高中数学三角函数总结及习题

三角函数知识点总结及习题

1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：{}

Z k k ∈+?=,360|αββ

②终边在x 轴上的角的集合： {}

Z k k ∈?=,180|

ββ

③终边在y 轴上的角的集合：{}

Z k k ∈+?=,90180| ββ

④终边在坐标轴上的角的集合：{}

Z k k ∈?=,90|

ββ

⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,45180|

ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-?=,45180|

ββ

2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 3．弧长公式：r l

?=||α. 扇形面积公式：211

||22

s lr r α==?扇形

4．三角函数在各象限的符号：（一全正，二正弦，三正切，四余弦）

正切、余切

余弦、正割

-----+++++-+

正弦、余割

o o o x y

x y

x

y

5. 三角函数的定义域：

三角函数

定义域

=)(x f sin x {}R x x ∈| =)(x f cos x {}R x x ∈|

=)(x f tan x

?

??

???∈+≠∈Z k k x R x x ,21|ππ且

6、同角三角函数的基本关系式：

αα

α

tan cos sin = 1cot tan =?αα

1cos sin

22

=+αα

7、诱导公式：

2

k παα±把

的三角函数化为的三角函数，概括为：“奇变偶不变，符号看象限”

三角函数的公式：

（一）基本关系

公式组二 公式组三

x

x k x x k x x k x x k cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(=+=+=+=+ππππ x

x x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=--=-

公式组四 公式组五 公式组六

x

x x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+=+-=+-=+ππππ

x

x x x x

x x x cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(-=--=-=--=-ππππ x

x x x x x x x cot )cot(tan )tan(

cos )cos(sin )sin(-=--=--=-=-ππππ （二）角与角之间的互换

βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-

βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-

βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ β

αβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- α

αα2tan 1tan 22tan -=

αααcos sin 22sin =

公式组一

sin x 2csc x =1tan x =x x

cos sin sin 2x +cos 2x =1cos x 2sec x x =

x

x sin cos 1+tan 2x =sec 2x

tan x 2cot x =1

1+cot 2x =csc 2x

=1

ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=

22sin cos sin()a b a b αααφ+=++ 其中tan b a

φ=

8. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：

()?ω+=x A y sin

（A 、ω＞0）

定义域

R

R

R

值域

]1,1[+-

]1,1[+-

R

[]A A ,-

周期性 π2 π2

π

ω

π

2

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数 当,0≠?非奇非偶 当,0=?奇函数

对称轴 方程 2π

π+

=k x

（Z k ∈） πk x =

（Z k ∈）

无

2

k x π

πφ

ω

+-=

（Z k ∈）

对称中心

（0,πk ）

Z

k ∈

（0

,2

1

ππ+k ）

Z k ∈

（0,πk ）

Z k ∈

(,0)k x πφ

ω

-=

Z k ∈

单调性 上为增函数；

上为 上

为增函数；

上为增函数； 上为减函数

上为增函数；

?

??

??

?∈+≠∈Z k k x R x x ,21|ππ且x

y tan =x

y cos =x

y sin =

减函数 上为减函数 上为减函数

注意：①x y sin -=与x y sin =的单调性正好相反；

x y cos -=与x y cos =的单调性

也同样相反.一般地，若)(x f y =在],[b a 上递增（减），则)(x f y -=在],[b a 上递减（增）. ②x y sin =与的x y cos =周期是π.

③)sin(?ω+=x y 或)cos(?ω+=x y （0≠ω）的周期ωπ

2=

T .

2tan

x

y =的周期为2π（πω

π2=?=T T ，如图，翻折无效）.

三角函数图像

数y ＝Asin （ωx ＋φ）的振幅|A|，周期2||

T π

ω=，频率1||2f T ωπ==，相位;x ω?+初

相?（即当x ＝0时的相位）．（当A ＞0，ω＞0 时以上公式可去绝对值符号），

由y ＝sinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y ＝Asinx 的图象，叫做振幅变换或叫沿y 轴的伸缩变换．（用y/A 替换y ）

由y ＝sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的1||ω

倍，得到y ＝sin ω x 的图象，叫做周期变换或叫做沿x 轴的伸缩变换．(用

ωx 替换x)

由y ＝sinx 的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y ＝sin （x ＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x 轴方向的平移．(用x ＋φ替换x)

由y ＝sinx 的图象上所有的点向上（当b ＞0）或向下（当b ＜0）平行移动｜b ｜个单位，得到y ＝sinx ＋b 的图象叫做沿y 轴方向的平移．（用y+(-b)替换y ）

▲

O

y

x

由y ＝sinx 的图象利用图象变换作函数y ＝Asin （ωx ＋φ）（A ＞0，ω＞0）（x ∈R ）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x 轴量伸缩量的区别。

正弦定理和余弦定理

正弦定理：a

sin A ＝b

sin B ＝c

sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为： (1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (2)a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB ，c ＝2RsinC ； (3)sin A ＝

a 2R ，sin B ＝

b 2R ，sin C ＝c

2R

等形式，以解决不同的三角形问题． 余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，2222cos b a c ac B =+-，2222cos c a b ab C =+-

余弦定理可以变形为：cosA ＝2222b c a bc +-，cosB ＝2222a c b ac +-，cosC ＝222

2a b c ab

+-

三角形面积的计算：ABC S ?＝12absinC ＝12bcsinA ＝1

2acsinB

规律：

在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ?a ＞b ?sin A ＞sin B. 途径：

根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：

(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．

三角函数复习题（一）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．已知x ∈(－π2 ，0)，cos x ＝4

5 ，则tan2x 等于 （ ）

A. 7

24

B.－724

C. 24

7

D.－24

7

2． 3 cos π12 －sin π

12 的值是 （ ）

A.0

B.－ 2

C. 2

D.2

3．已知α，β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝310

10，则α＋β的值为 （ ）

A. π4 或3π

4

B. 3π4

C. π4

D.2kπ＋π

4 (k ∈Z )

4．sin15°cos30°sin75°的值等于 （ ）

A. 34

B. 38

C. 1

8

D. 1

4

5．若f (cos x )＝cos2x ，则f (sin π

12 )等于 （ ）

A. 12

B.－12

C.－3

2

D. 3

2

6．sin(x ＋60°)＋2sin(x －60°)－ 3 cos(120°－x )的值为 （ ）

A. 12

B. 3

2 C.1

D.0

7．已知sin α＋cos α＝1

3 ，α∈(0，π)，那么sin2α，cos2α的值分别为 （ ）

A. 89 ，179

B.－89 ，179

C.－89 ，－179

D.－89 ，±17

9

8．在△ABC 中，若tan A tan B >1，则△ABC 的形状是 （ ）

A.锐角三角形

B.钝角三角形

C.直角三角形

D.不能确定 9．化简cos （π4 ＋α）－sin （π

4 ＋α）

cos （π4 －α）＋sin （π

4 －α） 的结果为 （ ） A.tan α B.－tan α C.cot α D.－cot α

10．已知sin α＋sin β＋sinγ＝0，cos α＋cos β＋co sγ＝0，则cos(α－β)的值为 （ ）

A.－1

2

B. 1

2 C.－1

D.1

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 11．sin70＋cos150sin80

cos70－sin150sin80

的值等于_____________.

12．若1－tan A 1＋tan A

＝4＋ 5 ，则cot( π

4 ＋A )＝_____________.

13．已知tan x ＝43 (π＜x ＜2π)，则cos(2x －π3 )cos(π3 －x )－sin(2x －π3 )sin(π

3 －x )＝_____. 14．sin(π

4 －3x )cos(π3 －3x )－cos(π6 ＋3x )sin(π

4 ＋3x )＝_____________.

15．已知tan(α＋β)＝25 ，tan(β－π4 )＝14 ，则sin(α＋π4 )·sin(π

4 －α)的值为____________. 16．已知5cos(α－β2 )＋7cos β2 ＝0，则tan α－β2 tan α

2 ＝_____________.

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）已知cos(α－π6 )＝1213 ，π6 ＜α＜π

2 ，求cos α.

18．（本小题满分14分）已知sin 22α＋sin2αcos α－cos2α＝1，α∈(0，π

2 )，

求sin α、tan α.

19．（本小题满分14分）在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列， 求tan A 2 ＋tan C 2 ＋ 3 tan A 2 tan C

2 的值.

20．（本小题满分15分）已知cos α＝－1213 ，cos(α＋β)＝17226，且α∈(π，32 π)，α＋β∈(3

2 π，2π)，求β.

三角函数复习题（二）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是 （ ）

A.y ＝sin2x

B.y ＝cos x

2

C.y ＝sin2x ＋cos2x

D.y ＝1－tan 2x 1＋tan 2x

2．设函数y ＝cos(sin x )，则 （ ）

A.它的定义域是［－1，1］

B.它是偶函数

C.它的值域是［－cos1，cos1］

D.它不是周期函数

3．把函数y ＝cos x 的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的两倍，然后把图象向左平移π

4 个单位.则所得图象表示的函数的解析式为 （ ） A.y ＝2sin2x

B.y ＝－2sin2x

C.y ＝2cos(2x ＋π

4 )

D.y ＝2cos(x 2 ＋π

4 )

4．函数y ＝2sin(3x －π

4 )图象的两条相邻对称轴之间的距离是 （ ）

A. π3

B. 2π

3 C.π

D. 4π

3

5．若sin α＋cos α＝m ，且－ 2 ≤m ＜－1，则α角所在象限是 （ ）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限 6．函数y ＝|cot x |·sin x （0＜x ≤3π2 且x ≠π）的图象是 （ ）

7．设y ＝

cos 2x

1＋sin x

，则下列结论中正确的是 （ ）

A.y 有最大值也有最小值

B.y 有最大值但无最小值

C.y 有最小值但无最大值

D.y 既无最大值又无最小值 8．函数y ＝sin （π

4 －2x )的单调增区间是 （ ）

A.［kπ－3π8 ，kπ＋π8 ］(k ∈Z )

B.［kπ＋π8 ，kπ＋5π

8 ］(k ∈Z ) C.［kπ－π8 ，kπ＋3π8 ］(k ∈Z ) D.［kπ＋3π8 ，kπ＋7π

8 ］(k ∈Z ) 9．已知0≤x ≤π，且－1

2 ＜a ＜0，那么函数f (x )＝cos 2x －2a sin x －1的最小值是 （ ）

A.2a ＋1

B.2a －1

C.－2a －1

D.2a

10．求使函数y ＝sin(2x ＋θ)＋ 3 cos(2x ＋θ)为奇函数，且在［0，π

4 ］上是增函数的θ的一个值为 （ ） A. 5π

3

B. 4π3

C. 2π3

D. π

3

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

11．函数y ＝

cos x

1＋2cos x

的值域是_____________.

12．函数y ＝cos x

lg （1＋tan x ）

的定义域是_____________.

13．如果x ，y ∈［0，π］，且满足|sin x |＝2cos y －2，则x ＝___________，y ＝___________.

14．已知函数y ＝2cos x ，x ∈［0，2π］和y ＝2，则它们的图象所围成的一个封闭的平面图形的面积是_____________ 15．函数y ＝sin x ＋cos x ＋sin2x 的值域是_____________. 16．关于函数f (x )＝4sin(2x ＋π

3 )(x ∈R )有下列命题：

①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍； ②y ＝f (x )的表达式可改为y ＝4cos(2x －π

6 )； ③y ＝f (x )的图象关于点（－π

6 ，0)对称； ④y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π

6 对称.

其中正确的命题的序号是_____________.

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）如图为函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象的一部分，试求该函数的一个解

析式. 18．（本小题满分14分）已知函数y ＝(sin x ＋cos x )2＋2cos 2x .(x ∈R )

(1)当y 取得最大值时，求自变量x 的取值集合.

(2)该函数图象可由y ＝sin x (x ∈R )的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

19． (本小题满分15分）已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M （3π

4 ，0)对称，且在区间［0，π

2 ］上是单调函数，求φ和ω的值.

正弦定理和余弦定理练习

1．(人教A 版教材习题改编)在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，a ＝10，则c 等于( )． A ．5 2 B ．10 2 C.1063

D ．5 6

解析 由A ＋B ＋C ＝180°，知C ＝45°， 由正弦定理得：a sin A ＝c sin C ，

即

1032＝c 2

2

.∴c ＝1063.

答案 C

2．在△ABC 中，若sin A a ＝cos B b ，则B 的值为( )．

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．90° 解析 由正弦定理知：

sin A sin A ＝cos B

sin B ，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°. 答案 B

3．(2011·郑州联考)在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A 等于( )． A ．30° B ．45° C ．60° D ．75° 解析 由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1＋4－323132＝12，

∵0＜A ＜π，∴A ＝60°. 答案 C

4．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝1

3，则△ABC 的面积为( )．

A ．3 3

B ．2 3

C ．4 3 D. 3 解析 ∵cos C ＝1

3，0＜C ＜π，

∴sin C ＝22

3，

∴S △ABC ＝1

2

ab sin C

＝123323233223＝4 3. 答案 C

5．已知△ABC 三边满足a 2＋b 2＝c 2－3ab ，则此三角形的最大内角为________． 解析 ∵a 2＋b 2－c 2＝－3ab ， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－32，

故C ＝150°为三角形的最大内角． 答案 150°

考向一 利用正弦定理解三角形

【例1】?在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A ，C 和边c .

[审题视点] 已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的判断． 解 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，3sin A ＝2sin 45°，

∴sin A ＝

32

. ∵a ＞b ，∴A ＝60°或A ＝120°.

当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°， c ＝b sin C sin B ＝6＋22

；

当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°， c ＝b sin C sin B ＝6－22

.

(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．

(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．

【训练1】 (2011·北京)在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝________；a ＝________.

解析 因为△ABC 中，tan A ＝2，所以A 是锐角， 且

sin A

cos A

＝2，sin 2A ＋cos 2A ＝1， 联立解得sin A ＝25

5，

再由正弦定理得a sin A ＝b

sin B ，

代入数据解得a ＝210. 答案

25

5

210 考向二 利用余弦定理解三角形

【例2】?在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos B cos C ＝－b

2a ＋c .

(1)求角B 的大小；

(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积． [审题视点] 由

cos B cos C ＝－b

2a ＋c

，利用余弦定理转化为边的关系求解． 解 (1)由余弦定理知：cos B ＝a 2＋c 2－b 2

2ac ，

cos C ＝a 2＋b 2－c 2

2ab

.

将上式代入cos B cos C ＝－b

2a ＋c 得：

a 2＋c 2－

b 22a

c ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b 2a ＋c ， 整理得：a 2＋c 2－b 2＝－ac . ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.

∵B 为三角形的内角，∴B ＝2

3π.

(2)将b ＝13，a ＋c ＝4，

B ＝2

3π代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，

得b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ， ∴13＝16－2ac ????1－1

2，∴ac ＝3. ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝33

4

.

(1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．

(2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．

【训练2】 (2011·桂林模拟)已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2 A

2＋

cos A ＝0. (1)求角A 的值；

(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积． 解 (1)由2cos 2 A

2＋cos A ＝0，

得1＋cos A ＋cos A ＝0， 即cos A ＝－1

2，

∵0＜A ＜π，∴A ＝2π

3.

(2)由余弦定理得，

a 2＝

b 2＋

c 2－2bc cos A ，A ＝2π

3，

则a 2＝(b ＋c )2－bc ， 又a ＝23，b ＋c ＝4， 有12＝42－bc ，则bc ＝4， 故S △ABC ＝1

2

bc sin A ＝ 3.

考向三 利用正、余弦定理判断三角形形状

【例3】?在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，试判断△ABC 的形状． [审题视点] 首先边化角或角化边，再整理化简即可判断． 解 由已知(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ， 得b 2[sin(A －B )＋sin C ]＝a 2[sin C －sin(A －B )]， 即b 2sin A cos B ＝a 2cos A sin B ，

即sin 2B sin A cos B ＝sin 2A cos B sin B ，所以sin 2B ＝sin 2A ， 由于A ，B 是三角形的内角． 故0＜2A ＜2π，0＜2B ＜2π. 故只可能2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， 即A ＝B 或A ＋B ＝π

2

.

故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．

判断三角形的形状的基本思想是；利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的

三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系． 【训练3】 在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝c cos C

；则△ABC 是( )． A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形

D ．等腰直角三角形

解析 由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C (R 为△ABC 外接圆半径)． ∴

sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C

cos C

. 即tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C . 答案 B

三角函数单元复习题（一）答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．D 2．C 3．C 4．B 5．C 6．D 7．C 8．A 9．B 10．A 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 11．2－ 3 12．4＋ 5 13．－3

5 14．2－64 15．【解析】 ∵tan(α＋π4 )＝tan ［(α＋β)－(β－π4 )］＝322

∴原式＝sin(α＋π4 )cos(α＋π

4 )

＝

sin(α＋π4 )cos(α＋π4 )

sin 2(α＋π4 )＋cos 2(α＋π4 ) ＝tan(α＋π

4 )

1＋tan 2

(α＋π4 ) ＝66

493 . 16．【解析】 由5cos(α－β2 )＋7cos β

2 ＝0得：

5cos （α－β2 ＋α2 ）＋7 cos （α－β2 －α

2 ）＝0 展开得：12cos α－β2 cos β2 ＋2sin α－β2 sin β

2 ＝0，

两边同除以cos α－β2 cos β2 得tan α－β2 tan α

2 ＝－6.

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知cos(α－π6 )＝1213 ，π6 ＜α＜π

2 ，求cos α.

【解】 由于0＜α－π6 ＜π3 ，cos(α－π6 )＝12

13 所以sin(α－π

6 )＝

1－cos 2(α－π6 ) ＝5

13

所以cos α＝cos ［(α－π6 )＋π

6 ］＝123－526

18．（本小题满分14分）已知sin 22α＋sin2αcos α－cos2α＝1，α∈(0，π

2 )，

求sin α、tan α.

【解】 ∵sin 22α＋sin2αcos α－cos2α＝1 ∴4sin 2αcos 2α＋2sin αcos 2α－2cos 2α＝0

即：cos 2α(2sin 2α＋sin α－1)＝0 cos 2α(sin α＋1)(2sin α－1)＝0 又α∈(0， π

2 )，∴cos 2α>0，sin α＋1>0. 故sin α＝12 ，α＝π6 ，tan α＝3

3.

19．（本小题满分14分）在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列， 求tan A 2 ＋tan C 2 ＋ 3 tan A 2 tan C

2 的值.

【解】 因为A 、B 、C 成等差数列，A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋C ＝2π3 ，A 2 ＋C 2 ＝π

3 ∴tan(A 2 ＋C

2 )＝

3 ，由两角和的正切公式，得tan A 2 ＋tan C 2

1－tan A 2 tan C 2 ＝ 3

tan A 2 ＋tan C 2 ＝ 3 － 3 tan A 2 tan C 2 tan A 2 ＋tan C 2 ＋ 3 tan A 2 tan C

2 ＝

3 .

20．（本小题满分15分）已知cos α＝－1213 ，cos(α＋β)＝17226，且α∈(π，32 π)，α＋β∈(3

2 π，2π)，求β. 【分析】 要求β就必须先求β的某一个三角函数值，对照已知与欲求的目标，宜先求出cos β的值，再由β的范围得出β.

【解】 ∵π＜α＜32 π， 3

2 π＜α＋β＜2π，∴0＜β＜π.

又∵cos α＝－1213 ，cos(α＋β)＝17226，∴sin α＝－513 ，sin(α＋β)＝－72

26 故cos β＝cos ［(α＋β)－α］＝172263（－1213 ）＋（－7226）（－513 ）＝－2

2. 而0＜β＜π，∴β＝34 π.

【评注】 本题中若求sin β，则由sin β＝22及0＜β＜π不能直接推出β＝3

4 π，因此本类问题如何选择三角函数值得考虑.

三角函数单元复习题（二）答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．D 2．B 3．B 4．A 5．C 6．C 7．C 8．D 9．C 10．C 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

11．（－∞，13 ］∪［1，+∞) 12．{x |－π4 ＋2kπ＜x ＜2kπ或2kπ＜x ＜π

2 ＋2kπ(k ∈Z )} 13．x ＝0或π，y ＝0 14．4π 15．{y ｜－5

4 ≤y ≤1＋ 2 } 16．②③

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）如图为函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象的一部分，试求该函数的一个解析式.

【解】 由图可得：A ＝ 3 ，T ＝2｜MN ｜＝π.

从而ω＝2π

T ＝2，故y ＝ 3 sin(2x ＋φ) 将M （π3 ，0）代入得sin(2π

3 ＋φ)＝0

取φ＝－2π3 得y ＝ 3 sin(2x －2π

3 )

【评注】 本题若将N （5π

6 ，0）代入y ＝ 3 sin(2x +φ)

则可得：sin(5π3 ＋φ)＝0.若取φ＝－5π3 ，则y ＝ 3 sin(2x －5π3 )＝－ 3 sin(2x －2π

3 )， 它与y ＝ 3 sin(2x －π

3 )的图象关于x 轴对称，故求解错误！因此，将点的坐标代入函数y ＝ 3 sin(2x ＋φ)后，如何确定φ，要看该点在曲线上的位置.如：M 在上升的曲线上，就相当于“五点法”作图中的第一个点，故2π

3 ＋φ＝0；而N 点在下降的曲线上，因此相当于“五点法”作图中的第三个点，故5π

3 ＋φ＝π，由上可得φ的值均为－2π3 .

18．（本小题满分14分）已知函数y ＝(sin x ＋cos x )2＋2cos 2x .(x ∈R )

(1)当y 取得最大值时，求自变量x 的取值集合.

(2)该函数图象可由y ＝sin x (x ∈R )的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

【解】 y ＝1＋sin2x ＋2cos 2x ＝sin2x ＋cos2x ＋2＝ 2 sin(2x ＋π

4 )＋2. (1)要使y 取得最大值，则sin(2x ＋π

4 )＝1. 即：2x ＋π4 ＝2kπ＋π2 x ＝kπ＋π

8 (k ∈Z ) ∴所求自变量的取值集合是{x ｜x ＝kπ＋π

8 ，k ∈Z }. (2)变换的步骤是：

①把函数y ＝sin x 的图象向左平移π4 个单位，得到函数y ＝sin(x +π

4 )的图象；

②将所得的图象上各点的横坐标缩短到原来的12 倍（纵坐标不变），得函数y ＝sin(2x ＋π

4 ）的图象； ③再将所得的图象上各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变），得函数 y ＝ 2 sin(2x ＋π4 )的图象；

④最后将所得的图象向上平移2个单位，就得到 y ＝ 2 sin(2x ＋π

4 )+2的图象. 【说明】 以上变换步骤不唯一！

19． (本小题满分15分）已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M （3π

4 ，0)对称，且在区间［0，π

2 ］上是单调函数，求φ和ω的值. 【解】 由f (x )是偶函数，得f (x )＝f (－x ) 即sin(ωx ＋φ)＝sin(－ωx ＋φ)

∴－cos φsin ωx ＝cos φsin ωx 对任意x 都成立. 且ω＞0，∴cos φ＝0，依题设0≤φ≤π，∴φ＝π

2

由f (x )的图象关于点M （3π

4 ，0）对称，得， 取x ＝0，得f (3π4 )＝－f (3π4 )，∴f (3π

4 )＝0 ∴f (3π4 )＝sin(3ωπ4 ＋π2 )＝cos 3ωπ

4 ＝0，又ω＞0

∴3ωπ4 ＝π2 ＋kπ，k ＝0，1，2，…，ω＝2

3 (2k ＋1)，k ＝0，1，2，… 当k ＝0时，ω＝23 ，f (x )＝sin(23 x ＋π2 )在区间［0，π

2 ］上是减函数； 当k ＝1时，ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋π2 )在区间［0，π

2 ］上是减函数； 当k ≥2时，ω≥10

3 ，f (x )＝sin(ωx ＋π2 )在区间［0，π

2 ］上不是单调函数； 所以，ω＝2

3 或ω＝2.