与抛物线方程，用韦达定理列出切点坐标，再利用导数的几何意义列式消参求出所待定的系数。用导数求切线的斜率和联立方程研究直线与抛物线的位置关系均为课标的要求，在人教A版教材中的例、习题中都有相应的题目。

三解题思路和策略